Capitolo 4 - Montgomery

Douglas C. Montgomery

Progettazione e analisi degli esperimenti © 2006 McGraw-Hill

CAPITOLO 4

Blocchi casualizzati,

quadrati latini e piani collegati

Metodi statistici e probabilistici per l’ingegneria

Corso di Laurea in Ingegneria Civile

A.A. 2009-10

Facoltà di Ingegneria, Università di Padova Docente: Dott. L. Corain

Progettazione degli esperimenti

nell’ingegneria: Il principio dei blocchi

• Blocchi

e

fattori di disturbo

• Il piano casualizzato a blocchi completi o

RCB (Randomized Complete Block)

Design

• Estensione dell’ANOVA al RCB Design

• Altri scenari con i blocchi: il piano a

Il principio dei blocchi

• La tecnica dei blocchi serve per controllare i

fattori di disturbo

• Un fattore di disturbo è un fattore che quasi certamente produce sulla risposta un effetto, che non interessa però allo sperimentatore. Tuttavia la variabilità che trasmette alla risposta deve essere minimizzata

• Tipici fattori di disturbo sono: lotti di materiale grezzo, operatori, provini, attrezzature, il fattore temporale (turni, giorni ecc.)

• Molti esperimenti industriali coinvolgono i blocchi (o dovrebbero)

• Se la variabilità del disturbo ènota e controllabile, si può usare la tecnica dei blocchi

• Se il fattore di disturbo è noto e incontrollabile, a volte si può usare l’analisi di covarianza (vedi Capitolo 14) per rimuovere l’effetto del fattore di disturbo dall’analisi

• Se il fattore di disturbo non è né noto né controllabile (a “variabile nascosta”), si spera che

la casualizzazione (randomizzazione) equilibri la sua influenza nei confronti dell’esperimento

• A volte diverse fonti di variabilità vengono

combinate in un blocco, così il blocco diventa una variabile aggregata

L’esempio del test di durezza

• Vogliamo determinare se 4 differenti penetratori producono diverse durezze (in media) leggendole in un durometro Rockwell

• La misura e l’affidabilità dei sistemi di misura sono frequenti aree di applicazione del DoE

• Assegnazione delle punte a un’unità sperimentale che è un test sul “provino”

• Struttura di un esperimento completamente randomizzato

• I test sui provini sono una fonte di fattore di disturbo

• Alternativamente, lo sperimentatore può voler testare le punte su provini di vari livelli di durezza

• Per condurre questo esperimento come un RCBD, assegniamo tutte 4 le punte a ciascun provino

• Ogni provino è chiamato “blocco”, cioè la più omogenea unità sperimentale su cui testare le punte • La variabilità tra i blocchi può essere grande, ma la

variabilità dentro a un blocco dovrebbe essere relativamente piccola

• In generale, un blocco è un livello specifico del fattore di disturbo

• Una replica completa dell’esperimento di base viene condotta in ciascun blocco

• Un blocco rappresenta una restrizione alla randomizzazione

• Tutte la prove dentro un blocco sono randomizzate

• Supponiamo di usare b = 4 blocchi:

• Da notare la struttura a due vie dell’esperimento • Ancora una volta, siamo interessati a testare

l’uguaglianza delle medie dei trattamenti (punte dei penetratori), ma bisogna rimuovere la variabilità associata ai fattori di disturbo (blocchi)

L’esempio del test di durezza

Estensione dell’ANOVA al RCBD

• Supponiamo ci siano a trattamenti (livelli del fattore) and b blocchi

• Un modello statistico per l’ RCBD è

• Le ipotesi rilevanti (effetti fissi) sono: 1, 2,..., 1, 2,..., ij i j ij i a y j b µ τ β ε  = = + + + _{ =}  0 1 2 1 1 0 1 2 1 : vs : almeno un dove (1/ ) ( ) o equivalentemente : 0 vs : 0 per almeno un a i j b i _j i j i a i H H b H H i µ µ µ µ µ µ µ τ β µ τ τ τ τ τ = = = = ≠ = + + = + = = = = ≠

∑

ANOVA: scomposizione della variabilità totale : 2 .. . .. . .. 1 1 1 1 2 . . .. 2 2 . .. . .. 1 1 2 . . .. 1 1 ( ) [( ) ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) a b a b ij i j i j i j ij i j a b i j i j a b ij i j i j T Treatments Blocks E y y y y y y y y y y b y y a y y y y y y SS SS SS SS = = = = = = = = − = − + − + − − + = − + − + − − + = + +

∑∑

∑∑

∑

∑

∑∑

Estensione dell’ANOVA al RCBD

I gradi di libertà per le somme dei quadrati

sono come segue:

I rapporti tra le somme dei quadrati e i rispettivi g.d.l. definiscono i quadrati medi, e il rapporto tra il quadrato medio dei trattamenti e il quadrato medio dell’errore è una statistica F che può essere usata per testare l’ipotesi di uguaglianza delle medie T Treatments Blocks E

SS

=

SS

+

SS

+

SS

1

1

1 (

1)(

1)

ab

− = − + − + −

a

b

a

b

−

Estensione dell’ANOVA al RCBD

Caratteri dell’ANOVA per RCBD

Per i calcoli manuali vedere le equazioni 9) – (4-12), pagina 149

Risultati del test di durezza

Output MINITAB

Factor Type Levels Values Penetrat fixed 4 1 2 3 4 Provino fixed 4 1 2 3 4

Analysis of Variance for Durezza, using Adjusted SS for Tests Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F P Penetrat 3 0.38500 0.38500 0.12833 14.44 0.001 Provino 3 0.82500 0.82500 0.27500

Error 9 0.08000 0.08000 0.00889 Total 15 1.29000

Test di durezza: analisi errata

(senza considerare il blocco)

Factor Type Levels Values Penetrat fixed 4 1 2 3 4

Analysis of Variance for Durezza, using Adjusted SS for Tests Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F P Penetrat 3 0.38500 0.38500 0.12833 1.70 0.220 Error 12 0.90500 0.90500 0.07542

Total 15 1.29000

Analisi dei residui per l’esperimento del

test di durezza

2 2 2 2 Predicted Re s id u a ls es dua s s ed c ed -1 -0.375 0.25 0.875 1.5 -2.75 -0.31 2.13 4.56 7.00 R un N um ber R es idu al s -1 -0.375 0.25 0.875 1.5 1 4 7 10 13 16

Analisi dei residui per l’esperimento del

test di durezza

• I grafici sui residui indicano che le assunzioni sulla normalità e varianza costante sono plausibili

• Nessun problema evidente con la

randomizzazione

• Si può anche plottare i residui vs. il tipo di punte (residui per livello del fattore) e verso i blocchi • Tali grafici forniscono maggiori informazioni

sull’assunzione di varianza costante e sulla presenza di eventuali outlier

Analisi dei residui per l’esperimento del

test di durezza

Confronti multipli per il test di durezza

Quali punte sono differenti?

Treatment Means (Adjusted, If Necessary) Estimated Standard Mean Error 1-T1 0.75 0.47 2-T2 1.00 0.47 3-T3 -0.50 0.47 4-T4 3.75 0.47

Mean Standard t for H0

Treatment Difference DF Error Coeff=0 Prob > |t|

1 vs 2 -0.25 1 0.67 -0.38 0.7163 1 vs 3 1.25 1 0.67 1.87 0.0935 1 vs 4 -3.00 1 0.67 -4.50 0.0015 2 vs 3 1.50 1 0.67 2.25 0.0510 2 vs 4 -2.75 1 0.67 -4.13 0.0026 3 vs 4 -4.25 1 0.67 -6.38 0.0001

Vedi anche Figura 4-3, Pg. 153

Altri aspetti dell’RCBD

• L’RCBD utilizza un modello additivo – nessuna interazione tra trattamenti e blocchi

• Trattamenti e/o blocchi come effetti casuali • Valori mancanti

• Quali sono le conseguenze del non uso dei blocchi, se ce ne sono?

• Dimensione del campione nell’RCBD? L’approccio delle curve operative caratteristiche

può essere usato per determinare il numero di blocchi da considerare (pag. 157)

Il piano a quadrati Latini

• Questi piani sono utilizzati per controllare (o eliminare) simultaneamente due fonti di variabilità di disturbo

• Una assunzione importante è che i tre fattori (trattamenti, fattori di disturbo) non interagiscono

• Se tale assunzione è violata, il piano a quadrati latini non produce risultati affidabili

• I quadrati latini non sono usati quanto l’RCBD nelle sperimentazioni industriali

Il problema del propellente per razzi: un

esempio di quadrato latino

• Questo è un esempio di quadrato Latino 5 ×5

• Pag. 164 mostra qualche altro quadrato Latino

• Tabella 4-13 (page 148) contiene le proprietà dei quadrati Latini

Analisi statistica del piano

a quadrati latini

• Il modello statistico è

• L’analisi statistica (ANOVA) consiste in più di un’analisi per l’RCBD

• Vedi la tabella ANOVA , pagina 165 (Tabella 4-10)

• L’esempio dell’analisi del propellente per razzi è presentato alle pag. 166 e 167

1, 2,..., 1, 2,..., 1, 2,..., ijk i j k ijk i p y j p k p µ α τ β ε =   = + + + + _ =  = 