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Instabilità nel limite di debole diffusione

5. Dinamica di reazione e diffusione su multiplex

5.1 Teoria di Turing su multiplex

5.1.1 Instabilità nel limite di debole diffusione

Cominciamo col considerare il sistema (5.1.1) nel caso in cui , con l’ulteriore condizione che ( ). Riscriviamo, dunque, la (5.1.4) introducendo un peso :

( ) [

( ) ( )] ( ) ( )

117 ( ) ( ( ) ( )) ( ) ( )

Per studiare il sistema (5.1.5) in funzione di , supponiamo che gli autovalori e gli autovettori della matrice ( ) ( ) possano essere sviluppati in potenze di , attorno al valore che assumono per il caso , seguendo, quindi, un approccio di tipo perturbativo.

Siano ( ) gli autovalori della matrice ( ) di autovettori destri ( ) e autovettori sinistri ( ), con . Possiamo allora scrivere la seguente equazione agli autovalori [30]:

( ( ) ( ))( ( ) ( ) ) ( ( ) ( ) )( ( ) ( ) ) ( )

Ricordando che , deriviamo, inizialmente, la correzione al primo ordine perturbativo in per gli autovalori e agli autovettori imperturbati. A tal fine, riscriviamo la (5.1.6) trascurando tutti i termini superiori a quello lineare in :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Ricordando che ( ) ( ) ( ) ( ) per definizione, abbiamo:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Moltiplichiamo la (5.1.7) a sinistra per ( ) , quindi, utilizzando la notazione bra-ket ⟨ | ⟩ per indicare il prodotto righe per colonne, si ha:

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Ricordando che ( ) ( ) ( ) ( ) , la (5.1.8) si può scrivere come:

⟨ ( )| ( ) ( )⟩ ( )⟨ ( )| ( )⟩ ( )

da cui segue che:

( ) ⟨ ( )

| ( ) ( )⟩

⟨ ( )| ( )⟩ ( )

Inserendo nella (5.1.10) l’espressione esplicita di ( ) si ha:

( ) ( ) ( ( )

( )) ( ( ) ( )) ( ( ) ( )) ( ( ) ( ))

( ) ( ) ( )

dove abbiamo scritto ( ) e ( ) come segue:

( ) ( ( ) ( ) ( ) ( ) ) ( ) ( ( ) ( ) ( ) ( ) )

I dettagli per la derivazione della (5.1.11) sono riportati in Appendice E1.

Dalla (5.1.11) si vede esplicitamente che la correzione ( ) dipende da e da : al variare di tali parametri, in linea di principio, è possibile controllare l’instabilità di Turing su un supporto di tipo multiplex.

Per quanto riguarda le correzioni ( ), invece, utilizziamo la seguente espansione:

( )

( ) ( )

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La (5.1.12) è sempre lecita, dato che l’insieme di autovettori destri { ( )}

costituisce una base completa per lo spazio su cui stiamo operando. Abbiamo, inoltre, escluso il termine per preservare la seguente condizione di ortogonalità:

⟨ ( )| ( )⟩ ⟨ ( )| ( )⟩

Inserendo la (5.1.12) nella (5.1.7) si perviene a:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∑ ( ) ( ) ( ) ( )

Sfruttando, come in precedenza, la definizione di ( ) quale autovettore di ( ) di autovalore ( ), e moltiplicando a sinistra per ( ) , si ha:

( )

( ( ) ( )) ⟨ ( )| ( )⟩ ⟨ ( )| ( ) ( )⟩ ( )⟨ ( )| ( )⟩

Utilizzando la condizione di ortogonalità tra gli autovettori destri e quelli sinistri, ovvero che: ⟨ ( )| ( )⟩ se , otteniamo:

( ) ⟨ ( )| ( ) ( )⟩ ( ( ) ( )) ⟨ ( )| ( )⟩ ( )

Per riuscire ad approssimare al meglio i valori esatti ( ) e ( ), sarebbe utile stimare le correzioni a tutti gli ordini perturbativi. A tale scopo, ricavando, come fatto per le (5.1.13) e (5.1.10), l’espressione esplicita per le correzioni al secondo ordine perturbativo in , si può notare l’esistenza di una gerarchia iterativa di relazioni, che generalizziamo nella seguente espressione per l’ordine -esimo:

120 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ∑ ( ) ( ) ( ) ∑ ( ) ( ) ( ( ) ( )) ( ) ( ) ( ) ( )

I dettagli analitici della derivazione delle (5.1.14) e (5.1.15) sono riportati in Appendice E2 [30].

Come abbiamo già discusso, la condizione necessaria per avere pattern di Turing è che le perturbazioni diano origine ad un’instabilità a tempi corti. In formule questa condizione si traduce nella richiesta che esistano un numero finito di autovalori ( ) positivi.

Per ottenere delle condizione che assicurino l’insorgenza dei pattern di tipo Turing, studiamo l’autovalore massimo ( ), ed imponiamo che sia positivo.

Consideriamo, quindi, in dettaglio, due situazioni particolari nelle quali studiare il segno di ( ), cercando di dedurne alcune conclusioni di carattere generale:

1) assenza di pattern per il sistema globale con ; 2) presenza di pattern per il sistema globale con .

Assenza di pattern per il sistema globale con

Vediamo, preliminarmente, cosa rappresenta l’equazione (5.1.5), che descrive l’evoluzione dinamica della perturbazione a tempi corti, quando .

È possibile dimostrare, come esposto nell’Appendice E3, che il sistema (5.1.5) con corrisponde ad un sistema di due grafi disaccoppiati, nei quali due

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specie in mutua interazione sono libere di diffondere. Il problema, dunque, si riduce a due problemi indipendenti, entrambi equivalenti a quello studiato nel paragrafo 4.1.

Supponiamo, quindi, che il sistema non possa sviluppare instabilità di Turing, né sul grafo , né sul grafo , presi singolarmente. Inseriamo, poi, una piccola diffusione intra-grafo, pesata da un fattore . Ciò che andremo ad investigare è la possibilità, per il sistema globale, di generare una instabilità di tipo Turing, grazie al debole accoppiamento inter-grafo, mediato dal piccolo parametro [9].

Per prima cosa, in analogia con quanto fatto in precedenza, scegliamo il Brusselatore come modello di riferimento per descrivere la dinamica locale di interazione fra specie. Quindi al variare dei coefficienti di diffusione e , calcoliamo l’autovalore massimo ( ) della matrice ( ) ( ) e

confrontiamolo con il risultato ottenuto dalla (5.1.14) per , ovvero fino al secondo ordine perturbativo. In questo modo possiamo anche avere un’idea sull’ordine di approssimazione necessario per stimare al meglio l’autovalore massimo, così come determinato da un’integrazione numerica diretta.

Figura 5.1 Andamento di ( ) in funzione di .I coefficienti di diffusioni scelti sono:

, mentre i parametri del modello selezionati sono: La linea continua rossa rappresenta l’interpolazione delle correzioni al I ordine , mentre quella blu interpola le correzioni al II ordine ; i

simboli neri rappresentano le soluzioni esatte

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Dalla figura 5.1 si evince che il sistema globale può sviluppare una instabilità di Turing quando il coefficiente di diffusione intra-grafo è più grande di una certa soglia. In linea di principio è possibile ottenere lo stesso effetto per una scelta dei parametri che preveda una soglia grande per . In questo caso l’approssimazione analitica richiederebbe un significativo numero di correzioni, mentre è sempre possibile procedere con la determinazione numerica di ( ).

Possiamo, allora, costruire numericamente, risolvendo la (5.1.5), la regione di instabilità di Turing del sistema di reazione e diffusione su multiplex, ovvero la regione per cui si ha ( ) (utilizzando sempre il Brusselatore come modello dinamico di riferimento per descrivere l’interazione fra specie). In figura 5.2 è mostrata tale regione di instabilità per una particolare scelta dei coefficienti di diffusione:

Figura 5.2 Le curve continue delimitano la regione di instabilità per cui, in almeno uno dei grafi,

con , il sistema può sviluppare pattern di Turing. I simboli (asterischi) individuano la regione del piano ( )per cui : i simboli verdi sono quelli che si otterrebbero senza diffusione intra-grafo; i simboli celesti rappresentano i punti di instabilità che il sistema “guadagna” quando permettiamo alle specie di diffondere anche tra i grafi. I valori dei parametri del sistema scelti in questo caso sono: .

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Come risulta chiaro dall’analisi in figura 5.2, esiste una particolare scelta dei coefficienti di diffusione intra-grafo che permette al sistema di allargare la propria regione di instabilità, rispetto a quella che avrebbe se non vi fossero connessioni tra i due grafi del multiplex.

Scegliamo, adesso, dei valori di e di per cui ci troviamo nella zona celeste, ovvero nella regione di instabilità propria di un multiplex, e mostriamo la relazione di dispersione e i pattern di Turing che si ottengono per tale scelta di parametri.

Dalla figura si nota che, mentre le relazioni di dispersione relative al sistema in assenza di diffusione intra-grafo, ovvero la curva rossa per e quella blu per

Figura 5.3 In figura sono mostrate, sullo stesso grafico, in rosso, la relazione di dispersione del sistema che diffonde solo

sul grafo con , in blu, quella relativa al sistema che diffonde solo sul grafo con , e in verde gli autovalori

( ), ovvero quelli che caratterizzano il problema dell’instabilità su multiplex con . Sull’asse delle è riportato

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sono sempre negative, gli autovalori del sistema globale con , possono invece assumere un valore positivo.

In figura 5.4 è rappresentata la concentrazione asintotica della specie in funzione dei nodi, così come ottenuta integrando numericamente il sistema di equazioni (5.1.1) tramite il metodo di Runge-Kutta fino al IV ordine. I primi 100 si riferiscono al grafo , mentre i secondi 100 nodi al grafo . È evidente come il sistema sviluppi pattern auto-organizzati, per effetto dell’instabilità che si produce a causa dell’accoppiamento intra-grafo.

Presenza di pattern per il sistema globale con

Abbiamo già discusso il significato del limite , ovvero il caso in cui i grafi sono disaccoppiati. Immaginiamo, dunque, che in tale limite il sistema di

Figura 5.4 Pattern asintotici del sistema globale con . Sono stati utilizzati due grafi small-

world con probabilità di reindirizzamento pari rispettivamente a 0.4 e a 0.6, con 100 nodi ciascuno. In figura sono riportati tutti i nodi del sistema: da 1 a 100 per il grafo e da 101 a 200 per .

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reazione e diffusione di due specie possa dar luogo ad una instabilità di Turing in almeno uno dei due grafi e , nel senso studiato nel paragrafo 4.1.

A partire da questa condizione, supponiamo di introdurre una diffusione intra- grafo, ovvero , e vediamo come cambia il comportamento dinamico del sistema per effetto di tale perturbazione. In particolare siamo interessati alla possibilità che la diffusione tra grafi introdotta possa inibire l’insorgenza di pattern di Turing [9].

Come nel caso precedente, scegliamo il Brusselatore come modello di riferimento per descrivere la dinamica locale delle due specie interagenti. Troviamo le correzioni in all’autovalore massimo ( ), risolvendo numericamente le equazioni di consistenza ottenute per via analitica (5.1.14), al variare dei coefficienti di diffusione e , supposti uguali, fino al terzo ordine in . Confrontiamo gli autovalori così ottenuti con quelli derivanti dalla soluzione esatta della (5.1.5). In figura (5.5) mostriamo il risultato di tale calcolo:

Figura 5.5 Andamento di ( ) in funzione di . I coefficienti di diffusioni scelti sono:

, mentre i parametri del modello selezionati sono:

. La linea continua rossa rappresenta l’interpolazione delle correzioni al I ordine , mentre quella verde interpola le correzioni al III ordine ; i simboli neri rappresentano le soluzioni esatte

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Dalla figura 5.5 si evince che il sistema globale può perdere la propria capacità di consentire instabilità di Turing se perturbato a mezzo di un termine di diffusione intra-grafo. Tale effetto avviene per tutti i valori di maggiori di una certa soglia. Come nel caso precedente, i risultati mostrati sfruttano l’ipotesi di piccola diffusione, nel senso che stiamo scegliendo valori di e di circa un ordine di grandezza inferiore rispetto a quelli selezionati per e . Si tratta di una condizione che consente di elaborare una stima per via perturbativa.

A partire dalla (5.1.5) possiamo costruire la regione di instabilità di Turing del sistema di reazione e diffusione su multiplex, ovvero la regione per cui ( ) . Nella figura seguente tale regione è tracciata per una particolare scelta dei coefficienti di diffusione.

Figura 5.6 Le curve continue indicano la regione di instabilità per cui, in almeno uno dei grafi, con , il sistema

può sviluppare pattern di Turing. I simboli (asterischi) verdi indicano i punti di e per cui in presenza di diffusione intra-grafo ( ); i simboli blu sono i punti di instabilità che il sistema “perde” quando permettiamo alle specie di diffondere anche tra i grafi, ovvero per cui ( ) . I valori dei parametri del sistema scelti in questo

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Per una opportuna scelta di parametri , e limitatamente ad una regione finita nel piano ( ), il sistema perde la capacità di generare instabilità ed il punto fisso omogeneo è, dunque, stabile.

Per avere un’idea della nuova relazione di dispersione scegliamo dei valori di e di per cui il sistema si trova nella zona blu, ovvero in corrispondenza di uno dei punti per cui il sistema torna ad essere stabile per .

Dalla figura 5.3 si vede chiaramente che per il sistema di equazioni (5.1.5) ammette instabilità di Turing, almeno per il grafo (punti blu in figura). A causa delle correzioni dovute alla diffusione intra-grafo non è più possibile per il

Figura 5.7 In figura sono mostrate, sullo stesso grafico, in rosso, la relazione di dispersione del sistema

che diffonde solo sul grafo con , in blu, quella relativa al sistema che diffonde solo sul grafo con , e in verde gli autovalori ( ), per il sistema globale con . Sull’asse delle è riportato l’opposto della parte reale degli autovalori dei due grafi ( ) per , e ( ) per .

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sistema generare pattern di tipo Turing (asterischi verdi in figura), dato che

( ) .

Concludendo, possiamo dire che, in entrambi i casi studiati, è sufficiente un piccolo valore dei coefficienti di diffusione intra-grafo per generare nuovi fenomeni, ora di tipo distruttivo, ora di tipo costruttivo, peculiari di un sistema di reazione e diffusione di due specie su un multiplex.

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