Criterio della radice

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(1)1. www.matematicagenerale.it . Criterio della radice n. Sia. a. n. una serie a termini positivi, se. 1. k    / k  1: n an  k  1 n. allora la serie. a. n. è convergente.. 1. Ovvero se: lim n an  h n . con 0  h<1. n. allora la serie. a. n. è convergente. n. è divergente. 1. con h>1. n. allora la serie. a 1. ?. h=1 Esempio1 . Stabilire se la serie. 1.  (arctgn) n 1. n. è convergente.. Calcoliamo il limite della radice n-sima del termine generale an :. lim n n . lim n an  h n . 1 1 1 2  lim   1 n n    (arctgn) arctgn 2. e quindi la serie è convergente.. . | info@matematicagenerale.it.

(2) 2. www.matematicagenerale.it Esempio2 . Stabilire se la serie. 1.  ( n) n 1. n. è convergente.. lim n an  h. Calcoliamo il limite della radice n-sima del termine generale an :. lim n n . n . 1 1  lim  0  1 n n  n ( n). e quindi la serie è convergente. Esempio3 . Stabilire se la serie.  log(1  2. n. ) è convergente.. n 1. Calcoliamo. . lim n log(1  2 n )  lim log(1  2 n ) n . n . . 1.  lim. n. n . . . 1 log(1  2 n )  n. Scriviamo: n. log(1  2 ). 1. n. e. log log(1 2 n ). 1. n. e. 1 log log(1 2 n ) n. E quindi tornando al limite: 1. 1 log log(1 2 n ) lim n log log(12 1 n n n e lim log(1  2 )  lim e n  n n . . . n ).  e  log 2 . 1 1 2. e quindi la serie è convergente. Nota:.  log(1  2 n )  n  1 1 1 lim log  2   lim log(2 n )  lim (n log 2)  2 n n  n n  n  n n 2   | info@matematicagenerale.it.

(3) 3. www.matematicagenerale.it Esempio4 . Stabilire se la serie. 1.  log n2. n. n. è convergente.. Calcoliamo il limite della radice n-sima del termine generale an :. lim n n . lim n an  h n . 1 1  lim  0 1 n log n n  log n. e quindi la serie è convergente.. | info@matematicagenerale.it.

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