Processi di Wiener e Moti Browniani

I processi di Wiener giocano un ruolo importante nella descrizione, in tempo continuo, dell'andamento normale dei prezzi dei titoli di un mercato nanzia-rio. Con l'aggettivo normale intendiamo escludere eventi rari, come un crollo

nanziario.

Tali processi traggono il loro nome dal matematico Norbert Wiener che nel 1923 fornì una rappresentazione del moto Browniano, cioè del moto in un uido di particelle molto piccole, come ad esempio particelle di polline. A causa delle

in-nite collisioni con atomi è impossibile osservarne le traiettorie esatte. Mediante un microscopio è solo possibile avere la conferma che il loro moto è totalmente caotico. Il termine "Browniano" deriva dal nome del botanico Robert Brown che scoprì questo tipo di moto nel 1827. Albert Einstein nel 1905 osservò che per fornire un modello matematico del moto Browniano occorreva ricorrere al cal-colo delle probabilità, ma la denitiva formalizzazione matematica di tale moto fu data da Wiener nel 1923. Tuttavia già nel 1900 L. Bachelier aveva utilizzato il moto Browniano per descrivere il movimento dei prezzi azionari e degli altri indici nanziari sul mercato azionario di Parigi anche in assenza totale di un modello matematico.

Vediamo la denizione formale di processo di Wiener standard.

Denizione 4.16. Un processo di Wiener standard è un processo stocastico Wt

con t ≥ 0 tale che:

• W0 = 0 quasi sicuramente;

• W_t ha incrementi indipendenti;

4.4. PROCESSI DI WIENER E MOTI BROWNIANI. 143

• ogni incremento Wt − W_s con 0 ≤ s < t ha distribuzione normale con media nulla e varianza t − s, ossia ossia Wt − W_s ∼ N (0, t − s). Nella denizione di processo di Wiener non standard va modicata soltanto l'ultima proprietà nel modo seguente:

W_t − W_s ∼ N (0, σ²(t − s)) ∀ 0 ≤ s < t con σ costante positiva.

Per semplicità nel seguito ci limiteremo a prendere in considerazione solo processi di Wiener standard.

Stabiliamo alcune proprietà di un processo di Wiener.

1) E[Wt] = 0 ∀t ≥ 0,

cioè il valore atteso di un processo di Wiener è nullo.

Infatti, essendo W0 = 0, abbiamo Wt = W_t − W₀ da cui E[W_t] = E[W_t − W₀] = 0

poiché ogni incremento Wt − Ws con 0 ≤ s < t ha valore atteso nullo per denizione;

2) un processo di Wiener ha incrementi stazionari.

E' un'immediata conseguenza della terza proprietà che interviene nella de-nizione di processo di Wiener;

3) un processo di Wiener è una martingala rispetto alla ltrazione naturale.

Dimostrazione

In primo luogo ricordiamo che la ltrazione naturale per Wt è la famiglia di σ− algebre {It}_t≥0 tale che:

I_t = σ({W_s : 0 ≤ s ≤ t}).

Per dimostrare che Wt rispetto alla ltrazione naturale è una martingala, dobbiamo far vedere che sono soddisfatte le tre proprietà che deniscono una martingala. La prima è soddisfatta automaticamente per la scelta della

ltrazione.

Per provare la seconda, ossia che Wt ∈ L¹(Ω) ∀t ≥ 0, basta osservare che, essendo W0 = 0, tale condizione è certamente vericata per t = 0, mentre

∀t > 0 W_t ha una distribuzione gaussiana con media nulla e varianza t per

cui Z

Ω

|Wt| dP = 1

√2 π t Z +∞

−∞

|x| exp



−x² 2t



dx < +∞.

Dimostriamo la terza proprietà, ossia che E[W_t

I_s] = W_s per 0 ≤ s < t.

Grazie alla denizione di ltrazione naturale, è suciente mostrare che E[W_t

W_s] = W_s per 0 ≤ s < t. (4.4.1) D'altra parte, per 0 ≤ s < t il primo membro della (4.4.1) si può scrivere nella forma:

E[W_t

W_s] = E[W_t− W_s+ W_s

W_s] = E[W_t− W_s

W_s] + E[W_s

W_s], (4.4.2) avendo sfruttato la linearità dell'aspettativa condizionata.

Se poi teniamo presente che, per denizione di processo di Wiener, gli incre-menti Wt− W_s e Ws = W_s− W₀ con s < t sono indipendenti, grazie ad una proprietà dell'aspettativa condizionata, otteniamo:

E[W_t− W_s

W_s] = E[W_t− W_s] = 0. (4.4.3) Dunque, per le (4.4.2), (4.4.3), deduciamo

E[W_t

W_s] = E[W_s

W_s] = W_s per 0 ≤ s < t,

che è il risultato che ci proponevamo di ottenere. Nell'ultimo passaggio poiché W_s è misurabile rispetto alla σ−algebra da esso generata abbiamo applicato la proprietà 3) dell'aspettativa condizionata.

4) Se Wt è un processo di Wiener, allora Wt² − t per t ≥ 0 è una martingala rispetto alla ltrazione {It}_t≥0.

Per la dimostrazione rimandiamo all'Appendice 2 dell'ultimo capitolo.

Osserviamo che da tale proprietà di un processo di Wiener discende che i due processi stocastici Wt² e −Wt² sono rispettivamente una submartingala e una supermartingala (vedi Figura 4.1).

5) Poiché σ²Wt = t, la varianza di Wtcresce illimitatamente per t → +∞, mentre la media è nulla ad ogni t. Di conseguenza, le tipiche traiettorie assumono valori sempre più grandi, in valore assoluto, al trascorrere del tempo.

Studiamo ora le proprietà di regolarità delle traiettorie di un processo di Wiener.

A tal ne enunciamo il seguente

Teorema 4.1. Teorema di continuità di Kolmogorov. Sia Xtcon t ∈ [0, T ] un processo stocastico a valori reali sullo spazio di probabilità (Ω, A, P ) per il quale esistano tre costanti C, α, β > 0 in modo tale che per ogni s, t ∈ [0, T ] si abbia:

E[|X_t − X_s|^β] ≤ C |t − s|^1+α. (4.4.4) Allora Xt ha quasi tutte le traiettorie continue in t.

4.4. PROCESSI DI WIENER E MOTI BROWNIANI. 145

Conseguenza di tale teorema è il seguente

Teorema 4.2. Un processo di Wiener Wt con t ≥ 0 ha traiettorie continue quasi sicuramente.

Dimostrazione

La dimostrazione sfrutta la terza delle tre proprietà che deniscono un proces-so di Wiener, ossia la proprietà che gli incrementi Wt − W_s con s < t hanno distribuzione gaussiana con media nulla e varianza t − s. Ricordando l'espres-sione dei momenti di ordine pari della dierenza tra una variabile casuale con distribuzione gaussiana e la sua media (vedi pag. 122, Cap. 3), si ha che, preso l'intervallo [0, T ] con T arbitrario, per ogni s, t ∈ [0, T ] con s < t sussiste la seguente relazione

E[(W_t − W_s)^2k] = 1 · 3 · .... · (2k − 1)(t − s)^k ∀k ∈ N.

Se prendiamo k = 2, la relazione precedente assume la forma

E[(Wt − Ws)⁴] = 3 (t − s)². (4.4.5) Ovviamente, dalla (4.4.5), segue che ∀ s, t ∈ [0, T ]

E[|W_t − W_s|⁴] = 3 |t − s|². (4.4.6) E' allora possibile applicare il teorema di continuità di Kolmogorov prendendo β = 4, C = 3, α = 1. Dunque concludiamo che quasi tutte le traiettorie di un processo di Wiener sono continue ∀t ∈ [0, +∞), ossia un processo di Wiener è continuo.

Poichè per il teorema precedente abbiamo ottenuto che Wt è un processo stoca-stico continuo, per la proposizione 4.1 concludiamo che ogni processo di Wiener risulta progressivamente misurabile rispetto alla ltrazione naturale {It}{t≥0} e quindi misurabile, cioè misurabile rispetto alla σ−algebra B([0, +∞)) ⊗ A.

Vediamo inne, senza dimostrazione, due altri risultati relativi alla regolarità delle traiettorie di un processo di Wiener.

Teorema 4.3. Un processo di Wiener ha quasi tutte le traiettorie non derivabili rispetto al tempo ∀t ∈ [0, +∞).

La non derivabilità delle traiettorie di un processo di Wiener corrisponde alla loro estrema irregolarità.

Corollario 4.1. Corollario del teorema 4.3. Quasi ogni traiettoria di un processo di Wiener ha variazione illimitata su ogni intervallo di tempo nito.

Per completezza richiamiamo la denizione di funzione (di una sola variabile reale) a variazione limitata.

Dato un intervallo reale [a, b], consideriamo una funzione g a valori in R denita in [a, b] ed una partizione Π dell'intervallo [a, b] ottenuta mediante i punti:

t0 = a < t1 < ... < tn = b.

La variazione di g relativa a Π è denita da

V[a, b](g, Π) =

n

X

j=1

g(tj) − g(tj−1) .

Denizione 4.17. La funzione g ha variazione limitata su [a, b] se l'estremo superiore di V[a, b](g, Π) al variare di tutte le partizioni Π dell'intervallo [a, b] è

nito, ossia se

V_{[a, b]}(g) = sup

Π

V_{[a, b]}(g, Π) < +∞.

V_{[a, b]}(g) è detta variazione (prima) di g su [a, b].

La classe delle funzioni a variazione limitata sull'intervallo [a, b] è denotata con BV ([a, b]).

Esempi di funzioni appartenenti alla classe BV ([a, b]) sono le funzioni monotone e le funzioni lipschitziane.

Il seguente teorema fornisce una condizione necessaria e suciente anché una funzione sia a variazione limitata.

Teorema 4.4. Una funzione reale ha variazione limitata se e solo se è dierenza di due funzioni monotone non decrescenti.

Una ulteriore proprietà delle funzioni a variazione limitata è espressa dal seguente

Teorema 4.5. Una funzione reale a variazione limitata è derivabile quasi ovun-que.

In gura 4.2 sono rappresentate alcune traiettorie di un processo di Wiener.

Concludiamo il capitolo osservando che ci siamo limitati a dare la denizio-ne di processo di Wiedenizio-ner a valori in R, ma ovviamente si può dare anche la denizione di processo di Wiener a valori in Rⁿ.

4.4. PROCESSI DI WIENER E MOTI BROWNIANI. 147

Figura 4.2: Traiettorie di un processo di Wiener

Capitolo 5

Integrale stocastico di Itˆo

5.1 Premesse.

Nella moderna teoria dei mercati nanziari, come già osservato più volte, svolgono un ruolo fondamentale i processi stocastici e in particolari i processi di Wiener.

Nel Capitolo precedente abbiamo visto che quasi tutte le traiettorie dei processi di Wiener non sono derivabili rispetto al tempo e che ogni loro porzione non è a variazione limitata. Ciò comporta che i tradizionali strumenti dell'Analisi Matematica classica risultano insucienti. In particolare risultano inadeguati la nozione di integrale di Riemann-Stieltjes, che è una generalizzazione dell'integra-le di Riemann, e il concetto di dierenziadell'integra-le classico. Occorre utilizzare un nuovo calcolo, il calcolo stocastico.

Il calcolo stocastico è nato con lo scopo di dare signicato alle equazioni dieren-ziali che descrivono i processi stocastici. Esso ha origine dai lavori pionieristici di N. Wiener (1923), i cui risultati furono generalizzati da K. Itˆo (1944) ed esposti da J. L. Doob (1953), I. Gikhman e A. V. Skorokhod (1969), L.

Arnold (1974).

Nel 1966 R. L. Stratonovich diede una denizione di integrale stocastico di-versa da quella data da Itˆo, ma noi tratteremo solo di quest'ultima perché la letteratura di teoria economica e nanziaria si basa principalmente sul calcolo di Itˆo.

E' comunque importante rilevare che il calcolo stocastico trova applicazione, non solo in ambito nanziario, ma in moltissimi altri campi.

Citiamone alcuni:

• Ingegneria aerospaziale: determinazione dell'orbita di satelliti, stima di po-sizione e velocità di veicoli spaziali, stima di traiettorie di rientro di capsule

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spaziali, come nelle Missioni Ranger, Mariner e Apollo della NASA, incluso Apollo 11 (primo sbarco sulla luna);

• Navigazione automatica di veicoli aerei, subacquei, terrestri, ecc.;

• Studio dei circuiti elettrici, Predizione delle maree, Biomedicina, Arma-menti, Scienze sociali, ecc..

Il calcolo stocastico di Itˆo ha gli stessi scopi del calcolo classico dell'Analisi Matematica, ma le formule che si ottengono sono diverse da quelle classiche.

Il calcolo stocastico, come quello classico, si divide in calcolo dierenziale e cal-colo integrale.

In questo capitolo esporremo la teoria dell'integrazione di Itˆo e nel capitolo suc-cessivo il calcolo dierenziale poiché il dierenziale stocastico assume signicato solo in virtù del concetto di integrale.

5.2 Richiami sull'integrale di Riemann. Integrale

Nel documento Calcolo Stocastico e Mercati Finanziari (pagine 148-156)