a
F
m
i
(3)La massa inerziale si può in effetti ottenere operativamente misurando l'accelerazione del corpo sot-toposto a una forza nota, essendo l'indice della tendenza di un corpo ad accelerare quando è sotto-posto a una forza, cioè dell'inerzia del corpo. Il problema di utilizzare questa proprietà come
defini-zione è che necessita del concetto pregresso di forza; per evitare il circolo vizioso generato da
Newton che non specificava lo strumento per misurarla spesso la forza viene allora definita legan-dola all'allungamento di una molla che segua la legge di Hooke, definizione chiaramente insoddi-sfacente in quanto particolare e non generale. Inoltre questa definizione ha dato origine a diverse problematiche, legate in particolare al sistema di riferimento nel quale si effettua la misura: il con-cetto di inerzia, come quello di forza, fu infatti storicamente criticato da molti pensatori, tra i quali Berkeley, Ernst Mach, Percy Williams Bridgman e Max Jammer.
Massa gravitazionale
Consideriamo un corpo, per esempio una palla da tennis. Notiamo che se la palla è lasciata libera in aria, essa è attratta verso il basso da una forza, in prima approssimazione costante, chiamata forza peso. Tramite una bilancia a piatti si può notare che corpi diversi, in generale, sono attratti diversa-mente dalla forza peso, cioè pesano diversadiversa-mente. La bilancia a piatti si può usare per dare una de-finizione operativa della massa gravitazionale: si assegna massa unitaria a un oggetto campione e gli altri oggetti hanno una massa pari al numero di campioni necessari a bilanciare i piatti.
Possiamo così parlare di massa gravitazionale passiva che rappresenta una grandezza fisica pro-porzionale all'interazione di ciascun corpo con il campo gravitazionale e massa gravitazionale
at-tiva di un corpo è proporzionale all'intensità del campo gravitazionale da esso generata.
Per definizione, possiamo esprimere la forza peso P come il prodotto della massa gravitazionale mg per un vettore g, chiamato accelerazione di gravità, dipendente dal luogo nel quale si effettua la mi-surazione e le cui unità di misura dipendono da quella della massa gravitazionale:
g
P
5.6
Equivalenza tra massa inerziale e gravitazionale
L'utilizzo di un piano inclinato permette, se l'attrito è trascu-rabile, di osservare meglio gli effetti dell'accelerazione gravi-tazionale.
Gli esperimenti hanno dimostrato che la massa inerziale e quella gravitazionale sono sempre proporzionali con la stessa costante di proporzionalità, entro la precisione delle misure effettuate sinora. I primi esperimenti furono condotti da Gali-leo; si dice comunemente che Galileo ottenne i suoi risultati lasciando cadere oggetti dalla torre di Pisa, ma ciò è
proba-bilmente apocrifo: più verosimilmente studiò il moto di biglie tramite l'uso di piani inclinati.
Supponiamo di avere un oggetto di massa inerziale e gravitazionale rispettivamente mi ed mg. Se la forza peso è la sola forza agente sugli oggetti la seconda legge di Newton ci fornisce:
F m
ia m
gg
(5) da cui:g
m
m
a
i g
(6)Un esperimento di verifica dell'equivalenza tra le due definizioni di massa, una volta fissato il luogo (altrimenti potrebbe variare g) potrebbe consistere, per esempio, nel misurare a per diversi corpi cercando eventuali variazioni; in parole povere, verificare se due corpi qualsiasi, cadendo, accelera-no nello stesso modo Come detto sopra, sperimentalmente accelera-non si riscontraaccelera-no violazioni dell'equiva-lenza, quindi scegliendo la stessa unità di misura per le due masse il rapporto vale esattamente 1:
1
i gm
m
(7)per ogni corpo non solo massa gravitazionale e massa inerziale hanno le stesse unità di misura, ma sono anche espresse dallo stesso numero.
Di conseguenza g è un'accelerazione, e viene chiamata infatti accelerazione di gravità. 5.7
Terzo principio della dinamica (
video)
È importante notare che nell’enunciazione del terzo principio, le forze si presentano sempre a cop-pie. Se un oggetto A esercita una forza F su un oggetto B, allora l'oggetto B eserciterà sull'oggetto A una forza F uguale e contraria o in termini più correnti:
“Ad ogni azione corrisponde una reazione uguale e contraria”
è senza dubbio una delle frasi più celebrate della fisica e del parlare comune seppur non sempre ri-feribile al significato che essa assume in realmente nella fisica.
Va notata una riserva importante: devono essere implicati due oggetti! Esiste una grande quantità di situazioni in cui due forze uguali ed opposte agiscono sullo stesso oggetto, annullandosi a vicen-da cosicché non si avrà alcuna accelerazione (o addirittura nessun moto). Questo non riguarvicen-da il ter-zo principio della dinamica, ma piuttosto un caso di equilibrio tra forze.
Alcuni esempi pratici sono:
Un oggetto pesante è appoggiato sul pavimento, attratto verso il basso dalla Terra con una forza mg . Tuttavia, l'oggetto non si muoverà in quella direzione, perché il pavimento lo impedisce. Ovvia-mente, il pavimento esercita sull'oggetto una forza uguale ed opposta -mg (velocità v=0, accelera-zione a=0).
Esempi
Quando si spara un colpo di pistola, la forza del gas prodotto dalla combustione della polvere da sparo spinge in fuori il proiettile. Per la legge di Newton, la pistola rincula all'indietro.
L'impugnatura di un grosso idrante ha delle maniglie che i pompieri devono afferrare salda-mente, poiché il getto dell'acqua che fuoriesce spinge energicamente il tubo all'indietro.
I getti rotanti per l'annaffiamento dei giardini funzionano sullo stesso principio. In modo simile, il moto in avanti di un razzo è dovuto alla reazione al violento
getto di gas caldo che fuoriesce dalla sua parte posteriore.
Chi ha familiarità con le piccole imbarcazioni sa bene che prima di saltare da una barca verso il molo di attracco, è opportuno le-gare prima la barca al molo e afferrare una presa sul molo prima di saltare. Altrimenti, quando saltate, la barca "magicamente" si allontana dal molo, facendovi fallire il salto, oppure spingendo
la barca fuori dalla vostra portata. Tutto questo è dovuto alla terza legge di Newton: quando le gambe spingono il vostro corpo verso il molo, esse esercitano anche sulla barca una forza ugua-le e in verso opposto, e questa forza spinge via la barca dal molo.
La bicicletta
Un esempio più sottile è fornito dalla bicicletta. È ben no-to che stare in equilibrio su una bicicletta da fermo è quasi impossibile, mentre su una bicicletta in moto è piuttosto faci-le. Perché?
Diversi principi sono all'opera in questo caso. Supponete di sedervi su una bicicletta che stia ferma, e vi accorgete che si sta inclinando verso sinistra. Che cosa fate? La tendenza na-turale è quella di inclinarvi verso destra, per controbilanciare quell'inclinazione mediante il vostro peso. Ma muovendo la
parte superiore del vostro corpo verso destra, secondo la terza legge di Newton, state in realtà spin-gendo la bicicletta ad inclinarsi ancora di più verso sinistra. Forse dovreste inclinarvi verso sinistra per spingere la bicicletta indietro? Potrebbe funzionare per una frazione di secondo, ma a quel punto voi avete perso del tutto l'equilibrio. Non c'è modo! Su una bicicletta in movimento, l'equilibrio è mantenuto mediante un meccanismo completamente diverso. Ruotando leggermente il manubrio a destra o a sinistra, voi impartite una certa rotazione alla ruota anteriore - momento angolare - per ruotare la bicicletta attorno al suo asse maggiore, la direzione di marcia della bicicletta. In questo modo il ciclista può controbilanciare ogni tendenza della bicicletta a cadere da un lato o dall'altro,
senza innescare il circolo vizioso di azione e reazione. Per scoraggiare i ladri, alcune biciclette
montano un antifurto che blocca il manubrio in una posizione fissa. Se la posizione del manubrio è bloccata nella direzione in avanti, la bicicletta può essere condotta a mano da una persona che cammina, ma non può essere montata, poiché il ciclista non potrebbe mantenere l'equilibrio.
5.8
La gravitazione universale
Il modulo della forza con cui interagiscono due corpi qualsiasi dotati di massa è direttamente pro-porzionale al prodotto delle loro masse e inversamente propro-porzionale al quadrato della reciproca di-stanza (o, più precisamente, dalla didi-stanza tra i centri di massa dei due corpi). La direzione lungo cui agisce la forza è quella della retta congiungente i centri di massa. La forza gravitazionale è sem-pre attrattiva. La costante di gravitazione universale, indicata con G, esprime la proporzionalità tra le suddette grandezze ed è la medesima per qualsiasi coppia di corpi dotati di massa, ovunque si trovino nell’universo. Avremo quindi: 2
r
M
m
G
F
(8) dove 2 2 11 10 67259 , 6 Kg m N G (9) mentre m e M rappresentano le masse dei corpi ed r la loro distanza.Osservazione 1
Se una data massa è soggetta all’azione gravitazionale di un certo numero di altre masse, la forza risultante su di essa è semplicemente il vettore risultante dalla somma delle singole forze. Questa proprietà della forza di gravità è chiamata principio di sovrapposizione. La sovrapposizione implica, ad esempio, che la forza gravitazionale risultante che agisce sui nostri corpi in questo momento sia il vettore somma delle forze esercitate dalla Terra, dalla Luna, dal Sole e così via.
Osservazione 2
La legge di gravitazione universale (o legge di Newton) solitamente è enunciata prendendo in con-siderazione corpi puntiformi. Ma come possiamo calcolare, allora, la forza gravitazionale per corpi estesi?
Il metodo generale è quello di suddividere l’oggetto in un insieme di elementi di massa talmente piccola da potersi considerare puntiforme (al limite di massa infinitesima) e poi utilizzare il princi-pio di sovrapposizione per calcolare la forza gravitazionale risultante (normalmente utilizzando il calcolo integrale). Per un oggetto di forma qualsiasi tale calcolo si presenta, solitamente, piuttosto difficile. Per un corpo uniforme di forma sferica il risultato finale è particolarmente semplice. Newton (che inventò anche il metodo per effettuare questi calcoli) dimostrò che la forza risultante esercitata da una sfera su una massa puntiforme è la stessa che si avrebbe se tutta la massa della sfe-ra fosse concentsfe-rata nel suo centro. La stessa cosa accade se si considesfe-rano due corpi sferici. Tale risultato risulta quindi particolarmente importante perché ci permette di trattare i pianeti (e a mag-gior ragione gli oggetti di dimensioni ordinarie) come se fossero oggetti puntiformi, semplificando notevolmente i calcoli necessari per descriverne il moto.
5.9