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LA QUADRATURA DEL CERCHIO E π :
DAL CALCOLO MANUALE ALL’ERA DELLE MACCHINE
Alunni: Marco Belsito; Matteo Brindisi; Cristian De Luca; Vincenzo
De Luca; Marco Ferrari; Davide Lontananza; Mattia Luzzi; Massimiliano
Meringolo; Pierpaolo Murano; Pasqua Salvatore; Giada Prezioso;
Lucantonio Prezioso; Elisabeth Sireno (Studenti della V B Liceo Scientifico
“E. Siciliano” Bisignano CS ).
Referente: Prof.ssa Franca Tortorella
Sunto: Si espone un iter storico sulla quadratura del cerchio e il calcolo di π: dall’uso
di riga e compasso a quello dei calcolatori . Si presenta, infine, un algoritmo, basato sull’uso di coordinate cartesiane nel piano euclideo per la quadratura del cerchio e il calcolo di π. Tale algoritmo si può facilmente implementare in un ambiente di pro-grammazione, ad esempio, MatCos1. Considerazioni didattiche completano il lavoro.
Parole chiave: Poligoni inscritti e circoscritti ad un cerchio, area cerchio, area
qua-drato, calcolo di π.
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Per il software MatCos ci si può rivolgere al primo autore oppure alla ditta Caliò Informatica s.r.l. Via Venezia, 24 – 87036 Rende (CS) Tel: 0984-30819; http://www.calio.it/
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1. INTRODUZIONE
La Divina Commedia è ricca di riferimenti matematici che confermano la profonda cultura scientifica di Dante. Uno dei più famosi passi matematici di Dante si legge nel Par. XXXIII 133-138: “Qual'è 'l geomètra che tutto s'affige per misurar lo cerchio,
e non ritrova, pensando, quel principio ond'elli indige, tal era io a quella vista nova: veder voleva come si convenne l'imago al cerchio e come vi s'indova; ma non eran da ciò le proprie penne: se non che la mia mente fu percossa da un fulgore in che sua voglia venne.”
In questo passo Dante fa l’esempio del geometra che si affligge per misurare il cer-chio attraverso la quadratura….. Ma che cos’è esattamente il problema della qua-dratura del cerchio?
Si può esprimere in due modi almeno, tra loro equivalenti:
- data una circonferenza, trovare un quadrato o un rettangolo il cui perimetro abbia la stessa lunghezza della circonferenza;
- dato un cerchio, trovare un quadrato o un rettangolo la cui area abbia la stessa e-stensione del cerchio. Dante fa un sottointeso: per motivi soprattutto estetici i Greci privilegiavano le soluzioni “con riga e compasso” . Inutilmente e per secoli, dappri-ma i dappri-matedappri-matici greci e poi via via tutti gli altri, cercarono di quadrare il cerchio con questi strumenti : oggi sappiamo che ciò è impossibile (lo ha dimostrato Lindemann, ma solo nel 1882!).
C’è però da dire che per “quadrare il cerchio” spesso si intende una visione diversa anche se del tutto equivalente alla precedente e cioè trovare l’esatto valore del rap-porto tra la lunghezza di una data circonferenza e il suo raggio, raprap-porto uguale per tutte le circonferenze. Lo straordinario perfezionamento dei calcolatori e dei softwa-re portano i matematici, nella nostra era, a una conoscenza di π aldilà di quanto si potesse immaginare nel Medioevo .
Il lavoro risulta così articolato: introduzione; analisi storica del problema; proposta di un algoritmo , implementato in linguaggio MatCos, che permette di calcolare π e l’area del cerchio equivalente a quello del quadrato per un numero di lati n qualsiasi di poligoni inscritti o circoscritti al cerchio.
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2. Analisi storica
La prima definizione di π è quella degli spazi piatti detti euclidei: qualunque sia la grandezza del cerchio considerata in tali spazi, il rapporto della sua circonferenza con il suo diametro è costante. Si deduce quindi che π è la misura in metri di una cir-conferenza di un cerchio il cui diametro è lungo 1 metro. Un’altra definizione di π è quella del rapporto tra la superficie di un cerchio e il quadrato del suo raggio. Sup-ponendo che lo spazio sia euclideo si deduce che π è la superficie in metri quadrati di un cerchio di raggio 1 metro.
Dalla vasta letteratura degli antichi greci è noto che Anassagora ( 496 - 428 A.C.) si propose di quadrare il cerchio. Dato un cerchio il problema consiste nel disegnare un quadrato della stessa area imponendo:
- utilizzare solo riga e compasso;
- considerare solo un numero finito di passaggi intermedi.
Un altro problema : la rettificazione della circonferenza consiste nel cercare un seg-mento la cui lunghezza è quella della circonferenza del cerchio di partenza. Ciò ri-conduce a costruire il numero π con riga e compasso. Sapendo che con una riga e un compasso è possibile moltiplicare lunghezze ed estrarre radici quadrate, si con-clude che i due problemi sono equivalenti. Ippocrate di Chio (470-410 a.C. ) riuscì a quadrare diverse figure aventi i bordi composti da archi di cerchio note con il nome di lunule. Un po’ più tardi Antifone (V secolo a.C. ) propose di quadrare il cerchio considerando una successione di poligoni aventi un numero di lati ottenuti raddop-piando ogni volta i lati del precedente. L’idea di queste costruzioni è dovuta a Eudosso di Cnido (408-355 a.C. ) e costituisce il principio di esaustione : prendendo un numero di lati abbastanza grande, si costruisce un poligono che si confonde con il cerchio dato e che dunque ricopre il cerchio “esaustivamente”. Negli “Elementi” di Euclide ( III secolo a.C.) si trova un concetto più esauriente. Da Euclide in poi pren-dendo poligoni con un gran numero di lati, si può rendere la differenza tra l’area del cerchio e l’area dei poligoni che si costruiscono più piccola di ogni quantità presa a piacere, per quanto essa sia piccola. Esso permette di stabilire con un certo rigore che il π di P = 2 π r è il medesimo di S = π r2 in uno spazio euclideo.
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Archimede di Siracusa (287-212 a.C. ) fa avanzare la conoscenza di π nel suo libro
“Sulla misura del cerchio”. Egli comincia con lo stabilire che il rapporto tra la
superfi-cie di un cerchio e il quadrato del suo raggio è uguale al rapporto tra la sua circonfe-renze e il diametro
3,1408 < π < 3,1429
Utilizza poligoni con 6, 12, 24, 48, 96 lati. Egli considera un cerchio di raggio 1 che circoscrive e inscrive con poligoni di 3 x 2n lati.
Da Archimede in poi π esiste come oggetto matematico, saranno poi calcolati valori approssimati migliori di quelli di Archimede, ma essi lo saranno grazie al suo meto-do.
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Nel XVI secolo Geronimo Pico Fonticolano dell’Aquila nell’opera dal titolo
“Geome-tria”, Libro Primo, proposizione N°45, riprende il problema “Fare un circolo eguale d’area al quadrato” dando la seguente soluzione:
Volendo fare un circolo eguale d’area ad un quadrato, fecondo la regola naturale d’Archimede, e quantunque non fia cola demostrativa per essere facile non è da di-sprezzarla. Prendi la linea diametrale del quadro , e di quella fa due parti, otto di quelle farano il diametro del tondo eguale d’area al quadro. Et volendo farlo per il tondo, farai otto parte del diametro, alle quali agiungerai doi de piu che fanno 10 e quel tanto farà il diametre del quadro (di seguito riportato).
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Oggi, con i calcolatori si apre una nuova era, i matematici possono proseguire lavori che in passato erano stati più o meno abbandonati a causa della complessità dei cal-coli e impensabili da condurre a mano.
3. Algoritmo per il calcolo di π ed implementazione nel linguaggio di
pro-grammazione Matcos
L’algoritmo è il seguente:
• Si fissa un sistema di assi cartesiani e una circonferenza g di centro C(0,0) e raggio r;
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• Fissato il numero N dei lati si considera il poligono inscrittto a g i cui vertici sono individuati dai punti P(r*cos(t),r*sen(t) e il poli- gono circoscritto a g i cui vertici sono individuati dai punti P(r1*cos(t),r1*sen(t));
• L’area del poligono inscritto a g risulta Ai=N*r^2*sen(dt)/2, mentre l’area del poligono circoscritto è Ac=N*r1^2*sen(dt)/2;
• Si osserva che se i lati sono N la differenza delle due aree (inscritta e circoscritta) è Ac-Ai e un valore approssimato di π è N*sen(dt)/2. Tale algoritmo si può facilmente implementare nel linguaggio Matcos, il cui listato è di seguito riportato e il cui output è dato dalla fig.1.
MC1 Calcolo di pi greco /*r=legginum("raggio");*/ r=numero_a_caso(7,8); ColorePenna(255,255,255); rifcart; ColorePenna(0,0,0); C=punto(0,0); circ(C,r); t1=numero_a_caso(0,360); t2=t1+360; N=legginum("Numero di lati");
8 dt=(t2-t1)/N; P_ins=lista(N); P_circo=lista(N); r1=r/cos(dt/2); PER (k DA 1 A N) ESEGUI; t=t1+(k-1)*dt; P_ins(k)=punto(r*cos(t),r*sen(t)); P_circo(k)=punto(r1*cos(t),r1*sen(t)); StilePenna(5); segmento(C,P_circo(k)); FINE; StilePenna(1); ColorePenna(255,0,0); poligono(P_ins); ColorePenna(0,255,0); poligono(P_circo); Ac=N*r1^2*sen(dt)/2; Ai=N*r^2*sen(dt)/2;
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Stampa(" aree, circoscritta e inscritta è ",Ac-Ai); stampa("E in questo caso un valore approssimato ");
stampa("di pi greco è ",N*sen(dt)/2);
Fig1. Calcolo di π
Si può, infine valutare l’area del cerchio di raggio r equivalente al quadrato di lato π
=
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Fig.2 Quadrato di lato l = π
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Calcolo di pi greco col Metodo Montecarlo
Si “spruzzano” N punti casuali in un quadrato Q di lato l. Nc di questi punti cadono dentro il cerchio C, di raggio r=l/2 inscritto a Q. Si presuppone che questi N punti si spalmano in modo uniforme in Q e quindi in C. In tal modo dalla proporzione tra le aree di C e Q con i punti contenuti corrispondentemente in C e Q :
Nc : N = π*r2 : l2
si ricava il valore statistico π* = 4Nc : N (perché è r2:l2= ) di π.
Il seguente programma in MatCos ci consente di calcolare Nc ,dati N, l ed r=l:2. Pur essendo ridondante, vale la pena di ricordare che il calcolo di π equivale alla quadratura del cerchio!
Programma MC2 Calcolo di pi greco col Metodo Montecarlo
/*N=Legginum("N° di punti per esperimento");*/ N=500;v=Vettore(N); ColorePenna(255,255,255); rifcart; l=8;r=l/2; ColorePenna(0,0,0); /*xA=legginum("Ascissa di A"); yA=legginum("ordinata di A");*/ xA=-14; yA=-r; A=punto(xA,yA); xB=xA+l;
12 B=punto(xB,yA); yC=yA+l; C=punto(xB,yC);D=punto(xA,yA+l); Poligono(A,B,C,D); xF=(xA+xB)/2; yF=0; F=Punto(xF,yF); circ(F,r); Np=5; PIMed=vettore(Np); PER (h DA 1 A Np) ESEGUI; PER (k DA 1 A N) ESEGUI; x=numero_a_caso(xA,xB); y=numero_a_caso(yA,C.Y); y1=radiceQ(r^2-(x-xF)^2);
SE ((y<=y1)E(y>=-y1)) ALLORA ESEGUI; ColorePenna(255,0,0); Punto(x,y); V(k)=1; FINE; ALTRIMENTI ESEGUI; ColorePenna(0,255,0); Punto(x,y);
13 V(k)=0; FINE; FINE; Nc=media(V)*N; PIMed(h)=4*Nc/N; FINE; StampaVett(PIMed);
Stampa("Il valore medio è ",Media(PIMed)); ColoreRiempimento(0,0,255); p=PI; Diagstr(PIMed(1)_"1°Esperimento",PIMed(2)_"2°Esperimento", PIMed(3)_"3°Esperimento",PIMed(4)_"4°Esperimento", PIMed(5)_"5°Esperimento",3.14159265_"PI GRECO", Media(PIMed)_"Valore_Medio"); s=Valoreass(PI-Media(PIMed));
Stampa("Lo scarto tra valore statistico e pi greco è ",s); ColoreRiempimento(0,0,0); poligono(punto,punto,punto,punto); ColoreRiempimento(0,255,0); poligono(punto,punto,punto,punto); ColorePenna(0,0,0); segmento(punto,punto);
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Output da programma MC1 con input N=500 l=12 con Np=5 esperimenti.
CONSIDERAZIONI
Il problema della quadratura del cerchio e del calcolo di π risale alle origini della ge-ometria e ha tenuto occupati i matematici per secoli. Fu solo nel 1882 che l'impossi-bilità venne provata rigorosamente, anche se i geometri dell'antichità avevano affer-rato molto bene, sia intuitivamente che in pratica, la sua intrattabilità.
Trovare una soluzione richiederebbe la costruzione del numero π .
Infatti l'area del cerchio è πr2, e quindi un quadrato con area πr2 deve avere lato pari a π .
L'impossibilità di una tale costruzione, con le limitazioni imposte dall'uso esclusivo di riga e compasso, deriva dal fatto che π è un numero trascendente, ovvero non-algebrico, e quindi non-costruibile. La trascendenza di π fu dimostrata da Ferdinand von Lindemann nel 1882. La soluzione del problema della quadratura del cerchio
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con riga e compasso implicherebbe quindi trovare anche un valore algebrico per π , il che si è dimostrato impossibile dopo il lavoro di Lindemann.
Ciò non implica invece che sia impossibile costruire un quadrato la cui area appros-simi molto da vicino quella del cerchio dato. Nella matematica π è un numero irra-zionale, non può cioè essere scritto come quoziente di due interi. Inoltre, è un nu-mero trascendente (ovvero non è un nunu-mero algebrico) questo significa che non ci sono polinomi con coefficienti interi o razionali di cui π è radice. Di conseguenza, è impossibile esprimere π usando un numero finito di interi, di frazioni e delle loro ra-dici.
Questo risultato stabilisce a priori l'impossibilità della quadratura del cerchio, cioè la costruzione, con soli riga e compasso, di un quadrato della stessa area di un dato cerchio.
Esplorare π è come esplorare l’universo …..o piuttosto esplorare il mondo sotto-marino …. abbiamo bisogno di una luce, questa luce è :
• il passato, la storia, le antiche congetture ;
• il presente, che si esprime col calcolatore, sostenuto dai riflessi del passato.
BIBLIOGRAFIA
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matematica”, Quaderni di Matematica N°2, Dipartimento di Matematica Università
di Lecce. Edizioni Grifo Le (2004), pp. 141-160.
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[3] Emma Castelnuovo. Insegnare matematica. Lectio magistralis (Roma, 15 marzo 2007) , curato da: Peres E., Serafini S.,2008.
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[5] Ben-Ari, M. (2001), Constructivism in Computer Science Education, Journal of Computers in Mathematics and Science Teaching, 20(1), 45-73. Norfolk, VA: AACE.
