Rendite

Sia ∆ t il periodo di capitalizzazione e r il tasso unitario di interesse.

In regime di capitalizzazione composta, al tempo t il montante sarà dato da

C_t= C₀(1 + r ∆ t)^k= C₀



1 + rt − t0

k

k

.

Nel regime di capitalizzazione istantanea si fa tendere ∆ t a zero o equivalente-mente k a +∞. Poiché

k→+∞lim



1 + rt − t₀ k

k

= e^r(t−t0), con tale regime la legge di capitalizzazione è

m(t, t₀) = e^r(t−t0), il montante risulta

C_t = C₀e^r(t−t0) e l'interesse è dato da

C_t− C₀ = C₀e^r(t−t0)− 1 . In corrispondenza, la legge di sconto per t < t0 è

v(t, t₀) = e^−r(t0−t)

per cui il valore scontato di C0 al tempo t < t0 è dato da C_t= C₀e^−r(t0−t).

Nel regime di capitalizzazione istantanea gli interessi maturano ad ogni istante e si accumulano al capitale.

Tale regime, che è di scarsa importanza pratica, ha rilevante importanza teorica, come vedremo nel seguito.

1.5 Rendite

Denizione 1.7. Per rendita si intende un usso di capitali disponibili in tempi diversi successivi.

Si distingue in genere tra

• rendita discreta se si ha una successione di capitali: C1, C₂, C₃, ... di-sponibili in tempi diversi in successione: t1, t₂, t₃, ... con 0 ≤ t1, < t₂, <

t₃, .... Una rendita discreta è detta temporanea se i capitali o equivalente-mente le loro valute sono in numero nito, ossia {Cs}s=1,2,...,no {ts}s=1,2,...,n, mentre è detta perpetua se i capitali o equivalentemente le loro valute so-no un'innità numerabile. Una rendita discreta è dunque una successione di un numero nito o un'innità numerabile di coppie (Cs, t_s). Denoteremo con Rn una rendita discreta temporanea, essendo n il numero delle coppie (C_s, t_s), ossia Rn = {(C_s, t_s)}_s=1,2,...n, se la rendita discreta è perpetua la denoteremo semplicemente con R;

• rendita continua se si ha un usso di capitali disponibili con continuità istante per istante. In tal caso è denita la funzione C(t) tale che C(t) dt è la quantità di capitale disponibile nell'intervallo di tempo innitesimo [t, t + dt]. Una rendita continua è temporanea se la funzione C(t) è denita nell'intervallo di tempo [0, T ], mentre è perpetua se l'intervallo di tempo in cui è denita C(t) è [0, +∞). In genere si suppone che la funzione C(t) sia continua nell'intervallo su cui è denita.

I capitali di una rendita sono anche detti rate.

Fissiamo un regime di capitalizzazione e siano m(t, t0)(t > t0) e v(t, t0)(t < t0) le relative leggi di capitalizzazione e di sconto. E' opportuno a questo punto estendere la denizione di m(t, t0) (t > t0) e v(t, t0) (t < t0) al caso t = t0

ponendo

m(t₀, t₀) = v(t₀, t₀) = 1.

Denizione 1.8. Data la rendita discreta temporanea Rn = {(C_s, t_s)}_s=1,2,...n, si denisce valore attuale della rendita

V₀ =

n

X

s=1

C_sv(0, t_s), mentre

V_tn =

n

X

s=1

C_sm(t_n, t_s) è detto montante della rendita.

Vogliamo ora dare la denizione di valore di una rendita discreta temporanea ad un tempo τ tale che t1 ≤ τ < t_n. Osserviamo che necessariamente τ deve cadere fra due valute della rendita con la possibilità anche che coincida con una e dunque esiste un numero naturale k ∈ {2, ..., n} tale che

t_k−1 ≤ τ < t_k.

1.5. RENDITE 27

Allora ha senso inserire nella denizione che intendiamo dare i montanti delle rate relative alle valute anteriori a τ e i valori attuali di quelle relative alle valute posteriori.

Denizione 1.10. Se la rendita Rn ha t1 > 0, deniamo valore della rendita al tempo τ tale che 0 < τ < t1 nel modo seguente

La denizione di valore attuale di una rendita discreta temporanea si estende immediatamente ad una rendita discreta perpetua.

Precisamente il valore attuale di una rendita discreta perpetua è dato:

V₀ =

+∞

X

s=1

C_sv(0, t_s), (1.5.1)

dove assumiamo che la serie a secondo membro (a termini tutti positivi) sia con-vergente.

Analogamente si estende alle rendite discrete perpetue la denizione di valore ad un tempo τ ≥ t1 richiedendo sempre la convergenza della serie che interviene nella denizione.

Consideriamo ora le rendite continue temporanee.

Denizione 1.11. Data una rendita continua temporanea, deniamo valore attuale della rendita

Inoltre, preso τ ∈ (0, T ), deniamo valore della rendita al tempo τ

La denizione di valore attuale di una rendita continua temporanea si estende immediatamente ad una rendita continua perpetua. Precisamente

V₀ = Z +∞

0

C(t) v(0, t) dt,

dove assumiamo che l'integrale a secondo membro sia convergente.

Introduciamo ora alcune denizioni per le rendite discrete.

Denizione 1.12. Una rendita discreta R = {(Cs, t_s)}_s=1,2,... si dice costante se Cs = C per ogni s = 1, 2, ....

La rendita discreta R = {(Cs, ts)}s=1,2,... si denisce ¯t− periodica se per ogni s = 2, 3, ... si ha ts− t_s−1 = ¯t .

Se ¯t = 1, ossia ¯t coincide con il periodo di capitalizzazione, la rendita periodica è detta di periodo unitario.

Una rendita discreta ¯t−periodica si dice immediata posticipata se t1 = ¯t. E' facile vedere che se la rendita R = {(Cs, ts)}s=1,2,... è ¯t-periodica, allora t_s = (s − 1)¯t + t₁ ∀s = 1, 2, ... e se in più è immediata posticipata, allora t_s = s ¯t ∀s = 1, 2, ....

Supponiamo assegnata una rendita discreta temporanea di n termini, costan-te, ¯t−periodica, immediata posticipata e determiniamone il montante in regime di capitalizzazione composta con tasso unitario di interesse r (tasso di interes-se periodale cioè relativo al periodo di capitalizzazione) . Tenendo preinteres-sente la denizione, abbiamo

Ovviamente ¯t e ts si intendono normalizzati al periodo di capitalizzazione.

D'altra parte, se poniamo:

1.5. RENDITE 29

e per le proprietà delle progressioni geometriche con ragione q 6= 1 abbiamo

n Nel caso particolare in cui ¯t sia unitario, cioè coincida con il periodo di capi-talizzazione e la rata costante C della rendita sia uguale a 1, la (1.5.2) diviene:

s_{n r} = (1 + r)ⁿ− 1

r . (1.5.3)

Il simbolo sn r si legge "s gurato enne, al tasso r" o semplicemente "esse enne r". Esso rappresenta il montante di una rendita discreta temporanea periodica, con periodo unitario, immediata posticipata, con rate tutte uguali a 1 in regime di capitalizzazione composta.

Consideriamo ancora una rendita discreta temporanea di n termini, costante,

¯t−periodica, immediata posticipata e determiniamone il valore attuale sempre in regime di capitalizzazione composta. Tenendo presente la denizione, abbiamo:

V0 =

e ricordiamo quanto vale la somma dei primi n termini di una progressione geometrica di ragione q 6= 1, abbiamo

n Tale relazione si può anche scrivere nella forma:

V₀ = C 1 − (1 + r)^−n¯t

(1 + r)^¯t− 1 . (1.5.4)

Nel caso particolare in cui ¯t sia unitario, cioè coincida con il periodo di capi-talizzazione e la rata costante C della rendita sia uguale a 1, la (1.5.4) diviene:

a_{n r} = 1 − (1 + r)⁻ⁿ

r = (1 + r)ⁿ− 1

r(1 + r)ⁿ . (1.5.5)

Il simbolo an r (che si legge "a gurato enne, al tasso r" o semplicemente "a enne r") rappresenta il valore attuale di una rendita discreta temporanea periodica, con periodo unitario, immediata posticipata con rate tutte uguali a 1 in regime di capitalizzazione composta.

Confrontando (1.5.5) con (1.5.3), si deduce la relazione:

s_{n r} = a_{n r}(1 + r)ⁿ.

I valori assunti dai due simboli gurati vengono forniti da opportune tavole e da opportuni software presenti anche in rete.

Osservazione 1.1

Osserviamo che nelle rendite periodiche immediate posticipate studiate nora le rate sono via via disponibili al termine di ogni periodo ¯t e proprio per ta-le motivo sono dette posticipate. Si possono prendere in considerazione anche rendite periodiche nelle quali le rate sono disponibili all'inizio di ogni periodo, cioè rendite note come rendite periodiche immediate anticipate. Per tali rendite si ha sempre t1 = ¯t dove ¯t è il periodo, ma la prima rata C1 è pagata, ossia è disponibile, al tempo t = 0.

Ovviamente per rendite di tale tipo che sono costanti con n rate e che terminano al tempo tn = n ¯t le espressioni del montante Vtn e del valore attuale V0 sono dierenti da quelle ottenute per rendite posticipate, date da (1.5.2) e (1.5.4) rispettivamente. In maniera analoga se il periodo è unitario, i simboli gurati, che per le rendite anticipate sono denotati con ¨sn r, ¨a_{n r}, sono dierenti dai cor-rispondenti termini gurati (1.5.3) e (1.5.5) ricavati in precedenza per le rendite posticipate.

Le espressioni di Vtn, V₀, ¨s_{n r}, ¨a_{n r}per rendite anticipate sono comunque semplici da ottenere. Infatti basta osservare che, presa una rendita periodica immediata posticipata costante avente il numero dei termini, la rata e il periodo uguali a quelli della rendita anticipata considerata, il capitale che per la rendita postici-pata è disponibile al tempo ts per quella anticipata è disponibile al tempo ts− ¯t ossia è disponibile anticipatamente con l'anticipo di un periodo. E' facile vedere che da questa osservazione ne consegue che il montante della rendita anticipata così come il suo valore attuale si ottengono moltiplicando per il fattore di an-ticipazione (1 + r)^¯t il montante e il valore attuale della corrispondente rendita posticipata.

1.5. RENDITE 31

Perciò per una rendita discreta di n termini, costante, periodica di periodo ¯t, immediata anticipata, usando la (1.5.2) e la (1.5.4), si ha

Vtn = C (1 + r)^¯t(1 + r)^n¯t− 1

(1 + r)^t¯− 1 = C (1 + r)^(1+n)¯t− (1 + r)^¯t (1 + r)^¯t− 1 , V₀ = C (1 + r)^¯t1 − (1 + r)^−n¯t

(1 + r)^t¯− 1 = C (1 + r)^¯t− (1 + r)^(1−n)¯t

(1 + r)^¯t− 1 . (1.5.6) Se la rendita ha periodo unitario il fattore di anticipazione si riduce a 1 + r e in tal caso i termini gurati sono dati da

¨

a_{n r} = (1 + r) a_{n r} = (1 + r)ⁿ− 1

r(1 + r)ⁿ⁻¹, ¨s_{n r} = (1 + r) s_{n r} = (1 + r)(1 + r)ⁿ− 1

r .

(1.5.7) Si potrebbero prendere in considerazione anche rendite temporanee periodi-che dierite di m termini, cioè rendite di n termini per le quali la prima rata è disponibile al tempo tm+1, ma su ciò non insisteremo.

Vediamo ora alcuni esempi di applicazione dei risultati ottenuti relativamente alle rendite periodiche.

Esempio 1.5.

Calcolare il montante di una rendita annua immediata posticipata di 7 rate aven-ti ciascuna importo di 500 euro, al tasso annuo del 4%.

Poiché il periodo è unitario, utilizziamo il simbolo gurato. Perciò abbiamo V₇ = 500 s_{7 0,04} = 500(1, 04)⁷− 1

0, 04 ≈ 3.949, 15 euro.

Esempio 1.6.

Per 5 anni versiamo all'inizio di ogni semestre 2.000 euro ad una banca che ap-plica un tasso di interesse semestrale del 2%. Quanto possiamo riscuotere alla

ne del quinto anno?

Dobbiamo calcolare il montante di una rendita discreta temporanea di 10 termi-ni, costante, periodica con periodo pari ad un semestre, immediata anticipata. Il tasso è semestrale e dunque il periodo è unitario. Per rispondere alla domanda dobbiamo perciò usare anche in questo caso il simbolo gurato. Avremo:

V₁₀ = 2.000 ¨s_{10 0,02} = 2.000 (1, 02)(1, 02)¹⁰− 1

0, 02 ≈ 22.337, 39 euro.

Esempio 1.7.

Vogliamo cedere ad una banca una rendita immediata della durata di 6 anni costituita dalla riscossione di 1.400 euro alla ne di ogni anno. Quale somma è disposta a pagare la banca se il tasso di interesse annuo è del 3%?

La somma che la banca è disposta a pagare è il valore attuale della rendita.

Dunque riceveremo:

V₀ = 1.400 a_{6 0,03} = 1.400 (1, 03)⁶ − 1

0, 03 (1, 03)⁶ ≈ 7.584, 31 euro.

Esempio 1.8.

Mario versa alla ne di ogni trimestre una somma pari a C su un conto corrente bancario che gli frutta interessi al tasso annuo del 4% in un regime di capitaliz-zazione composta. Dopo 5 anni ritira dalla banca la somma di 6.596,2843 euro risultante dall'investimento.

Calcolare quanto Mario ha versato ogni trimestre.

Mario ha ritirato dalla banca il montante di una rendita costante di 20 (= 4x5) termini periodica di periodo pari ad un trimestre, immediata posticipata in un regime di capitalizzazione composta con periodo di capitalizzazione pari ad 1 anno. Notiamo che la rendita non ha periodo unitario e quindi, a dierenza de-gli esempi precedenti, non si possono far intervenire i simboli gurati. Dobbiamo invece utilizzare la (1.5.2) con n = 20, ¯t= 1

4, V_t20 = 6.596, 2843. Perciò abbiamo:

6.596, 2843 = C (1, 04)⁵− 1 (1, 04)¹⁴ − 1, da cui segue

C = 6.596, 2843(1, 04)¹⁴ − 1

(1, 04)⁵− 1 = 300 euro.

Esempio 1.9.

Sia data una rendita discreta perpetua periodica con periodo pari ad una anno, immediata posticipata e costante (Cs = C, s = 1, 2, ...).

Determinarne il valore attuale in un regime di capitalizzazione composta avente un anno come periodo di capitalizzazione e con tasso annuo di interesse r (sup-posto costante). Quale sarebbe il suo valore attuale se la rendita fosse anticipata?

Nel documento Calcolo Stocastico e Mercati Finanziari (pagine 31-39)