Denizione di integrale di Itˆo

In document Calcolo Stocastico e Mercati Finanziari (Page 160-170)

Siano G(t, ω) una funzione a valori reali denita in [t0, T ] × Ωe Wt un pro-cesso di Wiener.

Consideriamo dapprima il caso molto semplice in cui la funzione G è costante, ossia

G(t, ω) = g = costante ∀(t, ω) ∈ [t0, T ] × Ω.

Allora deniamo l'integrale stocastico di Itˆo di G rispetto a Wt da t0 a T nel modo seguente:

IG = Z T

t0

G dWt = g (WT − Wt0).

Ovviamente, essendo WT e Wt0 variabili casuali, l'integrale IG così denito è a sua volta una variabile casuale e dunque

∀ω ∈ Ω IG(ω) = g (WT(ω) − Wt0(ω)).

Nel caso di una generica funzione G(t, ω) assumiamo che siano soddisfatte da G le ipotesi seguenti:

a) la funzione G è B([t0, T ]) ⊗ A-misurabile.

Per la parte i) del teorema di Fubini e Tonelli si ha che ∀ω ssato ∈ Ω la fun-zione G(·, ω) denita in [t0, T ], è B([t0, T ])-misurabile e ∀t ssato ∈ [t0, T ] la funzione G(t, ·), denita in Ω, è A-misurabile (cioè una variabile casuale).

Dunque G è un processo stocastico misurabile denito per t ∈ [t0, T ].

Inoltre, se si applica la prima parte della ii) del teorema di Fubini e Tonel-li alla funzione G2, considerando i tre spazi misura ([t0, T ], B([t0, T ]), m), (Ω, A, P ), ([t0, T ] × Ω, B([t0, T ]) ⊗ A, m ⊗ P ) dove m è la misura di Le-besgue, si deduce che la funzione che ad ogni ω ∈ Ω associa l'integrale di Lebesgue Z T

t0

G(t, ω)

2dt è A-misurabile (cioè è una variabile casuale);

b) G(t, ω) è non anticipante;

c) la variabile casualeZ T t0

G(t, .)

2dt ∈ L1(Ω) e dunque possiamo considerarne il valore atteso

E

Z T t0

G(t, ω)

2dt

 .

5.4. DEFINIZIONE DI INTEGRALE DI IT ˆO. 155

Le condizioni a) e c) sono essenzialmente di carattere tecnico, mentre la b), che ora deniremo, detta condizione di non anticipazione (NA), è la più signicativa.

Denizione 5.6. Diciamo che la funzione stocastica G : [t0, T ] × Ω −→ R soddisfa alla condizione di non anticipazione se ∀t ∈ [t0, T ] G(t, ·) è misurabile rispetto alla σ−algebra I[t0, t] = σ({Wτ : t0 ≤ τ ≤ t}), ossia rispetto alla σ−algebra generata dai Wτ con τ ∈ [t0, t].

Facciamo qualche esempio di funzioni non anticipanti denite in [t0, T ] × Ω:

• G(t, ω) = G(t), cioè G non dipende da ω;

• G(t, ω) = Wt(ω);

• G(t, ω) = sup

t0≤ τ ≤ t

Wτ(ω) . Un esempio di funzione anticipante è

H(t, ω) = sup

t0≤ τ ≤ 2 t

Wτ(ω) .

Osservazione 5.1. Richiedere che la funzione G(t, ·) sia non anticipante equi-vale a richiedere che la variabile casuale G(t, ·) dipenda soltanto dai valori passati e correnti del processo di Wiener e non dai suoi valori futuri. Se teniamo presente la denizione di processo di Wiener per cui l'incremento Ws − Wt è indipenden-te da Wt = Wt − W0 se s > t, deduciamo che, grazie alla condizione di non anticipazione, G(t, .) è indipendente da Ws − Wt con s > t.

Facciamo altre osservazioni conseguenza delle ipotesi a) e c).

Osservazione 5.2. Se la funzione G(t, ω) ha traiettorie continue o continue a tratti con probabilità 1, allora l'integrale di LebesgueZ T

t0

G(t, ω)

2dt si ridu-ce ad un integrale di Riemann con probabilità 1.

Osservazione 5.3. Dall'ipotesi c), che è conseguenza del fatto che deniremo l'integrale di Itˆo come limite in media quadratica, discende:

Z T t0

G(t, ω)

2dt < +∞ con probabilità 1, ossia la funzione G(·, ω) ∈ L2([t0, T ]) con probabilità 1.

Si potrebbe infatti provare la seguente proposizione:

Proposizione 5.3. Sia X una variabile casuale non negativa sommabile sull'e-vento A, cioè tale che

Z

A

X dP < +∞.

Allora

X < +∞ quasi sicuramente in A.

Denotiamo con V([t0, T ])la classe delle funzioni stocastiche soddisfacenti alle condizioni a), b), c).

Noi deniremo l'integrale di Itˆo per funzioni appartenenti alla classe V([t0, T ]). Consideriamo in primo luogo il caso particolare in cui la funzione stocastica G ∈ V([t0, T ]) sia semplice elementare rispetto a t, ossia esista una parti-zione Π dell'intervallo [t0, T ] mediante i punti t0 < t1 < ... < tn = T tale che:

∀ω ∈ Ω G(t, ω) = gj(ω) se tj−1 ≤ t < tj, j = 1, 2, ..., n, (5.4.1) dove le variabili casuali gj si suppongono limitate ed anche misurabili rispetto alla σ−algebra I[t0, tj−1] per j = 1, 2, ..., n, dovendo essere G non anticipante.

Inoltre assumiamo:

∀ω ∈ Ω G(T, ω) = gn(ω).

La (5.4.1) si può anche scrivere come

G(t, ω) = Con χ[tj−1, tj) denotiamo la funzione caratteristica dell'intervallo [tj−1, tj). Osservazione 5.4. Poiché supponiamo che le variabili casuali gj siano limi-tate per j = 1, 2, ..., n, la proprietà c) è soddisfatta automaticamente.

Infatti ∀ ω ∈ Ω l'integrale di LebesgueZ T t0

G(t, ω)

2dt coincide con l'integrale di Riemann dato da: e per la limitatezza delle gj deduciamo che

∃M > 0 tale che Z T t0

G(t, ω)

2dt ≤ M ∀ω ∈ Ω.

5.4. DEFINIZIONE DI INTEGRALE DI IT ˆO. 157

Ciò implica per le proprietà relative all'integrazione rispetto alla misura di proba-bilità P delle variabili casuali non negative

Z

Denizione 5.7. Deniamo integrale di Itˆo della funzione stocastica semplice elementare G ∈ V([t0, T ]), soddisfacente la (5.4.1), rispetto a Wt da t0 a T nel E' evidente che l'integrale così denito è una variabile casuale. Nel seguito potremo anche omettere la dipendenza da ω.

Vediamo di stabilire alcune proprietà dell'integrale di Itˆo per funzioni stocastiche semplici elementari in V([t0, T ]).

La dimostrazione è immediata per la linearità della somma.

II) Formula del valore atteso

∀ G f unzione stocastica semplice elementare ∈ V([t0, T ]) E[IG] = 0.

Dimostrazione

Per la denizione (5.4.3) e la linearità del valore atteso, abbiamo:

E[IG] = E

Ma per l'ipotesi di non anticipazione le variabili casuali gj e Wtj − Wtj−1 risultano indipendenti per j = 1, 2, ..., n.

Dalla (5.4.4) otteniamo allora

dove nell'ultimo passaggio abbiamo sfruttato il fatto che il valore atteso degli incrementi di un processo di Wiener è nullo.

III) Formula della media quadratica o Isometria di It ˆo

∀ G f unzione stocastica semplice elementare ∈ V([t0, T ]) E[IG2] = E per j = 1, 2, ...., n, avendo distribuzione gaussiana, mentre le variabili ca-suali gj sono per ipotesi limitate. Dunque le variabili casuali gj[Wtj − Wtj−1] ∈ L2(Ω)per j = 1, 2, ...., n e anche IG ∈ L2(Ω) essendo la somma di n variabili casuali appartenenti allo spazio L2(Ω).

Ora proviamo l'isometria di Itˆo.

Per la denizione (5.4.3)

Ora teniamo presente la linearità del valore atteso, l'indipendenza delle variabili casuali gj e Wtj − Wtj−1 e l'indipendenza di gigj(Wti − Wti−1)

5.4. DEFINIZIONE DI INTEGRALE DI IT ˆO. 159 per la denizione di processo di Wiener e quindi

E[IG2] =

Nell'ultimo passaggio abbiamo tenuto presente che la funzione G2(·, ω) è una funzione semplice elementare rispetto al tempo per ogni ω ssato in Ω e dunque

n

X

j=1

g2j(ω)(tj − tj−1)

è il suo integrale di Riemann sull'intervallo [t0, T ] che, come osservato in precedenza, risulta nito ∀ω ∈ Ω, essendo le variabili casuali gj limitate.

La relazione III) risulta così dimostrata.

Prima di dare la denizione generale di integrale stocastico di Itˆo, enunciamo il seguente

Lemma 5.1. Sia G(t, ω) ∈ V([t0, T ]). Allora esiste una successione Gn(t, ω) di funzioni stocastiche semplici elementari appartenenti alla classe V([t0, T ]) tale che

La dimostrazione si eettua mediante tre passi successivi.

Passo 1.

Supponiamo che F ∈ V([t0, T ]) sia limitata e tale che F (·, ω) sia continua in

[t0, T ] per ogni ω ∈ Ω. Proviamo che esiste una successione Gn(t, ω) di funzioni stocastiche semplici elementari appartenenti alla classe V([t0, T ]) tale che

n→+∞lim E

A tal ne per ogni intero positivo n consideriamo una partizione dell'intervallo [t0, T ] mediante i punti equidistanti t0 < t(n)1 < .... < t(n)n = T per cui

t(n)j = t0 + j

n(T − t0) j = 1, 2, ..., n.

Ora approssimiamo F con la successione di funzioni semplici elementari così denite:

∀ω ∈ Ω Gn(t, ω) = F (t(n)j−1, ω) se t(n)j−1 ≤ t < t(n)j j = 1, 2, ..., n,

∀ω ∈ Ω Gn(T, ω) = F (t(n)n−1, ω).

In Figura 5.1 sono rappresentati i graci in funzione del tempo di una funzione F (·, ω) (con ω ssato in Ω) limitata e continua rispetto a t e del termine con n = 7 della successione Gn(·, ω) (con ω ssato in Ω) ottenuta nel modo detto sopra.

E' immediato vericare che, ssato arbitrariamente ω in Ω, grazie alla continuità di F rispetto a t, per n → +∞ la successione Gn(·, ω) converge uniformemente a F (·, ω), ossia

D'altra parte, come è noto dalla teoria dell'integrazione secondo Lebesgue, la convergenza uniforme implica la convergenza in L2([t0, T ]) e quindi

n→+∞lim Ma, essendo F limitata e quindi anche Gn, si ha che

∃ M > 0 tale cheZ T t0

Gn(t, ω) − F (t, ω)

2 dt ≤ M ∀ω ∈ Ω, ∀n ∈ N.

Allora, per il corollario del teorema della convergenza dominata si ha:

n→+∞lim

5.4. DEFINIZIONE DI INTEGRALE DI IT ˆO. 161 come ci proponevamo di dimostrare.

Passo 2.

Sia H ∈ V([t0, T ]) limitata. Allora si può provare che esiste una successione di funzioni limitate Fn ∈ V([t0, T ]) con Fn(·, ω) continua in [t0, T ] per ogni ω ∈ Ω

Noi non svolgiamo la dimostrazione.

Passo 3.

Sia G ∈ V([t0, T ]). Si potrebbe dimostrare, ma noi non lo faremo, che esiste una successione di funzioni limitate Hn∈ V([t0, T ]) tali che:

n→+∞lim E

Il lemma risulta così provato in maniera completa, poichè, presa G ∈ V([t0, T ]), utilizzando i tre passi sopra illustrati, possiamo sempre trovare una

successio-ne Gn(t, ω) di funzioni stocastiche semplici elementari appartenenti alla classe V([t0, T ]) tale che valga la (5.4.5).

Osservazione 5.5. Vediamo di dare una interpretazione della condizione (5.4.5) che ci sarà molto utile nel seguito.

A tal ne consideriamo i tre spazi misura ([t0, T ], B([t0, T ]), m), (Ω, A, P ), ([t0, T ] × Ω, B([t0, T ]) ⊗ A, M ) dove M = m ⊗ P , essendo m la misura di Lebesgue e teniamo presente che per denizione di valore atteso si ha:

E Se applichiamo l'ultima parte del teorema di Fubini e Tonelli ed utilizziamo notazioni analoghe a quelle di tale teorema, otteniamo:

E L'integrale a secondo membro della (5.4.11) si potrebbe anche scrivere nella forma Grazie alla (5.4.11), vediamo che la relazione (5.4.5) equivale a

n→+∞lim

Diamo ora la denizione di integrale di Itˆo nel caso generale.

Denizione 5.8. Se G(t, ω) ∈ V([t0, T ]), si denisce l'integrale stocastico di dove Gn è una successione di funzioni stocastiche semplici elementari apparte-nenti alla classe V([t0, T ]) tale che sia soddisfatta la condizione (5.4.5).

5.4. DEFINIZIONE DI INTEGRALE DI IT ˆO. 163

Osservazione 5.6. La denizione data è ben posta. Infatti è facile provare che il limite che compare nella (5.4.14) esiste grazie al lemma 5.1, alla proprietà III) dell'integrale di Itˆo delle funzioni stocastiche semplici elementari ed alla completezza di L2(Ω).

Vediamo di vericarlo.

Il lemma 5.1 assicura l'esistenza di una successione Gn di funzioni stocastiche semplici elementari in V([t0, T ]) che soddisfa alla condizione (5.4.5) e quindi anche alla (5.4.13).

Mostriamo che la successione

Z T t0

GndWt è di Cauchy in media quadratica.

In primo luogo notiamo che Z T t0

GndWt ∈ L2(Ω) ∀n ∈ N per la proprietà III) dell'integrale di Itˆo delle funzioni stocastiche semplici.

In secondo luogo facciamo vedere che

∀ > 0 ∃n tale che ∀n, m > n

A tal ne osserviamo che

E

dove nell'ultimo passaggio abbiamo sfruttato la proprietà III).

Con argomentazioni analoghe a quelle dell'osservazione 5.5, grazie al teorema di Fubini e Tonelli, possiamo scrivere:

E Ma, per l'osservazione 5.5 sappiamo che la successione Gn converge a G in L2([t0, T ] × Ω) e dunque Gn è anche una successione di Cauchy in tale spazio.

Perciò

∀ > 0 ∃n tale che ∀n, m > n

risulta Z

[t0,T ]×Ω

Gn(t, ω) − Gm(t, ω)

2dM (t, ω) < . (5.4.17) Tenendo conto delle (5.4.15), (5.4.16), la (5.4.17) ci consente di asserire che:

∀ > 0 ∃n tale che ∀n, m > n per cui concludiamo che la successione

Z T t0

GndWt

è di Cauchy in media quadratica. Ma allora per la proposizione 5.2 esiste una variabile casuale X ∈ L2(Ω) tale che

X è appunto l'integrale stocastico di Itˆo di G.

Si potrebbe anche mostrare che la denizione data è indipendente dalla scelta della successione Gn.

Osservazione 5.7. Da quanto provato in precedenza si ha che l'integrale sto-castico di Itˆo è una variabile casuale appartenente a L2(Ω). Dunque IG è unico quasi sicuramente.

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