Diffusione profondamente inelastica di leptoni da protoni

Lezione 16

Diffusione profondamente

e

-k

k

P

p

p

q

k_i + p_i = k_f + p_f (k_i + p_i)2 = (k_f + p_f)2 k_i2 + p2_i + 2k_i · p_i = k2_f + p2_f + 2k_f · p_f m2_e + M2 + 2k_i · p_i = m2_e + M2 + 2k_f · p_f k_i · p_i = k_f · p_f p_f = k_i + p_i − k_f k_i · p_i = k_f · (k_i + p_i − k_f) = k_f · k_i + k_f · p_i − k_f2 lab k_i ≡ (_i,k_i) ; p_i ≡ (M, 0) ; k_f ≡ (_f,k_f) _iM = _i_f − k_i · k_f + _fM − m2_e m_e   |k| = 

_iM = _i_f − _i_f cos θ + _fM = _fM  1 + i M(1 − cos θ)  _f = _i  1 + i M (1 − cos θ) −1

Massa invariante

Nei processi elastici W = M

W2 = M2 = M2 + 2M ν − Q2 ; 2M ν − Q2 = 0 In processi anelastici W > M

e + p → X + e0 _f = _i − ω

Risonanza ∆ a 1232 MeV. ∆+ per conservazione della carica. Ampiezza (non legata all’esperimento) Γ = 120 MeV. ¯h = 6.6 10−22 MeV s.

τ = ¯h

Γ ' 5.5 10

d2σ dΩd_f = σM  W₂(Q2, ν) + 2W₁(Q2, ν) tan2 θ 2 

Diffusione quasi-elastica da nuclei

ω_picco ' q

2

ω = 1/x x = Q 2 2p_i · q = Q2 2M ν x = 1 ; 2M ν − Q 2 _{= 0} x < 1 ; 2M ν − Q2 > 0

Modello a partoni

Analogia con il quasi-elastico sul nucleo. Non c’`e emissione di partone. Sistema di riferimento comodo per i calcoli.

Il partone scambia solo impulso l’energia `e la stessa prima e dopo l’urto. |q| = 2|p|.

Componenti trasverse di p trascurabili. Piccole distanze - partoni non interagenti.

Nuove variabili Q2 = 4_i_f sin2 θ/2 e ν = _i − _f d2σ dQ2dν = π _i_f d2σ dΩd_f

Sezione d’urto elastica su bersaglio puntiforme di carica z_j (frazione della carica elementare |e|) e massa m_j = M x = M Q2/2M ν.

d2σ dQ2dν  part = σM π _i_f  z 2 j + zj2 Q2 4m2_j 2 tan 2 θ 2   δ  ν − Q 2 2m_j 

La sezione d’urto totale si ottiene sommando su tutte le sezioni d’urto individuali. Per la W₂. W₂(Q2, ν) = X j Z 1 0 dx qj(x)z 2 j δ  ν − Q 2 2m_j  δg(x) = δ(x − x0) |_dxdg|_x=x0 g(x0 ) = 0

g(x) = ν − Q 2 2xM x0 = Q2 2 ν M per g(x0) = 0 dg(x) dx |x=x0 = − Q2 2M −1 x2  |x=x₀ = Q2 2M 2M ν Q2 1 x₀  = ν x₀ W₂(Q2, ν) = X j Z 1 0 dx qj(x)z 2 j x₀ ν δ(x − x0) = 1 ν X j z_j2q_j(x₀)x₀ W₁(Q2, ν) = X j Z 1 0 dx q_j(x)z_j2 Q 2 4x2M2δ  ν − Q 2 2m_j  = X j Z 1 0 dx qj(x)z 2 j Q2 4x2M2 x₀ ν δ(x − x0) = X j q_j(x₀)z_j2 Q 2 4M2 x₀ x2₀ν = X j q_j(x₀)z_j21 2 Q2 2M2ν 1 x₀ = 1 M 1 2 X j q_j(x₀)z_j2

Nuove variabili F₁(x) = M W₁(Q2, ν) = 1 2 X j q_j(x)z_j2 F₂(x) = νW₂(Q2, ν) = x X j q_j(x)z_j2

Relazione di Callan - Gross

2xF₁(x) = F₂(x) = xX

j

q_j(x)z_j2

Tutti i centri diffusori hanno spin 1/2.

Probabilit`a di trovare il partone di tipo j con frazione x dell’impulso totale del protone moltiplicato per la frazione della carica. q_j(x)z_j2

Z 1 0 dx X j q_j(x)z_j2 = Z 1 0 dx F₂(x) x → ∞ F₂(x) finito per x → 0 N → ∞

Identificazione dei partoni con i quarks

Dalla spettroscopia adronica

sapore carica I I₃ spin u 2/3 1/2 1/2 1/2 d -1/3 1/2 -1/2 1/2

Dalla QED

Fluttuazioni quantistiche del vuoto Spettroscopia dell’H, Lamb shift Magnetone di Bohr µ_B = g1 2 e¯h 2M Dirac g = 2 g − 2 2 = (1159657.7 ± 3.5) 10 −9 _Exp = (1159655.4 ± 3.3) 10−9 Th

Il fotone pu`o interagire sia con i quark di valenza sia con quelli del mare. Per il protone 1 xF p 2 = X j z_j2q_j(x) = (2 3) 2 [up(x) + up(x)] + (−1 3 ) 2 h dp(x) + dp(x)i + · · · = (2 3) 2 h up_V (x) + up_S(x) + up_S(x)i + (−1 3 ) 2 h dp_V (x) + dp_S(x) + dp_S(x)i + · · · = 1 9 h 4up_V (x) + dp_V (x)i + 1 9 h 4up_S(x) + 4up_S(x) + dp_S(x) + dp_S(x)i + · · ·

Protone e neutrone fanno parte di un doppietto di isospin. Rotazione dell’isospin. La distribuzione degli u quark nel protone corrisponde a quella dei d del neutrone.

up(x) = dn(x) ≡ u(x) dp(x) = un(x) ≡ d(x) Tutte le distribuzioni di quark del mare sono identiche.

up_S(x) = up_S(x) = dp_S(x) = dp_S(x) 1 xF p 2 = 1 9 [4uV (x) + dV (x)] + S(x) 1 xF n 2 = 1 9 [4dV (x) + uV (x)] + S(x) lim x→0 F₂n(x) F₂p(x) → 1 lim x→1 F₂n(x) F₂p(x) → 4d_V (x) + u_V (x) 4u_V (x) + d_V (x)

Sottratto il contributo del mare 1 x h F₂p(x) − F₂n(x)i = 1 3 [uV (x) − dV (x)]

Per il nucleone F₂N(x) = 1 2  F₂p(x) + F₂n(x) = x 2 h4 9 + 1 9   up_V (x) + up_S(x) + up_S(x) + 4 9 + 1 9   dp_V (x) + dp_S(x) + dp_S(x) i = 5 18x X j=u,d q_j(x)

Momento totale del protone

Z 1 0 dx x X j=u,d q_j(x)z_j2 = 18 5 Z 1 0 F₂N(x)dx = 1 Sperimentalmente '0.5

Gluoni

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