Processi stocastici: generalità

Sia (Ω, A, P ) uno spazio di probabilità e sia Λ un insieme non vuoto, i cui elementi sono gli istanti che vengono presi in considerazione ai ni dello studio del fenomeno evolutivo.

In genere Λ è l'intervallo seminnito [0, +∞) o l'intervallo chiuso e limitato [0, T ] o un sottoinsieme numerabile di R o anche N.

Denizione 4.4. Un processo stocastico è un'applicazione X : Λ × Ω −→ R (o Rⁿ) tale che ∀ t ssato ∈ Λ

X(t, ·) : Ω −→ R (o Rⁿ) è una variabile casuale sullo spazio di probabilità (Ω, A, P ).

Denizione 4.5. Deniamo realizzazione o traiettoria o funzione campione del processo stocastico relativa allo stato ω ssato in Ω la funzione del tempo

X(·, ω) : Λ −→ R (o Rⁿ).

Dunque un processo stocastico si può vedere come una famiglia di variabili casuali dipendente dal parametro reale t che varia in Λ o come l'insieme di tutte le traiettorie (o realizzazioni o funzioni campione) relative agli stati, che sono funzioni del tempo denite in Λ.

Se Λ è un'innità numerabile di istanti {ti}_i=1,2.. o se Λ = N si parla di pro-cesso stocastico discreto o di successione di variabili casuali.

Nel seguito useremo la notazione Xt(·) in luogo di X(t, ·) e dunque scriveremo X_t(ω) in luogo di X(t, ω).

Se riguardiamo un processo stocastico come una famiglia di variabili casuali di-pendente dal parametro t, lo dovremmo denotare nel modo seguente: {Xt}_t∈Λ, ma noi spesso per brevità scriveremo semplicemente Xt.

Nel seguito ci limiteremo a considerare processi stocastici a valori reali e spesso per noi Λ sarà dato da [0, T ] o da [0, +∞).

Per poter fare delle previsioni future in un dato istante t su un processo sto-castico, si deve disporre di un certo insieme di informazioni It al tempo t. Dal

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punto di vista matematico, per quanto abbiamo visto nel Capitolo 3, le strutture informative It sono sotto σ−algebre di A.

Dunque, se si vogliono determinare i valori attesi futuri di un processo stocastico al ne di prendere una decisione, si devono specicare le informazioni correnti di cui si dispone. Nei modelli nanziari si assume che i prezzi delle azioni, passati e correnti, siano noti agli investitori e che questi non posseggano informazioni future.

In generale, quando si studiano processi stocastici, si suppone di avere a di-sposizione una struttura informativa che varia a trascorrere del tempo: {It}_t∈Λ, ossia una famiglia di strutture informative dipendente dal parametro t.

Col passare del tempo, le informazioni utilizzate per fare previsioni su un pro-cesso stocastico aumentano, se si assume che le informazioni passate non vadano perdute. Per t0 < t₁ < ... < t_i < t_i+1 < ... si ha perciò una successione crescente di σ−algebre It0 ⊂ I_t1 ⊂ ... ⊂ I_ti ⊂ I_ti+1 ⊂ ....

Denizione 4.6. Deniamo ltrazione su (Ω, A, P ) una famiglia crescente {I_t}_{t ≥ 0} di sotto σ−algebre di A, cioè tale che Is ⊂ I_t se s < t.

Sia dato il processo stocastico Xt con t ≥ 0 cui è associata la ltrazione {It}t ≥ 0 che fornisce le informazioni relative al processo istante per istante. Se siamo al tempo t e se, in base alle informazioni che abbiamo al tempo t, vo-gliamo fare delle previsioni future sul processo stocastico, ad esempio relative al tempo T > t, ricorreremo all'aspettativa condizionata di XT data la struttura informativa It, ossia

E[X_T 

I_t], t < T

e potremo sfruttarne, se necessario, le proprietà viste nel capitolo precedente.

Denizione 4.7. Si dice che il processo stocastico Xt è adattato alla ltrazione {I_t}_t∈Λ se per ogni t ∈ Λ la variabile casuale Xt è misurabile rispetto a It.

Ricordiamo che la variabile casuale Xt è misurabile rispetto a It se tutti gli insiemi {ω ∈ Ω : Xt(ω) ≤ x} con x ∈ R sono in It.

Spesso, dato il processo stocastico Xt, la scelta più semplice di ltrazione, rispetto alla quale Xt è adattato, è la ltrazione {It}_t∈Λ tale che:

I_t= σ({X_s; 0 ≤ s ≤ t}), t ∈ Λ,

ossia Itè la più piccola σ−algebra rispetto alla quale tutti gli Xs, con 0 ≤ s ≤ t, sono misurabili. Dunque è la più piccola σ−algebra contenente tutti gli insiemi {ω ∈ Ω : X_s(ω) ≤ x} al variare di x in R ed al variare di s in [0, t]. In tal caso si parla di ltrazione naturale.

Disporre di questi insiemi informativi signica che tutte le informazioni che si hanno al tempo t su ogni stato ω sono quelle che si ottengono dai valori Xs(ω) con s ≤ t.

Se Xtè il prezzo di un'azione, signica assumere che il prezzo al tempo t si forma sulla base dell'andamento che si osserva sul mercato no al tempo t.

Denizione 4.8. Dato lo spazio di probabilità (Ω, A, P ), sia Λ un intervallo reale del tipo [0, T ] o [0, +∞]. Il processo stocastico X : Λ × Ω −→ R (o Rⁿ) si dice misurabile se è misurabile rispetto alla σ-algebra B(Λ) ⊗ A dove B(Λ) è la σ-algebra di Borel dell'intervallo Λ.

Dunque la denizione di processo stocastico misurabile richiede non solo che X_t sia variabile casuale per ogni t ∈ Λ, ma la condizione più forte di misurabilità nella coppia di variabili (t, ω).

Denizione 4.9. Un processo stocastico Xt si dice continuo a destra o a sini-stra se quasi tutte le sue traiettorie sono funzioni continue del tempo a desini-stra o a sinistra. Diciamo poi che Xt è continuo se lo sono quasi tutte le sue traiettorie.

Denizione 4.10. Siano Xt, Y_tdue processi stocastici deniti sullo stesso spazio di probabilità (Ω, A, P ) e per ogni t ∈ Λ.

Diciamo che Xt è una modicazione o versione di Yt se per ogni ssato t ∈ Λ si ha:

Xt = Yt quasi sicuramente.

Diciamo che Xt, Y_t sono indistinguibili se per quasi tutti gli ω ∈ Ω si ha:

Xt(ω) = Yt(ω) ∀ t ∈ Λ.

Dalle denizioni date discende che per due processi indistinguibili quasi tut-te le traiettorie coincidono, mentre se due processi sono l'uno la modicazione dell'altro possono avere traiettorie molto diverse.

E' chiaro che se Xt, Y_t sono indistinguibili allora sono modicazioni uno dell'al-tro, ma non è detto il viceversa. Tuttavia nel caso di processi stocastici continui si può provare che le due nozioni coincidono.

Facciamo un esempio di due processi stocastici che sono modicazioni uno del-l'altro, ma non sono indistinguibili.

Consideriamo lo spazio di probabilità ([0, 1], B([0, 1]), m) con m misura di Lebesgue ed i due processi stocastici Xt, Y_t così deniti ∀t ∈ [0, 1]:

X_t(ω) = 0 ∀ω ∈ [0, 1], Y_t(ω) = 0 ∀ω ∈ [0, 1] 6= t, Y_t(ω) = 1 se ω = t.