Le opzioni che abbiamo considerato nora sono opzioni classiche dette op-zioni vanilla o opop-zioni standard, per le quali il pagamento al momento dell'esercizio è:
• max {S − X, 0} per le call
• max {X − S, 0} p er le put.
Ma sul mercato sono state immesse anche numerose tipologie di opzioni die-renti da quelle classiche, dette opzioni esotiche, che rappresentano le opzioni di seconda generazione.
Queste dieriscono dalle opzioni standard essenzialmente per il tipo di pagamen-to. Elenchiamone rapidamente le principali:
• opzioni composte, ossia opzioni su opzioni. Il sottostante è a sua volta un'opzione; ci sono quindi due prezzi di esercizio e due date di esercizio, relativi all'opzione composta e all'opzione sottostante;
• opzioni con barriera. Ci sono diversi tipi di tali opzioni. Possono essere down-and-in o up-and-in. Diventano attive e si comportano come un'op-zione europea standard solo quando il valore S del sottostante cade al di sotto (o al di sopra) di un limite inferiore (o superiore) prespeci cato S, detto barriera; se durante la vita dell'opzione ciò non accade, l'opzione si esaurisce ed il pagamento è un rimborso sso. Ci sono poi le opzioni down-and-out e up-down-and-out che sono soggette a cancellazione. Sono identiche alle opzioni europee, con la caratteristica che vengono annullate immedia-tamente se il prezzo azionario cade al di sotto (o al di sopra) di un limite inferiore (o superiore) prespeci cato S, detto barriera; il contratto
speci- ca anche il valore del rimborso che viene ricevuto quando viene raggiunta la barriera e può dipendere dalla data in cui ciò avviene;
• opzioni a scelta. Il possessore alla scadenza può scegliere se l'opzione è una call o una put. Nella data pre ssata per la scelta, il valore dell'opzione è max{c, p} dove c è il valore della call sottostante e p è il valore della put sottostante. In genere per queste opzioni il prezzo è elevato;
• opzioni retrospettive o Lookback. Sono opzioni il cui valore dipende dal prezzo minimo o massimo raggiunto dall'azione sottostante durante la vita dell'opzione. Per una call oating il pagamento alla scadenza è dato da max {S − Smin, 0} e per una put oating da max {Smax − S, 0}, mentre per una call xed il pagamento alla scadenza è dato da max {Smax − X, 0}
e per una put xed da max {X − Smin, 0};
2.5. OPZIONI ESOTICHE. 87
• opzioni scritte su più attività. Sono opzioni il cui sottostante è costitui-to da più attività ossia da più ticostitui-toli. Quescostitui-to paniere consente di diversi care il rischio dei singoli titoli componenti;
• opzioni asiatiche. Sono opzioni il cui pagamento dipende dalla media dei prezzi del sottostante: Smedio. Tale media può essere considerata come prezzo nale del sottostante o come prezzo di esercizio. Nel primo caso il pay-o è dato da
max {Smedio − X, 0} per una call max {X − Smedio, 0} per una put, mentre nel secondo caso è dato da
max {S − Smedio, 0} per una call max {Smedio − S, 0} per una put.
La media Smedio può essere la media aritmetica o la media integrale dei valori di S;
• opzioni Bermuda. Possono essere esercitate prima della scadenza, ma solo a date pre ssate.
Capitolo 3
Richiami di teoria della probabilità
3.1 Spazio di probabilità.
Come abbiamo osservato nell'introduzione, per formulare modelli matemati-ci in ambito nanziario occorre ricorrere al calcolo stocastico che è basato sulla teoria della probabilità.
Per tale motivo, scopo di questo capitolo è di richiamare alcuni concetti fonda-mentali di tale teoria.
Per elaborare modelli probabilistici bisogna prima di tutto ssare uno spazio di probabilità.
Al ne di darne una de nizione rigorosa, richiamiamo alcune de nizioni prelimi-nari.
De nizione 3.1. La coppia (Ω, A) dove Ω è un insieme diverso dall'insieme vuoto e A è una σ−algebra di Ω è detta spazio misurabile ed ogni sottoinsieme di Ω che sta in A è detto insieme misurabile.
Per la de nizione di algebra, σ−algebra ed altre de nizioni correlate si ri-manda all'Appendice 2 dell'ultimo Capitolo.
De nizione 3.2. Dato un insieme Ω 6= ∅ e una sua σ−algebra A, chiamia-mo misura (σ−additiva) per l'insieme Ω un'applicazione M a valori reali non negativi de nita su A che gode delle due proprietà seguenti:
• M (∅) = 0
• se {A}i=1,2,... è un'in nità numerabile di insiemi Ai ∈ A per ogni i ∈ N disgiunti a due a due si ha
M (
+∞
[
i=1
Ai) =
+∞
X
i=1
M (Ai).
89
La terna (Ω, A, M) è detta spazio misura.
Un esempio ben noto di spazio misura è la terna (Rn, L, m) dove L è la σ −algebra degli insiemi di Rn misurabili secondo Lebesgue e m è la misura di Lebesgue.
Dalla de nizione data di misura discendono diverse proprietà enunciate e dimo-strate nell'Apenndice 2 dell'ultimo capitolo.
Siamo ora in grado di dare la de nizione di spazio di probabilità.
De nizione 3.3. De niamo spazio di probabilità lo spazio misura (Ω, A, P ) dove Ω è detto insieme degli stati o anche spazio campione
A è una σ−algebra di sottoinsiemi di Ω, detti eventi
P è una misura de nita su A, detta misura di probabilità, tale che P (Ω) = 1.
Osserviamo che per una proprietà della misura, otteniamo che:
∀A ∈ A P (A) ≤ P (Ω) = 1.
Dunque
P : A −→ [0, 1].
Da un punto di vista " sico", gli elementi ω di Ω possono rappresentare lo stato di un fenomeno (come per esempio la posizione di una particella nello spazio geometrico o il prezzo di un titolo azionario) oppure il risultato di un esperimento. Quindi Ω è l'insieme di tutti i possibili stati o di tutti i possibili risultati.
Analogamente la de nizione matematica di evento corrisponde, da un punto di vista " sico", alla nozione intuitiva di evento che si forma in modo naturale in tutti tutti noi quando osserviamo un dato fenomeno o un dato esperimento.
De nizione 3.4. Un evento A è detto trascurabile se P (A) = 0, mentre è detto certo se P (A) = 1.
Dalla de nizione di spazio di probabilità e dalle proprietà di una misura segue immediatamente
Proposizione 3.1. Sia A un evento; posto AC = C(A), si ha:
P (AC) = 1 − P (A).
Mostriamo per completezza due semplici esempi.
Esempio 3.1.
3.1. SPAZIO DI PROBABILITÀ. 91
Consideriamo il caso del lancio in successione per due volte di una moneta.
Allora lo spazio degli stati Ω è dato da
Ω = {T T, T C, CT, CC},
dove T T sta ad indicare l'uscita di due teste, T C l'uscita di una testa e di una croce nell'ordine e così via.
Poiché Ω è formato da un numero nito di elementi, possiamo prendere come σ−algebra A il suo insieme delle parti, P(Ω).
L'evento intuitivo: è uscita almeno una testa è rappresentato matematicamente dall'insieme:
A1 = {T T, T C, CT }.
Analogamente
A2 = non è uscita nessuna testa = {CC};
A3 = è uscita testa al primo lancio = {T T, T C};
A4 = è uscita testa o croce= Ω;
A5 = non sono uscite né testa né croce = ∅.
A1, A2, A3, A4, A5 sono tutti eventi.
Se assumiamo che tutti i sottoinsiemi di Ω aventi come unico elemento un singolo stato abbiano uguale probabilità, ossia che la moneta sia equa (non truccata), deduciamo:
P ({T T }) = P ({T C}) = P ({CT }) = P ({CC}) = 1 4.
Vediamo ora di determinare la probabilità dei cinque eventi considerati prece-dentemente.
Otteniamo:
P (A1) = P ({T T }) + P ({T C}) + P ({CT }) = 3 4; P (A2) = P ({CC}) = 1
4; P (A3) = P ({T T }) + P ({T C}) = 1
2; P (A4) = P (Ω) = 1;
P (A5) = P (∅) = 0.
L'insieme Ω può avere anche in niti elementi, come mostriamo nell'esempio suc-cessivo.
Esempio 3.2. Esempio del bersaglio
Supponiamo di dover colpire, ad esempio con una freccia, un bersaglio rappre-sentato da un insieme piano Ω. Il veri carsi di uno stato ( o risultato) ω si ha quando la freccia colpisce un determinato punto del bersaglio; dunque gli stati si identi cano con i punti di Ω. Un evento A è un sottoinsieme di Ω e si interpreta nel modo seguente: è stato colpito un qualche punto appartenente al sottoinsie-me A di Ω.
Per dare rigore matematico alle nostre argomentazioni supponiamo che Ω sia una regione piana misurabile secondo Lesbegue e assumiamo come σ−algebra A la famiglia di tutti i sottoinsiemi di Ω misurabili secondo Lesbegue.
La misura di probabilità è de nita nel modo seguente:
∀ A ∈ A P (A) = m(A)
m(Ω), m =misura di Lebesgue.