cubo di un numero
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(2) CUBO DI UN NUMERO ESPRESSO SOTTO FORMA DI SOMMA DI NUMERI DISPARI Ci accingiamo a dimostrare il seguente enunciato : . 1
(3) 2 .
(4). dove (n2– n + 1) rappresenta il numero dispari di partenza a cui si devono aggiungere gli (n-1)-esimi numeri dispari successivi per poter calcolare n3.. Utilizzeremo come metodo di dimostrazione quello dell’induzione completa. Per n = 1 , la (1) risulta veritiera; supposto la (1) vera per n bisogna dimostrare che è anche vera per n + 1 . Per n + 1 la (1) diventa : . 1
(5) 1
(6) 1
(7) 1
(8) 2
(9) . . Infatti, partendo dal secondo membro, si ha: . .
(10)
(11)
(12) 1 2 1 1
(13) 2
(14) . . . . 1
(15) 2 2
(16) 1
(17) 1
(18) 1 2 . . . 1
(19) 2
(20) 2 2
(21) 1 2 1 1 2 . . . . 1
(22) 2
(23) 2 2
(24) 3 1 . . 1
(25) 2
(26) 2
(27) 3 1 . . . . 2 3 1 3 3 1
(28) . ( Si osservi che la prima sommatoria ( quella in rosso ), poiché la (1) è assunta vera per n, è uguale a n3; la seconda sommatoria ( quella in verde ) è uguale a n2 (per k che va da 0 a n-1, essa è uguale a n volte n in quanto n viene sommato n-1 volte più la prima volta in cui k=0)).. Vitto Giuseppe.
(29)
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