Industrial organization and behaviour

Industrial Organization and Behaviour

Hinnerk Gnutzmann

Thesis submitted for assessment with a view to obtaining the degree

of Doctor of Economics of the European University Institute

European University Institute

Department of Economics

Industrial Organization and Behaviour

Hinnerk Gnutzmann

Thesis submitted for assessment with a view to obtaining the degree of Doctor of

Economics of the European University Institute

Examining Board

Prof. Thomas Gehrig, University of Vienna

Prof. Piero Gottardi, Supervisor, European University Institute

Prof. Andrea Mattozzi, European University Institute

Prof. Domenico Menicucci, University of Florence

© Hinnerk Gnutzmann, 2013

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permission of the author

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❙❡"✕❯♣✿ ❚❤❡3❡ ❛3❡ N ✜3♠(✱ ♣3♦❞✉❝✐♥❣ ❛ (✐♥❣❧❡ ❤♦♠♦❣❡♥❡♦✉( ❝♦❞❡ ❣♦♦❞✳ ▼❛3❣✐♥❛❧ ❝♦(. ✐( ❝♦♥(.❛♥. ❛♥❞ ♥♦3♠❛❧✐(❡❞ .♦ ③❡3♦✳ ❚❤❡② (✐♠✉❧.❛♥❡♦✉(❧② ❝♦♠♣❡.❡ ✐♥ ♣3✐❝❡( .♦ (❡❧❧ .❤❡ ♣3♦❞✉❝. .♦ ❛ ✉♥✐. ♠❛(( ♦❢ ❝♦♥(✉♠❡3(✱ ❛♥❞ ♠❛3❦❡.( ♦♣❡♥ ❢♦3 .✇♦ ♣❡3✐♦❞(✿ ✐♥ .❤❡ ✜3(. ♣❡3✐♦❞✱ ✜3♠( ❝❤❛3❣❡ ❛♥ ✐♥")♦❞✉❝"♦)② ♣)✐❝❡ ❛♥❞ ❝♦♥(✉♠❡3(✱ ♥♦. ②❡. ✏❧♦❝❦❡❞ ✐♥✑ .♦ ❛♥② ✜3♠✱ ❝❤♦♦(❡ ❛ ✜3♠✳ ❚❤❡♥✱ ❛. .❤❡ ♦♥(❡. ♦❢ .❤❡ (❡❝♦♥❞ ♣❡3✐♦❞✱ ❝♦♥(✉♠❡3( ❛3❡ ♣3✐✈❛.❡❧② ✐♥❢♦3♠❡❞ ♦❢ .❤❡✐3 (✇✐.❝❤✐♥❣ ❝♦(.✳ ❋✐3♠( (✐♠✉❧.❛♥❡♦✉(❧② (❡. ♠❛.✉3❡ ♠❛3❦❡. ♣3✐❝❡( ✕ ❧♦②❛❧ ❛♥❞ 3❡.❡♥.✐♦♥ ♦✛❡3(✱ ❛✈❛✐❧❛❜❧❡ .♦ ❝♦♥(✉♠❡3( ✇❤♦ ♣✉3❝❤❛(❡❞ ❢3♦♠ .❤❡♠ ✐♥ .❤❡ ✜3(. ♣❡3✐♦❞✱ ❛♥❞ ❛ (✇✐.❝❤✐♥❣ ♣3✐❝❡ ❛✈❛✐❧❛❜❧❡ .♦ .❤♦(❡ ✇❤♦ ❞✐❞ ♥♦.✳ ❈♦♥(✉♠❡3( .❤❡♥ ❝❤♦♦(❡ ✇❤✐❝❤ ♦✛❡3 .♦ .❛❦❡✱ ❛♥❞ ♣❛②♦✛( ❛3❡ 3❡❛❧✐(❡❞✳ ❚❤❡ .✐♠✐♥❣ ♦❢ .❤❡ ♠♦❞❡❧ ✐( (✉♠♠❛3✐(❡❞ ✐♥ ✜❣✉3❡ ✷✳✶ ❈♦♥0✉♠❡)0✿ ❈♦♥(✉♠❡3( ✈❛3② ✐♥ .❤❡✐3 (✇✐.❝❤✐♥❣ ❝♦(.✱ (♦ ❧❡. .❤❡ ❝♦♥(✉♠❡3✬( .②♣❡ θ ❞❡♥♦.❡ ❤❡3 (✇✐.❝❤✐♥❣ ❝♦(.✳ ■♥ .❤❡ ♣♦♣✉❧❛.✐♦♥✱ .❤❡ ❞✐(.3✐❜✉.✐♦♥ ♦❢ .②♣❡(✱ ❞❡♥♦.❡❞ F (θ)✱ ❤❛( (✉♣♣♦3. ♦♥ .❤❡ ✉♥✐. ✐♥.❡3✈❛❧ [0, 1] ❛♥❞ (❛.✐(✜❡( ❧♦❣✕❝♦♥❝❛✈✐.②✳ ❚❤✐( ❛((✉♠♣.✐♦♥ ❡((❡♥.✐❛❧❧② ❛((✉3❡( .❤❛. ❡①.3❡♠❡( ♦❢ .❤❡ .②♣❡ (♣❛❝❡ ❞♦ ♥♦. ♦❝❝✉3 .♦♦ ❢3❡J✉❡♥.❧② ❛♥❞ ❣✉❛3❛♥.❡❡( ✉♥✐J✉❡(( ♦❢ ❡J✉✐❧✐❜3✐❛✶_✳ ❋♦3♠❛❧❧②✱ ❆!!✉♠♣%✐♦♥ ✶✳ ❚❤❡ 0✇✐"❝❤✐♥❣ ❝♦0" ❤❛0 ❧❡❢" ❛♥❞ )✐❣❤" ✐♥❝)❡❛0✐♥❣ ❤❛③❛)❞ )❛"❡0 ✶✳ F (θ) ✐0 ❧♦❣✕❝♦♥❝❛✈❡ ✷✳ 1 − F (θ) ✐0 ❧♦❣✕❝♦♥❝❛✈❡ ❚❤❡ ❝♦♥(✉♠❡3 ✐( ♣3❡(❡♥.❡❞ ✇✐.❤ ♦✛❡)0 ❛. ❡❛❝❤ (.❛❣❡ ✐♥ .❤❡ ❣❛♠❡✳ ❆♥ ♦✛❡3 ✐( ❛ ❝♦♠❜✐♥❛.✐♦♥ ♦❢ ♣3✐❝❡ ❛♥❞ (✇✐.❝❤✐♥❣ ❡✛♦3. 3❡J✉✐3❡❞ .♦ (❡❝✉3❡ ✐.✳ ■♥ .❤❡ ✐♥.3♦❞✉❝.♦3② (.❛❣❡✱ ❝♦♥(✉♠❡3( ❛3❡

✶_{❙❡❡❇❡#❣%&#♦♠ ❛♥❞ ❇❛❣♥♦❧✐✭✷✵✵✺✮ ❢♦# ❛ #❡✈✐❡✇ ♦♥ ❧♦❣✕❝♦♥❝❛✈❡ ♣#♦❜❛❜❧✐&② ❛♥❞ ✐&% ❡❝♦♥♦♠✐❝ ❛♣♣❧✐❝❛&✐♦♥%✳}

▲♦❣✕❝♦♥❝❛✈✐&② ❞♦❡% ♥♦& ♣#♦✈✐❞❡ ✉% ✇✐&❤ %✉✣❝✐❡♥& %&#✉❝&✉#❡ &♦ &✐❡ ❞♦✇♥ ✇❡❧❢❛#❡ #❡%✉❧&%✱ %♦ %♦♠❡ ❧❛&❡# #❡%✉❧&% ❛#❡ ♣#❡%❡♥&❡❞ ✐♥ &❤❡ ❝♦♥&❡①& ♦❢ ❛ ✉♥✐❢♦#♠ ❞✐%&#✐❜✉&✐♦♥

✶✷ ❛②✐♥❣ ❈♦♥(✉♠❡,( -♦ ❙-❛②✿ ❘❡-❡♥-✐♦♥ ,✐❝✐♥❣ ❛♥❞ ▼❛,❦❡- ❈♦♠♣❡-✐-✐♦♥ ✉♥❛%%❛❝❤❡❞ %♦ ✜,♠.✱ .♦ ♥♦ ❡✛♦,% ✐. ,❡2✉✐,❡❞ %♦ ♣✉,❝❤❛.❡ ❛♥ ✐♥%,♦❞✉❝%♦,② ♦✛❡,✿ (pI i, 0) ✐. ♦✛❡,❡❞ ❜② ❛❧❧ ✜,♠.✳ ■♥ %❤❡ ♠❛%✉,❡ ♠❛,❦❡%✱ ❝♦♥.✉♠❡,. ♦❢ ✜,♠ i ♠❛② ❝❤♦♦.❡ %❤❡ ❧♦②❛❧ ♦✛❡,✱ (pL i, 0)✱ ❛✈❛✐❧❛❜❧❡ ❛. ✏❞❡❢❛✉❧%✑ ✇✐%❤ ♥♦ ❡✛♦,% ,❡2✉✐,❡❞❀ ♦, %❤❡② ♠❛② ❝♦♥%❡♠♣❧❛%❡ ❛ .✇✐%❝❤✐♥❣ ♦✛❡, ❢,♦♠ ❛♥② ♦%❤❡, ✜,♠✱ ❡❛❝❤ ♦❢ ✇❤✐❝❤ ,❡2✉✐,❡. ✉♥✐% ❡✛♦,% %♦ ♦❜%❛✐♥✿ (pS j, 1)✱ j ∈ N − i✳ ❋✐♥❛❧❧②✱ ❛ ,❡%❡♥%✐♦♥ ♦✛❡, ♠❛② ❜❡ ❛✈❛✐❧❛❜❧❡✱ ❢,♦♠ ✜,♠ i ♦♥❧②✱ ✇❤✐❝❤ ,❡2✉✐,❡. ❡✛♦,% ❧❡✈❡❧ α %♦ ♦❜%❛✐♥✳ ❚❤❡ θ ❝♦♥.✉♠❡,✬. ♣❡,✐♦❞ ♣❛②♦✛ ❢♦, ❛ ❣✐✈❡♥ ♦✛❡, ✐. ❣✐✈❡♥ ❜② uθ(p, e) = β− p − θe ✭✶✳✸✳✶✮ ✇❤❡,❡ β > 1 ✐. %❤❡ ✈❛❧✉❛%✐♦♥ ♦❢ %❤❡ ❣♦♦❞✱ .✉✣❝✐❡♥%❧② ❤✐❣❤ %♦ ❡♥.✉,❡ ❢✉❧❧ ♠❛,❦❡% ❝♦✈❡,❛❣❡✳ ❋✐"♠$✿ ❚❤❡,❡ ❛,❡ N ≥ 2 ✜,♠.✳ ❉✉❡ %♦ ③❡,♦ ♠❛,❣✐♥❛❧ ❝♦.%.✱ ♣,♦✜% ♠❛①✐♠✐.❛%✐♦♥ ✐. ,❡✈❡♥✉❡ ♠❛①✐♠✐.❛%✐♦♥✳ ❚♦ .✐♠♣❧✐❢② %❤❡ ♥♦%❛%✐♦♥✱ ❞❡♥♦%❡ %❤❡ ✜,♠✬. .%,❛%❡❣② ❛. ~pi = (pIi, pSi, pRi , pLi) ∈ R4_{✳ ❚❤❡ ♠❛.. ♦❢ ❝♦♥.✉♠❡,. ❝❤♦♦.✐♥❣ ✜,♠ i ✐♥ %❤❡ ✜,.% ♣❡,✐♦❞ ✐. ❣✐✈❡♥ ❜② ❢✉♥❝%✐♦♥ γ} i(pIi, pI)✱ ✇❤❡,❡ pI _{= min{p}I i} ♦✈❡, i ∈ N ✐. %❤❡ .❡% ♦❢ ❝❤❡❛♣❡.% ✐♥%,♦❞✉❝%♦,② ♣,✐❝❡.✳ ■♥ %❤❡ .❡❝♦♥❞ ♣❡,✐♦❞✱ %❤❡ ❜❡.% .✇✐%❝❤✐♥❣ ♦✛❡, ❛✈❛✐❧❛❜❧❡ %♦ ✜,♠ i ❝♦♥.✉♠❡,. ✐. ❣✐✈❡♥ ❜② pS i = min{p S j}✱ ❢♦, j ∈ N − i❀ %❤❡ .❤❛,❡ ♦❢ ✜,♠ i ❝♦♥.✉♠❡,. ❝❤♦♦.✐♥❣ %❤❡ ,❡%❡♥%✐♦♥ ♦✛❡, ✐. ❣✐✈❡♥ ❜② ρi(pS_i, pRi ) ❛♥❞ .❤❛,❡ λi(pRi , pLi)❝❤♦♦.❡. %❤❡ ❧♦②❛❧ ♦✛❡,✳ ❚❤❡ ♠❛.. ♦❢ ❝♦♥.✉♠❡,. .✇✐%❝❤✐♥❣ ❢,♦♠ ✜,♠ j %♦ i✐. ❣✐✈❡♥ ❜② %❤❡ ❢✉♥❝%✐♦♥ σij(pSi, pS_j, pRj)✳ ❖❢ ❝♦✉,.❡✱ ❞✉❡ %♦ %❤❡ ❡①%❡♥.✐✈❡ ❢♦,♠ ♥❛%✉,❡ ♦❢ %❤❡ ❣❛♠❡✱ %❤❡ .%,❛%❡❣② .♣❛❝❡ ✐. ,✐❝❤❡, %❤❛♥ %❤✐.✳ ❇✉% ✇✐❧❧ .❤♦✇ %❤❛% %❤❡ ,❡.%,✐❝%✐♦♥. ♠❛❞❡ ❤❡,❡ ❛,❡ ❡2✉✐❧✐❜,✐✉♠ ♦✉%❝♦♠❡. ❛♥❞ ❞♦ ♥♦% ❛✛❡❝% %❤❡ ,❡.✉❧%.✳ ❚❤❡ ♣,♦✜% ♦❢ ✜,♠ i ✐. %❤✉. ❣✐✈❡♥ ❜② πi(~pi, ~p−i) = γi(pIi, pI)pIi + γi  ρi(pS_i, pRi )pRi + λi(pRi , pLi)pLi  ✭✶✳✸✳✷✮ + X j∈N −i γjσij(pSi, pS_j, pRj)pSi ✇❤❡,❡ %❤❡ ✜,.% %❡,♠ ❞❡♥♦%❡. ♣,♦✜%. ✐♥ %❤❡ ✐♥%,♦❞✉❝%♦,② ♣❡,✐♦❞✳ ❚❤❡ ,❡♠❛✐♥✐♥❣ %❡,♠. ❝♦♥❝❡,♥ %❤❡ ♠❛%✉,❡ ♠❛,❦❡%✿ %❤❡ .❡❝♦♥❞ ❝♦♥%❛✐♥. ♣,♦✜%. ❢,♦♠ %❤❡ ❡①✐.%✐♥❣ ❝♦♥.✉♠❡, ❜❛.❡✱ ❛♥❞ %❤❡ %❤✐,❞ ♣,♦✜%. ❢,♦♠ ✏♣♦❛❝❤✐♥❣✑ ❝♦♥.✉♠❡,. ❢,♦♠ ❝♦♠♣❡%✐%♦,✳ ▲❡% σi ❞❡✜♥❡ %❤❡ %✐❡✕ ❜,❡❛❦✐♥❣ ,✉❧❡✿ σij(pSi, pS_j, pRj) = 1(pi S= m j∈Nin(p j S)) |min(pjS)| ✭✶✳✸✳✸✮ ❚❤❡,❡ ✐. ♥♦ ❞✐.❝♦✉♥%✐♥❣✱ ❜✉% ✐% ❝❛♥ ❜❡ .❤♦✇♥ %❤❛% ❡2✉❛❧ ❞✐.❝♦✉♥% ,❛%❡. ♦❢ ❝♦♥.✉♠❡,. ❛♥❞ ✜,♠. ❞♦ ♥♦% ❛✛❡❝% %❤❡ ,❡.✉❧%.✳ ❋✐♥❛❧❧②✱ %♦ ,❡.♦❧✈❡ ♣❛②♦✛ %✐❡.✱ ✇❡ ,❡❧② ♦♥ ✉♥✐❢♦,♠ %✐❡ ❜,❡❛❦✐♥❣✿

❈❤❛♣$❡&✶ ✶✸ ❆!!✉♠♣%✐♦♥ ✷ ✭❯♥✐❢♦(♠ ❚✐❡ ❇(❡❛❦✐♥❣✮✳ ■♥ ❝❛$❡ ❝♦♥$✉♠❡)$ ❛)❡ ✐♥❞✐✛❡)❡♥- ❜❡-✇❡❡♥ $❡✈❡)❛❧ ✜)♠$✱ ❡❛❝❤ ✜)♠ )❡❝❡✐✈❡$ ❛♥ ❡5✉❛❧ ♠❛$$ ♦❢ ❝♦♥$✉♠❡)$ ❚❤❡ ❛22✉♠♣5✐♦♥ ✐2 ♦♥❧② ❢♦( ❝♦♥✈❡♥✐❡♥❝❡❀ ✇✐5❤♦✉5 5✐❡ ❜(❡❛❦✐♥❣✱ 5❤❡(❡ ✇♦✉❧❞ ❜❡ ♠✉❧5✐♣❧❡ ❡?✉✐❧✐❜(✐❛✱ ❜✉5 ❡❛❝❤ ❛❣❡♥5 (❡❝❡✐✈❡2 5❤❡ 2❛♠❡ ♣❛②♦✛ ❛2 ✐♥ 5❤❡ ✉♥✐?✉❡ ❡?✉✐❧✐❜(✐✉♠ ❞❡(✐✈❡❞ ✉♥❞❡( 5❤❡ ❯❚❇ ❛22✉♠♣5✐♦♥✳

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❚❤❡ 25(✉❝5✉(❡ ♦❢ 5❤❡ ❣❛♠❡ ✐♠♣❧✐❡2 5❤❛5 ✇❡ ❤❛✈❡ ❢♦✉( ❝❧❛22❡2 ♦❢ ✐♥❢♦(♠❛5✐♦♥ 2❡52✳ ❋✐(25✱ 5❤❡(❡ ✐2 ❛ 2✐♥❣❧❡5♦♥ ✐♥5(♦❞✉❝5♦(② ♣(✐❝✐♥❣ 25❛❣❡ ✐♥ ✇❤✐❝❤ ❡❛❝❤ ✜(♠2 2❡52 ♦♥❧② ❛ 2✐♥❣❧❡ ♣(✐❝❡✳ ❚❤❡♥✱ ❝♦♥2✉♠❡(2 ♠❛❦❡ 5❤❡✐( ✜(25 ♣✉(❝❤❛2❡ ❞❡❝✐2✐♦♥2✱ ❤❛✈✐♥❣ ♦❜2❡(✈❡❞ 5❤❡ ✐♥5(♦❞✉❝5♦(② ♣(✐❝❡2 ♦✛❡(❡❞ ❜② ❛❧❧ ✜(♠2✳ ◆♦✇✱ 5❤❡ 2❡❝♦♥❞ ♣❡(✐♦❞ 25❛(52✳ ❊❛❝❤ ♣♦22✐❜❧❡ ✜(25✕♣❡(✐♦❞ ❤✐25♦(② ♠❛♣2 5♦ ❛ 2✐♥❣❧❡5♦♥ ♠❛5✉(❡ ♠❛(❦❡5 ♣(✐❝✐♥❣ ✐♥❢♦(♠❛5✐♦♥ 2❡5✱ ✐♥ ✇❤✐❝❤ ❛❧❧ ✜(♠2 2✐♠✉❧5❛♥❡♦✉2❧② 2❡5 5❤❡✐( ❧♦②❛❧✱ (❡5❡♥5✐♦♥ ❛♥❞ 2✇✐5❝❤✐♥❣ ♣(✐❝❡2❀ ❤♦✇❡✈❡(✱ ✇❡ ✇✐❧❧ 2❤♦✇ 5❤❛5 ✐5 ✐2 ❛♥ ❡?✉✐❧✐❜(✐✉♠ ♦✉5❝♦♠❡ 5❤❛5 5❤❡ ❡?✉✐❧✐❜(✐❛ ✐♥ 5❤✐2 ❣❛♠❡ ❞♦ ♥♦5 ❞❡♣❡♥❞ ♦♥ 5❤❡ ❤✐25♦(②✳ ❍❡♥❝❡✱ 5♦ ✉♥❝❧✉55❡( 5❤❡ ♥♦5❛5✐♦♥✱ ✇❡ ✇✐❧❧ 2✐♠♣❧② ✇(✐5❡ 5❤❡ ♣(✐❝❡2 ❛2 ❛ ✹✲✈❡❝5♦(✳ ❋✐♥❛❧❧②✱ ❝♦♥2✉♠❡(2 ♦❢ ❡❛❝❤ ✜(♠ ❝❤♦♦2❡ 5❤❡✐( ♠❛5✉(❡ ♠❛(❦❡5 ♦✛❡(❀ ❛❣❛✐♥✱ ✇❡ ✇✐❧❧ ❞❡♠♦♥25(❛5❡ 5❤❛5 5❤❡ ❡?✉✐❧✐❜(✐✉♠ ❛❝5✐♦♥2 ❞❡♣❡♥❞ ♦♥❧② ♦♥ 5❤❡ ✜(♠ ♣✉(❝❤❛2❡❞ ❢(♦♠ ✐♥ 5❤❡ ✜(25 ♣❡(✐♦❞ ❛♥❞ ♠❛5✉(❡ ♠❛(❦❡5 ♣(✐❝❡2 ❛✈❛✐❧❛❜❧❡ 5♦ 5❤❡ ❝♦♥2✉♠❡( ❛♥❞ ❞❡♥♦5❡ 5❤❡ ❝❤♦✐❝❡ (✉❧❡ ❛❝❝♦(❞✐♥❣❧②✳ ❖✉( 2♦❧✉5✐♦♥ ❝♦♥❝❡♣5 ✐2 2✉❜❣❛♠❡ ♣❡(❢❡❝5 ◆❛2❤ ❡?✉✐❧✐❜(✐✉♠✳ ❚❤✐2 ❧❡❛❞2 5♦ 5❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ❞❡✜♥✐5✐♦♥ ♦❢ 5❤❡ ❡?✉✐❧✐❜(✐✉♠✿ ❉❡✜♥✐%✐♦♥ ✶ ✭❊?✉✐❧✐❜(✐✉♠✮✳ ❆ $❡- ♦❢ ♣)✐❝❡$ (p∗I i , p∗Si , p∗Ri , p∗Li ) ❢♦) ❛❧❧ ✜)♠$ i ∈ N ❛♥❞ ❝♦♥$✉♠❡) ❝❤♦✐❝❡ )✉❧❡$ C∗ 1✱ C2∗ $✉❝❤ -❤❛-✶✳ ❈♦♥$✉♠❡)$ ❝❤♦♦$❡ ♦♣-✐♠❛❧❧② ✐♥ -❤❡ ♠❛-✉)❡ ♠❛)❦❡-C₂∗(θ, j, pL_i, pR_i , pS_−i) = ❛)❣♠❛① (pL i,0),(pRi,α),(pS−i,1) (β − p2− θe2) ∀θ ∈ Θ, j ∈ N, (pLj, pRj, pS−j) ∈ R3 ✷✳ ❋✐)♠$ ♠❛①✐♠✐$❡ ♠❛-✉)❡ ♠❛)❦❡- ♣)♦✜-$✿

(p∗L_i , p∗R_i , S∗j) =❛)❣♠❛① π(pI_i, pL_i , pR_i , pS_i; pI_−i, p∗L_−i, p_−i∗R, p∗S_−i; C1, C2∗) ∀j ∈ N, (pI

✶✹ ❛②✐♥❣ ❈♦♥(✉♠❡,( -♦ ❙-❛②✿ ❘❡-❡♥-✐♦♥ ,✐❝✐♥❣ ❛♥❞ ▼❛,❦❡- ❈♦♠♣❡-✐-✐♦♥ ✸✳ ❈♦♥%✉♠❡)% ❝❤♦♦%❡ ♦♣-✐♠❛❧❧② ✐♥ -❤❡ ✜)%- ♣❡)✐♦❞✿ C∗ 1(θ, pI1. . . , pIN) = ❛)❣♠❛① j∈N (β − p I j) + u∗2(θ, C1∗, pIj, ~p∗2) ∀(pI 1. . . , pIN) ∈ RN ✹✳ 8)♦✜- ▼❛①✐♠✐%❛-✐♦♥ ✐♥ -❤❡ ✜)%- ♣❡)✐♦❞✿ pI_i =❛)❣♠❛① π(pI_i, p∗I_−i; ~p∗ 2)∀j ∈ J

✶✳✹✳✶ ▼❛%✉'❡ ▼❛'❦❡%

❈♦♥%✉♠❡) ❇❡❤❛✈✐♦✉) ✿ ●✐✈❡♥ (❤❡ ♦✛❡,- ❛✈❛✐❧❛❜❧❡ (♦ ❛ ❝♦♥-✉♠❡,✱ ✇❤✐❝❤ ❞❡♣❡♥❞- ♦♥ (❤❡ ✜,♠ -❤❡ ❜♦✉❣❤( ❢,♦♠ ✐♥ (❤❡ ✜,-( ♣❡,✐♦❞✱ ❞✐✛❡,❡♥( (②♣❡- ♠❛② ✐♥ ♣,✐♥❝✐♣❧❡ ❝❤♦♦-❡ ❞✐✛❡,❡♥( ❛❝(✐♦♥-✳ ❆ -♠❛❧❧ ❡①(,❛ ❝♦♠♣❧✐❝❛(✐♦♥ ❛,✐-❡- ❤❡,❡ (❤❛( ❝♦♥-✉♠❡,- ❝❛♥ ❝❤♦♦-❡ ❜❡(✇❡❡♥ (❤,❡❡ ♦✛❡,-✱ ❛♥❞ (❤✉- ✐( ♠❛② ❜❡ (❤❛( ♦♥❡ ♦❢ (❤❡ ♦✛❡,- ✐- -(,✐❝(❧② ✇♦,-❡ (❤❛♥ (❤❡ ♦(❤❡,- ❢♦, ❛❧❧ (②♣❡-✳ ■♥ -✉❝❤ ❛ ❝❛-❡✱ (❤❡ ✏♠❛,❣✐♥❛❧ ❝♦♥-✉♠❡,✑ ❛♣♣,♦❛❝❤ ✇♦✉❧❞ ♥♦( ❜❡ ✇❡❧❧✕❞❡✜♥❡❞✳ ❚♦ -♦❧✈❡ (❤❡ ♠♦❞❡❧✱ ✜,-( ♦❜-❡,✈❡ (❤❛( ❝♦♥-✉♠❡, ❝❤♦✐❝❡- ✐♥ (❤❡ ♠❛(✉,❡ ♠❛,❦❡( ❛,❡ (❤,❡-❤♦❧❞ -(,❛(❡❣✐❡-✱ ❛- ,❡E✉✐,❡❞ ❢♦, (❤❡ ♠❛,❣✐♥❛❧ ❝♦♥-✉♠❡, ❛♣♣,♦❛❝❤✿ ▲❡♠♠❛ ✶✳✹✳✶ ✭❚❤,❡-❤♦❧❞ ❙(,❛(❡❣✐❡-✮✳ ❯♥❞❡) -❤❡ ♠❛-✉)❡ ♠❛)❦❡- ❝❤♦✐❝❡ )✉❧❡ c2✱ -❤❡ ♦♣-✐♠❛❧ ❝❤♦✐❝❡ ♠✉%- ❤❛✈❡ ❝♦♥%✉♠❡)% ♣❧❛②✐♥❣ ❛ -❤)❡%❤♦❧❞ %-)❛-❡❣②✳ 8)♦♦❢✳ ❙✉♣♣♦-❡ ✜,♠ i ❝♦♥-✉♠❡,- θ1 ❛♥❞ θ2✱ ♦♣(✐♠❛❧❧② ❝❤♦♦-❡✱ ✇✐(❤♦✉( ❧♦-- ♦❢ ❣❡♥❡,❛❧✐(②✱ (❤❡ ❧♦②❛❧ ♦✛❡,❀ ❤❡♥❝❡ (❤❡② ♠✉-( ✇❡❛❦❧② ♣,❡❢❡, ❧♦②❛❧ ♦✈❡, ,❡(❡♥(✐♦♥ ❛♥❞ (❤❡ ❜❡-( -✇✐(❝❤✐♥❣ ♦✛❡, ❛✈❛✐❧❛❜❧❡✳ ❚❤✐- ✐♠♣❧✐❡- β − pi L ≥ β − piR− αθ ❛♥❞ β − piL ≥ β − pi_S− θ ❢♦, θ = {θ1, θ2}✳ ◆♦✇ ❝♦♥-✐❞❡, ❛♥② ❝♦♥✈❡① ❝♦♠❜✐♥❛(✐♦♥ ♦❢ (❤❡ (②♣❡-✱ ¯θ = λθ1+ (1 − λ)θ2✳ ❙✐♥❝❡ (❤❡ ♣❛②♦✛ (♦ ❡❛❝❤ ❛❝(✐♦♥ ✐- ❧✐♥❡❛, ✐♥ θ✱ ✐( ✐- ✐♠♠❡❞✐❛(❡ (♦ ✈❡,✐❢② (❤❛( ¯θ ✇✐❧❧ ❛❧-♦ ✇❡❛❦❧② ♣,❡❢❡, (❤❡ ❧♦②❛❧ ♦✛❡,✳ ❚❤❡ ❛,❣✉♠❡♥( ❢♦, ♦(❤❡, ✜,♠- ❛♥❞ ♦✛❡,- ✐- ❡①❛❝(❧② ❛♥❛❧♦❣♦✉-❀ ❤❡♥❝❡✱ (❤❡,❡ ✇✐❧❧ ❜❡ ❝♦♥✈❡① -❡(- ♦❢ ❝♦♥-✉♠❡, (②♣❡- ❝❤♦♦-✐♥❣ (❤❡ -❛♠❡ ♦✛❡,✳ ■( (✉,♥- ♦✉( (❤❛( (❤❡,❡ ❛,❡ (✇♦ ❝❛-❡-✿ ❢♦, -✉✣❝✐❡♥(❧② ❤✐❣❤ ,❡(❡♥(✐♦♥ ♣,✐❝❡-✱ -♦♠❡ ❝♦♥-✉♠❡,--(,✐❝(❧② ♣,❡❢❡, -✇✐(❝❤✐♥❣ ❛♥❞ ♦(❤❡,- ❝♦♥-✉♠❡,--(,✐❝(❧② ♣,❡❢❡, (❤❡ ❧♦②❛❧ ♦✛❡, ♦✈❡, ,❡(❡♥(✐♦♥✳ ❍♦✇❡✈❡,✱ ❛-(❤❡ ,❡(❡♥(✐♦♥ ♣,✐❝❡ ❢❛❧❧-✱ ❡✈❡♥(✉❛❧❧② ❛ ♣♦-✐(✐✈❡ ♠❛-- ♦❢ ❝♦♥-✉♠❡,- ❛❧-♦ ❝❤♦♦-❡- ❛-(❤❡ ,❡(❡♥(✐♦♥ ♦✛❡,✳ ❚❤✉-✱ ✇❡ ❤❛✈❡ (♦ ❝♦♥-✐❞❡, (✇♦ ❝❛-❡- ✐♥ ♦✉, ❛♥❛❧②-✐-✿ ▲❡♠♠❛ ✶✳✹✳✷✳ ■❢ pi R > ˜piR = (1 − α)piL+ αpi_S✱ ♥♦ ❝♦♥%✉♠❡) ♦❢ ✜)♠ i ❝❤♦♦%❡% )❡-❡♥-✐♦♥

❈❤❛♣$❡&✶ ✶✺ !♦♦❢✳ ❋♦$ ❛ ❝♦♥(✉♠❡$ θ ,♦ ❝❤♦♦(❡ $❡,❡♥,✐♦♥✱ ✐, ♠✉(, ❜❡ ✇❡❛❦❧② ♣$❡❢❡$$❡❞ ,♦ (✇✐,❝❤✐♥❣✱ $❡9✉✐$✐♥❣ θ ≥ piR−piS 1−α ✱ ❛♥❞ ❧♦②❛❧✱ ✐✳❡✳ θ ≤ pi L−piR α ✳ ❲❤❡♥ p i R > ˜piR = (1 − α)piL + αpi_S✱ ,❤❡ ,✇♦ ❝♦♥❞✐,✐♦♥( ②✐❡❧❞ ❛ ❝♦♥,$❛❞✐❝,✐♦♥❀ ❤❡♥❝❡ ❡❛❝❤ ❝♦♥(✉♠❡$ ❡✐,❤❡$ ✇❡❛❦❧② ♣$❡❢❡$( (✇✐,❝❤✐♥❣ ♦$ ❧♦②❛❧ ♦✈❡$ $❡,❡♥,✐♦♥✳ ❚❤❡ ❝$✐,✐❝❛❧ $❡,❡♥,✐♦♥ ♣$✐❝❡ ˜pi R✱ ✐( (✐♠♣❧② ❛ ❝♦♥✈❡① ❝♦♠❜✐♥❛,✐♦♥ ♦❢ ,❤❡ ❧♦②❛❧ ❛♥❞ (✇✐,❝❤✐♥❣ ♣$✐❝❡(❀ ,♦ (❡❡ ✇❤② ❛ $❡,❡♥,✐♦♥ ♣$✐❝❡ (❧✐❣❤,❧② ❜❡❧♦✇ ,❤❡ ❧♦②❛❧ ♣$✐❝❡ ♠❛② ♥♦, ❛,,$❛❝, ❝♦♥(✉♠❡$(✱ ♥♦,❡ ,❤❛, ✐♥ ❣❡♥❡$❛❧ ,❤❡ ❡✛♦$, ❝♦(, (❡❝✉$✐♥❣ $❡,❡♥,✐♦♥ ✐( (,$✐❝,❧② ♣♦(✐,✐✈❡✳ ❚❤✉(✱ ,❤❡ $❡,❡♥,✐♦♥ ♣$✐❝❡ ❤❛( ,♦ ❜❡ (✉✣❝✐❡♥,❧② ❜❡❧♦✇ ,❤❡ ❧♦②❛❧ ♣$✐❝❡ ,♦ ❛,,$❛❝, ❛♥② ❝♦♥(✉♠❡$(✳ ❈♦♠❜✐♥✐♥❣ ,❤❡(❡ ,✇♦ ❧❡♠♠❛(✱ ✇❡ ❝❛♥ ♥♦✇ ❞❡$✐✈❡ ,❤❡ ♠❛$❣✐♥❛❧ ❝♦♥(✉♠❡$( ✐♥ ,❤❡ ♥♦✕ $❡,❡♥,✐♦♥ ❛♥❞ $❡,❡♥,✐♦♥ ❝❛(❡( $❡(♣❡❝,✐✈❡❧②✿ ▲❡♠♠❛ ✶✳✹✳✸✳ ❖♣'✐♠❛❧ ❝♦♥.✉♠❡! ❝❤♦✐❝❡ c∗ 2 ✐. ❣✐✈❡♥ ❜② ✶✳ ■❢ pi R > ˜piR✱ '❤❡!❡ ✐. ❛ ♠❛!❣✐♥❛❧ ❝♦♥.✉♠❡! θSL = L − S✱ .✉❝❤ '❤❛' ❛❧❧ ❝♦♥.✉♠❡!. ❜❡❧♦✇ θSL .✇✐'❝❤ ❛♥❞ ♦'❤❡!. .'❛② ❧♦②❛❧✳ ✷✳ ■❢ pi R ≤ ˜piR✱ '❤❡!❡ ❛!❡ '✇♦ ♠❛!❣✐♥❛❧ ❝♦♥.✉♠❡!.✳ ❈♦♥.✉♠❡!. ❜❡❧♦✇ θS = pi R−p i S 1−α .✇✐'❝❤❀ ❛♥❞ ❝♦♥.✉♠❡!. ❛❜♦✈❡ θR = p i L−piR α ❝❤♦♦.❡ '❤❡ ❧♦②❛❧ ♦✛❡!❀ ❛❧❧ ♦'❤❡!. ❝❤♦♦.❡ !❡'❡♥'✐♦♥✳ !♦♦❢✳ ✶✳ ❚❤❡ ♣$❡✈✐♦✉( ❧❡♠♠❛ ❡(,❛❜❧✐(❤❡( ,❤❛, ♥♦ ❝♦♥(✉♠❡$ ❝❤♦♦(❡( $❡,❡♥,✐♦♥ ❢♦$ ,❤❡(❡ ♣$✐❝❡(✳ ■, $❡♠❛✐♥( ,♦ ✜♥❞ ,❤❡ ♠❛$❣✐♥❛❧ ❝♦♥(✉♠❡$ ❜❡,✇❡❡♥ ❧♦②❛❧ ❛♥❞ (✇✐,❝❤✐♥❣✳ ❋♦$ ,❤❡ ♠❛$❣✐♥❛❧ ❝♦♥(✉♠❡$ β − pi L = β − pi_S− θ ❤♦❧❞(✱ ❣✐✈✐♥❣ ,❤❡ $❡9✉✐$❡❞ ❝♦♥❞✐,✐♦♥✳ ✷✳ ❋$♦♠ ,❤❡ ♣$❡✈✐♦✉( ❧❡♠♠❛✱ ,❤❡$❡ ❛$❡ ❝♦♥(✉♠❡$ ,②♣❡( ❝❤♦♦(✐♥❣ $❡,❡♥,✐♦♥✳ ❈♦♥(✉♠❡$( ✇✐,❤ β − pi S − θ = β − p i R − αθ ❛$❡ ♠❛$❣✐♥❛❧ ❜❡,✇❡❡♥ (✇✐,❝❤✐♥❣ ❛♥❞ $❡,❡♥,✐♦♥❀ ❛♥❞ ❝♦♥(✉♠❡$ β − pi R− αθ = β − piL ✐( ♠❛$❣✐♥❛❧ ❜❡,✇❡❡♥ $❡,❡♥,✐♦♥ ❛♥❞ ❧♦②❛❧✱ ②✐❡❧❞✐♥❣ ,❤❡ ❞❡(✐$❡❞ ❝♦♥❞✐,✐♦♥(✳ ▼❛'✉!❡ ▼❛!❦❡' !✐❝✐♥❣✿ ✐♥ ✈✐❡✇ ♦❢ ,❤❡ ❢❛❝, ,❤❛, ,❤❡$❡ ❛$❡ ❜♦,❤ $❡,❡♥,✐♦♥ ❛♥❞ ♥♦✕$❡,❡♥,✐♦♥ ❝❛(❡(✱ ✐, ✐( ❝❧❡❛$ ,❤❛, ✐♥ ♣$✐♥❝✐♣❧❡ (❡♣❛$❛,❡ ❛♥❛❧②(✐( ♦❢ ❜♦,❤ $❡❣✐♦♥( ✐( $❡9✉✐$❡❞✳ ❍♦✇❡✈❡$✱ ✐, ✐( ❛ (✐♠♣❧❡ ♦❜(❡$✈❛,✐♦♥ ,❤❛, ♦♥❝❡ ❛ ✜$♠ ❝❤❛$❣❡( ❛ (✉✣❝✐❡♥,❧② ❤✐❣❤ $❡,❡♥,✐♦♥ ♣$✐❝❡ ,❤❛, ♥♦ ❝♦♥(✉♠❡$ ✇♦✉❧❞ ❛❝❝❡♣, ✐,✱ ❢♦$ ❛❧❧ ♣❧❛②❡$( ✐, ❜❡❝♦♠❡( ♣❛②♦✛✕✐$$❡❧❡✈❛♥, ❥✉(, ❤♦✇ ❢❛$ ❛❜♦✈❡ ,❤❡ ♥♦✕$❡,❡♥,✐♦♥ ❝♦♥(,$❛✐♥, ,❤✐( ♣$✐❝❡ $❡❛❧❧② ✐(✳ ❙❡❝♦♥❞❧②✱ ✇❡ ♠✉(, ❤❛✈❡ ❛❧❧ ♠❛,✉$❡ ♠❛$❦❡, ♣$✐❝❡( ❛, ❧❡❛(, ❡9✉❛❧ ,♦ ③❡$♦✱ ❢♦$ ♦,❤❡$✇✐(❡ ❛, ❧❡❛(, ♦♥❡ ✜$♠ ✇♦✉❧❞ ✐♥❝✉$ ✭❛✈♦✐❞❛❜❧❡✮ ❧♦((❡(✳ ❚❤✐$❞❧②✱ ❣✐✈❡♥ ❛♥② ♦❢ ,❤❡ (✉$✈✐✈✐♥❣ (✇✐,❝❤✐♥❣ ♣$✐❝❡(✱ ✐( ♥♦, ✐♥ ❛ ✜$♠✬( ✐♥,❡$❡(, ,♦ ✉♥❞❡$❝✉, ,❤❡ $✐✈❛❧✬( (✇✐,❝❤✐♥❣ ♣$✐❝❡ ✇✐,❤ ❛ ❧♦✇❡$ $❡,❡♥,✐♦♥ ♦$ ❧♦②❛❧ ♣$✐❝❡✳ ❋✐♥❛❧❧②✱ (❡,,✐♥❣ ❧♦②❛❧ ❛♥❞

✶✻ ❛②✐♥❣ ❈♦♥(✉♠❡,( -♦ ❙-❛②✿ ❘❡-❡♥-✐♦♥ ,✐❝✐♥❣ ❛♥❞ ▼❛,❦❡- ❈♦♠♣❡-✐-✐♦♥

❋✐❣✉&❡ ✶✳✷✿ ❆ ❝✉- ♦❢ -❤❡ 1-&❛-❡❣② 1♣❛❝❡

&❡-❡♥-✐♦♥ ♣&✐❝❡1 1✉✣❝✐❡♥-❧② ❤✐❣❤ -❤❛- ❛❧❧ ❝♦♥1✉♠❡&1 1✇✐-❝❤ -♦ -❤❡ ❝♦♠♣❡-✐-✐♦♥ ✐1 ❛❧1♦ ♥♦- ❛♥ ♦♣-✐♠❛❧ 1-&❛-❡❣②✳

❚❤&♦✉❣❤ -❤✐1 &❡❛1♦♥✐♥❣✱ ✐❧❧✉1-&❛-❡❞ ✐♥ ✜❣✉&❡ ❄❄✱ ✇❡ ♥❛&&♦✇ ❞♦✇♥ -❤❡ 1❡❛&❝❤ ♦❢ ❡>✉✐❧✐❜&✐❛ ❝♦♥1✐❞❡&❛❜❧②✳ ❋✐&1-✱ ❞❡✜♥❡ -❤❡ 1✉❜1❡- D ✭❣&❡❡♥ ✐♥ -❤❡ ✜❣✉&❡✮ ♦❢ -❤❡ 1-&❛-❡❣② 1♣❛❝❡✿

D = {pi S, p i R, piL)1✉❝❤ -❤❛-piR ≤ ˜piR, piR, piL ≤ pi_S+ 1, 0 ≤ pS_i; } ▲❡♠♠❛ ✶✳✹✳✹✳ ■❢ "❤❡%❡ ❡①✐("( ❛ ♠❛"✉%❡ ♠❛%❦❡" ❡-✉✐❧✐❜%✐✉♠ ♦✉"(✐❞❡ D✱ "❤❡%❡ ❡①✐("( ❛ ♣❛②♦✛✕ ❡-✉✐✈❛❧❡♥" ❡-✉✐❧✐❜%✐✉♠ ✐♥(✐❞❡ D✳ :%♦♦❢✳ ❋✐&1-✱ 1✉♣♣♦1❡ -❤❛- min{pS i, p R i , pLi} < 0✳ ❚❤❡♥✱ -❤❡&❡ ♠✉1- ❜❡ ❛ ✜&♠ ♠❛❦✐♥❣ ♣♦1✐-✐✈❡ 1❛❧❡1 ❛- ❛ ♥❡❣❛-✐✈❡ ♣&✐❝❡❀ ❛ ❞❡✈✐❛-✐♦♥ -♦ &❛✐1✐♥❣ ♣&✐❝❡ ✇♦✉❧❞ ❜❡ ❛ ♣&♦✜-❛❜❧❡ ❞❡✈✐❛-✐♦♥✳ ❙♦ ✇❡ ♠✉1- ❤❛✈❡ ❡❛❝❤ ♦❢ -❤❡ -❤&❡❡ ♣&✐❝❡1 ❛- ❧❡❛1- ③❡&♦✳

◆♦✇✱ ❝♦♥1✐❞❡& ♣&✐❝❡1 1✉❝❤ -❤❛- pR

i < pS_i ❛♥❞ pLi < pS_i✱ -❤❡ ❜♦--♦♠ ❧❡❢- 1>✉❛&❡ ✐♥ -❤❡ ✜❣✉&❡✳ ■♥ -❤✐1 ❝❛1❡✱ ❛ ❞❡✈✐❛-✐♦♥ -♦ 1❡--✐♥❣ pR

i = pLi = pS_i ✇✐❧❧ ♥♦- &❡❞✉❝❡ -❤❡ ♠❛11 ♦❢ ❝♦♥1✉♠❡&1 ✭❛❧❧ ❝♦♥1✉♠❡&1 ❜✉② ❢&♦♠ ✜&♠ i✮✱ ❜✉- ✐♥❝&❡❛1❡1 &❡✈❡♥✉❡ ♣❡& ❝♦♥1✉♠❡&✳ ❍❡♥❝❡ -❤✐1 ❝❛1❡ ❛❧1♦ ❝❛♥♥♦- ❜❡ ❛♥ ❡>✉✐❧✐❜&✐✉♠✳ ■❢ pL

i ≥ pS_i ❜✉- pRi < pS_i✱ 1✐♠✐❧❛&❧② ❛ ❞❡✈✐❛-✐♦♥ -♦ 1❡--✐♥❣ pRi = pS_i ✐♥❝&❡❛1❡1 &❡✈❡♥✉❡ ♣❡& ❝♦♥1✉♠❡& ❜✉- ❞♦❡1 ♥♦- &❡❞✉❝❡ ♠❛&❦❡- 1❤❛&❡✳

◆♦✇ ❝♦♥1✐❞❡& ♣&✐❝❡1 pL

i > pS_i + 1✳ ❋&♦♠ ❧❡♠♠❛✶✳✹✳✸✱ -❤❡ ♠❛&❣✐♥❛❧ ❝♦♥1✉♠❡& ✇✐❧❧ -❤❡♥ ❜❡ ♦✉-1✐❞❡ -❤❡ ❞♦♠❛✐♥ ♦❢ F ✱ 1♦ ♥♦ ❝♦♥1✉♠❡& ❝❤♦♦1❡1 -❤❡ ❧♦②❛❧ ♦✛❡&✳ ❍❡♥❝❡ ❛ &❡❞✉❝-✐♦♥ ✐♥ -❤❡ ❧♦②❛❧ ♣&✐❝❡ -♦ pL

i = pS_i + 1 ✇✐❧❧ ♥♦- ❛✛❡❝- -❤❡ ♣❛②♦✛ ♦❢ ❛♥② ✜&♠✳ ❙✐♠✐❧❛&❧②✱ ✐❢ -❤❡ &❡-❡♥-✐♦♥ ♣&✐❝❡ ✐1 ❛❜♦✈❡ -❤❡ -❤&❡1❤♦❧❞✱ pR

i > ˜pRi ✱ ✐♥❞✐❝❛-❡❞ ❜② -❤❡ ✏♥♦✕&❡-❡♥-✐♦♥ ❧✐♥❡✑ ✐♥ -❤❡ ✜❣✉&❡✱ ♥♦ ❝♦♥1✉♠❡& ❝❤♦♦1❡1 &❡-❡♥-✐♦♥✳ ❆❣❛✐♥✱ ❛ &❡❞✉❝-✐♦♥ ♦❢ -❤❡ &❡-❡♥-✐♦♥ ♣&✐❝❡ -♦ pR