Esempio di calcolo di un integrale stocastico

Ci proponiamo ora, come esempio, di calcolare il seguente integrale stocastico:

Z T 0

W_tdW_t (5.6.1)

dove dunque G(t, ω) = Wt(ω) ∀(t, ω) ∈ [0, T ] × Ω.

Dobbiamo in primo luogo provare che Wt ∈ V([0, T ]).

Poiché Wt è un processo stocastico continuo ∀t ≥ 0, come abbiamo osservato nel Capitolo 4, è progressivamente misurabile rispetto alla ltrazione naturale e quindi misurabile per cui Wt è B([0, T ]) ⊗ A-misurabile. Perciò Wt soddisfa alla condizione a). Tra l'altro, poiché le traiettorie sono continue rispetto al tempo con probabilità 1, l'integrale di Lebesgue Z T

0

W_t(ω) 

2dt è un integrale di Riemann con probabilità 1.

Inoltre Wt è ovviamente misurabile rispetto a I[0, t] ∀t ∈ [0, T ]e perciò soddisfa anche alla proprietà di non anticipazione.

5.6. ESEMPIO DI CALCOLO DI UN INTEGRALE STOCASTICO. 169

Inne è soddisfatta anche la condizione:

Z T

poiché per il teorema di Fubini e Tonelli (parte iii) applicata a Wt², è possibile scambiare l'integrale su Ω rispetto alla misura di probabilità P con l'integrale rispetto al tempo per cui:

Z

Allora possiamo calcolare l'integrale stocastico di Wt rispetto a Wt da 0 a T . Tenendo presente la denizione 5.8, in primo luogo dobbiamo determinare una successione Wn con n ∈ N di funzioni stocastiche semplici elementari apparte-nenti alla classe V([0, T ]) tale che

n→+∞lim E

Conformemente a quanto avevamo visto nel paragrafo 3 nel caso di una funzione stocastica continua rispetto a t, suddividiamo l'intervallo [0, T ] in n intervalli di uguale ampiezza mediante la partizione Π ottenuta mediante i punti 0 = t0 <

t₁ < .... < t_n = T per cui

t_j = j

nT j = 1, 2, ..., n.

Per semplicità di scrittura abbiamo indicato con tj ciò che prima avevamo de-notato con t⁽ⁿ⁾j .

Consideriamo poi la successione Wn(t, ω) con n ∈ N tale che

∀ω ∈ Ω W_n(t, ω) = W_tj−1(ω), se tj−1 ≤ t < t_j, W_n(T, ω) = W_tn−1(ω).

Verichiamo che tale successione di funzioni stocastiche semplici elementari ap-partenenti alla classe V([0, T ]) soddisfa alla (6.1.3).

Infatti

per cui

Se scambiamo l'integrale su Ω rispetto alla misura di probabilità P con gli integrali rispetto al tempo otteniamo:

E

Per una proprietà degli incrementi di un processo di Wiener che abbiamo già sfruttato numerose altre volte otteniamo:

E come ci proponevamo di dimostrare.

A questo punto applichiamo la denizione di integrale stocastico di Itˆo:

Z T Ma, essendo Wn funzioni stocastiche semplici elementari,

Z T

in base alla denizione di integrale stocastico di Ito, dobbiamo calcolare il limite in media quadratica di Sn, ossia mq − lim

n→+∞Sn. A tal ne poniamo:

W_tj − W_tj−1 = ∆ W_j j = 1, 2, ..., n.

5.6. ESEMPIO DI CALCOLO DI UN INTEGRALE STOCASTICO. 171 A questo punto otteniamo che

Z T

Per determinare mq − lim

n→+∞

Questo risultato ci suggerisce che potrebbe essere

mq − lim

Verichiamolo.

dove abbiamo sfruttato la linearità del valore atteso e l'indipendenza degli in-crementi.

D'altra parte, se teniamo presente che gli incrementi di un processo di Wiener hanno distribuzione gaussiana con media nulla, grazie ad una proprietà dei mo-menti di ordine pari di una variabile causale avente una distribuzione gaussiana, si ha

E[(∆ W_j)^2k] = 1 · 3 · ... · (2k − 1)σ^2k con σ deviazione standard.

Allora E[(∆ Wj)⁴]si ottiene dalla formula scritta sopra ponendo k = 2 e tenendo presente che σ² = t_j − t_j−1 = T

n. Dunque E[(∆ W_j)⁴] = 3 T²

n².

Andando a sostituire nella (5.6.3) e svolgendo i calcoli si ottiene:

E

5.6. ESEMPIO DI CALCOLO DI UN INTEGRALE STOCASTICO. 173

per cui

n→+∞lim E





n

X

j=1

(∆ W_j)² − T

!2

 = 2 lim

n→+∞

T² n = 0.

In conclusione otteniamo:

Z T 0

W_tdW_t = 1

2W_T² − 1 2T.

Più in generale si ha:

Z T t0

W_tdW_t = 1

2(W_T² − W_t²

0) − 1

2(T − t₀). (5.6.4) La formula ottenuta è dierente dal calcolo integrale classico.

Infatti andiamo a considerare un analogo integrale di Riemann-Stieltjes.

Sia x(t) una funzione reale, denita sull'intervallo [t0, T ], a variazione limitata, derivabile e con derivata integrabile secondo Riemann sull'intervallo di deni-zione. Grazie alla derivabilità, la funzione risulta continua e quindi integrabile secondo Riemann su [t0, T ].

Sotto tali ipotesi esiste l'integrale di Riemann-Stieltjes : Z T

t0

x(t) dx(t) ed è esprimibile come l'integrale di Riemann

Z T t0

x(t)x⁰(t) dt = 1

2(x²_T − x²_t

0) (5.6.5)

con xT = x(T ), x_t0 = x(t₀).Se confrontiamo tale risultato con quello ottenuto per l'integrale stocastico di Itˆo dato dalla (5.6.4), vediamo che in quest'ultimo abbiamo in più il termine: −1

2(T − t₀).

Capitolo 6

Calcolo dierenziale stocastico

6.1 Denizione di dierenziale stocastico.

In ambiente stocastico non c'è una denizione formale di derivata. Il die-renziale stocastico acquista signicato solo in virtù dell'integrale stocastico di Itˆo.

Denizione 6.1. Sia Xt un processo stocastico di Itˆo (a valori in R) denito in [t0, T ], ossia un processo stocastico soddisfacente ∀t ∈ [t0, T ] alla relazione seguente con probabilità 1:

X_t(ω) = X_t0(ω) + Z t

t0

F (τ, ω) dτ + Z t

t0

G(τ, ω) dW_τ (6.1.1) dove F è una funzione reale misurabile rispetto alla σ-algebra B([t0, T ])⊗A, non anticipante e tale che l'integrale di Lebesgue R_t^t₀ 

F (τ, ω)

dτ < +∞ quasi sicu-ramente ∀t ∈ [t0, T ], G è una funzione reale che appartiene alla classe V([t0, T ]) e Xt0 è una variabile casuale misurabile rispetto alla σ-algebra generata da Wt0. Diremo allora che ∀t ∈ [t0, T ] Xt ha dierenziale stocastico dato da:

d X_t = F (t, ·) dt + G(t, ·) dW_t. (6.1.2) E' da rilevare che il dierenziale stocastico è solo una scrittura simbolica per esprimere la relazione (6.1.1) in maniera più compatta.

Inoltre si può notare che, grazie alla sua denizione, il dierenziale stocastico è lineare.

Esempio 6.1.

Riprendiamo l'esempio di calcolo di un integrale stocastico del Capitolo prece-dente:

Z T t0

WtdWt = 1

2(W_T² − W_t²₀) − 1

2(T − t0).

175

Indicato T con t e la variabile d'integrazione con τ, possiamo scrivere:

Per la denizione di dierenziale stocastico (6.1.2) si ha:

d(W_t²) = dt + 2 W_td W_t. (6.1.3) Si noti che nell'analisi classica manca il primo termine, mentre è presente un termine analogo al secondo. Infatti se x(t) è derivabile in [t0, T ], in analisi classica abbiamo

d (x²(t)) = 2 x(t) x⁰(t) dt = 2 x(t) dx.

Enunciamo ora per il calcolo dierenziale stocastico l'analogo del teorema di derivazione delle funzioni composte del calcolo dierenziale classico.

Teorema 6.1. Sia Xt un processo stocastico denito in [t0, T ] avente il die-renziale stocastico: questo ha dierenziale stocastico dato da

dY_t =

La (6.1.5), utilizzando la (6.1.2), si può anche scrivere nella forma seguente:

dY_t = ∂_tU (t, X_t) dt + ∂_xU (t, X_t) dX_t + 1

2G²(t, ·)∂_xx² U (t, X_t) dt. (6.1.6) Il caso analogo in Analisi Classica è tradotto dal seguente teorema:

6.1. DEFINIZIONE DI DIFFERENZIALE STOCASTICO. 177

Teorema 6.2. Sia x(t) una funzione reale derivabile in [t0, T ].

Inoltre sia U : [t0, T ] × R −→ R una funzione continua con le derivate parziali

∂_tU, ∂_xU continue.

Posto y(t) = U(t, x(t)) ∀t ∈ [t0, T ], si ha che y è derivabile e quindi dieren-ziabile in [t0, T ] e precisamente:

dy(t) = ∂tU (t, x(t)) dt + ∂xU (t, x(t)) x⁰(t) dt. (6.1.7) La (6.1.7), tenendo presente che x⁰(t) dt = dx(t), si può anche scrivere nella forma:

dy(t) = ∂_tU (t, x(t)) dt + ∂_xU (t, x(t)) dx(t). (6.1.8) Confrontando la (6.1.8) con la formula di Itˆo (6.1.6), vediamo che nel caso clas-sico non compare l'ultimo termine 1

2G²(t, ·)∂_xx² U (t, X_t) dt.

Se G ≡ 0, si ottiene dalla (6.1.6) la formula classica. In tale situazione si parla di caso non stocastico.

C'è un modo mnemonico per ricordare più rapidamente la formula (dieren-ziale) di Itˆo.

La (6.1.6) si può infatti riscrivere in forma più compatta anche nella maniera seguente:

dY_t = ∂_tU (t, X_t) dt + ∂_xU (t, X_t) dX_t + 1

2∂_xx² U (t, X_t) (dX_t)²

dove (dXt)² = G²dt e per calcolarlo si utilizzano le seguenti regole moltiplica-tive:

× dW_t dt

dW_t dt 0

dt 0 0

La formula di Itˆo ha la seguente generalizzazione al caso di più variabili Teorema 6.3. Siano Xt⁽ⁱ⁾, t ∈ [t₀, T ], i = 1, 2, ..., n, processi stocastici con il dierenziale stocastico dato da:

dX_t⁽ⁱ⁾ = F_i(t, ·) dt + G_i(t, ·) dW_t, i = 1, 2, ..., n.

Inoltre sia U : [t0, T ]×Rⁿ −→ R una funzione continua con le derivate parziali

∂_tU, ∂_xiU, ∂_x²

ixjU (i, j = 1, 2, ..., n) continue.

Allora il processo stocastico Yt = U (t, X_t⁽¹⁾, ... X_t⁽ⁿ⁾) ha dierenziale stocastico

Il dierenziale stocastico di Yt si può anche scrivere nella forma compatta:

dYt = ∂tU (t, X_t⁽¹⁾, ..., X_t⁽ⁿ⁾) dt + dove per il calcolo di dXt⁽ⁱ⁾dX_t^(j) si seguono le stesse regole moltiplicative della tabella mostrata sopra.

Nel documento Calcolo Stocastico e Mercati Finanziari (pagine 174-184)