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Esistono relativamente pochi softwere utilizzabili per il calcolo dei parametri idrodinamici coinvolti nella trattazione precedente. Uno di questi è WAMIT, un softwere BEM sviluppato dall'MIT [14].

Per ottenere i parametri idrodinamici necessari per scrivere l'equazione del moto del pelo libero della colonna d'acqua all'interno di un OWC, è so- litamente necessario modellare due corpi: la struttura dell'OWC e il pistone d'acqua che rappresenta il pelo libero. Nel caso che l'OWC sia sso non ci so- no i termini di accoppiamento idrodinamico tra i due corpi, ma è ovviamente comunque necessario modellare anche la struttura dell'OWC, in quanto la dirazione di quest'ultima inuenza la dinamica del pelo libero. I parametri di WAMIT (gentile concessione del dottor Marco Alves, WavEC, Lisbona) sono stati calcolati sia considerando OWC e pelo libero come due corpi di- stinti che modellandoli come un corpo unico dotato di un settimo grado di libertà (oltre ai tre di traslazione e i tre di rotazione) che permette al pelo libero di muoversi rispetto alla struttura ssa dell'OWC.

Ovviamente, la massima frequenza per cui la simulazione è accurata è tanto più alta quanto è tta la mesh. A dierenza di altri programmi come ANSYS AQWA, WAMIT esegue la simulazione anche per frequenze tali per cui la mesh non è abbastanza tta da garantire una soluzione corretta: sta perciò all'utente capire quali risultati siano verosimili e quali no. Per questo motivo è stata scritto un codice Matlab che legge e rielabora i risultati utilizzando delle relazioni esistenti tra i parametri idrodinamici.

Di seguito si riportano gli andamenti dei parametri Mtot, B e fe ottenuto

da WAMIT. Si nota come sia evidente la non correttezza dell'andamento di Mtot a frequenze elevate (Figura 2.5), in quanto questa deve presentare un

asintoto orizzontale per ω tendente a +∞. L'andamento di B (Figura 2.6) sembra molto più corretto, in quanto deve tendere a zero per ω tendente a +∞; a frequenze molto alte però sembra discostarsi dallo zero per assumere valori negativi, cosa impossibile per motivi energetici. Inne, il parametro fe (Figura 2.7) sembra tendere a zero come dovrebbe, a meno di un piccolo

scostamento a frequenze elevate.

Figura 2.6: Andamento di B ottenuto da WAMIT.

Figura 2.7: Andamento di fe ottenuto da WAMIT.

Per correggere questi risultati si è ricorso a due importanti formule che mettono in relazione i parametri idrodinamici.

La prima è la formula di Haskind, che lega lo smorzamento di radiazione con la forza eccitatrice per unità di ampiezza di onda incidente:

B = ωk

4πρwg2D(kh)

Z π

−π

dove si è indicata con β la coordinata angolare che esprime la direzione di incidenza dell'onda e dove si denisce

D(kh) = (1 + 2kh

sinh(kh)) tanh(kh).

Per problemi a simmetria cilindrica come quello studiato, ovviamente fe non

dipende dall'angolo di incidenza dell'onda, per cui Z π

−π

fe2(β)dβ = 2πf2 e;

inoltre per acque profonde D(kh) ' 1. Si ottiene quindi inne

B = ω

3f2 e

2ρwg3

.

La seconda relazione utilizzata è la formula di Kramers-Kronig, che lega la dierenza tra massa aggiunta e massa aggiunta a frequenza innita con lo smorzamento di radiazione: M(ω) = Mtot(ω) − M∞= − 2 π Z +∞ 0 B(ν) ω2− ν2dν.

A rigore l'integrale a secondo membro è indeterminato a causa della singola- rità non integrabile in ν = ω; si deve pertanto utilizzare il valore principale di Cauchy, denito come

P.V. Z +∞ 0 B(ν) ω2− ν2dν = limε→0( Z ω−ε 0 B(ν) ω2− ν2dν+ Z +∞ ω+ε B(ν) ω2− ν2dν).

Supponendo quindi che sia corretto l'andamento di fe, è possibile ricavare

l'andamento di B dalla relazione di Haskind e l'andamento di M dalla formula di Kramers-Kronig. Per conoscere M∞ è necessario fare un ulteriore passo:

sapendo che i risultati sono corretti per basse frequenze, si trova il valore di M∞ che minimizza la funzione

Z ωmax

0

|Mtot,W AM IT − M∞− MKK|dω,

dove si è indicato con Mtot,W AM IT la Mtot ottenuta da WAMIT, con MKK la

M ottenuta dalla relazione di Krames-Konig e con ωmaxla massima frequenza

per cui si pensa che i risultati ottenuti da WAMIT siano attendibili.

Figura 2.8: Andamento di Mtot ottenuto sfruttando la relazione di Kramers-

Kronig.

Gli andamenti di B e Mtot ottenuti sono ragurati in Figura 2.8 e Figu-

ra 2.9. Si noti come Mtot calcolata con la relazione di Kramers-Kronig abbia

chiaramente un asintoto orizzontale corrispondente a M∞; l'andamento di

Figura 2.9: Andamento di B ottenuto sfruttando la relazione di Haskind.

Figura 2.10: Andamento di fe ottenuto da WAMIT per frequenze elevate.

da WAMIT, poiché a frequenze elevate si distacca comunque dallo zero, che invece dovrebbe rappresentare il suo asintoto orizzontale. Questo può essere dovuto all'andamento a frequenze elevate di fe, riportato in Figura 2.10: la

curva non ha un asintoto in zero, ma sembra piuttosto seguire un valore leg- germente maggiore; inoltre la presenza di un punto angoloso in fe = 0ricorda

il modulo di una funzione dalla derivata continua. Il tutto lascia pensare a un piccolo errore di traslazione verso il basso, che si traduce in un andamento di questo tipo in quanto fe è un'ampiezza e deve obbligatoriamente essere

positiva (da qui il modulo). Per confermare questa ipotesi è stato plottato l'andamento della fase φ, la quale, in corrispondenza del punto angoloso di fe, deve avere un salto di 180◦: la discontinuità è evidente in Figura 2.11 e

sembra confermare la supposizione.

Figura 2.12: Andamento di fe traslata.

Si è deciso pertanto di modicare anche feper ottenere risultati ancora più

verosimili. Qualora l'errore di traslazione fosse globale, sarebbe necessario cambiare il segno di fe dopo il punto angoloso e traslarla verso l'alto in

Figura 2.13: Andamento di Mtot ottenuto sfruttando la relazione di Kramers-

Kronig con fe traslata.

Figura 2.14: Andamento di B ottenuto sfruttando la relazione di Haskind con fe traslata.

soltanto a frequenze elevate, basterebbe semplicemente imporre fe = 0 dopo

il punto angoloso. Sono state entrambe le modiche, ottenendo i risultati riportati nelle gure sottostanti. Il maggiore scostamento di B calcolato con la relazione di Haskind rispetto a quello calcolato da WAMIT a basse frequenze di Figura 2.14 porta a concludere che l'errore di traslazione è solo

Figura 2.15: Andamento di fe con fe = 0 dopo il punto angoloso.

Figura 2.16: Andamento di Mtot ottenuto sfruttando la relazione di Kramers-

Kronig con fe= 0 dopo il punto angoloso.

locale: sono stati pertanto utilizzati i risultati rielaborati imponendo fe= 0

dopo il punto angoloso.

I risultati mostrati in questa sezione sono stati ottenuti partendo dai dati di una simulazione del sistema composto da OWC e pelo libero modellato come un corpo unico con un grado di libertà aggiuntivo. È stata eseguita una analisi analoga per i dati di una simulazione a due corpi e non si riscontrano

Figura 2.17: Andamento di B ottenuto sfruttando la relazione di Haskind con fe = 0 dopo il punto angoloso.

dierenze evidenti.

2.4 Approssimazione a spazio di stato dell'in-

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