Esercizi sui circuiti in continua

Corso di Elettrotecnica 1 - Cod. 9200 N

Diploma Universitario Teledidattico in

Ingegneria Informatica ed Automatica

Polo Tecnologico di Alessandria

A cura di Luca FERRARIS

Scheda N° 5

Circuiti in Corrente Continua:

•

Metodo del potenziale ai nodi

E

5.1

Dato il circuito indicato in figura, calcolare la tensione VAB con il metodo del potenziale ai nodi.

Soluzione

Si sceglie VB come potenziale di

riferimento ⇒ tutti i potenziali saranno riferiti a VB.

Esprimiamo le correnti dei rami in funzione dei potenziali ai nodi, e quindi scriviamo le equazioni di Kirchhoff per i nodi A e C:

I V I V I V I V V I V V I V I V A A A A C A C C C 1 2 3 4 5 6 7 290 19 5 10 180 4 5 15 150 10 15 200 4 5 = − = = − = − = − − = = −                    ⇒ . . . J I I I I I I I I I = + + + + + = +    1 2 3 4 5 5 4 6 7

180 V

10

Ω

4,5

Ω

+

4,5

Ω

+

290 V

15

Ω

15

Ω

15

Ω

10

Ω

+

150 V

+

200 V

4,5

Ω

J = 10 A

J = 10 A

I

I

I

I

I

I

I

E

E

E

E

A

C

B

Risolvere l’esercizio precedente utilizzando il Teorema del generatore equivalente di Thevenin + + + J = 10 A J = 10 A A C B + Eeq 1 Req 1 Req 2 Req 3 Req 4 Eeq 4 Eeq 3 Eeq 2 + J = 10 A A B Eeq 1 Req 1 Req 4 Eeq 4 + + J = 10 A Eeq 5 Req 5 E E R E R E R E R eq eq eq eq eq eq eq eq 1 1 2 2 3 3 4 4 1 290 4 5 15 19 5 150 15 25 90 10 6 200 15 19 5 153 846 4 5 3 462 180 10 14 5 124 138 4 5 3 103 = = = + =     = ⋅ = = =     = ⋅ = = =     = ⋅ = = =     V V V V , , / /15 , , , / /15 , , , , / /10 , Ω _Ω Ω Ω E E E R R R eq eq eq eq eq eq 5 2 3 5 2 3 243 846 9 462 = + = = + =     , , V Ω

A questo punto si può applicare il Teorema di Millman:

V E R E R E R J R R R AB eq eq eq eq eq eq eq eq eq = + + + + + = 1 1 4 4 5 5 1 4 5 1 1 1 189 246, V

E

5.3

Calcolare la tensione ai capi del generatore di corrente VBD utilizzando il Metodo delle correnti di

maglia.

Soluzione

• 6 lati

• 4 nodi ⇒ 3 nodi l.i.

• 3 maglie l.i.

Si considerano come variabili le 3 correnti di maglia l.i.:

II, III, IIII, dopodiché si esprimono le correnti dei

singoli rami in funzione di tali correnti di maglia (o cicliche).

Infine si scrivono le equazioni alle maglie (2° Principio di Kirchhoff), la cui risoluzione porta a determinare le correnti incognite II, III e IIII.

I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I II I II III II III III I III I II II II 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 2 9 9 11 11 2 9 = = − = − = − = − = ⇒ ⇒ = =          = = − = − = − = =          A I = 11 A A A A A (*) I I I I I I 1 2 3 4 5 6 8 1 3 11 2 9 = = = = − = =          A A A A A A

Per determinare la corrente mancante III si può scrivere un’equazione alla maglia II:

4⋅ − ⋅ + ⋅ =I₂ 2 I₁ 4 I₃ 0 sostituendo le espressioni appena ricavate si ottiene:

(

)

(

)

4 9⋅ −I_II − ⋅ + ⋅2 I_II 4 11−I_II =0 da cui si ricava III = 8 A, che permette di completare tutte le

correnti come indicato nell’espressione (*) su scritta.

2 A

D

+

4 V

9 A

2

Ω

4

Ω

4

Ω

A

B

C

I

₁

I

2

I

3

I

4

I

5

I

6

I

III

I

I

I

II

Dato il circuito illustrato in figura, calcolare la corrente che circola tra i morsetti A e B, noti i seguenti valori:

• R1= 10Ω • R2= 20Ω • R3= 40Ω • R4= 5Ω • R5= 40Ω • E =200V

Circuito equivalente di Thevenin tra i morsetti A e B:

R R R R R eq = +       + +      = ₊⋅ + ⋅ + = + = − − 1 1 1 1 10 40 10 40 20 5 20 5 8 4 12 1 3 1 2 4 1 Ω

Per calcolare la tensione equivalente si può procedere scrivendo l’equazione alla maglia ABCD dopo aver calcolato VAC e VBD sfruttando il fatto che, poiché i morsetti A e B sono aperti, i rami CAE e

DBF si comportano come partitori di tensione:

V_AB =V_AC −V_BD =120 V

Ora, noti tutti i valori che ci servivano possiamo calcolare la corrente incognita:

I E R R AB eq eq = + ₅ = + = 120 12 40 2 3, A

E

R

R

R

_R

R

I

A

B

E

F

C

D

R

R

V

A

B

E

5.5

Considerando il circuito in figura, calcolare il valore delle correnti I1, I2, I3 con i seguenti dati: • R1 = 25 Ω • R2 = 15 Ω • R3 = 25 Ω • R4 = 10 Ω • R5 = 15 Ω • R6 = 10 Ω • R7 = 20 Ω • E1 = 50 V • E2 = 100 V • I = 3 A

La prima osservazione che bisogna fare riguarda la corrente I2; infatti le resistenze R5, R6 e R7 sono

inserite tra i nodi F, H e D che sono collegati tra loro da corto-circuiti; pertanto le suddette resistenze non potranno mai essere percorse da corrente; notato ciò possiamo ridisegnare il circuito come nella figura accanto e anche asserire che: I2 =0

Per calcolare le altre correnti facciamo uso del Teorema

di sovrapposizione degli effetti.

Effetto del generatore di tensione E1.

′ = = = ′ =     I E R I 1 1 3 3 50 25 2 0 A

Effetto del generatore di tensione E2.

′′ = = = ′′ =     I E R I 3 2 4 1 100 10 10 0 A R1 R2 R3 R₄ R6 R7 R5 I E1 E2 I1 I3 A B C D E F G H I2 R1 R2 R3 R4 I E1 E2 I1 I3 A B C D E F H