cubo di un numero

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(1)CUBO DI UN NUMERO ESPRESSO SOTTO FORMA DI SOMMA DI NUMERI DISPARI Dimostriamo il seguente enunciato : Il cubo di un numero n è uguale alla somma degli n-esimi numeri dispari successivi , partenti da un numero dispari che chiameremo “dispari di partenza” . Questo enunciato può essere rappresentato nella forma sotto riportata, in cui (n2 – n + 1) è, per l’appunto, il dispari di partenza:. . . . . In altre parole : 13 =1; 23 = 3+5 (somma di due numeri dispari di cui il 3 è il numero dispari di partenza ); 33 = 7+9+11 (somma di tre numeri dispari di cui il 7 è il numero dispari di partenza); 43 = 13+15+17+19 (somma di quattro numeri dispari di cui il 13 è il numero dispari di partenza); ……. n3 = somma di n numeri dispari = numero dispari di partenza + n-1 numeri dispari successivi. Il problema è di conoscere il numero dispari di partenza. Intanto osserviamo, a titolo di esempio, che prima di 7 (che è il primo numero dispari da cui partire per poter calcolare 33) ci sono 2 + 1 numeri dispari. Infatti 7 è il 4° numero dispari ( [7 + 1]/2 ). Continuando, 33 = 27 è dato dalla somma di 7 + 9 + 11 , che sono i 3 numeri dispari successivi ai 2 numeri dispari (il 3 e il 5) che, sommati tra di loro,danno come risultato il cubo perfetto precedente a 33 ,ossia 23 = 8 . A sua volta 23 è dato dalla somma di due numeri dispari ( 3 + 5 ) che sono i due numeri dispari successivi al primo numero dispari, che essendo unico, è quindi esso stesso il cubo perfetto precedente a 23 ,ossia 13 = 1. Pertanto il numero dispari di partenza si ottiene considerando che: •. . è la quantità dei numeri dispari che precedono il numero dispari di partenza;. •. perciò il numero dispari di partenza è il . •. al . •. avere la somma di n numeri dispari); due numeri dispari differiscono di 2;. . . . . 1 numero dispari;. 1 numero dispari si devono aggiungere n-1 numeri dispari successivi ( per. Quindi il numero dispari di partenza che occupa la 2. . . 1 1 .. . 1 posizione corrisponde a. Da qui si può affermare che la (1) è vera. Esempio:. . !. . . . ! " # k=0. k=1. k=2. k=3. k=4. Osservazione: 125=5x21+5x4 dove 21 è il numero dispari iniziale; ciò suggerisce che $ % . che rappresenta un altro modo per ottenere il cubo di un numero.. Vitto Giuseppe.

(2) CUBO DI UN NUMERO ESPRESSO SOTTO FORMA DI SOMMA DI NUMERI DISPARI Ci accingiamo a dimostrare il seguente enunciato : . 1

(3) 2 .

(4). dove (n2– n + 1) rappresenta il numero dispari di partenza a cui si devono aggiungere gli (n-1)-esimi numeri dispari successivi per poter calcolare n3.. Utilizzeremo come metodo di dimostrazione quello dell’induzione completa. Per n = 1 , la (1) risulta veritiera; supposto la (1) vera per n bisogna dimostrare che è anche vera per n + 1 . Per n + 1 la (1) diventa : . 1

(5) 1

(6) 1

(7) 1

(8) 2

(9) . . Infatti, partendo dal secondo membro, si ha: . .

(10)

(11)

(12) 1 2 1 1

(13) 2

(14) . . . . 1

(15) 2 2

(16) 1

(17) 1

(18) 1 2 . . . 1

(19) 2

(20) 2 2

(21) 1 2 1 1 2 . . . . 1

(22) 2

(23) 2 2

(24) 3 1 . . 1

(25) 2

(26) 2

(27) 3 1 . . . . 2 3 1 3 3 1

(28) . ( Si osservi che la prima sommatoria ( quella in rosso ), poiché la (1) è assunta vera per n, è uguale a n3; la seconda sommatoria ( quella in verde ) è uguale a n2 (per k che va da 0 a n-1, essa è uguale a n volte n in quanto n viene sommato n-1 volte più la prima volta in cui k=0)).. Vitto Giuseppe.

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