Studio di funzione

2 3 − 2 3 0

∩

∪

x x y 5 9 5 4 3₋

= (funzione razionale intera) Dominio: D = R

Simmetrie: f(−x)= f(x) pari f(−x)=−f(x) dispari (simmetrica rispetto all’asse x) (simmetrica rispetto all’origine)

) ( 5 9 3 4 5 9 3 4 ) ( 5 9 ) ( 3 4 ) ( _{x x} 3 _{x x}3 _{x x}3 _{x f x} f ⎟=− ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ₋ − = + − = − − − = − è DISPARI

Intersezione con gli assi:

⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − = = x x y x 5 9 5 4 0 3 à ⎩ ⎨ ⎧ = = 0 0 y x ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = − = 0 5 9 5 4 0 3 _x x y à ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ± = = = 2 3 , 0 0 x x y Segno: f(x)>0 0 5 9 5 4_x3 _{− x> à 4x}3_−9>0àx

(

_4x2₋₉

)

_{>0 da cui} 0 > x ∨ 4_x2 ₋9_>0 _4x2₋₉₌₀ 2 3 ± = x 2 3 2 3 > ∨ − < x x

Limiti agli estremi del campo di esistenza per la ricerca degli asintoti:

∞ ∞ = − ∞ → x x x 5 9 5 4 lim 3 _{F.I. =∞} ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = − ∞ → ∞ → 2 3 3 ₄ 9 5 1 lim 5 9 5 4 lim x x x x x

x non ci sono asintoti orizzontali, però

poiché

( )

_=∞

∞ → f x

x

lim , condizione necessaria, ma non sufficiente per l’esistenza dell’asintoto obliquo Cerchiamo se esiste m: m x x f x→∞ = ) ( lim ⎟⋅ = − =∞ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ₋ ∞ → ∞ → ₅ 9 5 4 lim 1 5 9 5 4 lim 3 _x2 x x x x

x non ci sono asintoti obliqui.

Segno della derivata prima (per la ricerca degli intervalli di crescenza e decrescenza, massimi e minimi relativi, flessi a tangente orizzontale):

(

4 3

)

0 5 3 5 9 3 5 4 '_{= ⋅ x}2_{− = x}2 _{− ≥} y 2 3 ± = x punti stazionari

Derivata seconda per la ricerca degli intervalli di concavità e i flessi:

0 5 24 8 5 3 ''= ⋅ x= x≥ y à x ≥ 0

F(0, 0) punto di flesso a tangente obliqua, infatti 0 5 9 ) 0 ( ' =− ≠

f (m) coefficiente angolare della tangente di flesso (tangente inflessionale)

Equazione della retta tangente nel punto di flesso (tracciata nel grafico):

(

0

)

5 9 0=− − − x y à y x 5 9 −

= (retta per l’origine)

asse y asse x M 3) 5 3 , 2 3 (− max rel. N ( 3) 5 6 , 23 − min. rel. 2 3 − 0 2 3 ⊕ ⊕

3/4

∩

∪

asintoto verticale e punto di discontinuità di seconda specie

(m) coefficiente angolare della tangente nel punto di flesso (tangente inflessionale)

2 2 1 4 x x

y= − (funzione razionale fratta) Dominio: 2_x2 _≠0_{à x≠0 D = R – {0}} Simmetrie ( ) ( ) ( ) 2 1 4 ) ( 2 1 4 ) ( _{2 2} f x e f x f x x x x x x f = − − ≠ − ≠− − − − =

− non ci sono simmetrie

Intersezione con gli assi:

⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − = = 2 2 1 4 0 x x y x à ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ℜ − = = in imp y x . 0 1 0 ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≠ = − = 0 0 2 1 4 0 2 x x x y à ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = 4 1 0 x y A( 4 1 ;0) Segno: f(x)>0 0 2 1 4 2 > − x x N:4x−1>0 à 4 1 > x D: 2_x2 _>0 _{à ∀x∈ℜ−}

{ }

₀

Limiti agli estremi del campo di esistenza per la ricerca degli asintoti: −∞ = − = − + →+ ₀ 1 2 1 4 lim ₂ 0 x x x =− =−∞ − + →− ₀ 1 2 1 4 lim ₂ 0 x x x x = 0 ∞ ∞ = − ∞ → ₂ 2 1 4 lim x x x F.I. 0 4 2 1 4 lim ₂ = ∞ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − / / ∞ → _x x x x y =0 asintoto orizzontale

Segno della derivata prima per la ricerca degli intervalli di crescenza e decrescenza, massimi e minimi relativi, flessi a tangente orizzontale:

(

)

(

) (

1 2

)

₀ 4 1 4 2 4 4 4 1 4 2 4 ' _{4 4 4} 2 ≥ − = + − = − − ⋅ = x x x x x x x x x x x y N: x

(

1− x2

)

≥0 à 2 1 0 ∨ ≤ ≥ x x D: _x4 _>0 _{∀x∈ℜ−}

{ }

₀

Derivata seconda per la ricerca degli intervalli di concavità e i flessi: Se semplifico la derivata prima ottengo ' 1 ₃2

x x y = − , da cui:

(

)

( )

4 3 0 3 4 3 4 6 3 2 3 2 1 2 '' 4 6 2 3 6 3 2 3 2 3 2 3 ≥ → ≥ − = − = = + − − = − − − = x x x x x x x x x x x x x x y

F(3/4, 16/9) punto di flesso a tangente obliqua, infatti 0 27 32 ) 4 / 3 ( ' =− ≠ f

Equazione della retta tangente nel punto di flesso (tracciata sul grafico): ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − = − 4 3 27 32 9 16 x y à 3 8 27 32 + − = x y asse y asse x x=0 non classificabile (non è in D) N ( ,2) 2 1 min. rel. 0 4 1 ⊕ 0 ⊕ ½

0

∩

∪

x x x y 2 4 2 2_{+ +}

= (funzione razionale fratta)

Dominio: 2x≠0à x≠0 D = R – {0} Simmetrie

( )

( )

( ) ( ) ( ) 2 4 2 2 4 2 ) ( 2 4 2 ) ( 2 2 2 x f x f e x f x x x x x x x x x x f =− − + ≠ − ≠− − + − = − + − + − = − non ci sono simmetrie

Intersezione con gli assi:

⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ + − = = x x x y x 2 4 2 0 2 à ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ℜ = = in imp y x . 0 4 0 ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≠ = − + + = 0 0 2 1 4 2 0 2 x x x x y à ⎩ ⎨ ⎧ ℜ < Δ = in imp y . 0 0 Non ci sono intersezioni con gli assi.

Segno: f(x)>0 0 2 4 2 2 > + + x x x _N:x2_{+ x2 +4>0 à x}2_{+ x2 +4=0à} Δ=1−4=−3<0 à∀x∈ℜ D: 2x>0 à x>0

Limiti agli estremi del campo di esistenza per la ricerca degli asintoti: ∞ = = + + → ₀ 4 2 4 2 lim 2 0 x x x

x x=0 asintoto verticale e punto di discontinuità di seconda specie

∞ ∞ = + + →∞ _x x x x 2 4 2 lim 2 F.I. = ∞=∞ / ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ _{+ +} / ∞ → _{2 2} 4 2 1 lim 2 2 x x x x

x non c’è l’asintoto orizzontale.

Il fatto che il limite per x che tenda all’infinito tende all’infinito è condizione necessaria, ma non sufficiente per l’esistenza dell’asintoto obliquo. (

( )

m

x x f x→∞ = lim e f x mx q x→∞ ( )− = lim ) ∞ ∞ = + + →∞ 2 2 2 4 2 lim x x x x F.I. x m x x x x / = = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ _{+ +} / →∞ ₂ 1 2 4 2 1 lim ₂ 2 2 ∞ ∞ = + = / − + + / = ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ + + ₋ →∞ →∞ →∞ _x x x x x x x x x x x x x 2 4 2 lim 2 4 2 lim 2 1 2 4 2 lim 2 2 2 F.I. q x x x x // = = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + / / ∞ → ₂ 1 2 1 2 lim 1 2 1 + = x y asintoto obliquo

Segno della derivata prima per la ricerca degli intervalli di crescenza e decrescenza, massimi e minimi relativi, flessi a tangente orizzontale:

(

)

₀ 4 8 2 4 2 4 2 2 ) 2 2 ( ' ₄ 2 2 2 ≥ − = ⋅ + + − ⋅ + = x x x x x x x y N: 2_x2₋8_≥0 _x2_{−4=0 x=±2} D: 4_x4 _>0 _{sempre per x≠0}

Derivata seconda per la ricerca degli intervalli di concavità e i flessi: 0 0 4 ''= 3 ≥ →x> x

y x=0 non classificabile (non è in D) asse y asse x M(-2;-1) max rel. N ( 2; 3) min. rel. 0 ⊕ -2 0 2 ⊕ ⊕

- 2

x = - 2 asintoto verticale sinistro e punto di discontinuità di seconda specie

(m) coefficiente angolare della tangente nel punto di flesso (tangente inflessionale)

non ci sono intersezioni con l’asse x - 2 -2 ½ 2 3 + − = x x e

y funzione esponenziale (trascendente) Dominio: x+2≠0à x≠−2 D = R – {-2} Simmetrie ( ) 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) 3 2 3 2 3 x f x f e x f x f x x x x x x − ≠ − ≠ = = = − − + + − + − + − − −

non ci sono simmetrie Intersezione con gli assi:

⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = + − 2 3 0 x x e y x à ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = ⋅ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = = = − 2 2 3 2 3 1 1 0 e e e e e e e e y x ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = + − e impossibil e y x x 0 0 2 3 Segno: f(x)>0 2 0 3 > + − x x e ∀x∈D

Limiti agli estremi del campo di esistenza per la ricerca degli asintoti: 0 lim 0 5 2 3 2 = = = ∞ − − +− − → + +e e e x x x = = =+∞ ∞ + − + − − → − −e e e x x x 0 5 2 3 2 lim quindi ∞ ∞ + − ∞ → e = e x x x 2 3 lim F.I. ex x e e x x x = = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + / ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − / ∞ → 1 2 1 3 1

lim quindi y =e asintoto orizzontale Possibile intersezione con l’asintoto orizzontale y=e:

⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = + − 2 3 x x e y e y ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = + − → = + − / − − / → = + − → = = + − 0 2 5 0 2 2 3 1 2 3 2 3 x x x x x x e e e y x

x _{impossibile in R. Non ci cono intersez.}

Segno della derivata prima per la ricerca degli intervalli di crescenza e decrescenza, massimi e minimi relativi, flessi a tangente orizzontale:

(

) (

)

(

)

(

2

)

0 5 2 1 3 2 1 ' 2₂ 3 2 2 3 ≥ + ⋅ = + ⋅ − − + ⋅ ⋅ = + − + − x e x x x e y x x x x ∀x∈D

f(x) è sempre crescente nel dominio, non ci sono massimi, minimi o flessi a tangente orizzontale.

Derivata seconda per la ricerca degli intervalli di concavità e i flessi:

(

) (

)

(

)

(

)

(

)

(

)

2 1 0 2 2 1 5 2 2 2 5 2 2 5 5 '' 4 2 3 4 2 3 2 2 2 3 ≤ → ≥ + − ⋅ ⋅ = = + + ⋅ ⋅ − + ⋅ + ⋅ ⋅ = + − + − + − x x x e x x e x x e y x x x x x x

F(1/2, 1/e) punto di flesso a tangente obliqua, infatti 0 5 4 ) 2 / 1 ( ' _{= e}−1 _≠ f

Equazione della retta tangente nel punto di flesso: ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = − − − 2 1 5 4 5 4_e 1 _e 1 _x y à 1 1 5 2 5 4 _{− −} + = e x e y asse y asse x x=-2 non classificabile (non è in D)

∪

∪

∩