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quale appartiene il che equivale a ricercare la configurazione più compatta dei punti. Sebbene sia possibile definire a priori il numero di suddivisioni da utilizzare, un approccio di questo tipo porterebbe ancora una volta ad una eccessiva scomposizione della geometria; viceversa vengono tentate diverse scomposizioni differenti con numero di parti via via maggiori (generalmente fino a 5 suddivisioni) per poi decidere in base ad alcuni parametri di forma quale scomposizione si dimostri ottimale.
Nel prossimo capitolo verranno mostrati diversi esempi in cui è stata applicata la metodologia, per l’estrazione dei piani di discontinuità per l’analisi geostatistica di stabilità di pareti rocciose.
funzione seno e coseno di ampiezza rispettivamente y ed x. Vi è dualità tra i piani x, y e θ, ρ: ad ogni retta in x, y corrisponde un punto in θ, ρ, mentre ad un punto in x, y corrisponde una curva in θ, ρ.
Ipotizzando in base ad un qualche criterio (ad esempio il gradiente elevato dei toni di grigio) che un pixel giaccia su un contorno, ovvero appartenga ad una retta si disegna nello spazio dei parametri la curva corrispondente. Se numerosi pixel giacciono sulla medesima retta, nello spazio dei parametri le diverse curve si intersecheranno in corrispondenza della coppia θ, ρ che individua tale retta nel piano x, y. Ope-rativamente viene allocata nello spazio θ, ρ una matrice di accumulazione costituita da tante righe e tante colonne quanto sono il numero di discretizzazioni rispettivamente per il parametro θ e per il parametro ρ.
Per ciascun punto interessante vengono calcolati i valori di ρ corrispondenti ai diversi valori di θ e viene incrementato di una unità il corrispettivo elemento nella matrice di accumulazione. Una volta esauriti tutti i punti nel piano, la matrice di accumulazione viene analizzata alla ricerca di massimi locali con numerosità sufficientemente elevate. I massimi locali corrispondono ai parametri (θ, ρ) delle rette identificate.
La tecnica illustrata è tanto semplice quanto efficace: non solo è poco influenzata da errori grossolani o fenomeni di disturbo ma, anche in presenza di contorni frammentati in più porzioni, è in grado di deter-minare correttamente la linea comune a tutti i segmenti. Il metodo, nella forma lineare, è stato ad esempio utilizzato in [Roncella 2005b] per la determinazione automatica delle strisce di delimitazione della carreg-giata stradale per mezzo di analisi di immagine.
L’impostazione può essere facilmente estesa al caso di superfici piane: in questo caso la funzione di accumulazione diventa:
(3.9)
in cui r è la distanza del punto dall’origine del sistema di riferimento, f è l’angolo formato dalla nor-male al piano con l’asse delle z e q l’angolo con quello delle x. Per mezzo della (3.9) un punto nello spazio (euclideo) tridimensionale si trasforma, al variare di q e f in una superficie trigonometrica nello spazio
cos sin cos sin
x y z
t =^xcosi+ysinihcosz +zsinz
t =^ i+ ih z + z
Euclideo - Hough
Hough - Euclideo
Figura 3.8: Trasformazioni fra spazio euclideo e spazio dei parametri: un punto nel primo corrisponde ad una superficie nel secondo e viceversa.
CAPITOLO 3. Analisi di Point Clouds 141
dei parametri; viceversa un punto nello spazio dei parametri rappresenta una superficie piana nello spazio euclideo come mostrato in figura 3.8.
La procedura di estrazione si svolge come segue: si determina un passo di discretizzazione per i due parametri q e f: in molti casi si posso-no scegliere passi relativamente ampi (2÷5 gradi);
si analizza poi la nuvola per determinare il campo di variabilità del parametro r: il limite inferiore è sempre 0 (piano passante per l’origine del riferi-mento) mentre quello superiore può essere fissato pari alla distanza massima dall’origine dei punti della nuvola, o, con maggiore efficienza, applicare una trasformazione ai punti della nuvola in modo da far coincidere il centro del parallelepipedo che la racchiude (bounding box) con l’origine del si-stema di riferimento; per ottimizzare ulteriormente la procedura si può orientare il suddetto lepipedo in modo che i suoi lati risultino paralle-li agparalle-li assi principaparalle-li d’inerzia della nuvola. Una volta stabilito un passo di discretizzazione anche per quest’ultimo parametro, si genera la corrispon-dente matrice (tridimensionale) di accumulazione, ponendo tutti i suoi elementi a 0; per ciascun punto della nuvola si determina, tramite la (3.9), al va-riare dei due parametri q e f, la superficie di ac-cumulazione r (figura 3.9); tutti gli elementi della matrice di accumulazione che contengono punti di tale superficie vengono incrementati di una unità;
una volta reiterato il procedimento per tutti i punti si analizza la matrice di accumulazione alla ricer-ca di massimi loricer-cali: i parametri r, q, f corrispon-denti rappresentano i piani cercati. Per l’analisi dei massimi si può utilizzare un volume di ricerca di dimensioni appropriate (costituito ad esempio da 3x3x3 elementi o, se richiesto un grado di appros-simazione maggiore, anche più grande). Quando
a.
b.
c.
Figura 3.9: Spazio di accumulazione della trasforma-ta di Hough: (a.) l’oggetto da analizzare; (b.) e (c.) sezioni dello spazio di accumulazione per due diffe-renti valori di r.
parte di tale volume, analizzando elementi di bordo della matrice di accumulazione, si trova parzialmente al di fuori di quest’ultima nel piano qf, si possono aggiungere gli elementi sul bordo opposto, in modo da considerare anche piani che presentano parametri prossimi a 180°/360°.
Se richiesto un grado di dettaglio superiore al livello di discretizzazione utilizzato per generare la ma-trice di accumulazione, si può valutare la posizione del piano nello spazio di Hough in corrispondenza di ciascun massimo locale, calcolando il centroide degli elementi di accumulazione all’interno del volume di ricerca centrato sul punto individuato.
Infine, una volta ottenuti i parametri dei piani, si possono, tornando a considerare il set di dati nello spazio euclideo, ricercare quei punti che distano meno di una certa soglia da ciascun piano, in modo da ottenere la porzione di nuvola corrispondente. La soglia deve essere impostata su valori non inferiori al passo di discretizzazione del parametro r, per evitare di escludere punti che hanno contribuito nello spazio dei parametri alla definizione della superficie. Al termine è comunque consigliabile ristimare il piano a minimi quadrati ed eventualmente ripetere il processo di determinazione dei punti, soprattutto se è richiesto un grado di precisione elevato o la discretizzazione in r, per motivi di occupazione di memoria, è stato mantenuta su valori alti.
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CAPITOLO 4
Determinazione dei piani di discontinuità di pareti rocciose
In questo capitolo conclusivo si illustra con maggior dettaglio una serie di esempi di applicazioni delle tecniche di automazione sviluppate nel corso del presente lavoro. Per il suo carattere innovativo e poiché impiega la maggior parte delle predette tecniche, si è scelta la determinazione automatica dei piani di di-scontinuità geostrutturale nell’ambito dell’analisi di stabilità di corpi rocciosi.
Il tema è di grande attualità, come dimostra la ricca letteratura a riguardo, anche se solo negli ultimi anni si sta affrontando il problema con tecniche di rilievo indirette [Harrison 2000], per mezzo di stazioni totali [Feng 2001], fotogrammetria terrestre [Kemeny 2003], [Roncella 2005c], o per mezzo di laser a scansione [Monte 2004], [Slob 2004], [Biasion 2004]. Approcci automatici per la determinazione delle discontinuità sono di recente introduzione ([Roncella 2005c], [Slob 2005]) e, sebbene ancora la sperimentazione sia nelle prime fasi, l’interesse dimostrato dal mercato dimostra come la tematica possa svilupparsi nei prossimi anni.