• Non ci sono risultati.

Problema2

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Condividi "Problema2"

Copied!
4
0
0

Testo completo

(1)

Liceo Scientifico Ordinamento 2009 Sessione Straordinaria– Problema 2

1/ 4 www.matefilia.it

www.matefilia.it

ORDINAMENTO 2009 – SESSIONE STRAORDINARIA -

PROBLEMA 2

Sia 𝑓(𝑥) = a cos3𝑥 + 𝑏 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑐 𝑒 𝑥 ∈ ℝ .

1)

Si determinino a, b, c in modo che risulti

𝑓 (𝜋 2) = 2 3 , 𝑓(𝜋) = 4 3 , 𝑓 ′′(𝜋) = 0 . 𝑐 = 2 3 ; −𝑎 − 𝑏 + 𝑐 = 4 3 ; 𝑓 ′(𝑥) = −3 acos2𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥 − 𝑏𝑠𝑒𝑛𝑥 ; 𝑓′′(𝑥) = 6𝑎𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑠𝑒𝑛2𝑥 − 3 acos3𝑥 − 𝑏𝑐𝑜𝑠𝑥 ; 𝑓′′(𝜋) = 3𝑎 + 𝑏 = 0 { 𝑐 =2 3 −𝑎 − 𝑏 +2 3= 4 3 𝑏 = −3𝑎 ; { 𝑐 =2 3 2𝑎 =2 3 𝑏 = −3𝑎 ; { 𝑐 =2 3 𝑎 =1 3 𝑏 = −1 Risulta quindi: 𝑓(𝑥) =1 3 cos 3𝑥 − 𝑐𝑜𝑠𝑥 +2 3

2)

Si studi, nell’intervallo chiuso [0; 2𝜋], la funzione così trovata e se ne tracci il grafico.

𝑓(𝑥) =1 3 cos

3𝑥 − 𝑐𝑜𝑠𝑥 +2

3

Dominio:

La funzione è definita e continua nell’intervallo richiesto [0; 2𝜋] ed assume agli estremi i seguenti valori:

(2)

Liceo Scientifico Ordinamento 2009 Sessione Straordinaria– Problema 2

2/ 4 www.matefilia.it

𝑓(0) = 𝑓(2𝜋) = 0

Intersezioni con gli assi:

Se x=0: y=0 ; se y=0: 1

3 cos

3𝑥 − 𝑐𝑜𝑠𝑥 +2

3 = 0, 𝑐𝑜𝑠

3𝑥 − 3𝑐𝑜𝑠𝑥 + 2 = 0;

abbassiamo di grado con cosx=1 applicando la regola di Ruffini: (𝑐𝑜𝑠𝑥 − 1)(𝑐𝑜𝑠𝑥 + 2)2 = 0 quindi solo cosx=1, cioè 𝑥 = 0 𝑒 𝑥 = 2𝜋 .

Positività:

𝑓(𝑥) ≥ 0 𝑝𝑒𝑟 𝑜𝑔𝑛𝑖 𝑥 .

Limiti:

La funzione è continua in tutto l’intervallo di studio, non ci sono limiti da calcolare.

Asintoti:

Non ci possono essere asintoti.

Derivata prima:

𝑓′(𝑥) = − cos2𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑠𝑒𝑛𝑥 ≥ 0 𝑠𝑒 𝑠𝑒𝑛𝑥(1 − cos2𝑥) ≥ 0, 𝑠𝑒𝑛3𝑥 ≥ 0 , 𝑠𝑒𝑛𝑥 ≥ 0

Risulta quindi: 𝑓′(𝑥) ≥ 0 se 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝜋 , pertanto la funzione è crescente se

0 < 𝑥 < 𝜋 e decrescente se 𝜋 < 𝑥 < 2𝜋 . Punto di massimo relativo (e assoluto) 𝑥 = 𝜋 con ordinata 𝑓(𝜋) =4

3 .

Derivata seconda:

𝑓′′(𝑥) = 2𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑠𝑒𝑛2𝑥 − cos3𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥 ≥ 0 𝑠𝑒 𝑐𝑜𝑠𝑥(2𝑠𝑒𝑛2𝑥 − cos2𝑥 + 1) ≥ 0 .

Studiamo il segno dei due fattori: 𝑐𝑜𝑠𝑥 ≥ 0 𝑠𝑒 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝜋 2 𝑣𝑒𝑙 3 2𝜋 ≤ 𝑥 ≤ 2𝜋 2𝑠𝑒𝑛2𝑥 − cos2𝑥 + 1 ≥ 0 , 3𝑠𝑒𝑛2𝑥 ≥ 0 ∶ 𝑝𝑒𝑟 𝑜𝑔𝑛𝑖 𝑥 Quindi risulta: 𝑓′′(𝑥) ≥ 0 𝑠𝑒 0 ≤ 𝑥 ≤𝜋 2 𝑣𝑒𝑙 3

2𝜋 ≤ 𝑥 ≤ 2𝜋 pertanto il grafico volge la concavità verso

l’alto se 0 < 𝑥 < 𝜋 2 𝑣𝑒𝑙 3 2𝜋 < 𝑥 < 2𝜋 ; 𝑥 = 𝜋 2 𝑒 𝑥 = 3

2𝜋 sono punti di flesso, con ordinata

(3)

Liceo Scientifico Ordinamento 2009 Sessione Straordinaria– Problema 2

3/ 4 www.matefilia.it

Grafico della funzione:

3)

Si scrivano le equazioni delle rette tangenti a 𝛾 nei due punti di flesso.

I punti di flesso sono: 𝐹1 = (𝜋

2; 2 3) , 𝐹2 = ( 3 2𝜋; 2 3) .

Troviamo i coefficienti angolari delle tangenti: 𝑚1 = 𝑓′(𝜋 2) = 1 , 𝑚2 = 𝑓 ′(3 2𝜋) = −1 Tangente in 𝐹1: 𝑦 −2 3= (𝑥 − 𝜋 2) , 𝑦 = 𝑥 + 2 3− 𝜋 2 Tangente in 𝐹2: 𝑦 −2 3 = − (𝑥 − 3 2𝜋) , 𝑦 = −𝑥 + 2 3+ 3 2𝜋

4)

(4)

Liceo Scientifico Ordinamento 2009 Sessione Straordinaria– Problema 2

4/ 4 www.matefilia.it

L’area richiesta si ottiene calcolando il seguente integrale:

𝐴𝑟𝑒𝑎 = ∫ (1 3 cos 3𝑥 − 𝑐𝑜𝑠𝑥 +2 3 ) 𝑑𝑥 2𝜋 0 = 1 3∫ (𝑐𝑜𝑠 3𝑥 − 3𝑐𝑜𝑠𝑥 + 2) 𝑑𝑥 2𝜋 0

Cerchiamo una primitiva di 𝑐𝑜𝑠3𝑥:

∫ 𝑐𝑜𝑠3𝑥 𝑑𝑥 = ∫ 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑐𝑜𝑠2𝑥 𝑑𝑥 = ∫ 𝑐𝑜𝑠𝑥 (1 − 𝑠𝑒𝑛2𝑥)𝑑𝑥 = ∫(𝑐𝑜𝑠𝑥 − 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑠𝑒𝑛2𝑥)𝑑𝑥 = = 𝑠𝑒𝑛𝑥 −1 3𝑠𝑒𝑛 3𝑥 + 𝐶 Quindi: 1 3∫ (𝑐𝑜𝑠 3𝑥 − 3𝑐𝑜𝑠𝑥 + 2) 𝑑𝑥 2𝜋 0 = 1 3[𝑠𝑒𝑛𝑥 − 1 3𝑠𝑒𝑛 3𝑥 − 3𝑠𝑒𝑛𝑥 + 2𝑥] 0 2𝜋 =4 3𝜋 ≅4.19 𝑢 2

Riferimenti

Documenti correlati

Il candidato risolva uno dei due problemi e risponda a 5 dei 10 quesiti del questionario. Sia poi R l’intersezione con il cateto CA dell’arco di circonferenza di centro A e raggio

Questi materiali, insieme, pongono “le basi per un sempre più definito interesse per il luogo come fondamento del progetto” 35 e costituiscono, in coerenza al tema del progetto,

questione controversa nel campo della crioconservazione/crioprotezione dei gameti riguarda la presenza o assenza del liquido seminale durante la crioconservazione degli

La spedizione di Napoleone in Egitto aveva dato l’impulso iniziale alla rivalità fra Francia e Inghilterra anche sul piano del prestigio nazionale, tanto che

In 2013, TEM is the safest and most effective treatment modality available for large rectal adenomas, with signifi- cantly higher complete resection rates and lower local

The fraction of events with final state radiation (FSR) photons from charged pions in data is found to be 20% higher than that in MC simulation [22] , and the associated

L’algoritmo di ordinamento per fusione ordinamento per fusione (merge sort merge sort) L algoritmo di ordinamento per fusione ordinamento per fusione (merge sort merge sort)