Risoluzione e accuratezza degli algoritmi di coerenza per l'analisi di velocita

UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PISA

Facoltà di Scienze Matematiche, Fisiche e Naturali

Corso di Laurea Magistrale in Geofisica di Esplorazione e Applicata

Tesi di Laurea

RISOLUZIONE E ACCURATEZZA DEGLI ALGORITMI DI COERENZA

PER L'ANALISI DI VELOCITÀ

Relatore:

Prof. Alfredo Mazzotti

Candidato:

Paradisi Paolo

INDICE

Riassunto...1

INTRODUZIONE

CAPITOLO 1 Inquadramento teorico... 3

1.1 Introduzione...3

1.2 Algoritmo per l'analisi di velocità...3

CAPITOLO 2 Semblance e Cross-correlazioni...6

2.1 Introduzione...6

2.2 Cross-correlazioni...6

2.3 Semblance...8

2.3 Commenti...9

CAPITOLO 3 High-resolution and standard bootstrapped differential

semblance...10

3.1 Introduzione...10

3.2 Standard bootstrapped differential semblance ...10

3.3 Bootsrapping ...12

3.4 High resolution bootstrapped differential semblance ...12

3.5 Commenti ...13

CAPITOLO 4 Complex Matched Filter ...14

4.1 Introduzione...14

CAPITOLO 5 Metodo Eigenstructure ...16

5.1 Introduzione...16

5.2 Trattazione teorica...16

5.3 Procedura ...20

CAPITOLO 6 Phase-stack ...21

6.1 Introduzione...21

6.2 Trattazione teorica...21

6.3 Procedura ...23

CAPITOLO 7 Cross-correlazioni complesse ...25

7.1 Procedura...25

DESCRIZIONE DELLE METODOLOGIE E DEI RISULTATI OTTENUTI

CAPITOLO 9 CMP sintetici...27

9.1 Introduzione...27

9.2 Iperbole di riflessione standard...29

9.3 Iperbole di riflessione con AVO (amplitude versus offset) ...29

9.4 Iperbole di riflessione con PVO (phase versus offset)...31

9.5 Iperbole con statiche residue...32

9.6 Iperboli interferenti...33

CAPITOLO 10 Funzionali di coerenza...36

10.1 Introduzione...36

10.2 Semblance...37

10.4 High resolution and standard bootstrapped differential semblance ...85

10.5 Complex Matched Filter (CM) ...104

10.6 Metodo Eigenstructure ...144

10.7 Phase stack ...171

10.8 Cross Correlazioni complesse ...192

CAPITOLO 11 Applicazione ai dati reali...217

11.1 Introduzione...217

11.2 CMP1...218

11.3 CMP2 ...224

Conclusioni...228

RIASSUNTO

A partire dagli anni sessanta gli algoritmi di coerenza hanno iniziato a ricevere molta attenzione nel campo della sismologia a riflessione a copertura multipla (Schneider e Vackis 1968; Taner e Koehler 1969; Neidell e Taner 1971). Essi esprimono in forma quantitativa la somiglianza del contenuto del dato tra i suoi canali. In particolare, nel processing sismico di dati multicanale, i funzionali di coerenza vengono utilizzati allo scopo di calcolare i parametri cinematici, tempo intercetto e velocità di stack, degli eventi sismici (iperboli di riflessione) contenuti nei Common Mid Point gathers, durante un importante passo del processing chiamato analisi di velocità. Dall'applicazione di questi algoritmi ai CMP gathers in dominio offset-tempi, otteniamo degli istogrammi di coerenza in dominio velocità-tempi chiamati spettri di velocità, che ci aspettiamo presentino dei massimi in corrispondenza dei parametri cinematici caratteristici delle iperboli di riflessione. I massimi di coerenza presenti negli spettri di velocità verranno in seguito utilizzati per costruire un campo di velocità (velocità di stack) da utilizzare per la successiva correzione di Normal move out (NMO) del dato.

Una stima accurata e ad alta risoluzione delle velocità di stack è di fondamentale importanza al fine di effettuare una buona correzione di NMO, e quindi di ottenere una immagine stack accurata e con un elevato rapporto segnale-rumore. Per questa ragione negli ultimi cinquanta anni sono stati formulati diversi algoritmi di coerenza per l'analisi di velocità in dominio iperbolico time-offset con diverse propietà tra le quali abbiamo, accuratezza,

risoluzione, range dinamico (connesso alla capacità di individuazione degli eventi) e costo computazionale.

I funzionali di coerenza oggetto di indagine in questo lavoro sono la Semblance (Taner e Koehler, 1969), basato sul concetto di somma di tracce sismiche, il Phase-stack (Schimmel e Paulssen, 1996), basato anch'esso sul concetto di somma ma questa volta delle tracce sismiche ricostruite a partire dalle sole fasi istantanee, le Cross-correlazioni, in dominio sia scalare (Taner e Koehler, 1969) che complesso (Sguazzero e Vesnaver), l'algoritmo Eigenstructure (Key e Smithson, 1990), che prevede la decomposizione ai valori singolari della matrice di covarianza del dato, e infine il Complex Matched Filter (Spagnolini, Macciotta) che sfrutta invece la conoscenza a priori dell'ondina sorgente per poter effettuare un filtro adattivo del dato.

Le caratteristiche dello spettro di velocità ottenuto dipenderanno strettamente dal tipo di funzionale di coerenza utilizzato in relazione alla tipologia di CMP gathers sul quale questo viene applicato. I dati sismici su cui sono applicate le misure di coerenza possono avere infatti caratteristiche estremamente variabili, strettamente connesse a specifici problemi. Tra queste sono state prese in considerazione, AVO (amplitude versus offset), PVO (phase

versus offset), statiche residue e eventi iperbolici interferenti, il tutto con diversi rapporti

segnale - rumore.

Lo scopo di questo lavoro di tesi è quindi quello di studiare per ciascun funzionale di coerenza le relazioni che sussitono tra le proprietà del funzionale stesso, quali accuratezza,

risoluzione e capacità di individuazione degli eventi, e le diverse caratteristiche di CMP gather sopra elencate. L'obiettivo è perciò quello di capire quali sono i vantaggi e gli svantaggi che ciascun funzionale presenta in diversi contesti.

INTRODUZIONE

CAPITOLO 1

INQUADRAMENTO TEORICO

1.1 INTRODUZIONE

Nel processing di dati sismici, stimare la velocità che consente di ottenere la migliore correzione di NMO tra un set di parametri di moveout di prova è un noto problema di curve fitting. L'obiettivo dell'analisi di velocità iperbolica (Al-Chalabi 1974; Hubral e Krey 1980) è di produrre istogrammi di velocità (dominio velocità-tempi) chiamati spettri di velocità, a partire da CMP gathers (dominio offset-tempi) per mezzo di algoritmi di coerenza che operano lungo finestre temporali aventi traiettoria iperbolica. Questi algoritmi calcolano la misura di coerenza tra le tracce sismiche appartenenti ad uno stesso CMP, effettuando una correzione di NMO (normal moveout) statico per mezzo di differenti finestre iperboliche di con differenti parametri cinematici di prova (tempo intercetto e velocità).

Le coppie di parametri cinematici di quelle finestre iperboliche di prova che in seguito alla correzione di NMO statico rendono maggiormente “piatte” le riflessioni presenti nel CMP, saranno i parametri di best curve fitting ovvero la stima ottima dei parametri cinematici delle riflessioni stesse. Per valutare il grado di allineamento delle riflessioni presenti all'interno di ciascuna finestra iperbolica di prova viene valutato attraverso i funzionali di coerenza, i quali assumeranno valori massimi proprio in corrispondenza dei parametri cinematici di best curve fitting.

L'algoritmo per l'analisi di velocità produce perciò istogrammi di coerenza in dominio tempi - velocità chiamati spettri di velocità, la cui accuratezza e risoluzione saranno strettamente dipendenti, oltre che dalla qualità del dato sismico di partenza, dalla capacità di individuazione degli eventi, dalla potenza risolutiva e dall'accuratezza dell' algoritmo di coerenza utilizzato. Perciò capacità di individuazione degli eventi, potenza risolutiva e accuratezza sono criteri fondamentali di cui tenere conto nella scelta del funzionale di coerenza da utilizzare in relazione alla tipologia di CMP gather a cui viene applicato.

1.2 ALGORITMO PER L'ANALISI DI VELOCITÀ

L'analisi di velocità iperbolica viene eseguita convenzionalmente in dominio time-offset (x,t) su uno o più CMP gathers:

Dove t è il tempo doppio di arrivo,, x è l'offset (distanza sorgente ricevitore), CMP è il dato sismico osservato. Assumiamo che le riflessioni sismiche presenti in un CMP gather siano descritte dall'equazione di un'iperbole (Dix,1955):

2) T  x=



t0 2

x

2

v2

Dove T(x) è il tempo di traveltime all'offset x per la riflessione con velocità v e con tempo intercetto t0 corrispondente al raggio a incidenza normale. I limiti e l'applicabilità di questa relazione per i CDP sono stati ampiamente discussi in passato (Taner et al.,1970; Levin, 1971; May e Straley, 1979; Lynn e Claerbout, 1982; Stoffa et al., 1982) ma indipendentemente da queste considerazioni, l'equazione di Dix rimane lo standard per l'analisi di velocità.

L'obiettivo dell'analisi di velocità iperbolica è di identificare i parametri cinematici (velocità e tempo intercetto) di tutti gli allineamenti iperbolici riflessi presenti nei CMP gather scansionando il CMP gather con un range di velocità equi spaziate (v1, v2, …..,vK) al variare del tempo intercetto t0. Per ogni coppia t0, vk (k=1,2, …...,K) viene perciò costruita una finestra iperbolica utilizzando l'equazione 1 ciascuna delle quali:

• Va a selezionare una porzione del dato sismico di partenza CMP(T(x),x) di cui si

effettua la correzione di NMO statico. Questo consiste in una trasformazione di coordinate iperboliche secondo cui l'evento riflesso viene riportato a zero offset:

3) D=D t , x ; t0,vk=CMP T  x , x

Dove T(x) è data dall'equazione 2.

La matrice sismica estratta dalla finestra iperbolica di parametri cinematici t0, vk, si può esprimere come:

4) D t , x ; t0, vk=[d  x1, d  x2,.... , d  xM]

Dove il vettore d(xi) (i=1,2, …..,M) rappresenta la traccia sismica all'offset i-esimo appartenente al dato corretto di NMO.

5) d  xi=[CMP t1−tnxi, x  ,... ,CMP tN−tnxi, x] T 6) t_nx_i=



t₀2 xi 2 vk 2

sismiche all'interno della finestra iperbolica. Qui tn indica il tempo doppio di tragitto al campione temporale n-esimo e vk indica la velocità di prova. Negli esempi presenti nei paragrafi successivi indicheremo la matrice D(t, x; t0, vk) con d(t,x) per semplicità. I parametri cinematici di quelle finestre iperboliche che, in seguito alla correzione di NMO, trasformano eventi iperbolici in eventi rettilinei (t0=const) corrisponderanno ai parametri cinematici delle iperboli di riflessione contenute nel CMP gather. Questa prima operazione richiede in generale più della metà del costo computazionale richiesto dal l'analisi di velocità.

• Si calcola quantitativamente la coerenza tra le tracce sismiche lungo l'offset del dato

corretto di NMO per mezzo di funzionali di coerenza F(v,t0). Il coefficiente di coerenza relativo alla coppia di parametri cinematici v,t0 sarà attribuito alle medesime coordinate nello spettro di velocità. Il valore del coefficiente di coerenza ottenuto dipenderà dal tipo di funzionale di coerenza utilizzato.

Alla fine di questo processo iterativo lo spettro di velocità sarà costituito da una serie di massimi di coerenza rappresentativi della velocità di stack al variare del tempo.

In generale la dimensione della finestra, il suo tasso di avanzamento nei tempi e nelle velocità, dipenderanno dal dato e dal grado di risoluzione desiderato con cui vogliamo calcolare lo spettro di velocità. Per ottenere spettri di velocità a maggiore risoluzione è chiaro che dovremo scegliere un piccolo tasso di incremento nei tempi e nelle velocità e una finestra con pochi campioni temporali. Tipicamente la dimensione della finestra è scelta tale che non sia più lunga della durata dell'ondina anche se talvolta, per risolvere meglio eventi interferenti, potrebbe essere utile scegliere una finestra più stretta. Il suo tasso di avanzamento nei tempi dovrebbe non essere più grande della metà della sua lunghezza, ovvero l'overlapping delle finestre non dovrebbe essere minore del 50%. Il tasso di avanzamento nelle velocità invece non è soggetto a vincoli ma dipenderà soltanto dal grado di risoluzione desiderato.

Nei seguenti paragrafi introduciamo i funzionali di coerenza più comuni per l'analisi di velocità, tra cui:

• Semblance: con la sua variante a maggiore risoluzione di Bootstrapped Differential

Semblance

• Cross-correlazioni: Quest'ultima viene vista in dominio sia scalare che complesso

introducendo un metodo di phase-enhancement. • Complex Matched Filter

• Metodo Eigenstructure

• Phase-stack

Nei paragrafi seguenti faremo riferimento a un CMP gather composto da M canali e a una finestra temporale composta da N+1 campioni temporali, con parametri cinematici di prova t0, vk che va a selezionare una porzione di CMP gather d(t,x) (equazione 11).

CAPITOLO 2

SEMBLANCE E CROSS-CORRELAZIONI

2.1 INTRODUZIONE

In questo paragrafo vengono presentati i funzionali di coerenza di Semblance e di cross-correlazione, quest'ultimo secondo diversi tipi di normalizzazione. Si dimostra come la Semblance risulti essere connessa alla cross correlazione normalizzata rispetto all'energia e ai metodi di stacking, ovvero di somma, e come sia correlata direttamente con il rapporto tra l'energia in uscita e quella in entrata del dato. Tra le proprietà della Semblance la più degna di nota è la sensibilità alle variazioni di ampiezza o alla varianza.

2.2 CROSS-CORRELAZIONI

Per il dato d(t,x) sappiamo che la funzione di cross-correlazione a zero lag non normalizzata, tra due canali distanziati di un numero di campioni p, è:

7) _{N 1}1

∑

t =t0−N / 2

t0N / 2

d t , x_i, d t , x_{i p}

dove d(t,xi) rappresenta la traccia all'offset i-esimo della matrice sismica estratta. La normalizzazione più comune della funzione di cross-correlazione è quella statistica ed è data dall'espressione: 8)

∑

t=t0−N / 2 t0N / 2 d t , x_i,d t , x_{i  p}



∑

t =t0−N / 2 t0N / 2 d t , x_i2

∑

t=t0−N / 2 t0N / 2 d t , x_{i p}2

Il denominatore della funzione di cross correlazione normalizzata rappresenta la media geometrica dell'energia tra i due canali, ovvero è la radice quadrata dei prodotti delle energie, che in questo caso anche le varianze in quanto il dato è a media zero. Questa espressione varia tra ± 1 a seconda del grado di somiglianza della fase e dell'ampiezza tra i due canali.

Se le ampiezze rms dei segnali appartenenti ai due canali differiscono tra loro ma sia la fase che l'inviluppo dei due segnali sono identiche, la normalizzazione geometrica darà una

correlazione unitaria. Quindi la normalizzazione geometrica non risulta sensibile alla scalatura in ampiezza dei canali che, a seconda delle applicazioni, potrebbe o non potrebbe essere desiderata. Per il dato d(t,x) estratto dalla finestra iperbolica di prova, una misura di coerenza può quindi essere ottenuta sommando i coefficienti di cross-correlazione relativi a tutte le coppie indipendenti degli M canali del CMP gather, allo scopo di produrre una misura di coerenza più affidabile rispetto a quella calcolata tra due soli canali. Basandoci sull'espressione 7 possiamo scrivere quindi la somma delle cross-correlazioni non normalizzate come: 9)

∑

p=1 M −1

∑

i=1 M − p 1 N 1t=t0

∑

−N /2 t0N / 2 d t , x_i,d t , x_{i p}

Normalizzando l'espressione 9 rispetto alla somma geometrica dell'energia, otteniamo:

10) C t0,vk= 2 M −1 M t=t0

∑

−N /2 t0N /2

∑

p=1 M −1

∑

i =1 M − p _{d t , x} i, d t , xi p



∑

t =t0−N /2 t0N /2 d t , xi 2

∑

t =t0−N / 2 t0N / 2 d t , xi p 2

dove C(t0,vk) sarà il valore assunto dallo spettro di coerenza in corrispondenza della coppia di coordinate t0, vk. La costante 2/((M-1)M), corrispondente all'inverso del numero totale di coppie indipendenti di canali, è stata introdotta per far sì che il funzionale di coerenza continui a variare in un range di valori compresi tra ± 1. In notazione matriciale l'espressione 10 diventa: 11) _{C t} 0,vk= 2 M −1 M

∑

i=1 M

∑

i ' i Rii ' 0



R_{ii }0 R_{i ' i ' }0 dove: 12) Rii' 0=

∑

t =t0−N / 2 t0N /2 d t , xid t , xi' 

Computazionalmente, per ogni finestra temporale, l'espressione 10 richiede M(M-1)(N-1)/2 Sviluppiamo ora un'espressione analoga per la formula 9, introducendo la facilmente verificabile identità: 13)

∑

t=t0−N /2 t0N /2

[

∑

i=1 M d t , xi

]

2 =

∑

t=t0−N /2 t0N / 2

[

∑

p=1 M −1

∑

i=1 M − p d t , xid t , xi p

∑

i =1 M d t , xi 2

]

E' ora evidente che l' espressione 9, la somma delle cross correlazioni di tutte le coppie indipendenti di canali, è equivalente a ½ di una differenza di energia, ovvero:

14)

∑

t0−N / 2 t0N / 2

∑

p=1 M −1

∑

i=1 M − p d t , x_id t , x_{i p} = 1 2t0−

∑

N / 2 t0N / 2

[



∑

i=1 M d t , x_i2−

∑

i=1 M d t , x_i2

]

In notazione statistica possiamo scrivere l'equazione 14 come:

15)

∑

i=1 M

∑

i ' 1 Ri ,i ' 0= 1 2

∑

i=1 M 

∑

i ' =1 M Ri ,i ' 0−Ri ,i0

L'equazione 15 mostra che la somma delle cross-correlazioni non normalizzate è uguale alla metà della differenza tra l'energia in output e in input della matrice sismica d(t,x). Come output consideriamo lo stacking della matrice in input, ovvero la somma delle tracce.

Nella sezione seguente si introduce il coefficiente di semblance, presentando nuovamente le cross correlazioni e considerando le analogie tra i sue funzionali.

2.3 SEMBLANCE

Per una data finestra di parametri cinematici di prova t0, vk, il coefficiente di Semblance Sc (Taner e Koehler, 1969) è definito come il rapporto tra l'energia in output e in input della matrice sismica d(t,x) in essa contenuta. Come energia in output si intende semplicemente il quadrato della somma delle tracce mentre come energia in input si intende la somma dei loro quadrati. 16) Sc=

∑

t=t0−N /2 t0N /2

[

∑

i =1 M d t , xi

]

2 M

∑

t=t0−N / 2 t0N / 2

∑

i=1 M d t , xi 2

Sfruttando la relazione 15, in notazione matriciale la formula 16 diventa:

17) Sc=

∑

i=1 M

∑

i ' =1 M Ri ,i ' 0 M

_∑

i=1 M R_{i ,i}0 =

∑

i=1 M

[

2

∑

i ' i Ri ,i ' 0Ri ,i0

]

M

_∑

i=1 M R_{i ,i}0

Quindi il coefficiente di Semblance è il rapporto tra l'energia in output e in input normalizzato. Dovremmo evidenziare comunque che, come una misura di coerenza, il coefficiente di Semblance è amplitude biased, in quanto non contiene informazioni cross canali. Quindi, se l'espressione 10 non è sensibile a variazioni di ampiezza rms da traccia a traccia, l'espressione 16 è seriamente penalizzata da tale variazione.

Adottando un semplice modello lineare segnale – rumore, il coefficiente di semblance può anche essere espresso come il rapporto tra l'energia del segnale e l'energia totale, sotto l'assunzione che la somma del rumore lungo tutti i canali ad ogni tempo sia zero. Specificatamente, il dato osservato può essere espresso come:

18) d t , xi=Stnt , xi

dove St e n(t,xi) stanno a indicare il segnale e il rumore rispettivamente. Sostituendo la 18 alla definizione 16: 19) S_c=

∑

t =t0−N /2 t0N /2

[

M2S_t22S_t

_∑

i=1 M n_{t , xi}

∑

i=1 M n_{t , xi}2

]

M

_∑

t=t0−N /2 t0N /2 M S_t22S_t

_∑

i=1 M n_i

∑

i=1 M n_2_{t , xi} = M

∑

t=t0−N / 2 t0N / 2 S_t2 M

_∑

t=t0−N / 2 t0N / 2 S_t2

∑

t=t0−N / 2 t0N / 2

∑

i=1 M n_2_{t , xi}

dove come detto in precedenza, si assume che la somma del rumore lungo i canali sia uguale a zero. L'equazione 19 è precisamente il rapporto tra l'energia del segnale e l'energia totale lungo la finestra iperbolica in analisi.

2.4 COMMENTI

Le cross correlazioni normalizzate statisticamente dell'equazione 10, in assenza di variazioni di ampiezza o di distorsione di fase, si comporteranno esattamente come il coefficiente di Semblance. Qualora si verifichino variazioni di ampiezza o di forma, indotte ad esempio da AVO o da rumore, la semblance risulterà invece penalizzata rispetto alle cross correlazioni normalizzate statisticamente. Anche il rumore infatti, andando a modificare l'ampiezza e sulla forma del segnale lungo i canali del dato, va a influenzare il valore del coefficiente di Semblance. Le precise caratteristiche di questi effetti dipendono dalle statistiche del rumore e delle interazioni tra rumore e segnale.

Il coefficiente di Semblance risulta accurato solo in presenza di rumore incoerente, non tiene conto quindi degli eventi interferenti o di qualsiasi rumore spazialmente correlato. Questo spiega in parte la scarsa risoluzione ottenuta con la Semblance e con altre tecniche basate sullo stacking delle tracce. La risoluzione tra eventi vicini nei tempi e nelle velocità è ridotta i quanto lo stack di eventi interferenti è costruttivo in un ampio range di tempi e di velocità. Questi effetti risultano in un massimo di coerenza largo e quindi una bassa risoluzione nelle velocità e nei tempi. Le cross-correlazioni normalizzate statisticamente mostrano una risoluzione comparabile rispetto alla Semblance.

CAPITOLO 3

HIGH-RESOLUTION AND STANDARD BOOTSTRAPPED

DIFFERENTIAL SEMBLANCE

3.1 INTRODUZIONE

Questo funzionale di coerenza si avvale della tecnica di Bootsrapping per produrre spettri a maggiore risoluzione utilizzando nuovamente il concetto di Semblance. Il Bootsrapping è una tecnica che si avvale del ricampionamento del dato in input e comunemente il suo scopo è la stima delle proprietà statistiche caratterizzanti il dato stesso come la media, la varianza e l'intervallo di confidenza (Efron, 1979) per problemi in cui l'espressione analitica della funzione di densità di probabilità è sconosciuta o difficile da determinare. Nell'algoritmo di bootstrapped differential semblance, il bootstrapping viene invece impiegato per il riordinamento delle tracce all'interno della matrice d(t,x) e successivamente nel calcolo del fattore normalizzato di semblance differenziale (Abbad et al., 2009) il cui valore dipenderà dallo shift delle ondine al variare dell'offset introdotto nelle tracce in seguito al riordinamento. Massimizzando lo shift tra le tracce si massimizza l'operatore normalizzato di semblance differenziale e quindi la capacità di discriminazione degli esatti parametri di cinematici delle iperboli di riflessione. Questo stimatore di coerenza potrebbe essere una buona alternativa alla semblance in quanto premette di ottenere spettri di velocità a più alta risoluzione rispetto ad essa, e il suo costo computazionale è minore rispetto agli algoritmi classici ad alta risoluzione come il metodo agli autovalori. Il principale limite di questo metodo è che si necessita un grande numero di operazioni di “bootstrap” per migliorare la risoluzione ma questo può comportare la difficoltà a vedere riflessioni deboli.

3.2 STANDARD BOOTSTRAPPED DIFFERENTIAL SEMBLANCE

Per la matrice sismica d(x,t) estratta dalla finestra iperbolica con parametri cinematici di prova t0, vk , il coefficiente di standard bootstrapped differential semblance (BDS) è (Abbad et al., 2009):

20) BDS =1−D S

dove D è il coefficiente normalizzato di semblance differenziale (Symes e Carazzone, 1991; Plessix et al., Brandsberg-Dahl et al., 2003; Abbad et al., 2010) che assume un valore minimo per eventi ben allineati, ovvero per la finestra iperbolica di “best fitting” e S è il classico coefficiente di Semblance. Il coefficiente BDS è definito in modo tale che vari tra un range di calori compresi tra 0 e 1. L'introduzione dell'operatore scalare (1-D) ha l'obiettivo di attenuare alti valori di coerenza quando la matrice sismica d(t,x) selezionata

dalla finestra iperbolica di prova e corretta di NMO, non presenta un buon allineamento. Dopo l'applicazione della tecnica di bootstrapping, il valore di ampiezza della matrice sismica al tempo t e all'offset riordinato x'i (i=1,...,M) sarà d(t,x'), mentre t0 è il tempo su cui è centrata la finestra iperbolica. Il coefficiente normalizzato di Semblance differenziale D, al contrario del coefficiente di Semblance S, dipende dall'ordinamento delle tracce della matrice sismica, in quanto al contrario di quest'ultimo non gode della proprietà commutativa. 21) D= M

_∑

t=t0−N / 2 t0N / 2

∑

i=2 M [d t , x'_i−d t , x '_i−1]2 4M −1

∑

t=t0−N /2 t0N /2

∑

i=1 M d t , x'i 2

Sia il coefficiente di Semblance S che il fattore (1-D) sono compresi tra (0, 1). Di conseguenza il coefficiente BDS risultante dalla moltiplicazione dei due nell'equazione 20 varierà entro il medesimo range. Sviluppando il numeratore dell'equazione 21 otteniamo:

22) D= M

_∑

t=t0−N / 2 t0/2 [

∑

i =2 M d t , x'_i2−2

_∑

i=2 M d t , x'_id t , x '_i−1

∑

i=2 M d t , x '_i−12] 4M −1

∑

t=t0−N /2 t0N / 2

∑

i =1 M d t , x'i 2

Dalla disequazione di Cauchy-Schwarz otteniamo: 23) ∣

∑

i=2 M d t , x'id t , x 'i−1∣ ≤



[

∑

i =2 M d t , x 'i2

∑

i=1 M −1 d t , x'i2]

I due termini della disequazione 23 diventano uguali in due casi:

• d(t,x'i) = d(t,x'i-1) , i = 2,...., M. Questo è il caso in cui all'interno della finestra iperbolica le tracce siano perfettamente allineate e non sia presente rumore. Avremo quindi D = 0 e S = 1, producendo un valore BDS = 1.

• d(t,x'i) = -d(t,x'i-1), i = 2,..., M. In questo caso avremo D = 1 e S = 0 e quindi un BDS = 0. Questo è il caso in cui ho una inversione di polarità delle tracce a partire da metà offset. In questo caso infatti un bootstrapping di tipo deterministico produrrebbe l'accostamento di tracce adiacenti con polarità opposta. Il verificarsi di questa situazione è comunque difficile in quanto le variazioni di ampiezza con l'offset (AVO) sono solitamente delle funzioni smooth.

3.3 BOOTSTRAPPING

Come detto in precedenza, la tecnica di bootstrapping consiste nel riordinamento del dato in input, in seguito al quale viene prodotto un altro dataset della stessa lunghezza ma con differenti proprietà statistiche. Il Bootsrapping è quindi simile al metodo Monte-Carlo, ai metodi Bayesiani ma a differenza di questi non richiede informazioni aggiuntive ai campioni stessi del dato. Per una matrice composta da una serie di n tracce sismiche (x1, x2,...,xn) il bootstrapping è perciò quel processo che, alterando l'ordine dei tracce nella matrice data, produce un'altra matrice sismica delle stesse dimensioni. Il processo di riordinamento può essere random o deterministico.

Il riordinamento random dei campioni produce, per una serie numerica di lunghezza n, un numero totale di combinazioni uguale a n!. Effettuando un riordinamento di tipo random delle tracce sismiche, tra tutte queste possibili combinazioni, le uscite del bootstrapping che enfatizzeranno maggiormente lo shift tra tracce adiacenti produrranno uno spettro BDS a più alta risoluzione, in quanto per queste uscite sarà massimizzato l'operatore normalizzato di semblance differenziale D, e ciò consentirà di discriminare maggiormente le velocità che producono elevati valori di Semblance. Questo significa che lo spettro di velocità risultante sarà a più alta risoluzione.

Il riordinamento di tipo random non è predicibile per definizione e può quindi non offrire un buono sfasamento per tutte le coppie di tracce. Il riordinamento deterministico dei campioni consiste nell'alternare tracce a offset vicino e a offset lontano in modo da assicurare il maggiore shift possibile tra tracce adiacenti e quindi per massimizzare l'operatore di Semblance differenziale D e quindi massimizzare la risoluzione dello spettro BDS. Dato quindi una matrice di n tracce esiste una sola possibile uscita di bootstrapping deterministico data dall'equazione 24:

24) x' =[ x1,xm1, x2,xm2,... , xk, xm k ,... , xm, xM]

dove m = M/2

3.4 HIGH-RESOLUTION BOOTSTRAPPED DIFFERENTIAL

SEMBLANCE

Questo metodo consiste nell'effettuare più iterazioni di bootstrapping di tipo random sul dato sismico di partenza. Ad ogni iterazione il bootstrapping provoca una variazione del valore del coefficiente normalizzato di Semblance differenziale D, che va ad essere maggiore o uguale rispetto a quello calcolato sulle tracce non riordinate disposte in ordine di offset crescente. Alla fine delle r iterazioni applichiamo l'equazione 25:

Questo coefficiente di coerenza varia ancora tra 0 e 1 ma è a maggiore risoluzione di quello definito nell'equazione 20. Nell'equazione 25 il coefficiente di semblance appare una sola volta in quanto è sempre lo stesso per ogni iterazione di bootstrapping. La risoluzione di questo nuovo coefficiente di coerenza aumenta all'aumentare del numero di iterazioni r. Il costo computazionale di questo nuovo operatore è però in questo caso paragonabile a quello dei comuni algoritmi ad elevata risoluzione (algoritmo agli autovalori). Un problema che si riscontra includendo un elevato numero di operazioni di bootstrap nel coefficiente BDSr ad alta risoluzione è che questo sarà in grado di risolvere agevolmente le forti riflessioni a spese di quelle deboli, in quanto, come l'algoritmo agli autovalori, soffre dell'elevato range dinamico che attenua gli eventi a debole energia presenti nel CMP gather.

3.5 COMMENTI

Il numero di operazioni richieste per calcolare il coefficiente di Semblance è 3NM, dove M è il numero di tracce sismiche e N è il numero di campioni temporali per una data finestra iperbolica. Per calcolare il fattore normalizzato di Semblance differenziale D abbiamo bisogno di 4NM operazioni. Per il calcolo del coefficiente di coerenza BDS il numero di operazioni si riduce da 7NM a 5NM in quanto il denominatore è comune a entrambe le equazioni per il calcolo di S e D . Perciò possiamo dire che il calcolo della BDS richiede circa i due terzi in più di costo computazionale rispetto alla Semblance. Un costo computazionale aggiuntivo è inoltre necessario per effettuare il bootstrapping delle tracce sismiche. Questo costo è dell'ordine di M2 _{operazioni ed è maggiore di quello relativo al}

calcolo della BDS, in quanto il numero di tracce sismiche all'interno di una finestra iperbolica è molto maggiore del numero di campioni temporali (M>>N perciò M2 _{>> 5NM).}

Per questo motivo è preferibile applicare un bootstrapping di tipo deterministico una sola volta.

CAPITOLO 4

COMPLEX MATCHED FILTER

4.1 INTRODUZIONE

Il complex matched filter introduce una nuova classe di funzionali di coerenza basata sull'analisi complessa, delle tracce. Esso si avvale della conoscenza a priori dello spettro di ampiezza dell'ondina sorgente per poter applicare un filtro adattativo nel calcolo dello spettro di velocità. Il CM si basa sulla somma di correlazioni normalizzate tra ondina e tracce, effettuate lungo l'offset. Dato che trattiamo l'analisi di segnali complessi, non è richiesta nessuna informazione sulla fase dell'ondina (a fase minima o a fase zero). Lo spettro di velocità risultante presenterà talvolta una maggiore accuratezza e risoluzione rispetto ai funzionali classici di coerenza, a spese del moderato aumento del costo computazionale (meno del doppio del costo computazionale della Semblance).

4.2 COMPLEX MATCHED FILTER

Tutti i funzionali di coerenza, secondo Taner er al (1979), possono essere immediatamente generalizzati ai CMP gathers a valori complessi. Il Complex Matched filter appartiene a questa categoria di funzionali di coerenza. Mediante l'analisi complessa dei segnali possiamo ricavare un segnale analitico S(t) a partire dal rispettivo segnale reale s(t). Questo viene fatto attribuendo il segnale s(t) alla parte reale del segnale analitico e la sua trasformata di Hilbert H(s(t)) (Oppenheim e Shafer 1975). alla parte immaginaria di S(t). Il segnale analitico può quindi essere espresso come:

26) S t =s t iH  s t 

Consideriamo quindi la matrice analitica ψ(t,x) ottenuta dalla trasformata di Hilbert della matrice sismica d(t,x) estratta dalla finestra iperbolica di parametri cinematici di prova t0, vk

.

Quando la matrice ψ(t,x) contiene una riflessione perfettamente allineata, ovvero è relativa a una finestra iperbolica di “best fitting”, essa può essere descritta come wv*, dove w=[w1, w2, …. , wN]T è il vettore della wavelet analitica campionata e v=[v1, v2, ….. , vM]T è un vettore le cui componenti rappresentano la variazione di ampiezza (AVO) e di fase (PVO) al variare dell'offset (T indica l'operatore di trasposizione di matrice mentre * indica l'operatore di trasposizione del coniugato della matrice). La matrice ψ(t,x) può essere perciò scritta come:

dove la matrice N(t,x) tiene conto degli eventi interferenti che mostrano un moveout residuale successivamente alla correzione di NMO statico, con rumore correlato e scorrelato con l'offset. Supponendo di conoscere il vettore della wavelet w (può essere conosciuta a priori oppure può essere stimata dai dati), la migliore stima di v sotto il punto di vista dei minimi quadrati per la coppia di parametri cinematici t0 vk, è data dalla formula 28:

28) v ' t_0,v_k=w∗ψ t , x ∣∣w∣∣

dove al denominatore è presente la norma euclidea della wavelet. Senza prendere in considerazione il fattore di normalizzazione al denominatore, la 28 è uguale alla somma dei prodotti tra il vettore wavelet w e ciascuna traccia della matrice ψ(t,x). Trascurando il fattore di normalizzazione posso scrivere questa formula come:

29) v ' t0,vk =

[

w1 w2 ... wn

]

[

ψ t_1,x₁ ψ t_1,x₂ . . . ψ t_1,x_M ψ t_2,x₁ ψ t_2,x₂ . . . ψ t_2,x_M . . . . . . . . ψ tN, x1 ψ tN, x2 . . . ψ tN, xM

]

Questa è la stima ottima, nel senso dei minimi quadrati, dei parametri AVO e PVO ottenuta dall'applicazione di un filtro adattivo. Dato il coefficiente di correlazione normalizzato tra la wavelet e una traccia sismica all'offset i-esimo appartenente alla matrice ψ(t,x):

30) t0,vk; xi =

w∗ψ  xi

∣∣w∣∣∣∣ψ  x_i∣∣ =

v '  xi

ψ  x_i

l'algoritmo di coerenza CM (complex matched filter) è definito come la semblance dei singoli coefficienti di correlazione normalizzati ρ(xi):

31) CM t0,vk= [

∑

i=1 M t0,vk; xi] 2

∑

i=1 M t_0,v_k; x_i2

Dalla 30 vediamo che i coefficienti di correlazione da cui si ottiene il coefficiente di coerenza CM(t0,vk) sono normalizzati rispetto a ogni singola traccia che compone la matrice ψ(t,x). Questo significa quindi che il CM non sarà sensibile a variazioni di ampiezza con l'offset (AVO). Tuttavia il CM rimane sensibile al PVO che però è solitamente trascurabile per piccoli angoli di incidenza. L'algoritmo CM fornisce spettri di velocità a più alta risoluzione rispetto a quelli ottenuti dagli algoritmi tradizionali, persino con una wavelet arbitraria il cui spettro di ampiezza è stimato con un certo grado di incertezza. Gli algoritmi CM e Sembance (Neidell e Taner, 1971) sono simili in quanto quest'ultima può essere facilmente vista come il quadrato della somma dei prodotti tra ogni singola traccia della matrice ψ(t,x) e la traccia media calcolata lungo l'offset. Ciò corrisponde all'implementazione di un filtro adattivo della media di ψ(t,x).

CAPITOLO 5

METODO EIGENSTRUCTURE

5.1 INTRODUZIONE

Nel campo del processing di dati sismici, i metodi ad alta risoluzione (Wax e Kailath, 1984; Schmidt, 1986; Bienvenu e Kopp, 1983) sono definiti come metodi del sottospazio del segnale, in quanto decompongono il campo d'onda nei due sottospazi vettoriali ortogonali relativi al segnale e al rumore. Molti di questi metodi in passato venivano applicati a dati acustici a banda stretta (MUSIC). Dall'adattamento di questi metodi ai segnali a banda larga sviluppiamo una misura di coerenza ad alta risoluzione per l'individuazione degli eventi e per la stima della loro velocità.

Questo metodo si basa sulla stima del rapporto segnale rumore (S/N) e di un fattore di pesatura Wc per mezzo degli autovalori della matrice di covarianza basandosi sull'assunzione che quando un evento riflesso risulta perfettamente allineato in seguito alla correzione di NMO da parte di una finestra iperbolica, la varianza del dato sarà indirizzata interamente dal primo autovalore della matrice di covarianza, mentre gli autovalori successivi saranno prossimi allo zero. Perciò possiamo dire che il primo autovalore della matrice di covarianza del dato indirizza il segnale, mentre gli autovalori maggiori di uno indirizzano il rumore sia di tipo incoerente che coerente. Il rumore associato con la finestratura di una riflessione a una velocità non corretta è un esempio di rumore coerente che non può essere soppresso da una semplice operazione di stacking, e l'interferenza tra più eventi riflessi è un altro esempio. Ogni tipo di rumore coerente o incoerente elevato in ampiezza è problematico causa dei problemi quando si applicano altre tecniche di coerenza. Per ogni finestra di parametri cinematici di prova viene quindi calcolata la matrice di covarianza di cui viene effettuata la decomposizione ai valori singolari. I suoi autovalori permettono di effettuare la stima simultanea dell'energia del segnale e del rumore appartenenti al dato d(t,x) e di calcolare da queste due quantità una misura di coerenza che chiameremo misura di covarianza. Proprio grazie a questa sua abilità di discriminazione dell'energia del segnale da quella del rumore, questo metodo risulta essere ad alta risoluzione per la costruzione degli spettri di velocità.

5.2 TRATTAZIONE TEORICA

Per un array di ricevitori composto da M canali possiamo scrivere il modello in output registrato al tempo t e all'offset i-esimo come:

dove s(t) è il vettore del segnale e n(t) è il vettore del rumore. 33) d =dt , x1,... ,dt , xM s=st , x1,... , st , xM n=n_{t , x} 1,... ,nt , xM

Per ciascuna finestra iperbolica di prova, solo l'energia coerente del dato d(t,x) corretto di NMO contribuirà a incrementare l'energia del segnale. Il rumore coerente, come eventi interferenti o eventi che in seguito alla correzione di NMO presentano un moveout residuale, e incoerente saranno espressi contribuiranno invece a incrementare l'energia del rumore.

Facendo il prodotto vettoriale tra d e dT _{(dove T indica l'operatore di trasposizione)} otteniamo:

34) dTd =sTssTnnTsnTn

Assumiamo che il noise e il segnale siano scorrelati (che quindi sT_{n e n}T_{s siano uguali a} zero), con media zero e varianza σ2

N e σ2S rispettivamente, e che il noise stesso non presenti una correlazione ne lungo le tracce ne lungo i campioni. Prendendo l'aspettazione dell'equazione 34 otteniamo:

35) R=E [ sTs ]N

2

I

dove E[*] denota l'operatore di aspettazione, R la matrice di covarianza del segnale ricevuto e I la matrice di identità. La matrice R possiede le seguenti proprietà:

• In quanto E[sTs] è una matrice di rango unitario essa possiede solo un autovalore

diverso da zero dato da σ2

S, corrispondente alla varianza del segnale ricevuto.

• Il minore autovalore di R è σ2N, corrispondente alla varianza del rumore, con molteplicità (M-1), (i.e., λi = σ2N , 2<= i <= M)

• Il maggiore autovalore di R è λ1 = σ2N + σ2S.

Quando il campo di rumore ha media diversa da zero, a ciascun autovalore di R sarà aggiunto un termine costante proporzionale al quadrato della media del rumore. In pratica questo termine non è connesso né con il segnale né con il rumore e può essere trascurato. In ogni caso si può vedere che la presenza di tale termine non influenza la stima della varianza del segnale determinata dall'autovalore più grande λ1.

La determinazione degli autovalori della matrice di covarianza R basata sulle proprietà precedentemente elencate permette di effettuare la separazione del campo del rumore da quello del segnale. Infatti l'autovalore più grande rappresenta una stima della varianza del segnale mentre gli autovalori minori forniscono una stima della varianza del rumore come segue:

36) 1=s 2 N 2 i=N 2 2≤i≤M

Essendo R solo una stima della matrice di covarianza in realtà non avrò M-1 autovalori uguali a σ2

N ma valori che decrementano progressivamente. La stima della varianza associata al rumore verrà quindi calcolata come media degli autovalori minori:

37) N 2 =

∑

i=2 M  i M −1

Usando questa formula come stima della varianza del rumore, la varianza del segnale potrebbe essere calcolata come differenza tra l'autovalore più grande (il primo) e questa quantità. 38) 2s=1−

∑

i=2 M  i M −1

Perciò, come stima del rapporto segnale rumore (S/N) , possiamo adottare la seguente formula: 39) S / N = ₁−

∑

i=2 M _i/M −1

∑

i=2 M _i/M −1

Se non è presente nessun segnale :

40) ₁≈2_N ₁−

∑

i=2 M  i M −1≈N 2 −_N2≈0 quindi S/N = 0

Grazie alla sensibilità degli autovalori alla presenza del segnale, per la stima del rapporto S/N può essere applicata una funzione peso Wc di formula:

41) Wc=N ln

[



∑

i=1 M _i/M M

∏

i=1 M _i

]

dove si ricorda che N è il numero di campioni temporali entro la finestra iperbolica e λi sono gli autovalori della matrice di covarianza stimata. L'applicazione di questa funzione peso al coefficiente S/N favorisce l'individuazione del segnale in quanto questo rapporto assume

valori molto grandi in presenza di una alto rapporto S/N e vicini a zero in presenza di basso S/N (Bienvenu e Kopp ,1983, Waterneaux ,1984). Più precisamente:

1) in presenza di solo rumore λi = λj = σ2N per tutte le coppie di indici i, j, quindi:

42) Wc=N ln [1]=0

2) in presenza di solo segnale λ1 = σ2S e λi = σ2N = 0 per i ≥ 2, dando: 43) Wc⇒ ∞

Quindi il peso Wc, applicato alla funzione 27 per la stima del rapporto S/N, consente di effettuare una ulteriore discriminazione del segnale dal rumore. La misura di coerenza Cc sarà definita come prodotto tra il peso Wc la stima S/N:

44) Cc=N ln

[



∑

i=1 M _i/M M

∏

i=1 M _i

]

[

₁−

∑

i=2 M _i/M −1

∑

i=2 M _i/M −1

]

Perciò, durante l'analisi di velocità, l'energia relativa a finestre iperboliche con parametri cinematici diversi da quelli delle iperboli di riflessione contenute nel CMP gather, sarà distribuita su tutti gli autovalori della matrice di covarianza R. Viceversa, per le finestre iperbolica di “best fitting”, tutta l'energia si concentrerà nel primo autovalore di R, λ1, mentre tutti gli altri suoi autovalori λi, i>1 assumeranno valori che decrementano rapidamente. Questo metodo così strutturato consentirà di ottenere un'analisi di velocità ad alta risoluzione, meno affetta dal rumore sia coerente che incoerente.

Questo risulta particolarmente utile quando abbiamo eventi interferenti ovvero vicini sia nei tempi che nelle velocità. In questo caso infatti, per ogni finestra iperbolica di best fitting, l'energia proveniente da eventi vicini non contribuisce alla stima dell'energia del segnale, ma entrerà a far parte dell'energia del rumore in quanto si distribuirà tra gli autovalori minori. Ciò comporterà una diminuzione della misura di coerenza rispetto ad eventi non perturbati in quanto incrementa la varianza del rumore, ma non comporterà nessuna perdita di risoluzione.

Il calcolo simultaneo dell'energia del segnale e del rumore per ogni finestra iperbolica con parametri di moveout t0, vk, consente di effettuare una forte discriminazione dei parametri cinematici di best fitting delle finestre iperboliche di prova con cui viene scansionato il CMP gather. L'abilità con cui viene stimato il campo del rumore durante questo processo è critica per l'individuazione di eventi e per ottenere un'elevata risoluzione nelle velocità. Questo coefficiente di coerenza tuttavia, non essendo normalizzato, possiede un elevato range dinamico che provoca l'attenua gli eventi a debole energia presenti nel CMP gather.

5.3 PROCEDURA

Assumendo che il processo sia stazionario ed ergodico, la stima della matrice di covarianza R del dato d(t,x)relativo alla finestra iperbolica di parametri cinematici di prova t0 e vk , viene effettuataattraverso la seguente formula:

45) R=d t , xTd t , x

dove T è l'operatore di trasposizione. R è una matrice quadrata e simmetrica e ha dimensione MxM dove M è il numero di tracce sismiche all'interno della matrice d. La decomposizione ai valori singolari (SVD) applicata alla matrice R può essere espressa come:

46) R=E  ET

dove E è la matrice modale contenente gli autovettori della matrice di covarianza, e Λ è la matrice diagonale degli autovalori usata per costruire lo spettro di velocità ad alta risoluzione attraverso la formula 44. Per ogni finestra iperbolica avrò quindi M autovalori associati alla rispettiva matrice di covarianza. Nel caso in cui i CMP gathers contengano un gran numero di tracce, il costo computazionale di questa procedura può essere ridotto effettuando uno stacking parziale a gruppi di tracce dentro ciascuna finestra iperbolica prima del calcolo la matrice di covarianza. Questo ha i seguenti vantaggi:

1) Riduzione del costo computazionale, dovuto alla riduzione della dimensione della matrice di covarianza (riduzione da M x M a M' x M' dove M'<M è il numero di tracce ottenute in seguito allo stacking parziale a gruppi).

2) Incremento del rapporto S/N proporzionale al numero di tracce di cui si fa lo stacking parziale a gruppi.

3) Cancellazione parziale degli eventi interferenti con differente moveout residuale. Il calcolo della covarianza e la sua decomposizione ai valori singolari sono ora eseguiti sul sistema ridotto. Quindi per ogni finestra avremo M' autovalori dai quali è calcolata la misura di coerenza.

CAPITOLO 6

PHASE STACK

6.1 INTRODUZIONE

Abbiamo visto in precedenza come l'algoritmo di Semblance consista un metodo di stacking per il calcolo della coerenza. Assumendo che la somma delle tracce venga eseguita lungo la corretta curva di traveltime, ci attendiamo una somma costruttiva del segnale e una somma distruttiva del rumore circostante. Sfortunatamente, una gran parte dei sismogrammi contiene rumore di tipo coerente, il cui stacking produce valori di coerenza ad elevata ampiezza negli spettri di velocità che possono portare a una interpretazione sbagliata delle velocità di stack. La difficoltà nella soppressione del rumore usando tecniche di stacking ordinarie, e la loro soglia elevata nell'individuazione degli eventi, è stata la motivazione per la nascita di tecniche di stacking non lineari (Muirhead, 1968 e Kanasewich e Alpaslan, 1973). Qui presentiamo una tecnica di stacking non lineare che si basa sul calcolo delle fasi istantanee della matrice d(t,x), chiamata phase stack. Questa misura di coerenza utilizza l'analisi complessa delle tracce per il calcolo delle fasi istantanee che saranno utilizzate come argomento di esponenziali complessi di modulo unitario, il cui stacking non risulterà influenzato dalle ampiezze relative del segnale e del rumore. Il funzionale di coerenza di Phase -stack permette quindi l'individuazione di eventi deboli ma coerenti in dati a basso rapporto segnale-rumore.

6.2 TRATTAZIONE TEORICA

Considerando nuovamente l'analisi complessa dei segnali, ricordiamo come possiamo ricavare un segnale analitico S(t) a partire dal segnale reale s(t) per mezzo della sua trasformata di Hilbert H(s(t)) che andrà a far parte della immaginaria di S(t). La formula 26 esprime le relazioni tra parte reale e immaginaria del segnale analitico. Il segnale analitico può anche essere espresso però come un'ampiezza A(t) e una fase ϕ(t) funzione del tempo:

47) S t =At exp[i t ]

Dove A(t) è l'inviluppo di s(t) e ϕ(t) è chiamata fase istantanea di s(t) (e.g. Bracewell 1965). Visualizziamo la traccia analitica come un vettore di lunghezza A(t) che ruota all'avanzare del tempo nello spazio complesso intorno a un asse temporale (Taner, Koehler e Sheriff 1979). La proiezione di questa curva sulla superficie individuata dagli assi reale e temporale è la nostra traccia sismica s(t). Lo stacking lineare ordinario 1/N∑sj(t) consiste nella parte reale della somma deisegnali analitici. Lo schema 1 mostra schematicamente lo stacking di due analitici S1 e S2 a un tempo t = τ . Il risultato della somma vettoriale C(τ) nel piano complesso sarà definito come:

48) C =S1S2

Schema 1: (a) Somma di due campioni dalle tracce analitiche S1(t) e S2(t) nel piano complesso. Il vettore somma C non è molto sensibile a variazioni della fase istantanea ϕ2. (b) S1(t) e S2(t) sono normalizzate campione per campione. Il modulo di C ora è molto più sensibile a variazioni della fase istantanea. Il modulo di C, la phase stack, è una misura diretta della coerenza.

Assumiamo che la fase di S2(τ) sia variabile; sappiamo quindi che C(τ) ha inizio in corrispondenza dell'origine degli assi e termine sul cerchio tratteggiato dipendente dal modulo di S2(τ). L'inviluppo |C(τ)|, rappresentato graficamente dalla lunghezza del vettore C, sarà massimo se i due vettori S1(τ)e S2(τ) hanno la stessa direzione ovvero se entrambe le fasi istantanee ϕ1(τ) e ϕ2(τ) sono uguali. In questo caso i due segnali S1(τ)e S2(τ) risultano coerenti. La somma di segnali incoerenti, ovvero aventi diversa fase istantanea ϕ(τ), porta invece a un più piccolo |C(τ)|. Essendo in questo caso |S1(τ)| diverso da |S2(τ)| vediamo come |C(τ)| non vari considerevolmente al variare di ϕ2(τ).

Questo significa che talvolta, rumore incoerente di grande ampiezza può produrre un |C(τ)| più grande di quello risultante dalla somma di segnale coerente di più piccola ampiezza. La stack di un piccolo dataset in particolare è influenzata da questo tipo di rumore. Normalizzando le tracce analitica S1(t) e S2(t) campione per campione (Schema 1.b) vediamo invece come, essendo |S1(τ)| uguale a |S2(τ)|, l'inviluppo |C(τ)| risulti essere molto più variabile al variare della fase ϕ2(τ). Questo costituisce un incremento del rapporto S/N per |C(τ)|. In questa somma, chiamata phase stack, le ampiezze dei segnali analitici non vengono esplicitamente coinvolte, dato che consiste nella somma di esponenziali complessi (di modulo unitario) con le fasi istantanee in argomento. Per M segnali complessi (ad esempio tracce sismiche analitiche) il phase stack sarà:

49) ct = 1

M∣

∑

j =1 M

exp[i jt ]∣

L'ampiezza del segnale c(t) ottenuto dalla phase stack varierà tra 0 e 1 in funzione del tempo. Se le fasi istantanee degli M segnali analitici ad un certo tempo t sono coerenti,

allora l'ampiezza di c(t) sarà uguale a uno. Viceversa, segnali totalmente incoerenti risulteranno in opposizione di fase, sommandosi in maniera totalmente distruttiva e dando un valore di c(t) uguale a zero.

6.3 PROCEDURA

Nell'analisi di velocità quindi, per la matrice sismica d(t,x) appartenente alla finestra iperbolica di N campioni temporali con parametri cinematici di prova t0, vk, sarà effettuata la trasformata di Hilbert. La parte immaginaria e reale delle tracce analitiche risultanti saranno utilizzate per calcolare le fasi istantanee. Per ciascuna finestra, il relativo coefficiente di phase stack risulterà dall'applicazione della seguente formula:

50) PS t0,vk= 1 N t0=

∑

t −N /2 t0N /2

[

1 M

∑

j=1 M exp[i jt ]

]

2

La formula 50 equivale alla semblance della matrice exp[iϕj(t)], ovvero del dato sismico ricostruito con le fasi istantanee (il valore assoluto di un esponenziale complesso è uguale a 1) 51) PS t0,vk=

∑

t =t0−N /2 t0N /2

[

∑

i=1 M exp[i jt ]

]

2 M

∑

t=t0−N / 2 t0N / 2

∑

i=1 M

∣

exp[i jt ]

∣

2 =

∑

t=t0−N /2 t0N /2

[

∑

i=1 M exp[i jt ]

]

2 M M N = 1 N t0=

∑

t− N /2 t0N / 2

[

1 M

∑

j=1 M exp[i _jt ]

]

2

Lo scopo di questo algoritmo nell'analisi di velocità è quello di sopprimere lo stacking di segnali non coerenti e di mettere in evidenza segnali deboli ma coerenti grazie alla selettività con cui agisce la phase stack rispetto alla somiglianza delle fasi istantanee.

Come abbiamo visto in precedenza la semblance è una misura di coerenza amplitude-biased, ovvero il suo valore sarà sensibile, oltre che a variazioni dalle forme d'onda delle tracce con l'offset, anche variazioni della loro ampiezza relativa. Infatti l'algoritmo di Semblance applicato su due tracce con stessa forma d'onda ma diversa ampiezza fornisce un valore minore di 1 in quanto penalizza i segnali coerenti con ampiezze variabili. Questa dipendenza può oscurare un debole segnale che pur avendo una buona coerenza di fase fornisce un valore di coerenza minore di quello ottenuto da arrivi con fase meno coerente ma con maggiore ampiezza. Una grande variazione di ampiezza di arrivi coerenti risulta inoltre in un valore di semblance molto più basso.

Al contrario il funzionale di phase stack risulta insensibile a variazioni di ampiezza e per questo tipo situazione fornisce un valore di coerenza uguale a 1. Perciò la phase stack

fornirà un valore di coerenza che aumenta con la somiglianza della sola fase istantanea tra le tracce, ciò che permette di individuare deboli arrivi che sono più coerenti del rumore circostante. Questa caratteristica della phase stack risulta estremamente vantaggiosa specialmente per l'individuazione di segnali deboli immersi nel rumore con ampiezza variabile, che perciò risultano essere difficilmente individuabili dalla Semblance.

CAPITOLO 7

CROSS-CORRELAZIONI COMPLESSE

7.1 PROCEDURA

Anche questo algoritmo di coerenza, come il funzionale di coerenza Complex Matched Filter e Phase-stack, si avvale dell'analisi complessa dei segnali, quindi anche in questo caso viene considerata la matrice delle tracce analitiche ottenuta dalla trasformazione di Hilbert del dato di partenza. Esso è basato sul calcolo delle cross-correlazioni normalizzate statisticamente delle tracce analitiche da cui deriverà uno spettro di velocità complesso, sul quale verrà applicato una tecnica di phase enhancement, progettata per incrementarne la risoluzione.

Per la matrice di tracce analitiche ψ(t0,vk) estratta dalla finestra iperbolica con parametri di moveout di prova t0, vk , analogamente alla formula 10, l'algoritmo alle Cross-Correlazioni complesse normalizzato statisticamente sarà:

52)  t_0,v= 2 M −1 M t=t

∑

0−N /2 t0N /2

∑

p=1 M −1

∑

i=1 M − p ∗t , xi,t , xi p



∑

t =t0−N /2 t0N /2 t , xi2

∑

t=t0−N / 2 t0N / 2 t , xi p2

Dove Γ sarà il coefficiente di cross correlazione complesso: 53) =RiJ =∣∣ei 

che soddisfa la relazione:

54) ∣∣=∣RiJ∣≤1

R è la parte reale del coefficiente Γ, J la sua parte immaginaria e ϕ la sua fase:

55) =arg 

che assume valori nell'intervallo (-π,π).

Il vantaggio principale dello spettro di velocità a valori complessi come Γ è che le due componenti cartesiane R e J, indice rispettivamente della coerenza e della mancanza di

coerenza. Per eventi sismici non perfettamente orizzontalizzati in seguito alla correzione di NMO statico, la parte immaginaria J del coefficiente Γ sarà perciò diversa da zero. L'algoritmo alle cross-correlazioni complesse sfrutta queste due componenti per aumentare la risoluzione del risultante spettro di coerenza attraverso un incremento della fase:

56) 

t_0,v=∣ t_0,v∣ei  t0,v

dove α, è un coefficiente arbitrario che rispetta la condizione:

57) ∣ t0,v∣≤

Lo stimatore di coerenza sarà la parte reale del coefficiente di coerenza Γ(α)_:

58) G

v , t0=ℜ v ,t0

G(α)_(t

0,vk) costituirà uno spettro di coerenza a valori reali il cui potere risolutivo è controllabile attraverso il valore di α. Dall'equazione 56 possiamo vedere come α>1 provochi una rotazione verso la parte negativa dell'asse reale dei valori di Γaventi una parte immaginaria J diversa da zero, lasciando invariati soltanto i valori di Γ per cui ϕ = 0 (l'evento è perfettamente coerente). Con il parametro α si vuole quindi incrementare la parte immaginaria di Γ a spese di quella reale, rendendo quindi il funzionale G più selettivo nelle velocità rispetto al coefficiente R.

Questo funzionale perciò produrrà spettri di velocità a più alta risoluzione rispetto ai comuni algoritmi di cross-correlazione e di semblance, specialmente in dati contaminati da alti livelli di rumore. L'esponente α può anche essere scelto come una funzione lineare di t0 che assume valori più grandi a tempi di ascolto maggiori. Infatti all'aumentare del tempo le iperboli di riflessione diventano sempre più piatte e si rende sempre più necessario un aumento di risoluzione nelle velocità.

E' evidente che simili incrementi di risoluzione possono essere ottenuti attraverso la scalatura non lineare dei tradizionali coefficienti di coerenza, per esempio elevando la Semblance a una certa potenza. Tale operazione tuttavia provoca l' aumento del range dinamico del funzionale e per i dati rumorosi potrebbero quindi non essere individuati eventi deboli che producono un valore di coerenza relativamente piccolo. Infatti il funzionale quadratico come la Semblance spesso è elevata alla potenza α=0,5 prima della rappresentazione grafica della matrice di coerenza al fine di evitare il cut-off di picchi di coerenza deboli. Al contrario, un incremento della fase attraverso l'equazione 56 ha solo l'effetto di un restringimento del picco di coerenza lasciando inalterato il range dinamico dell'operatore.

DESCRIZIONE DELLE METODOLOGIE E DEI RISULTATI

OTTENUTI

CAPITOLO 9

CMP SINTETICI

9.1 INTRODUZIONE

Un gran numero di test è stato effettuato su dati sintetici al fine di analizzare le performance di ciascuna misura di coerenza tra quelle sopra elencate in relazione alla tipologia di CMP sintetico su cui viene applicata. In particolare le caratteristiche dei funzionali di coerenza oggetto di indagine sono:

• Accuratezza: grado di corrispondenza tra le velocità di stacking stimate e quelle

reali.

• Risoluzione: grado di dettaglio mostrato dallo spettro di velocità.

• Capacità di individuazione degli eventi: capacità di individuare eventi iperbolici di

bassa ampiezza immersi in rumore.

• Costo computazionale: tempo richiesto dall'algoritmo per operare.

I dati di simica di esplorazione possono avere caratteristiche estremamente variabili che possono essere dipendenti da diversi fattori tra cui:

• Qualità del sondaggio: connessa alla tipologia di sorgenti e di ricevitori impiegati.

Specialmente per quanto riguarda il tipo di sorgente la qualità del dato registrato dipenderà molto dalla fase della sorgente (minima, massima o mista) e dalla sua frequenza centrale.

• Geometrie di acquisizione: i parametri di acquisizione che più controlleranno la

qualità del dato sono il group interval (spaziatura tra i gruppi di ricevitori), l' intervallo di campionamento temporale e il range di offset impiegato.

• Qualità del processing: le caratteristiche del dato che verrà utilizzato dall'analisi di

velocità dipenderanno molto dal tipo di processing precedentemente effettuato che di solito mira alla rimozione del rumore, al recupero delle ampiezze, e un incremento di risoluzione e di accuratezza del dato attraverso il miglioramento del suo spettro di frequenza e di fase (deconvoluzione spiking e shaping).

• Modello geologico: in generale l'eterogeneità del modello geologico può influenzare

molto la qualità del dato registrato. Fattori molto importanti sono il contenuto in fluidi, le porosità, le densità e le velocità Vp e Vs.

Tra i principali problemi che si possono verificare in sismica di esplorazione sono stati presi in considerazione:

• Iperbole di riflessione standard

• AVO (amplitude versus offset): dipendenza dell'ampiezza del segnale riflesso

dall'offset.

• PVO (phase versus offset): dipendenza della fase del segnale riflesso dall'offset.

• Statiche residue: scattering tra le tracce non risolto completamente dalle correzioni

statiche in dato onshore.

• Eventi iperbolici interferenti: frequenti con multiple di fondo mare di grande

ampiezza che si sovrappongono a eventi primari.

Tutti i diversi tipi di CMP sintetici mostrati di seguito sono stati creati con il modello convoluzionale utilizzando come wavelet sorgente un'ondina di ricker con frequenza centrale a 30 Hz e una durata temporale di 160 ms. Il passo di campionamento temporale è di 2 ms e il group interval è di 50 m. A ciascun CMP inoltre è stato aggiunto un rumore gaussiano a media zero filtrato con una banda passante 1-100 Hz la cui energia è uguale a quella del segnale. La matrice del rumore è la stessa per tutti i CMP . Per il CMP sintetico contenente l'iperbole di riflessione standard è stata considerata un'ulteriore matrice di rumore la cui energia è 11 volte quella del segnale. Tutti i CMP sintetici, tranne quelli relativi a eventi interferenti, contengono un'iperbole di riflessione di Velocità uguale a 2000 m/s con tempo intercetto a 0,5 s.

Nella seguente sono riassunti i parametri comuni a tutti i CMP:

Iperbole V = 2000 m/s T0 = 0,5 s

Ondina di ricker F0 = 30 Hz L = 160 ms

Intervallo di campionamento temporale Δt = 2 ms

Group interval Δx = 50 m

Numero di campioni temporali N = 500

Numero di tracce M = 20

Durata temporale Tmax = 1 s

Range offset Xmin = 50 m Xmax = 1 Km

Noise 1 – 100 Hz