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La formula della somma dei quadrati
dei primi numeri naturali
Francesco Daddi
1Nella consueta pratica didattica la formula della somma dei quadrati dei primi numeri naturali non viene ricavata in modo diretto, ma al contrario viene fornita alla classe come esercizio “di consolidamento” sul principio di induzio-ne. Lo scopo di questo articolo è quello di ricavare tale formula seguendo un procedimento elementare, alla portata degli studenti liceali.
La somma dei quadrati dei primi numeri naturali è
La somma può essere riscritta nella forma equivalente
e possiamo disporre gli addendi come segue:
1
2
2
3
3
3
4
4
4
4
5
5
5
5
5
…
…
…
…
…
…
n-1
n-1
n-1
n-1
n-1
…
n-1
n
n
n
n
n
…
n
n
2
A questo punto possiamo aggiungere addendi in modo da formare una tabella quadrata avente k numeri uguali nella riga k-esima:
1
1
1
1
1
…
1
1
2
2
2
2
2
…
2
2
3
3
3
3
3
…
3
3
4
4
4
4
4
…
4
4
5
5
5
5
5
…
5
5
…
…
…
…
…
…
…
…
n-1
n-1
n-1
n-1
n-1
…
n-1
n-1
n
n
n
n
n
…
n
n
La nostra somma si ottiene quindi prima di tutto sommando tutti i numeri segnati nella tabella completa, e successivamente sottraendo la somma dei numeri aggiunti nella parte superiore (colorati di giallo).
La somma di tutti i numeri compresi nella tabella è semplice da calcolare; prendendo in considerazione le righe si ottiene:
ed applicando la ben nota formula (detta “del piccolo Gauss”)
possiamo scrivere
Vediamo ora la somma dei numeri colorati di giallo; esaminando le colonne risulta:
3
La somma dei quadrati è
a questo punto conviene riscrivere la sommatoria a secondo membro in modo da far apparire :
sostituendo quest’ultima relazione nell’equazione riportata sopra, risulta:
La nostra incognita è , quindi
fattorizzando il polinomio di secondo grado in parentesi, ovvero , si ottiene finalmente la nota formula della somma dei primi numeri naturali:
