MOTO CIRCOLARE
Finora ci siamo occupati di moti traslazionali, unidimensionali o bidimensionali. In realtà molti tipi di moto sono di tipo rotazionale, dove un corpo ruota attorno ad un asse, o rototraslazionale dove un corpo ruota attorno ad un asse e contemporaneamente trasla.
Occupiamoci dei moti razionali più semplici. Ci occuperemo in particolare quei moti rotazionali dove il punto materiale ruota attorno ad un asse, mantenendosi sempre alla stessa distanza da esso e sullo stesso piano di rotazione. Moti di questo tipo possono essere rappresentati in più modi.
• RAPPRESENTAZIONE ANGOLARE
Per descrivere la posizione occupata dal punto P possiamo usare gli angoli: scelgo una semiretta orientata di riferimento passante per O. Tale semiretta interseca la circonferenza in A (origine degli archi).
In ogni istante il punto materiale occupa una posizione diversa sulla circonferenza al quale corrisponde un angolo al centro avente per lati la semiretta OA e la semiretta OP:
La pattinatrice artistica sasha Cohen in moto (a) di pura traslazione e (b) di pura rotazione attorno ad un asse
𝑡! → 𝑃! → 𝐴𝑂𝑃! = 𝜃! 𝑡! → 𝑃! → 𝐴𝑂𝑃! = 𝜃! 𝑡! → 𝑃! → 𝐴𝑂𝑃! = 𝜃!
Decidiamo di rappresentare la posizione attraverso il vettore posizione angolare 𝜽:
Il vettore posizione angolare individua il piano di rotazione la posizione occupata e il verso con il quale viene letto l’angolo. L’angolo 𝜃 si misura in radianti e come tale è adimensionale.
Abbiamo definito il vettore velocità media è il vettore definito come il rapporto tra il vettore variazione di posizione e l’intervallo di tempo impiegato, quindi definiremo la velocità
angolare media come il vettore
Dato che i vettori posizione sono vettori paralleli all’asse di rotazione anche il vettore 𝜔! sarà parallelo all’asse e il suo verso sarà dipendente da 𝜃! 𝑒 𝜃!. Dimensionalmente:
𝜔 = 𝑎𝑛𝑔𝑜𝑙𝑜 𝑖𝑛 𝑟𝑎𝑑𝑡𝑒𝑚𝑝𝑜 = 𝑡𝑒𝑚𝑝𝑜1
Nel sistema internazionale l’unità di misura è s-1. Analogamente alle velocità dei moti traslazionali avremo la velocità angolare istantanea:
Il vettore posizione angolare è un vettore
parallelo all’asse di rotazione, avente per intensità l’ampiezza dell’angolo 𝐴𝑂!𝑃 e verso dato dalla regola della mano destra
𝜽 !!⃗
𝜔
!!⃗
!=
Δ𝜃⃗
Δ𝑡
=
𝜃⃗
!− 𝜃⃗
!𝑡
!− 𝑡
!𝜔
!!⃗
!= !
Δ𝜃⃗
Δ𝑡
!
!!→!E la velocità angolare costante
Un moto si dice circolare uniforme quando il vettore 𝝎 è costante , cioè quando il vettore posizione varia in modi uguale in tempi uguali.
Si definisce periodo T il tempo impiegato per percorrere un angolo giro, mentre si definisce frequenza il numero dei giri compiuti nell’unità di tempo. È da notare che
𝒇 =𝟏 𝑻
L’unità di misura della frequenza è l’Hertz (Hz) e si ha 𝟏𝑯𝒛 =𝟏
𝒔
Dato che 𝜔 è costante possiamo calcolare la sua intensità considerando come angolo percorso l’intero angolo giro, quindi
𝝎 =
𝟐𝝅
𝑻
= 𝟐𝝅𝒇
Si può notare che c’è una certa analogia tra il moto rettilineo e i moti circolari aventi piani di rotazione costante: i vettori posizione sono paralleli, i vettori velocità sono paralleli ai vettori posizione, stabilito il verso positivo possiamo rappresentare tali vettori direttamente con dei numeri relativi. Quindi, analogamente al moto rettilineo uniforme si può dimostrare che
𝚫𝜽 = 𝝎 ∙ 𝒕
E che in ogni istante il punto P è individuato da un vettore posizione dato da 𝜽 = 𝝎 ∙ 𝒕 + 𝜽𝟎
MOTO RETTILINEO UNIFORME MOTO CIRCOLARE UNIFORME
𝚫𝒔 = 𝒗 ∙ 𝒕 𝜽 = 𝝎 ∙ 𝒕
𝒔 = 𝒗 ∙ 𝒕 + 𝒔𝟎 𝜽 = 𝝎 ∙ 𝒕 + 𝜽𝟎
• RAPPRESENTAZIONE LINEARE
Un moto circolare è comunque un moto piano e possiamo trattarlo come tutti i moti piani visti finora: possiamo scegliere come punto di riferimento il centro O della circonferenza e rappresentare la posizione con il vettore 𝑂𝑃 , dove OP è il raggio della circonferenza:
𝜔
!!⃗ =
!!!!⃗!!
=
! !!⃗!!!!!⃗!Dimostrazione La velocità istantanea è
𝑣
!=
𝛥𝑟
𝛥𝑡
!"→!𝑣⃗
!=
Δ𝑟
!!!!⃗
Δ𝑡
La velocità istantanea è tangente alla traiettoria in ogni punto, in questo caso è tangente alla circonferenza e quindi perpendicolare al raggio.
Si dimostra che il vettore velocità istantanea ha il verso che segue quello della rotazione e intensità uguale a
Quando
𝛥𝑡 → 0 la corda 𝑃
!𝑃
!è circa uguale all’arco
𝑃
!𝑃
!= ∆𝑠
quindi
𝑣! = ∆𝑟 ∆𝑡 ∆!→!= ∆𝑠 ∆𝑡 ∆!→! ma ∆𝑠 = 𝑟∆𝜃 quindi: 𝑣! = ∆𝑟 ∆𝑡 ∆!→!= 𝑟∆𝜃 ∆𝑡 ∆!→!= 𝑟 ∆𝜃 ∆𝑡 ∆!→!= 𝑟 ∙ 𝜔!In particolare in un moto circolare uniforme il vettore velocità istantanea 𝑣! ha intensità
𝑣! = 𝑟 ∙ 𝜔 =2𝜋𝑟
𝑇 = 2𝜋𝑟𝑓
Indichiamo il vettore velocità istantanea semplicemente con 𝑣.
Come si può vedere dalla figura i vettori 𝜔!!⃗, 𝑣⃗ e 𝑟⃗ costituiscono una terna di vettori perpendicolari, inoltre
Questa relazione esistente tra 𝜔, 𝑣 e 𝑟 può essere espressa semplicemente tramite la notazione vettoriale
Il vettore velocità lineare è costante solo in intensità e verso ma cambia in direzione in ogni punto, quindi esiste un vettore accelerazione. Determiniamo il vettore accelerazione:
Quindi , ricordando che
𝜔 è costante
𝑎 =
𝜔 ∧ ∆𝑟
∆𝑡
∆!→!= 𝜔 ∧
∆𝑟
∆𝑡
∆!→!= 𝜔 ∧ 𝑣
Quindi abbiamo dimostrato che
𝒗
!!⃗ = 𝝎
!!!⃗ ∧ 𝒓!⃗
𝑎⃗ = !
∆𝑣⃗
∆𝑡
!
∆!→!= !
𝑣⃗
!− 𝑣⃗
!∆𝑡
!
∆!→!𝑎⃗ = !
𝜔
!!⃗
!∧ 𝑟⃗
!− 𝜔
!!⃗
!∧ 𝑟⃗
!∆𝑡
!
∆!→!ma 𝜔
!!⃗
!= 𝜔
!!⃗
!= 𝜔
!!⃗ quindi
𝑎⃗ = !
𝜔
!!⃗ ∧ 𝑟⃗
!− 𝜔
!!⃗ ∧ 𝑟⃗
!∆𝑡
!
∆!→!𝑎⃗ = !
𝜔
!!⃗ ∧ (𝑟⃗
!− 𝑟⃗
!)
∆𝑡
!
∆!→!= !
𝜔
!!⃗ ∧ (∆𝑟⃗)
∆𝑡
!
∆!→!𝑎⃗ = 𝜔
!!⃗ ∧ 𝑣⃗
I vettori
𝜔 e 𝑣 sono perpendicolari quindi
𝑎 = 𝜔 ∙ 𝑣 = 𝜔 ∙ 𝜔 ∙ 𝑟 = 𝜔
!∙ 𝑟
𝑎 = 𝜔 ∙ 𝑣 =
𝑣
𝑟
=
𝑣
!𝑟
∙ 𝑟
Inoltre
