Differenti materiali viscoelastici, come anche i bitumi stradali, mostrano un flusso puramente viscoso quando soggetti a particolari condizioni di tensione e temperatura. La proprietà che ne descrive il comportamento è in questo caso la viscosità, che in generale non è costante ma al contrario è una funzione della temperatura, della pressione e delle stesse condizioni di moto cui il materiale è soggetto.
Per molti materiali di interesse ingegneristico, compresi i leganti bituminosi, la legge di Arrhenius, largamente utilizzata anche nella trattazione dei risultati esposti nel capitolo 5 della presente Tesi, descrive l’andamento della viscosità in funzione della temperatura (Dowling, 1999).
T R
Ef
e A T)= ⋅ ⋅
η( (eq.1.87) Occorre precisare che l’andamento descritto dalla legge di Arrhenius è di tipo continuo e, nel caso di miscele quali quelle bitume-polimero e bitume-cera, è valido nel caso di siano trascurabili i contributi di composti chimici con specifici punti di fusione interni all’intervallo di misura.
La dipendenza dalla pressione si considera in genere di tipo esponenziale per quasi tutti i liquidi. Per la trattazione di questo argomento, nonché per la trattazione della dipendenza della viscosità dal tempo (tixotropia), entrambi effetti non direttamente correlati con lo
svolgimento delle misure previste nella presente Tesi si rimanda a testi specifici quali Schramm (1994), Lapasin e Pricl (1995) Barnes et al. (1989).
1.6.2. Modelli non-lineari per le curve di viscosità
Il caso della dipendenza dalle condizioni di moto si riconduce invece a differenti formulazioni di natura empirica che esplicitano la funzione η(dγ/dt) nel caso dei fluidi non-Newtoniani. In tale caso infatti la legge di Arrhenius consente di descrivere la viscosità al variare della temperatura solo relativamente a velocità di deformazione costante ed in assenza di fenomeni transitori di tipo tixotropico. L’equazione 1.5 definisce il concetto di viscosità come rapporto fra tensione applicata e velocità di deformazione (tasso di scorrimento). In tal caso sono verificate le seguenti condizioni, le quali definiscono il fluido Newtoniano (Barnes et al., 1989):
- la sola tensione generata in condizioni di flusso semplice (simple shear flow) è lo sforzo di taglio t, i due sforzi normali (normal stress differences, N1 (dγ/dt) = σxx - σyy ed N2 (dγ/dt) = σyy – σzz) hanno valore nullo;
- La viscosità h non varia con la velocità di scorrimento;
- La viscosità η è costante rispetto al tempo e lo stress nel liquido diviene istantaneamente nullo quando si interrompe il flusso. Se il flusso viene ripreso la viscosità è invariata rispetto a quella misurata nel flusso precedente;
- Le viscosità misurate in differenti configurazioni di prova sono sempre in semplice proporzione diretta fra loro. Ne consegue, come dimostrato da Trouton nel 1906, che per il fluido Newtoniano la viscosità estensionale (extensional viscosity) ηE è pari a tre volte la viscosità di taglio η.
η
ηE= 3⋅ (eq. 1.88) La modellazione nel caso del fluido Newtoniano, che prevede la linearità della legge costitutiva e cioè prevede che esista una relazione di linearità fra il tensore degli sforzi ed il tensore delle velocità di deformazione, non è generalmente valida nel caso dei materiali viscoelastici per i quali la viscosità assume andamenti dipendenti dalla velocità di deformazione stessa e certamente più complessi. Ne conseguono legami costitutivi, rappresentati dalla relazione fra τ e dγ/dt, generalmente non-lineari e classificabili nelle diverse macro-categorie illustrate dalla figura seguente.
Figura 1.13. Tipologie di fluidi in conseguenza della forma della curva di flusso.
La trattazione della viscosità dei fluidi non-Newtoniani è alla base della reologia e della conseguente vasta letteratura scientifica. Contributi specifici ed esaurienti si ritrovano in Schramm (1994), Barnes et al. (1989), in Delay (1995), Delay e Wissbrun (1999).
In riferimento alle metodologie di analisi delle curve di viscosità più frequentemente utilizzate in diversi ambiti tecnologici, e largamente impiegate anche nella trattazione di dati sperimentali nell’ambito della presente Tesi, si esplicitano le equazioni del modello di Carreau-Yasuda:
[
+( )
− ∞]
− + ∞= η
γ λ
η γ η
η
a an1 0
1 ) (
*
&
& (eq.1.89)
e del modello di Cross.
+
( )
∞ + ∞= − η
γ η γ η
η µ
&
&
K ) 1 (
* 0 (eq.1.90) nei quali η0 è la viscosità dello stato stazionario (zero-shear viscosity, zsv), η∞ è la viscosità della seconda regione Newtoniana (raggiunta per alti valori della velocità di deformazione), λ, a, n, K, µ sono i parametri di fitting dipendenti dal materiale e dalle condizioni di prova.
Entrambe tali equazioni, sebbene di norma applicabili in casi differenti, descrivono funzioni di viscosità η(dγ/dt) relative a curve di flusso della forma di quella presentata in figura seguente.
Figura 1.14. Andamento generale della viscosità di un fluido non-Newtoniano.
Dalla rappresentazione del comportamento precedente per mezzo della curva di viscosità è possibile identificare la forma grafica delle funzioni di Carreau-Yasuda e di Cross secondo le quali si ammette l’esistenza di due regioni Newtoniana e di una regione interposta a carattere non-Newtoniano.
Figura 1.15. Andamento generale della viscosità di un fluido non-Newtoniano.
La regione denominata lineare in figura è di particolare interesse in quanto la sua eventuale esistenza corrisponde all’esistenza di un valore finito di η0 in accordo con le relazioni teoriche discusse al paragrafo 1.2.3.
Nel caso in cui esista una sola regione di flusso Newtoniano, i modelli precedenti si riducono a quelli più semplici di Ellis, valido per l’esistenza della regione Newtoniana ai bassi tassi di scorrimento, e di Sisko, valido per l’esistenza della regione Newtoniana agli alti tassi di scorrimento.
Quando non sussiste l’esistenza di un plateau Newtoniano, ne alle basse frequenze ne alte frequenze, la curva di viscosità è rappresentata generalmente da una legge di potenza (power law model) con esponente n variabile, la quale definisce la legge di Ostwald-de Waele.
η*(γ&)=k⋅γ&n−1 (eq.1.91) L’equazione precedente, a differenza di quelle relative ai modelli di Cross e di Carreau-Yasuda, non consente di definire un valore di η0. Per materiali che seguono inequivocabilmente la legge di Ostwald-de Waele, in analogia a quanto visto in linea teorica per il solido di Kelvin-Voight, occorre prendere in considerazione un valore non finito di zero-shear viscosity.
Il carattere pseudo-plastico (shear thinning) o dilatante (shear thickening) del fluido viscoso di Ostwald-de Waele è relativo alla condizione n < 1 o n >1 rispettivamente.
Ulteriore tipo di flusso, in realtà analogo a quello di Sisko ma di differente forumalazione analitica, è quello proprio del liquido plastico (Bingham model).
τ
( )
γ& =τy+ηP⋅γ& (eq.1.92) In questo caso, in realtà spesso difficilmente scindibile dal precedente caso pseudo-plastico per questioni relative ai limiti strumentali, il flusso si instaura solo una volta oltrepassata la soglia di tensione τy. Si considera sostanzialmente che esista una regione iniziale a viscosità infinita, oltre la quale il flusso diviene Newtoniano con viscosità pari ad ηP.1.6.3. Regola di Cox-Merz e modellazione della viscosità complessa
Nella trattazione del problema della viscosità occorre considerare che andamenti nel dominio del tempo e andamenti nel dominio della frequenza sono in genere di identica forma, nel caso oscillatorio vale infatti:
( )
t ω γ( )
ωtγ& = ⋅ 0⋅cos (1.93) dalla quale si evince che la variazione di dγ/dt in regime oscillatorio è direttamente proporzionale alla variazione della frequenza. Tale osservazione può essere formalizzata nella seguente equivalenza (Barnes et al., 1989):
( )
0( )
0'ωω→ =ηγ γ→
η & & (1.94) e tramite la più estesa regola di Cox-Merz (1958), secondo la quale η* di ω è la stessa funzione di η di dγ/dt., eventualmente considerandoω= 2π⋅γ&.
( ) ( )
ω ηγη = & (1.95) A valle dell’ipotesi contenuta nell’equazione seguente è quindi possibile utilizzare tutte le precedenti formulazioni anche nella modellazione di dati di viscosità complessa, a condizione di sostituire la variabile dγ/dt con la variabile ω.
Ne risulta ad esempio che la relazione di Cross diviene:
[
+( )
− ∞]
− + ∞= η
λω η ω η
η
a n
a 1
0
1 ) (
* (eq.1.96)
e di conseguenza il modulo complesso di un materiale la cui viscosità segue il modello di Cross può essere modellato, almeno in certo intervallo di frequenze, come segue:
( )
[
+( )
− ∞]
− + ⋅ ∞⋅
=
⋅
= ω η
λω η ω η
ω ω η ω
a an
G 0 1
1 )
(
*
* (eq.1.97)