Sulle potenze di base 5
e la loro ripetizione ad infinitum
Luca Onnis (1)1 Abstract
In questo documento, studio la curiosa ripetizione delle cifre finali delle potenze di base 5; analizzando diverse potenze riesco a trovare una formula che lega il numero delle cifre di tali numeri alla loro ripetizione nelle cifre finali di infinite altre potenze di base 5. In sintesi, mi propongo di dimostrare che per ogni potenza di base 5 ed esponente “b” , , esistono infinite potenze di base 5 tali che alla fine del loro numero siano contenute nella loro interez-za le cifre di . Durante la dimostrazione utilizzerò in gran parte l’aritmetica modulare (la matematica dei resti), con riferimenti alla funzione phi di Eulero e all’ordine moltiplicativo universale (elementi che definirò in corso d’opera).
2 Introduzione ed esempi
Inizio analizzando potenze di base 5 aventi esponente relativamente piccolo, considero quindi e noto che tutte le potenze di base 5 della forma contengono le cifre 125 alla fine del loro numero espresso in base decimale (3125, 78125, 1953125,…)
Allo stesso modo considero ora e noto che tutte le potenze di base 5 della forma contengono le cifre 3125 alla fine del loro numero espresso in base decimale (1953125, 1220703125, ..)
Come ultimo esempio propongo un esponente relativamente grande, e noto che tutte le potenze di base 5 della forma contengono le cifre 9765625 alla fine del loro numero espresso in base decimale(227373675443232059478759765625,
5293955920339377119177015629247762262821197509765625, ..)
3 Dimostrazione (I parte)
La tesi da dimostrare è la seguente:
è contenuto nelle cifre finali delle potenze della forma , e con “ncb” indico il numero di cifre di . [1]
In particolare il numero di cifre di un qualunque numero è calcolabile matematicamente utilizzan-do i logaritmi:
nc(m) = ⌊log (m)⌋ + 1 dove ⌊x⌋ è la funzione piano (floor function) di x ed indica l’intero più vicino ad x; qui di seguito il grafico dei primi valori di ⌊x⌋ Nel nostro caso ncb = nc( = ⌊log ( )⌋ + 1 [5] ncb = ⌊b log (5)⌋ + 1. Questa formula potrebbe es-serci utile quando operativamente cerchiamo il
numero delle cifre di potenze di base 5 con un esponente elevato.
125 fa parte delle ultime cifre di 3125 , si può facilmente evincere che 3125-125 è Divisibile per 1000, ovvero per 10 elevato il numero delle cifre di 125. Quindi avremo che (3125-125) ≡ 0 mod (1000). In generale:
Prima di dimostrare che esistono infinite potenze di base 5 che contengono nel-le cifre finali la potenza di partenza , dimostriamo che esiste certamente una singola potenza di base 5 maggiore di tale che la nostra proprietà valga, e che quella potenza è proprio . Quindi ipotizziamo che a valga
. Allora:
e mettendo in evidenza :
[ [2]
Essendo , possiamo scomporre la condizione [2] in due condizioni separate, perché se un numero è divisibile per allora sarà divi-sibile sia per che per .
La condizione è banalmente vera in quanto b, perché b ≥ ncb , b,ncb e b,ncb > 0.
Qui di seguito ho riportato i primi valori di (b,ncb) [(1,1);(2,2);(3,3);(4,3);(5,4);…] abbiamo infatti che b ≥ ncb = ⌊b log (5)⌋ + 1 [5]
. Per verifica diretta vediamo che per b = 1,2 o 3; certamente sappiamo che per l’uguaglianza è verificata.
La condizione [4] richiede più lavoro e la presentazione di due lemma. →
, in quanto non può dividere il fattore , e quindi deve , se la condizione di partenza è vera, dividere il fattore
.
4 Lemma 1
a è un intero dispari e k ≥ 3 , , ne segue che:
= [6]
in teoria dei numeri è la funzione phi di Eulero e rappresenta il numero di interi coprimi con n e minori o uguali ad n. Esempio , in quanto sono 6 i numeri coprimi con 9 e minori o uguali a 9 (1,2,4,5,7,8)
Per questa dimostrazione ci basta conoscere unicamente la definizione di . (per k = 3)
= , il che è vero per il piccolo teorema di Fermat
il quale afferma che , , o semplicemente
osser-vando che i residui quadratici modulo 8 per a dispari sono tutti pari a 1. Passo induttivo
Ipotizzo che ciò sia vero per qualunque k. Quindi deve essere vero anche nel ca-so k+1:
elevo ambo i membri al quadrato: *
In quanto perché 2k > k+1 per k > 1 e banalmente . Per il principio di induzione la tesi [6] è vera per ,
5 Lemma 2
ba-è il minimo esponente per il quale m elevato quell’esponente sia con-gruo ad 1 modulo n.
Essendo 5 dispari per il lemma 1 abbiamo che .
Si sa che , dimostrando che proverò che
Per ogni ncb > 2 abbiamo: ≡
Perciò
Dimostrazione (II parte)
Ricapitolando abbiamo che sia la [3] che la [4] sono vere, di conseguenza anche la [2] è vera. Dimostriamo ora che esistono infinite potenze di base 5 che con-tengono nelle cifre finali altrettante infinite potenze di base 5.
[ al variare di k in quanto
[ , ma ricordando i risultati della [6] e della [7] Possiamo riscrivere che:
e di conseguenza:
che è banalmente vero per qualunque k e qualunque ncb. Ora ho gli strumenti per calcolare l’intervallo di ripetizione di qualunque poten-za di base 5. Per esempio: è contenuto nelle cifre finali di potenze di ba-se 5 della forma
6 Conclusione
In un ambito puramente numerico come la teoria dei numeri risultati del gene-re sono all’ordine del giorno, particolagene-re però lo “strano” legame col numero delle cifre, che non ha una vera e propria “formula” se non quella mediante i lo-garitmi e la funzione piano. Interessante però come si possa rapidamente calco-lare l’intervallo di ripetizione di potenze di base 5 con esponenti mastodontici in poco tempo e senza calcoli particolarmente pesanti. Sicuramente un risulta-to del genere si può incrementare all’interno di un calcolarisulta-tore, soprattutrisulta-to quando l’utilizzatore sta facendo calcoli in ambito di aritmetica modulare
7 Sitografia e Bibliografia
1 Floor function: https://en.wikipedia.org/wiki/Floor_and_ceiling_functions
2 Funzione phi di Eulero: https://it.wikipedia.org/wiki/Funzione_%CF%86_di_Eulero
3 Aritmetica Modulare di Salvatore Damantino ed Emanuele Campeotto (col-lana U Math)
