Universit`a di Trento - Dip. di Ingegneria e Scienza dell’Informazione
CdL in Informatica e CdL in Ingegneria Informatica, delle Comunicazioni ed Elettronica
a.a. 2019-20 - Esercizi Paradigma 9 - “...de l’Hˆopital e studio qualitativo di funzioni (ormai non hanno pi`u segreti per voi)...”
9.1) Calcolate, se esistono, i seguenti limiti (usando, se possibile, il teorema di de l’Hˆopital, e non solo . . .):
a) lim x→0 x − sin x cos x x3 ; b) x→+∞lim log(1 +√x) log x ; c) limx→0+ log x log(sin x); d) x→0lim+ 1 sin x − 1 x ; e) lim
x→0+(arcsin x) log x ; f) limx→1
log x
tan(πx); g) x→+∞lim x(arctan x −
π 2) ; h) lim x→0+ cos√x − cos x 2x ; i) x→+∞lim x cos 1 √ x− x 2sin1 x .
9.2) Studiate le seguenti funzioni individuando il dominio (se non indicato), il segno (quando possibile), il compor-tamento agli estremi del dominio (asintoti), la derivata prima e il suo segno (monotonia), la derivata seconda e il suo segno (quando possibile) (concavit`a/convessit`a), e tracciate un grafico qualitativo:
i) f (x) = xp|x − 4| − 2 se x < 0 arctan −x2) se x ≥ 0 ; ii) f (x) = e |x| ex− e;
iii) f (x) =p|x| log x2; iv) f (x) = p|x
2− 4|
x ; v) f (x) = arctan
1
x+ |x + 1| .
9.3) Studiate (dominio, simmetrie, limiti, segno, continuit`a, derivabilit`a, punti critici e loro natura, convessit` a/con-cavit`a se possibile) le seguenti funzioni (che avremmo voluto fare a lezione o abbiamo fatto parzialmente) e tracciate di ciascuna un grafico qualitativo:
i) f (x) = |x| −p|x| ; ii) f (x) = s x + 8 x+ 1 − 8 x ; iii) f (x) = log x 1 + log x; iv) f (x) =1 + 3x 4 x2 ; v) f (x) = x − 4 + |x + 4| 2 e x; vi) f (x) = ex 1 − x2; vii) f (x) = log x 2− 2|x| + 1 x + 1 .
9.4) Calcolate, se esistono, i seguenti limiti (usando, se possibile, gli sviluppi di Taylor):
a) lim x→0 log2(1 + sin x) x tan x ; b) limx→0 x − log(1 + x) 1 − cos x ; c) x→0lim sin x x x21 ; d) lim x→0 sin x x 1x; e) lim x→0 1 x tan x− 1 x2 ; f) limx→0 1 − cos x5 (sin x − x cos (x/√3))2; g) lim x→0 1 x2 sin x x − x sin x ; h) limx→0 x2(sin x2− sin2x) sin x2− tan x2 ; i) lim x→0+ x − sin2√x − sin2x x2 ; j) limx→0 [(1 − x)−1+ ex]2− 4e2x− 2x2 x3 ; k) lim x→0+ sin2x + 3(x − sin2√x) x2 ; l) limx→0 x cos x − sin x 1 + x2− ex2 + sin3x; m) lim x→0 (ex− 1)3− log2 (1 − x) 1 − cos2x ; n) limx→0 ex2− 1 − log(1 + x arctan x) √ 1 + 2x4− 1 .
