8. Anita Biagini, Silvana Poroli e alunni II F e III N del Liceo B. Russel di Roma, La Matematica nel Medioevo

Testo completo

(1)La Matematica nel Medioevo. Liceo Bertrand Russell Roma  Classi: 2 F scientifico 3 N scientifico . a.s. 2006-07  Alunni: Yasmin Himid, Jais Mohamed, Chiara Zamborlini, Valerio Perrotta, Martina Panunzi, Caterina Bianchi, Giorgia Bozzolan  Docenti: prof. Anita Biagini prof. Silvana Poroli.

(2) La Matematica nel Medioevo Questa presentazione si propone di esaminare alcuni problemi matematici che fanno riferimento alla vita quotidiana medioevale. Affronteremo la risoluzione di più problemi, passando per terreni da accatastare e torri arroccate, fonti che traboccano e bocche da sfamare. Metteremo a confronto le nostre soluzioni con quelle riportate dai testi originali. La lingua in cui sono scritti, il volgare del Quattrocento, non è di immediata comprensione, ma ci ha molto incuriosito..

(3) Indice dei problemi Calcolo dell'area del trapezio Torri ed equazioni La ruota La farina Imposta e risolvi l'equazione La pietra nella fonte Divisione di una superficie Bibliografia.

(4) Primo Problema:. Calcolo dell'area del trapezio. <<E gl'è uno pezzo di terra, come vedi la presente figura, ed è per le 3 faccie 50 braccia e, per quella di sopra, è 2 braccia. Adomando quanto sarà quadro.>>.

(5) Svolgimento: Risoluzione odierna Dati: AD=BC=DC=50 b (b=braccia, u di misura) AB=2 b Area del trapezio = x Risposta: DH =. (DC − AB ) = (50 − 2) = 48 = 24 b. 2 2 2 AH 2 = AD 2 − DH 2 = 50 2 − 24 2 = 2550 − 576 = 1924 b 2 AH ≅ 44 b ( AB + DC )⋅ AH = (50 + 2)⋅ 44 = 1144 b x= 2 2.

(6) Risoluzione medievale <<Ora ti conviene sapere quanto è dal A al b in questo modo, che ttu multiprici 50 in sè, fa 2500 e di questo trai la multipricatione di 24 e la radice del rimanente sarà Ab. Però multiprica 50 in sè, fa 2500, tranne el produtto di 24, che è 576, restarà 1924, la cui radice sarà Ab. Ora lo potiamo rechare a quadro, come vedi figurato, e, sse ttu poni quello che è bC, che è 24, in tra Ed e 2 erano in prima. Ancho questo è uno pezzo di terra quadro, che li due lati saranno huguali insieme e 'l gl'altri due anchora huguali e ssaranno li due lati, cioè Ad e ancho bG, braccia 26, per una faccia, e l'altre latere, cioè Ab e ancho dG, sarà ciascuna faccia radice di 1924. Adunque, se ttu multiprica 26 via radice di 1924, fa 1300624, la cui radice sarà quadra la decta terra.>>.

(7) Svolgimento: Risoluzione medievale Risposta:. Ab = AC 2 − bC 2 = 50 2 − 24 2 = 1924 GC − 2 Gf = = 24 2 Gb = Gf + fb = 24 + 2 = 26 Area AbGd = Gb ⋅ Ab = 26 ⋅ 1924 = 10300624 Il risultato ottenuto dagli studiosi medievali equivale a circa 1140; il nostro è arrotondato per eccesso. Nel disegno abbiamo utilizzato alcune lettere in minuscolo perchè così erano riportate nel contesto originale.

(8) Problema Secondo :. Torri ed equazioni <<Sono due torri de le quali l’una è alta 60 braccia e ll’altra si è alta 40 braccia e si è da l’una torre all’altra 50 braccia e infra queste due torri v’è una fonte; e in ogniuna di queste due torri si v’è 1 colombo e questi 2 colombi vanno a bere e movansi a un’otta e vanno tanto forte l’uno quanto l’altro e giungono a un’otta a bere a la fonte. Vò sapere quanto la fonte è prexo a cciasuna di queste torri.>>.

(9) Svolgimento: Risoluzione odierna Dati: AC= 60 b AB=50 b BC=40 b CF=DF AF=x. Risposta:. FB = 50 − x DF 2 = 60 2 + x 2 CF 2 = 40 2 + (50 − x ). 2. DF 2 = CF 2 3600 + x 2 = 1600 + 2500 + x 2 − 100 x 100 x = 1600 + 2500 − 3600 100 x = 500 x=5 AF = 5 b FB = 45 b.

(10) Risoluzione medievale <<Farai così et fa in prima per la minore torre, la quale è alta 40 braccia: ora multiplica 40 per se midexmo, fa 1.600 braccia; ora dirai così: da l'una torre alla altra si v'è 50 braccia: multiplica 50 per se midexmo, che fa 2.500 braccia, ora agiungi insieme 1.600 e 2.500, che fanno 4.100. Ora fa per la maggiore e dirai così: 60 via 60 fanno 3.600; ora chava 3.600 di 4.100, resta 500. Ora si vuol partire e sapere quale è lo partitore. E dì così: da l'una torre all'altra // v'è 50 braccia; radoppia, fanno 100, parti 500 per 100, che ne viene 5; e 5 braccia era prexo la fonte alla torre maggiore; e all'altra minore v'era prexo 45 braccia e è fatta..>>.

(11) Svolgimento: Risoluzione medievale Risposta:. 40 2 + 50 2 − 60 2 = 500 50 ⋅ 2 = 100 500 =5 100 50 − 5 = 45 <<…5 braccia era prexo la fonte alla torre maggiore; e all'altra minore v'era prexo 45 braccia e è fatta>>.

(12) Terzo Problema:. La Ruota. <<Una ruota a chompasso la qual e tale chel suo diamitro cioe lo dritto di mezzo sie 20 braccia ne piu ne meno dimmi quanto gira d intorno.>>.

(13) Svolgimento: Risoluzione odierna. Dati:. 2r = AC = 20b π = 3,14... Risposta:. C = 2πr = 20 × π = 62,83185307 b.

(14) Risoluzione medievale <<Dovemo chosi fare di questa e di tutte simiglianti multiplica sempre lo dritto di mezzo per tre et 1/7 e questa generale regola e pero multiplica 20 via 3 et 1/7 e di 20 via 3 et 1/7 e di 20 via 3 fanno 60 et 20 via 1_/7 fanno è et 6/7 e avemo 62 et 6/7 e diremo che una ruota della // quale lo suo diamitro fosse 20 braccia girarebbe d intorno braccia 62 et 6/7. >>.

(15) Svolgimento: Risoluzione medievale. Dati:. 2r = AC = 20 b. π = 3+. 1 7. Risposta:. 1 6 1  C = 2πr =  3 +  × 20 = 60 + 20 ⋅ = 62 + 7 7 7  In questo, come in altri problemi, c’è da sottolineare l’esclusivo utilizzo nelle soluzioni delle frazioni proprie..

(16) Quarto Problema:. La Farina <<Uno padre de fameia à 7 boche in casa e mangieno moia 25 de farina in mesi 12. Ora vene a manchare boche 2 e romaneno seuo 5 boche; adomando quanto tempo averano asai de questa farina, zoè moia 25.>>.

(17) Svolgimento: Risoluzione odierna Dati: 7 persone consumano 25 moia di farina in 12 mesi In quanto tempo 5 persone consumano la stessa quantità di farina? x=mesi Risposta: Proporzione:. 25 moia 25 moia : 12 mesi = :x 7 persone 5 persone 7 84  25  25 = 60 ⋅ = = 16,8 x =  ⋅12  : 25 5  7  5.

(18) Risoluzione medievale <<..Questa è la sua regula: parte 25 per 7, vene 3 4/7 e tanto ne mangeno per bocha; ora di’ multiplicare boche 5 via 3 4/7, fa 17 6/7 e tanto e tanto ne manga queste boche 5 in uno anno, zoè mesi 12. Ora di’ per la nostra regola del 3: se 17 6/7 me da mexi 12, che me darà quelo che me dà 17 6/7 per fino a 25 moza, zoè 7 1/7? Multiplica 12 via 7 1/7, fa 85 5/7, parte per 17 6/7, vene elo, 12 insieme che t’è da prima, che sono mesi 16 di 24 ore; o e tanto ne averano asai queste 5 boche.>>.

(19) Svolgimento: Risoluzione medievale Dati: 25 Moia de Farina 7 Boche. 12 mesi. 25 Moia de Farina 5 Boche. X mesi. Risposta:. 4 25 = 3+ 7 7 4 6  3 5 17 ⋅ = + +   7 7  6 1  25 − 17 +  = 7 + 7 7  1  6  x : 12 =  7 +  : 17 +  7  7  x = 4 mesi + 24 giorni X = (12 + 4 ) mesi + 24 giorni.

(20) Quinto Problema:. Imposta e risolvi l’equazione. <<Truova 1 numaro che trattone e 2/5 e 2 più è rimanente multipricato per 6 faccia quel medesimo numaro”>>.

(21) Svolgimento: Risoluzione odierna 2   6 x − x − 2 = x 5    3 6 x − 2 = x  5 18 x − 12 = x 5 18 x − x = +12 5 13 x = 12 5 13 x = 12 : 5 5 x = 12 ⋅ 13 60 x = 13.

(22) Risoluzione medievale <<..Fa così: pone chel numaro fusse 1 cosa, trane 2/5 e 2 più resta 3/5 meno 2, multiprica per 6 fa 3 e 3/5 di cosa meno 12 numari e sonno uguali a 1 cosa. Da 12 a ciascuna parte, ài che 3 e 3/5 di cosa sonno uguali a 12 numari. Trae 1 cosa da ciascuna parte, rimane che 2 e 3/5 di cosa sonno uguali a 12 numari. Parte 12 per 2 e 3/5 vienne 4 e 8/13, e tanto vale la cosa, che tu ponesti in quel numaro fosse 1 cosa, e 2 cose di chel numero è 4 e 8/13.>>.

(23) Svolgimento: Risoluzione medievale 2 3    cosa − cosa − 2  = cosa - 2 5 5   3   3 6 cosa − 2  =  3 + cosa - 12 = cosa 5   5 3   3 + cosa = cosa + 12 5  3    3 + − 1cosa = 12 5   3   2 + cosa = 12 5  3  cosa = 12 :  2 +  5  8 cosa = 4 + 13.

(24) Sesto Problema:. La pietra nella fonte <<Verbi grazia una fonte la quale dilungho 4 braccia e d ampio ae 3 braccia e d alto 10 braccia ed evvi entro alta l’ acqua 8 braccia e noi vi gittiamo entro una pietra quadrata la quale per ciascuna faccia 3 braccia cioe 3 ampia et 3 largha et 3 alta dimmi quanto monterae supo l acqua per questa pietra che vi gittiamo.>>.

(25) Svolgimento: Risoluzione odierna Dati : AB = 4b BC = 3b AQ = 8b AE = 10b IJ = JK = KP = 3b Risposta : Volume pietra : IJ 3 = 27b 3 Area base fonte : AB ⋅ BC = 3 ⋅ 4 = 12b 2 Volume acqua : ( AB ⋅ BC ) ⋅ AQ = 12 ⋅ 8 = 96b 3 Volume pietra e acqua : 96 + 27 = 123b 3 Volume fonte : ( AB ⋅ BC ) ⋅ AE = 12 ⋅10 = 120b 3 Volume acqua fuoriuscita :123 − 120 = 3b 3.

(26) Risoluzione medievale << ...dovemo chosi fare multiplica 3 via 4 fanno 12 cio sonno 12 braccia quadre siche ogni 12 braccia quadre fanno montare l’ acqua uno braccio nella fonte e questo nota ora simigliantemente rechiamo a braccia quadre la pietra e per l ampiezza e per la lunghezza multiplica 3 via 3 fanno 9 e per l altezza multiplica 3 via 9 fanno 27 e tante braccia quadre d acqua occupa ovvero prende la pietra ora parti 27 per 12 ne viene 2 et 1/4 e tante braccia monterae per la pietra che vi chade l acqua cioe 2 et 1/4 giugni sopra 8 2 et 1/4 sonno 10 et 1/4 e tanto sarae alta l acqua nella fonte siche tre braccia quadrate d acqua de traboccare la fonte.>>.

(27) Svolgimento: Risoluzione medievale Dati: Lati base Fonte: 3b 4b Altezza Fonte: 10b Altezza Acqua: 8b Lato Pietra: 3b Risposta: <<ogni 12 braccia quadre fanno montare l’ acqua uno braccio 3 ⋅ 4 = 12b 2 nella fonte >> 3 ⋅ 3 ⋅ 3 = 27 27 1 <<..tante braccia monterae per la pietra che vi chade l acqua>> = 2+ 12 4 1  1 8 + 2 + = 10 + b 4  4 1 12 ⋅ = 3b 2 4. Figura tratta da La figura è tratta da”Praticha di geometria e tutte misure di terre” Dal ms.C. III. 23 della Biblioteca Comunale di Siena.

(28) Settimo Problema:. Divisione di una superficie. <<Uno veschovo lo quale a uno grandissimo Terreno e volevalo tutto accensare ed achasarlo tutto lo terreno ae di lungho channe 1237 ne piue ne meno ed ae d ampio 739 channe e esso veschovo vi vuole fare ostelli overo chase chabbi ciaschuna chasa di lungo 19 channe e di ampio channe 13 ne piue ne meno. Volemo sapere quante chase sallogheranno nel detto terreno.>>.

(29) Svolgimento: Risoluzione odierna Dati: AB=1237 channe BC=739 channe DE=19 channe EF=13 channe x=numero case Risposta: A1= AB*BC=1237*739= 914143 c2 A2= DE*FE=19*13=247 c2 x = A1/A2= 914143/247= 3700 case (resto =0,98380...).

(30) Risoluzione medievale <<Dovemo chosi fare primamente rechare a canne quadre tutto lo terreno e per la lunghezza e per l ampiezza multiplica 739 via 1237 fanno 914143 e tante canne // quadre e tutto il terreno cioe 914143 ora simigliantemente recha a channe qudre la chasa e per l ampiezza e per la lunghezza multiplica 13 via 19 fanno 247 e tante channe quadre e la casa ora dovemo partire la quadratura del terreno per la quadratura della chasa cioe 914143 per 247 chenne viene 3700 et 243/247 e tanti ostelli ovvero chase s allogheranno jn quello terreno cioe 3700 chase e piue 243/247 d ostello ovvero di chasa possiamo dire che vi s allocheranno 3701 ostelli meno 4/247 d ostello e de fatta a punto cioe 3701 meno 4/247 d uno ostello.>>.

(31) Svolgimento:Risoluzione medievale Risposta: Area terreno = AB*BC=1237*739= = 914143 c2 Area casa = DE*FE=19*13=247 c2 914143/247= 3700 case + 243/247 <<s allogheranno jn quello terreno cioe 3770 chase e piue 243/247 d ostello ovvero di chasa. Possiamo dire che vi s allogheranno 3701 ostelli meno 4/247 di ostello e de fatta a punto cioe meno 4/247 di uno ostello.>> In pratica si ipotizza di utilizzare tutto il terreno: 3700*247=913900 914143-913900=243/247 = 0,98380....

(32) Problema 1: Calcolo dell'area del trapezio Anonimo Fiorentino, Trattato di geometria pratica, dal Codice L.IV.18(sec.XV) della Biblioteca comunale di Siena Problema1: Problema 2: Torri ed equazioni Anonimo senese (sec. XV), Differenze di geometria e misure a ochio (dal ms. Plimpton 194 della Biblioteca della Columbia University) Problema 3: La ruota Tommaso della Gazzaia, Praticha di geometria e tutte misure di terre, dal ms. C. III.23 della Biblioteca comunale di Siena Problema 4: La farina Anonimo Maestro Lombardo, Arte giamata aresmetica, dal codice N. III.53 della Biblioteca Nazionale di Torino Problema 5: Imposta e risolvi l'equazione Maestro Gilio, Questioni d’algebra, dal codice L.IX.28 della Biblioteca comunale di Siena Problema 6: La pietra nella fonte Tommaso della Gazzaia, Praticha di geometria e tutte misure di terre, dal ms. C. III.23 della Biblioteca comunale di Siena Problema 7: Divisione di una superficie Tommaso della Gazzaia, Praticha di geometria e tutte misure di terre, dal ms. C. III.23 della Biblioteca comunale di Siena Tutti i volumi fanno parte della collana” Quaderni del centro studi della matematica medioevale”.

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