9.7. Confronto tra retroproiezione semplice e filtrata
9.8.1. Filtri per fascio parallelo
Il caso del fascio parallelo è certamente l’esempio più semplice dell’applicazione di un algoritmo di ricostruzione ed è alla base di altri algoritmi da esso essere derivati. Dalle equazioni (9) e (10) si ottiene per la ricostruzione della funzione immagine:
( )
,( ) (
' cos sin ')
'ˆ
0 d p x h x y x dx
y x
f =
∫ ∫
π φ −∞∞ φ φ+ φ− (18)Dove h(t) la trasformata inversa di Fourier di ω :
( )
t[ ]
ω[
H( )
ω]
h =ℑ1−1 =ℑ1−1
Si noti come nella (18) si è evidenziata l’operazione di convoluzione della proiezione con la trasformata inversa di ω , che è detta anche funzione filtrante H(ω). E’ importante, inoltre, notare che h(t) e H(ω) sono funzioni monodimensionali sia nello spazio che nel dominio di Fourier. Come già accennato, nella pratica, la (18) non è applicabile a causa della natura divergente della funzione ω ; per tale motivo si cercano delle funzioni filtro in grado di realizzare un operazione di antisfocamento che si oppone proprio allo sfocamento indotto dall’operazione di retroproiezione.
9.8.1.1. Ram-Lak filter
La prima funzione che si considera è quella proposta da Ramachandran e Lakshinminarayanan, derivata direttamente dalla rampa H(ω)=|ω|. L’ipotesi da cui si parte è che la funzione immagine da ricostruire f(x,y) è a banda limitata nel dominio delle frequenze spaziali, con banda pari a B. In tal caso il filtro può essere ottenuto da una versione finestrata della funzione rampa come definita dai due autori, detta spesso “Ram-Lak filter”:
( )
≤= 0 altrove 2 B
HRL ω ω π
ω (19)
In questo caso i coefficienti del filtro nel dominio dello spazio possono essere ottenuti antitrasformando HRL
( )
ω :( ) ( ) ( ) ( )
) ( sin )
2 ( sin 2
2 exp exp 1
2 1
2 2 2
2 2
Bx c B Bx c B
d ix d
ix H
x
h B
RL B RL
π π
ω ω π ω
ω ω π ω
π π
−
=
=
=
=
∫
−∞∞∫
− (20)dove sinc(x)=sin(x)/x.
L’andamento della risposta in frequenza del filtro è riportato in figura 32.
Figura 32: Andamento in frequenza dei filtri
Poiché i dati ottenuti dalla proiezione sono dati discretizzati è necessario che lo sia anche la funzione filtrante. Applicando un campionamento uniformemente spaziato con periodo ∆x=1/2B, si ottiene la versione campionata del filtro Ram-Lak alle posizioni xk=k∆x:
( )
∆
= −
−
∆ =
=
=
dispari è
k 1 se
4
pari è k se 0
0 k 4 se
1
2 2 2 2 2
2
2 2
x k k
B B x k
hRL
π π
(21)
Poiché il nucleo della funzione filtro Ram-Lak è campionata nel dominio dello spazio, la funzione filtro nel dominio della frequenza sarà una funzione periodica.
L'imposizione della frequenza di cutoff, cioè la discontinuità presente alla frequenza B del filtro, rende la funzione oscillante nel dominio dello spazio e quindi introduce un artefatto nell’immagine ricostruita. Tale effetto, noto come fenomeno di Gibbs, è eliminabile facendo in modo che lo spettro in frequenza del filtro sia caratterizzato da un andamento più dolce piuttosto che una brusca discontinuità. Accanto all'eliminazione del fenomeno di Gibbs, lo smussamento delle alte frequenze produce un sostanziale miglioramento della risposta del filtro al rumore. Il filtro Ram-Lak, infatti, soffre di un'alta sensibilità al rumore, a causa della natura del filtro che tende ad esaltare soprattutto le alte frequenze.
9.8.1.2. Shepp-Logan filter
Shepp e Logan hanno suggerito una funzione filtro alternativa introducendo una funzione peso sinusoidale nel filtro |ω|. La nuova funzione filtro è data da:
( )
Il nucleo del filtro nel dominio del tempo è dato da
( ) [ ( ) ]
La cui versione campionata, ottenuta sostituendo x con xk=k∆x, è data da:
( ) (
42 1)
2(
482 1)
In figura sono riportate le risposte armoniche dei due filtri.
Figura 34: Risposta impulsiva del filtro Shepp-Logan
Ovviamente è possibile utilizzare anche altre funzioni peso.
9.8.1.3. Wiener filter
In presenza di rumore, si può utilizzare il filtro di Wiener. Partendo dalla versione rumorosa della proiezione:
( )
ξ φ( )
ξ φ( )
ξφ p n
p = +
si vuole progettare un filtro ottimo che mi restituisca una versione filtrata della proiezione. Il filtro ottimo può essere pensato come:
dove Hw rappresenta il filtro di Wiener dato da: del sistema, il suo complesso coniugato, la potenza del segnale proiezione all’angolo φ e la potenza del rumore associato. Ovviamente per il filtro ottimo si ottiene:
( ) ( )
dove SNR è il rapporto segnale rumore della proiezione ad un dato angolo φ.
9.8.1.4. Filtro inverso e filtro di Wiener
Nei sistemi lineari, di formazione delle immagini, il segnale (immagine) in uscita al sistema può non essere una riproduzione fedele dell’oggetto che si voleva rappresentare o studiare. Gli effetti di corruzione dell’immagine originale dipendono dalla risposta impulsiva del sistema, detta “point spread function”. Diverse tecniche di elaborazione e ricostruzione di immagini vengono utilizzate allora, per rimuovere, almeno parzialmente, gli effetti di perturbazione che l’immagine originaria subisce attraverso il sistema. In alcuni casi la qualità originaria può essere recuperata applicando particolari tecniche di filtraggio.
Filtro inverso.
Il sistema più semplice di recuperare l’immagine nella sua qualità originale è costruire il filtro inverso la cui la funzione di trasferimento è pari all’inverso della funzione di degradazione. Nella figura è riportato lo schema del processo di degradazione e recupero.
Figura 35: Schema del processo di degradazione e recupero.
Nel modello riportato in figura una immagine ideale f(x,y) passa attraverso un sistema lineare con risposta all’impulso hD(x,y) ed è combinato con un rumore incorrelato n(x,y). L’immagine osservata f0(x,y) è allora l’immagine ideale convoluta con la “point spread function” del sistema hD(x,y):
L’immagine recuperata fˆ1
( )
x,y può essere descritta come la convoluzione dell’immagine osservata f0(x,y) con la risposta impulsiva del filtro inverso hR(x,y):( )
x y[
f( )
x y h( ) ( )
x y n x y]
h( )
x yfˆ , I , D , , R ,
1 = ∗ + ∗
Passando nel dominio delle frequenze si ottiene:
(
x y) [
I(
x y) (
D x y) (
x y) ]
R(
x y)
trasferimento del filtro è scelta come l’inversa della funzione di trasferimento del sistema:
( )
D(
x y)
si ottiene che lo spettro dell’immagine recuperata è:
( ) ( ) ( )
e quindi l’immagine recuperata sarà:
( ) ( ) ( )
In assenza di rumore si ottiene il completo recupero dell’immagine, ma in presenza di rumore si crea un errore che può risultare anche elevato se la point spread function HD assume valori bassi, in corrispondenza di quelle frequenze. In particolare, poiché sia la HD che la FI hanno andamento passa basso le componenti a più alta frequenza sono quelle più corrotte dal rumore e quindi più degradate.
Filtro di Wiener con rumore additivo.
Come appena descritto, uno dei problemi del filtro inverso è la sua estrema sensibilità al rumore.
Questo limite può essere superato utilizzando un filtro di Wiener che si basa su una conoscenza apriori del rumore. Si assuma, ad esempio, che il rumore sia gaussiano, a media nulla ed che sia indipendente dall’immagine. Si assuma inoltre di conoscere lo spettro di potenza del rumore. Il filtro di Wiener è progettato per minimizzare l’errore quadratico medio:
( ) ( )
[ ]
{
f x,y fˆ x,y 2}
E I − I
ε =
Ricordando che per la teoria dell’errore quadratico minimo, l’errore è incorrelato con il segnale in ingresso al filtro, la correlazione dell’errore fI
( )
x,y − fˆI( )
x,y con l’ingresso del filtro di Wiener( )
x yf0 , deve essere nulla. Utilizzando la trasformata per calcolare la correlazione si ottiene:
Da cui: segnale sono incorrelati, e quindi i prodotti delle loro trasformate sono nulli, si ottiene: