Modelli matematici PVA Matrici di transizione

Il modello impostato in maniera deterministica e indipendente dalla densità ha fornito per la popolazione di Foce di Pianza delle indicazioni univoche sia con la suddivisione in 3 che con quella in 4 stadi di accrescimento:

1. λ <1 quindi popolazione in leggero declino perché i valori di lambda sono abbastanza vicini ad 1 (0.9848 con 3 stadi di accrescimento e 0.9870 con 4).

2. Il valore riproduttivo indica che la classe che contribuisce maggiormente alla crescita della popolazione è quella dei vegetativi la suddivisione in 4 stadi evidenzia che all’interno dei vegetativi è lo stadio V1, cioè quello con diametri della rosetta basale da 3,7 cm a 6,7 cm che ha il maggior valore riproduttivo.

3. La distribuzione stabile, cioè quella distribuzione percentuale degli individui nelle classi che si raggiunge se la popolazione si stabilizza su un certo tasso finito di crescita, non si discosta molto dalla struttura di popolazione rilevata nel 2011.

4. Il grafico di ciclo vitale mette in evidenza le transizioni tra le varie classi, lo spessore del tratto che unisce due classi è proporzionato all’entità della transizione, così come la dimensione dell’ovale che rappresenta ogni classe è proporzionata all’entità di quella classe. Tutti e due i grafici prodotti per Foce di Pianza mettono in rilievo l’importanza della classe dei vegetativi.

5. La proiezione della popolazione, ottenuta moltiplicando il vettore della popolazione attuale [P; V; R] per la matrice di transizione, mostra un’oscillazione nelle varie classi finché non si raggiunge la distribuzione stabile e il decremento prosegue in maniera costante.

6. Le matrici di Sensitività (S) indicano che lo stadio di accrescimento che è più sensibile ad un cambiamento assoluto è a22 in entrambe le suddivisioni corrispondente ai vegetativi oppure ai ai piccoli vegetativi (V1) nel caso di 4 stadi.

7. Le matrici di Elasticità (E) indicano che lo stadio di accrescimento che è più sensibile ad un cambiamento proporzionale è a22 in entrambe le suddivisioni corrispondente ai vegetativi oppure ai piccoli vegetativi (V1) nel caso di 4 stadi.

Lo stesso modello impostato in maniera deterministica e indipendente dalla densità ha fornito per la popolazione dello Spigolo Est del M. Sagro delle indicazioni discordanti tra la suddivisione in 3 e quella in 4 stadi di accrescimento:

1. λ <1 quindi popolazione in forte declino perché i valori di lambda sono decisamente minori di 1 (0.81 con 3 stadi di accrescimento e 0.7898 con 4).

2. Il valore riproduttivo indica che la classe che contribuisce maggiormente alla crescita della popolazione è quella delle plantule; la suddivisione in 4 stadi evidenzia invece che la classe dei riproduttivi ha il maggior valore. I vegetativi non sono la classe con il maggior valore perché hanno un tasso di mortalità molto elevato (cfr. par. 6.5) dovuto principalmente al brucamento e al calpestio delle capre.

3. La distribuzione stabile, cioè quella distribuzione percentuale degli individui nelle classi che si raggiunge se la popolazione si stabilizza su un certo tasso finito di crescita, non si discosta molto dalla struttura di popolazione rilevata nel 2011 nel caso della suddivisione in 3 stadi, cosa che invece accade nella suddivisione in 4 stadi.

4. Il grafico di ciclo vitale mette in evidenza le transizioni tra le varie classi, lo spessore del tratto che unisce due classi è proporzionato all’entità della transizione, così come la dimensione dell’ovale che rappresenta ogni classe è proporzionata all’entità di quella classe. Tutti e due i grafici prodotti per lo Spigolo Est del M. Sagro mettono in rilievo l’importanza della classe dei vegetativi e l’assenza delle plantule.

5. La proiezione della popolazione, ottenuta moltiplicando il vettore della popolazione attuale [P; V; R] per la matrice di transizione, mostra un decremento deciso e costante.

6. Le matrici di Sensitività (S) indicano che lo stadio di accrescimento che è più sensibile ad un cambiamento assoluto è a21 nella suddivisione in 3 stadi e a41 nel caso di 4 stadi.

Questi due dati sono un chiaro esempio che le indicazioni delle matrici di Sensitività non vanno prese alla lettera ma vanno sapute interpretare alla luce della biologia della specie in esame: a21 è una transizione impossibile da realizzarsi perché indica una regressione dei vegetativi che diventano plantule; a41 indica una transizione da piccoli vegetativi (V1) a riproduttivi che in natura avviene con una frequenza estremamente piccola (0.0048 per ogni individuo) e che non può essere prevista nel caso di una introduzione.

7. Le matrici di Elasticità (E) indicano che lo stadio di accrescimento che è molto più sensibile ad un cambiamento proporzionale è a22 in entrambe le suddivisioni corrispondente ai vegetativi oppure ai piccoli vegetativi (V1) nel caso di 4 stadi.

Le simulazioni con MATLAB^® sono state effettuate utilizzando solo la suddivisione in 3 stadi di accrescimento e quindi le matrici 3 x 3 perché, dal punto di vista prettamente matematico, sono più precise ed affidabili in quanto le matrici 4 x 4 in questo caso incorporano un piccolo errore dovuto all’incertezza sull’origine dei nuovi ramets, cioè se si originino dai piccoli (V1) o grandi vegetativi (V2).

I grafici prodotti dal programma “RandDraw” mostrano che, se le condizioni ambientali rimangono costanti, la popolazione di Foce di Pianza subirà un lento decremento dimezzandosi in 46 anni; diversamente la popolazione del Sagro, affetta da un decremento molto più marcato raggiungerà la soglia di quasi-estinzione in 12 anni e l’estinzione in 54 anni. Queste proiezioni non tengono conto della stocasticità ambientale, della stocasticità demografica che aumenta di importanza al decrescere della popolazione e della ridotta

variabilità genetica che ugualmente fa sentire i propri effetti (Allee, inbreeding) mano a mano che il numero di individui decresce.

I due metodi per incorporare nei modelli la stocasticità ambientale, simulazione stocastica e approssimazione di Tuljapurkar hanno prodotto due valori di λs molto simili tra loro e simili al valore deterministico di lambda. I grafici generati dai programmi “Simext” e “Box 7.6” sono sostanzialmente identici nella fino a 140 anni con lo 0% di probabilità di quasi-estinzione, poi a 200 anni le probabilità di quasi-estinzione differiscono molto e sono rispettivamente l’11.8% e il 22.54% questa differenza è dovuta alla piccola divergenza nei valori di λs

proiettata per un tempo molto lungo (200 anni).

Tassi vitali

La PVA effettuata utilizzando i tassi vitali sembra fornire dati sostanzialmente differenti da quelli forniti utilizzando le matrici di transizione, infatti le probabilità di quasi-estinzione risultano del 22.4% in 100 anni. L’affidabilità di questi dati è condizionata però dalla mancanza della matrice di cross-correlazione, ottenibile con 4 anni di dati. Resta comunque valido il tasso finito di crescita deterministico ricavato dai tassi vitali (λ=0.9821).