Elementi di Base

(1)

Basics

1

Si consideri la successione definita da      an+1= a 2 n+1 an a0=2

1.1 A Stabilire se anè crescente o decrescente e giustificare

breve-mente l’affermazione.

1.2 B Stabilire se an ammette limite, in caso affermativo

determi-narlo ed in caso negativo provare che il limite non esiste.

1.3 C Determinare estremo superiore, estremo inferiore, massimo e minimo di an.

sup an =inf an =max an=min an=

1.4 D Determinare una formula di ricorrenza per la successione bn =a2n

2

2.1 Disegnare l’insieme A= {(x, y) ∈R2: y(x+1) +x≥0}

2.2 Disegnare l’insieme B = {(x, y) ∈R2 _{: y}₍_x₊₁_{) +}_x _≥ _{0, y}_≥

x}

2.3 Disegnare l’insieme Ca,b = {(x, y) ∈ R2 : x ∈ [a, b], y ∈

(2)

2.4 Determinare tutti gli a, b∈R tali che Ca,b⊂B

3

Si consideri f(x) = x+1

x2₊_3x₊₃

3.1 Disegnare l’insieme A= {(x, y) ∈R2: x≤y, f(x) ≥ f(y)}

3.2 Trovare per quali a, b∈R x, y ∈ [a, b], x≤y =⇒ f(x) ≥

f(y)

3.3 Trovare per quali a, b∈R x, y ∈ [a, b], x≤y =⇒ f(x) ≤

f(y)

3.4 Disegnare il grafico di f

3.5 Determinare sup f , inf f , max f , min f 3.6 Disegnare il grafico di g(x) = f(x−1)

3.7 Determinare D= {x∈R : g(x) ≤x}e disegnare i grafici di x e g(x)sullo stesso piano cartesiano precisandone le mutue posizioni.

3.8 Provare che la successione definita da    an=g(an−1) a0=1 è de-crescente, inferiormente limitata e trovarne il limite.

• LA1an è inferiormente limitata infatti:

• LB1 anè decrescente infatti: • LC1lim an = infatti:

4

Si consideri la disequazione x+1 x−1 ≤a

4.1 Determinare tutte le soluzioni della disequazione per a=2. 4.2 Determinare α, β reali tali che

x+1 x−1 =α+

β

(3)

4.3 Disegnare il grafico di x+1 x−1

4.4 Risolvere la disequazione al variare di a nei reali. 4.5 Trovare gli a reali, se ne esistono, tali che

x+1 x−1 ≤a ∀x ∈R, x6=1

5

Si consideri l’insieme A= x 2₊_3a x2₊_a : x∈R Dove a∈R e a>0.

5.1 Determinare tutti i maggioranti di A. 5.2 Determinare tutti i minoranti di A. 5.3 Determinare sup A.

5.4 Determinare inf A.

5.5 Stabilire se A ammette massimo o ammette minimo ed in caso affermativo trovarli. Si consideri l’insieme B= x y : x, y∈R , y6=0 5.6 Determinare sup B. 5.7 Determinare inf B.

6

Si consideri l’insieme A= n+1 n−1 : n∈N, n>1

6.1 Determinare tutti i maggioranti di A. 6.2 Determinare tutti i minoranti di A. 6.3 Determinare sup A.

(4)

6.4 Determinare inf A.

7

Si consideri la disequazione x+1 x−1 ≤a

7.1 Determinare tutte le soluzioni della disequazione per a=2. 7.2 Determinare α, β reali tali che

x+1 x−1 =α+ β x−1 7.3 Disegnare il grafico di x+1 x−1

7.4 Risolvere la disequazione al variare di a nei reali. 7.5 Trovare gli a reali, se ne esistono, tali che

x+1 x−1 ≤a ∀x∈R, x6=1

8

Si consideri l’insieme A= 1 x2₊_x₊₁ : x∈R

8.1 Determinare i maggioranti di A e sup A 8.2 Determinare i minoranti di A e inf A

8.3 Stabilire se esistono max A e min A e calcolarli 8.4 Provare che è vera la seguente affermazione

La funzione xn è strettamente crescente su(0,+∞)per ogni n∈N

9

Si consideri la disequazione

(5)

9.1 Disegnare il grafico di f

9.2 Determinare le soluzioni della disequazione f(x) ≤3

9.3 Determinare le soluzioni della disequazione f(x) ≤k al vari-are di k∈R

10

Si consideri la disequazione p

1−x2_≤₁₊_ax

10.1 Determinare tutte le soluzioni della disequazione per a=1. 10.2 Disegnare il grafico di f(x) =√1−x2_{e di g}₍_x_{) =}₁₊_ax

10.3 Determinare le soluzioni della disequazione al variare di a∈

R

10.4 Determinare quante soluzioni ha l’equazione p 1−x2_{= (}₁₊_ax₎ al variare di a

11

Si consideri σn(x) = n

∑

k=1 xk

11.1 Applicare il principio di induzione per verificare che

σn(x) = x−x n+1

1−x

11.2 Applicare il principio di induzione per verificare che 2n _≥_n

11.3 Trovare un numero naturale netale che

1 2ne <e

11.4 Verificare che

σn(1

(6)

11.5 Verificare che sup σn(1 2) =1

12

Si consideri la disequazione p 1−x2_≤_x2

12.1 Determinare tutte le soluzioni della disequazione

12.2 Disegnare il grafico di f(x) = √1−x2 _{e di g}₍_x_{) =} _x2 _e

risolvere la disequazione graficamente.

13

13.1 Applicare il principio di induzione per verificare che

n

∑

k=1

6k=3n2+3n

per ogni n∈N

13.2 Applicare il principio di induzione per verificare che 2n <n! per ogni n≥4

14

Si consideri l’insieme A= _x x2₊_a2, x∈R 14.1 Determinare i maggioranti di A 14.2 Calcolare sup A

14.3 Stabilire se max A=sup A 14.4 Provare per induzione che

n

∑

k=1

(7)

15

Si consideri l’insieme A= 1 x2₊₄, x∈R 15.1 Determinare i maggioranti di A 15.2 Calcolare sup A

15.3 Stabilire se max A=sup A

16

2|x−2| ≤3|x−3|

16.1 Risolvere la disequazione data graficamente 16.2 Provare per induzione che

n

∑

k=1 1 2k = 2n+1−1 2n Si consideri la disequazione 1 px+ |x2₋_x_| >1

16.3 Determinare le soluzioni della disequazione data

17

Si consideri l’insieme A= x+3 x−1, x>1 17.1 Determinare i maggioranti di A 17.2 Calcolare sup A

(8)

17.3 Stabilire se max A=sup A 17.4 Determinare i minoranti di A 17.5 Calcolare inf A

17.6 Stabilire se min A=inf A

18

2|x−2| ≥3|x−3|

18.1 Risolvere la disequazione data graficamente 18.2 Provare per induzione che

n

∑

k=0 ak= a n+1₋₁ a−1 Si consideri la disequazione q x+ |x2₋_x_{| >}₁

18.3 Determinare le soluzioni della disequazione data

19

Si consideri l’insieme A= 3 x−1, x>1 19.1 Determinare i maggioranti di A 19.2 Calcolare sup A

19.3 Stabilire se max A=sup A 19.4 Determinare i minoranti di A 19.5 Calcolare inf A

(9)

19.6 Stabilire se min A=inf A

20

20.1 Risolvere la disequazione (x−1)(x2+3x+6) ≤0 20.2 Risolvere la disequazione x2+x+1<00 20.3 Risolvere la disequazione (x−1)(x+1)(x2−1) ≤0

20.4 Disegnare nel piano cartesiano l’insieme dei punti (x, y) ∈

R2_{tali che} x2₊_y2_≤₁ x−1≤y≤x+1

21

Si consideri f(x) =5x+6

21.1 Determinare i maggioranti ed minoranti di f(x)al variare di x ∈R

21.2 Determinare i maggioranti ed minoranti di f(x)al variare di x ∈ [2, 5] 21.3 Determinare sup x∈Rf (x) inf x∈Rf(x) 21.4 Determinare sup x∈[2,5] f(x) inf x∈[2,5]f(x)

(10)

22

Definiamo _           1

∏

i=1 ai=a1 n+1

∏

i=1 ai=an+1 n

∏

i=1 ai

Dimostrare per induzione che

n

∏

i=1

ei=en(n2+1)

22.1 La formula è vera per n=1, infatti:

22.2 Se la formula è vera per n allora la formula è vera per n+1, infatti:

23

23.1 Risolvere la disequazione (x−1)(x−2)(x−3) ≤0 23.2 Risolvere la disequazione x x2₊_x₊₁ <0 23.3 Risolvere la disequazione (x6−1) ≤0

23.4 Disegnare nel piano cartesiano l’insieme dei punti (x, y) ∈

R2_{tali che} x2₋_y2_≤₁ |x| ≤4

24

Si consideri f(x) =7−x2

(11)

24.1 Determinare i maggioranti ed minoranti di f(x)al variare di x ∈R

24.2 Determinare i maggioranti ed minoranti di f(x)al variare di x ∈ [2, 5] 24.3 Determinare sup x∈R f(x) inf x∈Rf(x) 24.4 Determinare sup x∈[2,5] f(x) inf x∈[2,5]f(x)

25

Dimostrare per induzione che

n

∑

i=1

ln(i) =ln(n!)

25.1 La formula è vera per n=1, infatti:

25.2 Se la formula è vera per n allora la formula è vera per n+1, infatti:

26

Risolvere le seguenti disequazioni 26.1 2|1−t| ≤ |t| 26.2 (x−4)(x2₊_3x₋₁₎ x−6 ≤0 26.3 x−1 x ≥ x+1 x 26.4 ax2+3x+a≤0 al variare di a∈R

(12)

26.5 _√

1−t≤4−t2

27

Risolvere le seguenti disequazioni

27.1 _√ 1−t≤p4−t2 27.2 (x−4)(x−1) (x−6)(x+1) ≤0 27.3 x2+2x+a≤0 al variare di a∈R

28

Sia an la quantità definita da

_a

0=0

an+1=K+an

28.1 Provare per induzione che an=nK

29

Si consideri la funzione f e la successione an definite da

f(x) = |x|

3 ,

an= f(an−1)

a0=α

29.1 Studiare graficamente il comportamento della successione per α=3

includegraphics[ height=8cm] 2204.png 29.2 Giustificare le conclusioni del punto precedente

29.3 Studiare graficamente il comportamento della successione al variare di α e riassumere brevemente i risultati ottenuti

(13)

includegraphics[ height=8cm] 2204.png

30

30.1 Dimostrare per induzione che

(1+A)n ≥1+nA ∀n∈N, n≥1 30.2 Dimostrare per induzione che

n

∑

k=0 1=n+1 ∀n∈N, n≥1 30.3 Risolvere la disequazione p 1−x2_≥_x

31

31.1 Supponendo che il numero di ciliege esistenti sia finito e che esista una persona che ha mangiato una ciliegia, dimostrare che non è vero che una ciliegia tira l’altra

31.2 Determinare l’estremo superiore e l’estremo inferiore della parte frazionaria di x al variare di x∈R

31.3 Stabilire se la parte frazionaria di x ammette massimo o min-imo su x∈R

32

32.1 Determinare l’estremo superiore e l’estremo inferiore di A= {x∈R : x=1/y , y∈ [2, 3)}

32.2 Stabilire se l’insieme A ammette massimo o minimo.

32.3 Dimostrare per induzione che la somma dei primi n numeri dispari è n2

33

33.1 Determinare m∈R in modo che

1

(14)

33.2 Determinare m∈R in modo che 1

(x+1)2₊₁ ≥m ∀x∈R

33.3 Determinare m∈R in modo che

1

(x+1)2₊₁ ≤m ∀x∈ [−1, 1]

34

34.1 Determinare tutte le soluzioni reali dell’equazione

(x−a)(x−1)(x2+x+1) =0

34.2 Determinare tutte le soluzioni reali dell’equazione sin(x) = 1

2

34.3 Determinare tutte le soluzioni reali dell’equazione x2−5x+6=0

34.4 Determinare tutte le soluzioni reali dell’equazione x2=4

34.5 Calcolare√4

34.6 Determinare tutti gli x reali tali che x2>4

34.7 Determinare tutti gli x reali tali che x2<4

34.8 Disegnare il luogo dei punti del piano tali che y=3x+3

(15)

34.9 Disegnare il luogo dei punti del piano tali che x2+y2=3

34.10 Disegnare il luogo dei punti del piano tali che xy=1

35

35.1 Determinare tutte gli x∈R tali che a−1

1−2a ≤x per ogni a∈R, a≤0

1−2a ≥x per ogni a∈R, a≤0

1−2a ≤x per ogni a∈R, a≥0

35.4 Determinare tutte gli a∈R tali che a−1

1−2a ≥x per ogni a∈R, a≥0

36

36.1 Determinare tutti gli x∈R tali che r x−3

x−2 ≥

√

x+4

36.2 Determinare tutti gli x∈R tali che

−r x−3

x−2 ≥

√

(16)

37

Sia an definita da _a 0=1 an =na(n−1) 37.1 Dimostrare che an =n! 37.2 Dimostrare che n

∑

k=1 log(k) =log(n!)

38

38.1 Determinare tutte le soluzioni reali dell’equazione

(x2−1)(x2+x+1) =0

38.2 Determinare tutte le soluzioni dell’equazione

(x2+1)(x2+x+1) =0

38.3 Determinare tutte le soluzioni reali dell’equazione tan(2x) =1

38.4 Determinare tutte le soluzioni reali dell’equazione x3=1

38.5 Calcolare√a4

38.6 Determinare tutti gli x reali tali che x4>1

38.7 Determinare tutti gli x reali tali che x4<16

(17)

38.8 Disegnare il luogo dei punti del piano tali che y= −2x+3

38.9 Disegnare il luogo dei punti del piano tali che x2+y2=3

38.10 Disegnare il luogo dei punti del piano tali che y= x−5

2x−4

39

39.1 Determinare i maggioranti e l’estremo superiore di A=

1

4+2a2 : a∈ [−2, 4)

39.2 Determinare i minoranti e l’estremo inferiore di A= 1 4+2a2 : a∈ [−2, 4) 39.3 Dimostrare che (2n)!≥2n! per ogni n∈N

40

Le risposte devono essere giustificate brevemente ma esauriente-mente.

Si consideri la funzione y :N∪ {0} →N∪ {0}definita dalle con-dizioni y(0) =a e y(n+1) =y(n) +2. Dimostrare che y assume valori solo pari o solo dispari a seconda che a sia pari o dispari..

Si consideri l’insieme A= {x∈R : x= _(4n+1)1 ₂, n∈N}

Determinare maggioranti, minoranti, estremo superiore ed inferi-ore, massimo e minimo di A

41

SianoR+ = {x ∈ R : x > 0} e sia f : R → R; si consideri la

(18)

∀e∈R+,∃δe ∈R+tale che se|x0−x00| ≤δe si ha|f(x0) − f(x00)| ≤e∀x0, x00∈R

41.1 Scrivere la negazione dell’affermazione considerata.

41.2 Verificare che l’affermazione considerata è vera se f(x) =3x Sia f :R→R crescente e tale che lim_x→+∞f(x) =3

41.3 Verificare che sup x∈R f (x) =3 41.4 Determinare sup x∈R f(x) +sin(x)

41.5 Stabilire se è vero che inf x∈Rf(x) = −∞

42

Sia A=n2+3 n, n∈N o 42.1 Determinare i maggioranti di A . 42.2 Determinare i minoranti di A.

42.3 Determinare, se esistono sup A, inf A, max A, min A. Sia an definita da an+1=2+an a0=1 42.4 Dimostrare che an=2n+1

43

A= {1+e−n, n∈N}

(19)

43.2 Determinare i minoranti di A ed il suo estremo inferiore. 43.3 Determinare, se esiste il massimo di A.

43.4 Determinare, se esiste il minimo di A.

44

Sia A=n 1 (x2₊_x₊₁₎4, x∈R o 44.1 Determinare i maggioranti di A . 44.2 Determinare i minoranti di A.

44.3 Determinare, se esistono sup A, inf A, max A, min A. Sia an definita da an+1=2an a0=3 44.4 Dimostrare che an =3(2n)

45

Sia A=n√x, x∈R, x>0o 45.1 Determinare i maggioranti di A . 45.2 [2] Determinare i minoranti di A.

45.3 Determinare, se esistono sup A, inf A, max A, min A. Sia an definita da an+1= (an)2 a0=1/2 45.4 Dimostrare che an = 1 22n

45.5 Disegnare il grafico della funzione f(x) =e(

√

|2−|x||−1)

(20)

45.6 Determinare l’inversa di f ristretta a[−1, 0]

46

46.1 Siano A, B, C tre proposizioni determinare la negazione della proposizione((A and B) ⇒C)

46.2 [1] Determinare maggioranti e minoranti dell’insieme A = {E(1/x), x∈ [1/5,+∞)}

46.3 Determinare maggioranti e minoranti dell’insieme A= {E(1/x), x∈ (0, 1)}

46.4 [1] Determinare estremo superiore ed inferiore dell’insieme A= {arctan(ln(x)), x∈ (0,+∞)}

46.5 [1] Determinare massimo e minimo dell’insieme A= {arctan(ln(x)), x∈ (0,+∞)}

46.6 Dimostrare che n è pari se e solo se n3_{è pari}

47

Sia A=n√ 1 n2₊_n, n∈N, 1≤n<5 o B=n√ 1 n2₊_n, n∈N o

47.1 Determinare i maggioranti e i minoranti di A. 47.2 Determinare, se esistono sup A, inf A, max A, min A. 47.3 Determinare i maggioranti e i minoranti di B. 47.4 Determinare, se esistono sup B, inf B, max B, min B. Sia an definita da a2n=2na2(n−1) a0=1 47.5 Dimostrare che a2n=2nn! 47.6 Dimostrare che1 1

∏

k=1 2k=2 1 †

(21)

n

∏

k=1 2k=2n n−1

∏

k=1 2k a2n= n

∏

k=1 2k

47.7 Disegnare il grafico della funzione f(x) = −qlog_0.5(||x| −1|)

includegraphics[ height=8cm] g75.jpg 47.8 Determinare l’inversa di f ristretta a[−1, 0]

Siano f :[0, 3] →R e g :[0, 10] →R tali che

• - f è surgettiva su[0, 4] • - f è crescente in[0, 1]e decrescente in[1, 3] • - f(0) =1 • - g è crescente in[0, 10] • - g è surgettiva su[1, 2) ∪ [3, 5] • - g(7) =3

itn -[6] Disegnare il grafico di f e di g itn -[6] Disegnare il grafico di g(f(·))

48

Sia

A=n 1

2n+4, n∈N, 10≤n<25 o

48.1 Determinare i maggioranti e i minoranti di A. 48.2 Determinare, se esistono, sup A, inf A,

48.3 Determinare, se esistono, max A, min A. Sia

A=n 1

2n+4, n∈N o

(22)

Sia an definita da an= n

∏

k=1 2k

cioè ansia il prodotto dei numeri pari inferiori od uguali ad 2n

48.7 Dimostrare che a2n=2nn! 48.8 Verificare che n

∑

k=1 k= n(n+1) 2 48.9 Verificare che n

∑

k=1 k2= n(n+1)(2n+1) 6 48.10 [7] Calcolare n

∑

k=1 k

∑

h=1 k

49

Sia A=n 1 (x−1)(x−2), x∈R, x6=1, x6=2 o

49.3 Determinare, se esistono, max A, min A. Sia

A=n n

n+4, n∈N o

49.6 Determinare, se esistono, max A, min A. Sia an = (2n)!! definita da

0!!=1

(23)

49.7 Illustrare il significato di(2n)!! 49.8 Stabilire se è vero che

(2n)!=2nn!

49.9 Stabilire se è vero che

(2n)!!=2nn!

49.10 [4] Stabilire se è vero che

(2n)!!= (2n)!

50

Sia

A=nn2+5n n∈Z,o

50.3 Determinare, se esistono, max A, min A. l

Sia

A=nn2+5n n∈Z,|n| >10o 50.4 Determinare i maggioranti e i minoranti di A. 50.5 Determinare, se esistono, sup A, inf A,

50.6 Determinare, se esistono, max A, min A. l

50.7 Calcolare, giustificando la risposta,

n

∑

k=0

k per ogni n∈N

50.8 Verificare che, giustificando la risposta,

m

∑

k=n

k= (m−n+1)(m+n)

(24)

è vera per ogni m.n∈N l

50.9 -[10]

Siano f2= f1=1 e

fn+1= fn+fn−1, ∀n≥2

Provare per induzione che

n

∑

k=1

f_k2= fnfn+1

è vera per ogni n∈N