Meccanica quantistica di una particella libera sullo spaziotempo di theta-Minkowski

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Universit`

a di Pisa

Dipartimento di Fisica

Corso di Laurea Magistrale in Fisica

Anno Accademico 2012/2013

Tesi di Laurea

Meccanica quantistica di una

particella libera sullo spaziotempo di

θ-Minkowski

Relatore:

Candidato:

Giovanni Amelino-Camelia

Alessandro Moia

Relatore Interno:

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Indice

Introduzione 3

1 Meccanica relazionale 9

1.1 Dinamica newtoniana . . . 9

1.2 Dinamica relazionale . . . 10

1.3 Osservabili parziali e complete . . . 10

1.4 Meccanica classica relazionale . . . 11

1.5 Stati cinematici e dinamici . . . 12

1.6 Formulazione di Hamilton-Jacobi . . . 13

1.7 Meccanica quantistica . . . 15

1.8 Meccanica quantistica relazionale . . . 16

1.9 Simmetrie . . . 18

2 Particella libera sullo spaziotempo di Minkowski 21 2.1 Algebra delle variabili e simmetrie . . . 21

2.2 Spazio di Hilbert cinematico e fuzzy points . . . 22

2.3 Fuzzy points e simmetrie . . . 24

2.4 Algebra delle osservabili . . . 25

2.5 Spazio di Hilbert dinamico . . . 27

2.6 Fuzzy motions . . . 28

3 Particella libera sullo spaziotempo di θ-Minkowski 33 3.1 Algebra delle variabili e simmetrie . . . 33

3.2 Spazio di Hilbert cinematico e fuzzy points . . . 36

3.3 Fuzzy points e simmetrie . . . 37

3.4 Algebra delle osservabili . . . 39

3.5 Spazio di Hilbert dinamico . . . 39

3.6 Fuzzy motions . . . 40

4 Algebra di Hopf di θ-Minkowski 43 4.1 Introduzione . . . 43

4.2 Algebre di Hopf . . . 43

4.3 Algebra di Hopf di Minkowski . . . 46

4.4 Algebra di Hopf di θ-Minkowski . . . 47

4.5 Rappresentazione esplicita di Hθ . . . 49

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Introduzione

Elaborare una teoria quantistica dell’interazione gravitazionale è senza alcun dubbio uno dei più importanti obiettivi della fisica teorica. Nessuna delle varie proposte avanzate finora si è dimostrata pienamente soddisfacente, ma argomenti indiretti piuttosto convin-centi e indipendenti da modelli specifici sembrano suggerire alcune caratteristiche generali della nuova teoria. In particolare spingono a ritenere che in un opportuno regime la teoria possa ammettere una descrizione effettiva in termini di coordinate spaziotemporali Xν

non commutative.

Il successo della relatività generale ha dimostrato che distanze e durate, necessarie a definire un sistema di coordinate fisiche, sono in ultima analisi funzioni del campo gra-vitazionale. Sebbene non sia ancora disponibile una descrizione quantistica dei gradi di libertà gravitazionali è ragionevole aspettarsi che le relative variabili di campo acquisisca-no in qualche modo proprietà di commutazione non banali e che queste si ripercuotano sulle loro funzioni, tra cui le coordinate spaziotemporali. Quando è possibile trascurare gli effetti gravitazionali e lavorare con un sistema di riferimento inerziale, la natura quan-tistica dei gradi di libertà gravitazionali potrebbe manifestarsi comunque sotto forma di regole di commutazione non banali per Xν.

Questa possibilità teorica è supportata da vari argomenti operazionali semiclassici (un’esempio piuttosto noto si trova nei lavori di Doplicher, Fredenhagen e Roberts [9, 10]) che riprendono un’idea proposta da Mead a metà degli anni sessanta [8]. Il ragionamento, nelle sue linee essenziali, è molto semplice. Per misurare la posizione di una particella è necessario farla interagire con una sonda, per esempio un fotone. Se si vuole ottenere una risoluzione ∆X sulla posizione della particella si deve impiegare un fotone di lunghezza d’onda λ .∆X, ovvero di energia E &~c/∆X. Per aumentare la precisione della misura `

e dunque necessario usare sonde sempre più energetiche. Ad un certo punto la concen-trazione di una sempre maggiore quantità di energia nella sempre più piccola regione di interazione tra il fotone e la particella porta alla formazione di un buco nero che impe-disce di raccogliere la luce e portare a termine la misura. Di conseguenza è impossibile determinare con arbitraria precisione le coordinate spaziotemporali di una particella: su scale di lunghezza sufficientemente piccole la loro definizione operativa perde di significa-to. Si può stimare l’ordine di grandezza di queste scale ricorrendo all’espressione classica del raggio di Schwarzschild. Per creare un orizzonte degli eventi è necessario concentrare un’energia E entro una regione di diametro ∆X ∼ GE/c4_{, quindi se E ∼ ~c/∆X si}

deve avere ∆X ∼ `P, dove `P =

p

~G/c3 `e la scala di Planck. L’impossibilit`a di loca-lizzare una particella in una regione spaziotemporale di diametro inferiore alla lunghezza di Planck `P assomiglia molto al principio di indeterminazione di Heisenberg, ovvero

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a √_{~. In meccanica quantistica il principio di indeterminazione, suggerito da} argomen-ti semiclassici simili a quello illustrato in precedenza (si pensi al celebre “microscopio di Heisenberg”), è una conseguenza della non commutatività tra coordinate e momenti coniugati. È dunque naturale ipotizzare che l’impossibilità di determinare con arbitra-ria precisione le coordinate spaziotemporali di una particella, suggerita dalle precedenti considerazioni semiclassiche, sia determinata dalla non commutatività delle coordinate spaziotemporali.

Non disponendo di una teoria quantistica completa della gravitazione, non c’`e modo di determinare la forma specifica delle regole di commutazione tra le Xν ed `e dunque

ragionevole prendere in considerazione tutte le relazioni del tipo [Xν, Xσ] = iΘνσ(Xρ),

in cui Θνσ(Xρ) `e una generica matrice antisimmetrica dipendente dalle coordinate.

Sto-ricamente le ricerche in questo campo si sono concentrate su due possibilit`a. L’ipotesi che le ordinarie rotazioni spaziali restino una simmetria dello spaziotempo ha spinto molti autori a indagare lo spaziotempo di κ-Minkowski, caratterizzato dalle relazioni di commutazione

[Xi, Xν] = i`δν0Xi

in cui ` `e una costante con le dimensioni di una lunghezza. L’analogia con la quantiz-zazione di Heisenberg dello spazio delle fasi ha invece motivato uno studio approfondito dello spaziotempo di θ-Minkowski (o spaziotempo canonico), le cui coordinate soddisfano

[Xν, Xσ] = iθνσ

per un’opportuna matrice antisimmetrica costante θνσ con le dimensioni di una lunghezza

al quadrato.

Lo studio delle implicazioni di coordinate spaziotemporali non commutative si è arti-colato storicamente in vari filoni di ricerca, che si differenziano soprattutto per le proprietà attribuite ai parametri di non commutatività (negli esempi precedenti ` e θνσ) e per le

assunzioni sulle simmetrie relativistiche. L’approccio pi`u seguito si concentra sulle regole di commutazione di θ-Minkowski, assume che la matrice θνσ sia un tensore di Lorentz

e studia teorie quantistiche di campo definite sullo spaziotempo canonico sfruttando la loro equivalenza con teorie di campo non locali definite sull’ordinario spaziotempo com-mutativo [11]. In questo contesto si ha rottura delle simmetrie relativistiche ed emergono sistemi di riferimento privilegiati.

Un altro approccio, proposto da Doplicher, Fredenhagen e Roberts (che per primi introdussero le regole di commutazione di θ-Minkowski in [9]), cerca di recuperare le usuali simmetrie relativistiche della teoria attribuendo non solo alle coordinate spaziotemporali ma anche alla matrice θνσ propriet`a algebriche non banali.

Questo lavoro di tesi si colloca in un terzo filone, in cui i parametri di noncommutati-vità vengono trattati come costanti indipendenti dall’osservatore e si cerca di recuperare un principio di relatività deformando il gruppo di Poincaré. L’idea è che cos`ı come l’in-troduzione di una scala di velocità c invariante per tutti gli osservatori ha portato alla

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deformazione delle simmetrie di Galileo, l’introduzione di parametri invarianti di noncom-mutatività possa condurre a una deformazione delle simmetrie relativistiche. La maggior parte di questi studi si è concentrata sulla definizione di un vero e proprio calcolo dif-ferenziale non commutativo che permettesse di manipolare funzioni di coordinate non commutative come se fossero normali campi. In questo contesto le simmetrie deformate della teoria vengono descritte in termini di algebre di Hopf [13, 14]. Un limite di questo approccio è rappresentato dal suo elevato livello di astrazione: l’analisi delle proprietà e delle simmetrie di uno spaziotempo non commutativo viene portata avanti a livello pura-mente algebrico e finora non si è riusciti a trovare una soddisfacente interpretazione fisica del formalismo. Recentemente Amelino-Camelia, Astuti e Rosati [5, 6] hanno proposto di introdurre coordinate non commutative, parametri invarianti e relative simmetrie de-formate nell’ambito della meccanica quantistica di una particella singola. Si ottiene cos`ı una teoria più tangibile sul piano interpretativo in cui le coordinate non commutative Xν vengono rappresentate da operatori su uno spazio di Hilbert e corrispondono a

misu-re della posizione spaziotemporale della particella. In questo approccio riveste un ruolo cruciale la formulazione covariante o relazionale della meccanica quantistica sviluppata da Reisenberger e Rovelli [4]. Nella formulazione standard, infatti, la coordinata X0 non

`

e un’osservabile come le Xi o i momenti coniugati πi, ma un semplice parametro

cine-matico che permette di descrivere l’evoluzione delle variabili dinamiche. Di conseguenza `

e formalmente e concettualmente difficile dare un senso a relazioni di commutazione non banali che coinvolgano la coordinata temporale. Nella formulazione relazionale, per contro, il tempo `e una variabile dinamica come le altre. Amelino-Camelia, Astuti e Ro-sati hanno mostrato che in questo contesto regole di commutazione non banali per la coordinata temporale non pongono particolari problemi interpretativi e hanno fornito la prima descrizione quantitativa della dinamica di una particella libera relativistica su uno spaziotempo non commutativo, κ-Minkowski in 1 + 1 dimensioni [6].

L’obiettivo di questo lavoro di tesi `e generalizzare il loro approccio e applicarlo allo studio di una particella libera sullo spaziotempo di θ-Minkowski in n + 1 dimensioni.

Nel primo capitolo vengono presentati i concetti fondamentali della meccanica rela-zionale e la loro formalizzazione in ambito classico e quantistico. Dopo aver illustrato la concezione relazionale della dinamica [1, 2], si introducono le importanti nozioni di osservabili parziali, osservabili complete [3], stati cinematici e stati dinamici e si mostra come la meccanica classica, sia nella formulazione hamiltoniana che in quella di Hamilton-Jacobi, si possa interpretare naturalmente in senso relazionale. Un’attenta analisi della meccanica quantistica di Heisenberg suggerisce che, da un punto di vista relazionale, si tratti di una teoria incompleta. Si procede dunque ad una riformulazione relazionale della meccanica quantistica che recuperi e al tempo stesso completi la trattazione stan-dard, prestando particolare attenzione alla distinzione tra osservabili parziali e complete, tra stati cinematici e dinamici. Il capitolo si conclude con un breve richiamo alla teoria quantistica delle simmetrie.

Nel secondo capitolo la formulazione relazionale della meccanica quantistica viene ap-plicata ad una particella libera sullo spaziotempo commutativo di Minkowski. Sebbene le propriet`a di questo sistema siano ben note, la loro derivazione nel nuovo contesto si presta a illustrare il significato delle nozioni introdotte nel capitolo precedente e prepara

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la discussione del modello non commutativo. Dopo aver ricostruito mediante argomenti di simmetria l’algebra delle osservabili parziali e aver individuato lo spazio degli stati cinematici del sistema, si studiano le proprietà di stati gaussiani approssimativamente localizzati intorno a un punto dello spazio delle fasi, detti anche fuzzy points. Questa analisi permette di ricavare il principio di indeterminazione di Heisenberg e di caratteriz-zare l’azione delle simmetrie di Poincaré sugli stati cinematici. Attraverso l’imposizione di un vincolo hamiltoniano vengono poi identificati l’algebra delle osservabili complete e lo spazio degli stati dinamici del sistema, che risultano isomorfi all’algebra delle osserva-bili e allo spazio di Hilbert della formulazione di Heisenberg. Per concludere si calcolano valori di aspettazione e incertezze delle osservabili di base sugli stati dinamici corrispon-denti ai fuzzy points, detti anche fuzzy motions, ricavando una proprietà delle incertezze strettamente legata e spesso confusa con il principio di indeterminazione di Heisenberg.

Il terzo capitolo è dedicato allo studio di una particella libera sullo spaziotempo di θ-Minkowski. L’analisi del modello procede esattamente come nel caso commutativo e particolare enfasi è posta sull’assoluta naturalezza della trattazione nel contesto relazio-nale. Dopo aver ricostruito il gruppo di simmetria, l’algebra delle osservabili parziali e lo spazio degli stati cinematici del sistema, si studiano le proprietà dei fuzzy points ottenendo due risultati particolarmente significativi. Innanzitutto si constata l’impossi-bilità di determinare precisamente la posizione spaziotemporale della particella, che si traduce quantitativamente in una proposizione analoga al principio di indeterminazione di Heisenberg. In secondo luogo si osserva che la deformazione delle simmetrie di Lorentz associata alla struttura algebrica non banale delle coordinate produce un fenomeno di relative locality [7]: particelle di energia diversa localizzate intorno allo stesso punto da un osservatore di riferimento risultano separate da una distanza proporzionale alla dif-ferenza dei loro quadrimpulsi per un osservatore Lorentz-trasformato. L’imposizione del vincolo hamiltoniano permette infine di determinare l’algebra delle osservabili e lo spazio degli stati dinamici del sistema e di calcolare valori di aspettazione e incertezze delle osservabili di base sui fuzzy motions. A causa della non commutatività delle coordinate, alcune di queste osservabili non possono essere interpretate come nel capitolo precedente. Assumendo che la coordinata temporale commuti con quelle spaziali, tuttavia, è possi-bile superare questa difficoltà e ottenere valori di aspettazione e incertezze confrontabili con quelli ricavati nel caso commutativo. L’impossibilità di determinare con precisione le coordinate spaziotemporali di una particella, come il principio di indeterminazione di Heisenberg, si riflette nelle proprietà delle incertezze associate alle osservabili spaziali.

Nel quarto e ultimo capitolo si studia il legame tra l’approccio astratto in termini di algebre di Hopf alle simmetrie di θ-Minkowski e la loro trattazione nel contesto della meccanica quantistica relazionale di una particella. Dopo aver brevemente descritto le strutture matematiche coinvolte [12], si fornisce una caratterizzazione Hopf-algebrica delle simmetrie dello spaziotempo classico di Minkowski e si mostra come lo stesso formalismo permetta di analizzare le simmetrie dello spaziotempo canonico [13]. Imponendo che le trasformazioni infinitesime soddisfino la regola di Leibniz si ricavano relazioni di commu-tazione non banali tra i parametri di trasformazione e le coordinate [14]. Si mostra infine che l’algebra di Hopf di θ-Minkowski e i relativi parametri non commutativi ammettono una rappresentazione esplicita sull’algebra delle osservabili parziali ricavata nel capitolo precedente. In particolare le simmetrie di Poincar´e deformate corrispondono alle

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trasfor-mazioni infinitesime dell’approccio Hopf-algebrico e opportune combinazioni lineari degli impulsi rappresentano i relativi parametri di trasformazione non commutativi.

Nel resto della tesi si porrà per comodit`_{a ~ = c = 1, si assumerà che la metrica} gµν abbia la segnatura {+, −, −, −} e si sottointenderà sistematicamente la somma sugli

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Capitolo 1

Meccanica relazionale

1.1 Dinamica newtoniana

La dinamica, nel senso classico del termine, è lo studio del moto dei corpi o, più in ge-nerale, dell’evoluzione temporale delle proprietà di un sistema. In questa definizione il tempo gioca un ruolo molto particolare. Non si tratta di una variabile dinamica, ma di un parametro esterno che fluisce uniformemente e permette di distinguere e ordinare le varie configurazioni del sistema in esame. Le proprietà del sistema specifico sono funzioni di questa variabile indipendente e universale data a priori. Tale concezione della dinamica e del tempo venne esposta per la prima volta da Newton nello scolio generale dei Principia e la fisica vi è rimasta ancorata in quasi tutti i suoi sviluppi successivi. La meccani-ca quantistimeccani-ca di Schrödinger, per esempio, per quanto fondamentalmente diversa dalla meccanica classica, fa propria e rende ancora più evidente la distinzione newtoniana tra tempo e variabili dinamiche: alle normali osservabili sono associati operatori autoaggiunti, mentre il tempo resta un parametro reale assegnato a priori.

Nella pratica la determinazione di una durata non differisce qualitativamente dalla misura di altre osservabili: gli orologi sono strumenti concreti che danno letture asso-lutamente analoghe a quelle di altri apparecchi. Newton era perfettamente consapevole di questo fatto e distinse nettamente il tempo assoluto dalle grandezze misurate dagli orologi. Il parametro esterno che compariva nella sua teoria non poteva essere misura-to direttamente, ma solo dedotmisura-to dall’evoluzione delle normali osservabili attraverso le equazioni del moto. Nella sua visione un buon orologio era un oggetto i cui moti fossero sufficientemente regolari e indipendenti dalle perturbazioni da poterne inferire una buona approssimazione della vera variabile temporale.

La teoria della relatività generale ha imposto un radicale ripensamento delle nozio-ni newtonozio-niane di tempo e di dinamica. In questo contesto il tempo è una funzione del campo gravitazionale locale, cioè un’entità concreta misurata dagli orologi che interagi-sce dinamicamente con gli altri oggetti fisici, non un parametro puramente cinematico astratto dalla dinamica in funzione del quale esprimere l’evoluzione delle altre grandezze. Si tratta dunque di un’osservabile come tutte le altre che non riveste alcun ruolo privi-legiato nella teoria. Naturalmente, assimilando il tempo alle altre variabili dinamiche, la relatività generale presuppone una concezione della dinamica profondamente diversa da quella newtoniana.

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1.2 Dinamica relazionale

`

E opinione comune che le operazioni di misura assegnino valori alle relative osservabili e che la dinamica debba prevedere tali assegnazioni a partire dalla conoscenza dello stato del sistema. In realtà è facile convincersi che non è possibile prevedere il risultato di una singola osservazione.

Prima di guardare un orologio, non si può predire in alcun modo la posizione in cui si troverà la lancetta, cos`ı come non si può indovinare l’angolo che un pendolo formerà con la verticale prima di misurarlo. La dinamica, in questo semplice contesto, si limita a individuare una relazione tra le posizioni angolari della lancetta e del pendolo: noto lo stato iniziale del sistema (per esempio posizione e velocità angolare del pendolo quando la lancetta segna mezzogiorno) è possibile prevedere dove si troverà il pendolo quando l’orologio segnerà una certa ora. L’esempio rivela una caratteristica generale di ogni previsione dinamica: non sono i valori delle osservabili ad essere predetti, ma certe loro relazioni funzionali.

La dinamica consiste dunque nello studio delle relazioni tra le osservabili: non c’è bisogno di fare alcun riferimento a parametri temporali astratti e inconoscibili. Nella pratica le correlazioni osservate coinvolgono spesso la variabile dinamica misurata dagli orologi, ma questo non la rende intrinsecamente diversa dalle altre. Tale concezione operazionale e relazionale della dinamica è l’unica ammissibile alla luce della relatività generale, in cui non esiste alcuna nozione univoca e naturale di evoluzione temporale. La teoria predice direttamente le relazioni tra le osservabili, senza bisogno di appoggiarsi a un parametro temporale esterno.

1.3 Osservabili parziali e complete

In fisica il termine osservabile ha due significati: può denotare una grandezza fisica a cui si può associare un numero mediante un processo di misura, come nel paragrafo precedente, oppure una quantità il cui valore (o la cui distribuzione di probabilità) può essere predetto dalla teoria. Le due accezioni sono spesso sovrapposte sulla scorta di una concezione newtoniana della dinamica: in ogni istante qualunque grandezza fisica assume un valore che la teoria è in grado di prevedere, quindi è possibile stabilire una corrispondenza biunivoca tra le quantità misurabili e quelle ricavabili dalla teoria.

Da un punto di vista relazionale è invece importante distinguere le due nozioni. La dinamica non è in grado di prevedere i valori assunti da singole grandezze fisiche, ma solo le loro correlazioni. Ritornando all’esempio del paragrafo precedente, la teoria permette di calcolare la posizione angolare del pendolo quando l’orologio segna le tre o la velocità del pendolo quando è allineato alla verticale, ma non può predire in alcun modo l’esito delle misure di tempo, posizione angolare o velocità. Di conseguenza le grandezze misurabili non identificano univocamente le quantità ricavabili dalla teoria e non è lecito confondere i due significati di osservabilità.

Nel seguito, per evitare ambiguit`a, le grandezze misurabili verranno chiamate osser-vabili parziali, variabili dinamiche o semplicemente variabili, mentre le quantit`a ricavabili

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dalla teoria verranno indicate come osservabili complete o semplicemente osservabili. Il tempo misurato da un orologio, la posizione angolare e la velocità di un pendolo sono esempi di osservabili parziali. La posizione angolare del pendolo quando l’orologio segna le tre o la sua velocità nel punto più basso della sua traiettoria sono invece osservabili complete.

1.4 Meccanica classica relazionale

Newton non riusc`ı a elaborare una teoria che fornisse direttamente le relazioni tra le osservabili parziali. Scopr`ı invece leggi semplici, generali e deterministiche che permette-vano di prevedere i valori assunti dalle variabili dinamiche in funzione di un parametro temporale esterno. Assumendo che il parametro di evoluzione fosse universale, ovvero che fosse lo stesso per tutti i sistemi fisici, fu in grado di ricavare indirettamente le cor-relazioni tra le variabili e di confrontare la sua teoria con le osservazioni. La necessit`a di introdurre un tempo astratto ed esterno per predire le relazioni tra le osservabili parziali e l’incredibile successo di questo approccio spinsero Newton ad assumere l’esistenza di tale parametro e a identificare la dinamica con lo studio dell’evoluzione dei sistemi fisici nel tempo assoluto.

Quest’ultimo passaggio non è necessario. Se si considera il parametro temporale ester-no come un semplice ausilio formale tramite cui ottenere le correlazioni tra le variabili, la meccanica classica è perfettamente compatibile con una concezione relazionale della dina-mica. Il modo migliore per rendersene conto è reinterpretare il formalismo hamiltoniano alla luce delle definizioni introdotte in precedenza.

In un sistema meccanico classico le osservabili parziali sono funzioni di n+1 coordinate canoniche Qi e dei relativi momenti coniugati πi. `E conveniente porre Qi = Xi e πi =

Xn+1+i, in modo che Xl con l ∈ {1, . . . , 2n + 2} denoti una generica variabile canonica,

e indicare con il simbolo Xl(Xm) il valore assunto dalla variabile Xl quando Xm vale

Xm. In questo linguaggio le osservabili complete sono funzioni delle quantit`a Xl(Xm).

La dinamica del sistema `e univocamente determinata da una funzione delle variabili canoniche, la hamiltoniana H(Qi, πi). Risolvendo il sistema di equazioni differenziali

dQi dτ = ∂H ∂πi (1.1) dπi dτ = − ∂H ∂Qi (1.2) si ottengono 2n + 2 funzioni Xl(τ ; αk) del parametro temporale τ , parametrizzate da

2n + 2 costanti arbitrarie αk. Una volta determinato lo stato del sistema, ovvero le αk, `e

possibile ottenere le osservabili complete Xl(Xm) (e quindi anche tutte le altre) risolvendo

rispetto a τ l’equazione Xm(τ ) = Xm e sostituendo il valore trovato nelle funzioni Xl(τ ).

Non `e detto che Xm(τ ) sia invertibile, nel qual caso le osservabili Xl(Xm) non sono

univocamente definite, ma `e chiaro che le funzioni Xl(τ ) contengono tutte le informazioni

sulle relazioni tra le variabili Xl e risolvono completamente il problema dinamico. E`

importante notare che il parametro temporale esterno τ non ha alcun significato fisico. In particolare non ha nulla a che fare con la variabile dinamica misurata dagli orologi, che, come tutte le altre osservabili parziali, `e rappresentata da qualche funzione delle Xl.

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Il motivo per cui τ viene chiamato parametro temporale ed è spesso confuso con il tempo segnato dagli orologi è che nel regime newtoniano (velocità molto inferiori a c e campi gravitazionali deboli) gli orologi in qualunque posizione e stato di moto danno la stessa lettura e si disaccoppiano dal resto del sistema. Se come (n + 1)-esima variabile canonica Qn+1 si prende l’unico tempo misurato, la hamiltoniana H assume la forma

H(Xl) = πn+1+ HN(Qj, πj) (1.3)

con j ∈ {1, . . . , n} e le equazioni del moto diventano dQj dτ = ∂HN ∂πj (1.4) dπj dτ = − ∂HN ∂Qj (1.5) dQn+1 dτ = 1 (1.6) dπn+1 dτ = 0. (1.7)

Scegliendo opportunamente l’origine dei tempi si ha Qn+1(τ ) = τ , cos`ı le funzioni Qj(τ )

e πj(τ ) ottenute risolvendo le altre equazioni danno direttamente le osservabili complete

Qj(Qn+1) e πj(Qn+1). Questa circostanza `e all’origine della concezione newtoniana della

dinamica, secondo cui gli orologi misurano con una certa approssmazione il parametro non-dinamico τ , che fluisce uniformemente e funge da variabile indipendente, e una fun-zione delle coordinate non temporali Qj e dei loro momenti coniugati, la hamiltoniana

newtoniana HN, determina i valori delle osservabili in ogni istante attraverso il sistema

di equazioni differenziali dQj dτ = ∂HN ∂πj (1.8) dπj dτ = − ∂HN ∂Qj . (1.9)

Se la hamiltoniana H fosse sempre della forma (1.3) il punto di vista newtoniano incorporerebbe una proprietà fondamentale del mondo fisico e la possibilità teorica di assimilare la variabile temporale alle altre e di adottare una concezione relazionale della dinamica avrebbe ben poca rilevanza. Tuttavia la relatività generale ha mostrato che quando non si trascurano gli effetti gravitazionali nessun grado di libertà si disaccop-pia dagli altri. In particolare orologi diversi danno letture diverse e il tempo misura-to da ciascuno è correlato alle altre variabili dinamiche del sistema. Di conseguenza, la formulazione relazionale della meccanica classica illustrata in questo paragrafo, che può essere estesa naturalmente al caso relativistico, è da considerarsi più corretta della corrispondente trattazione newtoniana, disponibile solo in condizioni particolari.

1.5 Stati cinematici e dinamici

Nel paragrafo precedente si `e identificato lo stato del sistema con i valori delle costan-ti di integrazione necessarie a determinare univocamente le funzioni Xl(τ ). Si `e inteso

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dunque lo stato di un sistema come ci`o che individua l’effettiva evoluzione dinamica del sistema tra le tante a priori compatibili con le sue leggi del moto. Il termine stato non `

e sempre usato in questa accezione: spesso indica l’insieme dei valori assunti dalle varia-bili dinamiche non temporali in un certo istante. Quest’ultima nozione presuppone che esista un parametro temporale esterno e universale e va perci`o abbandonata in un con-testo relazionale. Tuttavia `e possibile eliminare i riferimenti temporali chiamando stato l’insieme dei valori assunti simultaneamente dalle variabili dinamiche. In questa seconda accezione, dunque, gli stati corrispondono ai possibili risultati della misura simultanea delle osservabili parziali.

Nel seguito, per distinguere i due significati, si chiamerà stato dinamico ciò che de-termina l’intera storia di un sistema, mentre stato cinematico un possibile risultato della misura simultanea delle variabili dinamiche. Le due nozioni sono ben distinte ma al tem-po stesso strettamente collegate. Da un lato la conoscenza dello stato dinamico permette di prevedere le correlazioni tra i valori assunti dalle osservabili parziali e quindi di limitare i possibili stati cinematici in cui si può trovare il sistema. Dall’altro tutte le informazioni su un sistema fisico, e quindi anche il suo stato dinamico, provengono in ultima analisi dai risultati di misure effettuate in precedenza, cioè dall’analisi di uno stato cinematico. In meccanica classica la rappresentazione di stati cinematici e dinamici è piuttosto semplice: gli stati cinematici sono identificati dalle possibili (2n + 2)-uple di valori delle variabili canoniche Xl, ovvero dai punti dello spazio delle fasi, mentre quelli dinamici sono

individuati dalle costanti di integrazione αk, ovvero dai possibili moti del sistema nello

spazio delle fasi. Ottenere gli uni dagli altri è immediato: dato un moto nello spazio delle fasi, ovvero uno stato dinamico, tutti e soli i punti che lo compongono corrispondono agli stati cinematici in cui si può trovare il sistema; dato un punto dello spazio delle fasi, ovvero uno stato cinematico, l’unico moto che vi passa è lo stato dinamico del sistema dopo la misura simultanea delle variabili canoniche.

1.6 Formulazione di Hamilton-Jacobi

Per correlare le variabili dinamiche, il formalismo hamiltoniano descritto in precedenza si avvale di un parametro ausiliario τ . La formulazione di Hamilton-Jacobi, pur essen-do equivalente all’approccio hamiltoniano standard, permette di fare a meno di questo passaggio ed ottenere direttamente le relazioni fra le osservabili parziali.

In questa formulazione, esattamente come nell’approccio standard, le osservabili par-ziali di un sistema meccanico sono funzioni di 2n + 2 variabili canoniche Xl e la dinamica

`

e univocamente determinata da una hamiltoniana H(Qi, πi). Tuttavia per ottenere le

correlazioni tra le variabili `e necessario risolvere l’equazione di Hamilton-Jacobi H Qi, ∂S ∂Qi = 0. (1.10)

Si tratta di un’equazione differenziale del primo ordine alle derivate parziali per una funzione S(Qi) delle coordinate canoniche. La soluzione generale S(Qi; αj), detta funzione

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principale di Hamilton, `e parametrizzata da n costanti arbitrarie1 _α j. Data S(Qi; αj), le relazioni Fj(Xl; αj, βj) = ∂S ∂αj − βj (1.11) Fn+i(Xl; αj, βj) = ∂S ∂Qi − πi (1.12)

definiscono 2n + 1 funzioni ausiliarie Fp(Xl; αj, βj) che dipendono da αj e da altri n

parametri βj. Una volta noto lo stato dinamico del sistema, ovvero αj e βj, `e possibile

ottenere le osservabili complete Xl(Xm) sostituendo Xm a Xm nelle equazioni

Fp(Xl; αj, βj) = 0 (1.13)

e risolvendo il sistema rispetto alle restanti 2n + 1 variabili canoniche. Non `e detto che le equazioni (1.13) siano invertibili, nel qual caso le osservabili Xr(Xs) non sono

univocamente definite, ma `e chiaro che il sistema contiene tutte le informazioni sulle relazioni tra le variabili Xl e risolve completamente il problema dinamico.

Nel regime newtoniano la hamiltoniana `e del tipo (1.3) e l’equazione di Hamilton-Jacobi assume la forma

∂S ∂Qn+1 + HN Qj, ∂S ∂Qj = 0. (1.14)

Indicando con W (Qj; αr, E) la soluzione generale dell’equazione

HN Qj, ∂W ∂Qj = E, (1.15)

dipendente da n − 1 costanti arbitrarie αr, la funzione principale di Hamilton `e data da

S(Qi; αr, E) = W (Qj; αr, E) − EQn+1. (1.16)

Scegliendo opportunamente l’origine dei tempi si ha dunque Qn+1 =

∂W

∂E (1.17)

e la dinamica `e determinata dalla (1.17) e dalle 2n − 1 relazioni ∂W ∂αr − βr = 0 (1.18) ∂W ∂Qj − πj = 0. (1.19)

Contrariamente alla trattazione standard, anche nel regime newtoniano la formulazione di Hamilton-Jacobi non induce ad attribuire al tempo uno status particolare. Non potendo essere confuso con il parametro ausiliario non dinamico τ , il tempo misurato `e trattato alla stregua di tutte le altre osservabili parziali.

1_{In realt`}_{a la soluzione generale sarebbe S(Q}

i; αj)+C e dipenderebbe da n+1 parametri, ma in questo

(17)

L’importanza della formulazione di Hamilton-Jacobi `e duplice. Da un lato mette a nudo la natura puramente formale del parametro ausiliario τ , evidenziando il carattere fondamentale delle correlazioni tra le variabili. Dall’altro permette di determinare com-pletamente la dinamica di un sistema senza scrivere equazioni del moto. Nei prossimi paragrafi la stessa idea di fondo verr`a applicata alla meccanica quantistica per ottenerne una versione relazionale.

1.7 Meccanica quantistica

La meccanica quantistica, nella sua formulazione tradizionale, è strettamente legata ad una concezione newtoniana della dinamica. Per ogni dato sistema fisico la teoria forni-sce i valori medi delle relative variabili non temporali in funzione di un parametro reale esterno, che rappresenta il tempo scandito dagli orologi. Come argomentato nei paragrafi precedenti, una tale impostazione è inadeguata quando le velocità sono prossime a quelle della luce o gli effetti gravitazionali non sono trascurabili, quindi sarebbe importante una riformulazione relazionale della teoria. Rispetto al caso classico, tuttavia, la questione `

e notevolmente complicata dalla rappresentazione delle osservabili come operatori au-toaggiunti su uno spazio di Hilbert: a prima vista non è affatto ovvio né come si possa introdurre un qualche “operatore temporale” né come si possano ricavare correlazioni tra variabili i cui valori non sono univocamente determinati.

Alla radice di queste e altre apparenti difficoltà c’è la tendenza a confondere osservabili parziali e complete. Dato un operatore autoaggiunto e uno stato, la teoria quantistica è in grado di fare delle previsioni. Di conseguenza gli operatori autoaggiunti rappresentano le osservabili complete e non è corretto associarli a variabili dinamiche come il tempo mi-surato dagli orologi. Anche la necessità di correlare variabili distribuite statisticamente si rivela un falso problema: la meccanica quantistica fornisce direttamente la probabilità di osservare correlazioni, non singoli risultati. Tutto ciò risulta evidente nella rappre-sentazione di Heisenberg, in cui gli operatori Xq(t), una volta noto lo stato dinamico

del sistema, forniscono i valori (o meglio le distribuzioni di probabilità) delle variabili canoniche (non temporali) al tempo t, mentre nessun operatore è associato a singole va-riabili. In quest’ottica è importante non assimilare gli operatori di Heisenberg Xq(t) alle

funzioni Xq(τ ) della meccanica hamiltoniana classica: si tratta piuttosto, indicando con

Qn+1 il tempo misurato dagli orologi, di un analogo quantistico delle osservabili complete

Xq(Qn+1).

Nella formulazione di Heisenberg della meccanica quantistica l’algebra delle osserva-bili `e generata da 2n operatori autoaggiunti Qj(0) e πj(0), che soddisfano le regole di

commutazione canoniche

[Qj(0), Qk(0)] = [πj(0), πk(0)] = 0 (1.20)

[Qj(0), πk(0)] = iδjk (1.21)

e rappresentano le variabili canoniche non temporali al tempo 0. L’unica rappresentazione irriducibile di tale algebra su uno spazio di Hilbert `e quella di Schr¨odinger, in cui i vettori

(18)

sono funzioni normalizzate di n variabili πj, il prodotto scalare `e dato da

hΨ1|Ψ2i =

Z

Ψ1(πj)Ψ2(πj)dnπ, (1.22)

gli operatori πj(0) agiscono come le moltiplicazioni per πj e gli operatori Qj(0) come le

derivate i∂πj. La dinamica `e completamente determinata da una funzione autoaggiunta di Qj(0) e πj(0), l’hamiltoniana newtoniana HN(Qj(0), πj(0)), che lega le osservabili

complete Xq(t) alle Xq(0) attraverso la relazione

Xq(t) = eiHNtXq(0)e−iHNt (1.23)

e permette di ricavare, noto lo stato dinamico Ψ del sistema, i valori medi hΨ|Xq(t)|Ψi

delle variabili Xq al tempo t.

Da un punto di vista relazionale, questa formulazione `e piuttosto insoddisfacente. Innanzitutto si interessa unicamente alle osservabili complete della forma Xq(t),

distin-guendo nettamente la variabile temporale da tutte le altre. In secondo luogo le osservabili parziali (non temporali) e gli stati cinematici non sembrano avere alcun ruolo nella teo-ria. La struttura algebrica dell’insieme delle osservabili complete è data a priori, senza passare per le proprietà delle grandezze misurabili. Analogamente gli stati dinamici di Heisenberg, che codificano l’intera evoluzione del sistema, sono ottenuti direttamente dalla rappresentazione operatoriale dell’algebra delle osservabili e non è chiaro come as-sociarli ai risultati di misure effettuate in precedenza sul sistema. Nella teoria classica, per contro, si parte dallo spazio delle fasi (che rappresenta gli stati cinematici) e dal-le funzioni deldal-le variabili canoniche (che rappresentano dal-le osservabili parziali): solo poi, risolvendo il sistema canonico o l’equazione di Hamilton-Jacobi, si ottengono le osserva-bili complete e gli stati dinamici, che possono facilmente essere messi in relazione con la struttura preesistente. L’impressione è che l’analisi tradizionale dei sistemi quantistici cominci troppo tardi, assumendo una struttura che andrebbe invece ricavata dinamica-mente. I passaggi mancanti permetterebbero alla teoria di trattare la variabile temporale alla stregua delle altre, superando la concezione newtoniana. Nel prossimo paragrafo si darà sostanza a questa intuizione illustrando una formulazione autenticamente relazionale della meccanica quantistica ispirata all’analisi di Rovelli e Reisenberger [4].

1.8 Meccanica quantistica relazionale

In un sistema quantomeccanico le osservabili parziali sono gli elementi di una ∗-algebra V generata da un certo numero di variabili di base Xl. Le propriet`a algebriche delle

variabili dinamiche sono dettate da considerazioni euristiche, da requisiti di simmetria o dalla validit`a a posteriori della teoria risultante. Quando esiste un analogo classico del sistema, l’algebra delle osservabili parziali `e generata da 2n + 2 variabili autoaggiunte Qi

e πi che soddisfano le regole di commutazione canoniche

[Qi, Qk] = [πi, πk] = 0 (1.24)

(19)

Nonostante la somiglianza formale, queste relazioni non hanno nulla a che vedere con (1.20) e (1.21): Qi e πi non sono osservabili complete, ma variabili dinamiche tra cui

figura la coordinata temporale Qn+1.

La cinematica del sistema è determinata da una rappresentazione dell’algebra delle variabili V su uno spazio di Hilbert K. Lo spettro dell’operatore associato a una data osservabile parziale è l’insieme dei valori che tale variabile può assumere. Ogni set com-pleto di operatori commutanti, ovvero di variabili misurabili simultaneamente, individua un set completo di autovettori, uno per ogni possibile risultato della misura: i vettori di K identificano dunque gli stati cinematici del sistema. Se l’algebra delle osservabili parziali `

e generata da 2n+2 variabili canoniche Qi e πi, allora ammette un’unica rappresentazione

irriducibile sullo spazio di Hilbert delle funzioni di n + 1 variabili πi con prodotto scalare

hψ1|ψ2i =

Z

ψ₁(πi)ψ2(πi)dn+1π. (1.26)

L’operatore associato a πi `e la moltiplicazione per πi, mentre la derivata i∂πi rappresenta l’osservabile parziale Qi.

`

E bene sottolineare che a questo punto la teoria non `e ancora in grado di fare alcuna previsione: le strutture introdotte finora definiscono la cinematica del sistema, ma non permettono di determinarne l’evoluzione. In particolare i valori di aspettazione su K degli elementi autoaggiunti di V non ammettono alcuna interpretazione probabilistica. Per fare un esempio, dire che un sistema canonico si trova in un certo autostato simultaneo delle coordinate Qi non significa asserire che una misura futura restituir`a i relativi autovalori

con certezza. Lo spazio di Hilbert cinematico K e l’algebra delle variabili V sono gli analoghi quantistici dello spazio delle fasi e delle osservabili parziali classiche, nozioni che non trovano posto nella formulazione di Heisenberg.

La dinamica del sistema `e completamente determinata da un elemento autoaggiun-to dell’algebra delle variabili V, la hamilautoaggiun-toniana H. Indicando con P0 la proiezione

sull’autospazio nullo di H, la relazione

hψ1|ψ2iH = hψ1|P0|ψ2i (1.27)

definisce un nuovo prodotto scalare su K. Identificando i vettori ψ, ψ0 ∈ K per cui hψ − ψ0_{|ψ − ψ}0_i

H = 0, si ottiene lo spazio di Hilbert D delle possibili evoluzioni dinamiche

del sistema. Dato uno stato cinematico ψ ∈ K, la sua classe di equivalenza rispetto al prodotto scalare h·|·i_H, un vettore Ψ ∈ D, `e il corrispondente stato dinamico. Imponendo la condizione H = 0 sull’insieme delle variabili che commutano con la hamiltoniana si ottiene l’algebra O delle osservabili complete del sistema. Ad ogni rappresentazione di V su K corrisponde una rappresentazione di O su D: infatti, se ψ1, ψ2 ∈ K sono due stati

cinematici e Ψ1, Ψ2 ∈ D i corrispondenti stati dinamici, gli elementi di matrice

hψ1|O|ψ2iH = hψ1|OP0|ψ2i = hψ1|P0O|ψ2i (1.28)

di un’osservabile O ∈ O dipendono solo da Ψ1 e Ψ2, quindi si pu`o porre

(20)

Se l’algebra delle osservabili parziali `e generata da 2n + 2 variabili canoniche Qi e πi e la

hamiltoniana `e della forma

H = πn+1+ HN(Qj, πj) (1.30)

con j ∈ {1, . . . , n}, l’algebra delle osservabili `e generata da 2n operatori Qj(0) e πj(0) che

soddisfano le regole di commutazione (1.20) e (1.21) e si recupera l’ordinaria meccanica quantistica di Heisenberg.

Noto lo stato dinamico Ψ ∈ D, tutte le previsioni della teoria sono contenute nei valori di aspettazione hΨ|O|Ψi degli operatori autoaggiunti O ∈ O. Se una misura precedente ha trovato il sistema nello stato cinematico ψ ∈ K, lo stato dinamico `e il corrispondente elemento di D e il valore di aspettazione di O `e dato da hψ|O|ψi_H. Data una coppia di variabili compatibili V1, V2 ∈ V la teoria non dice come individuare le relative osservabili

V1(V2) ∈ O e non può dunque considerarsi completa. Tuttavia è più che sufficiente per

gli scopi di questo lavoro, in quanto nei semplici modelli di particella libera che verranno analizzati in seguito il riconoscimento delle osservabili non presenta difficolt`a.

1.9 Simmetrie

L’analisi delle simmetrie nel contesto relazionale procede esattamente come nella tratta-zione standard. Le simmetrie di un sistema sono identificate dagli automorfismi dell’alge-bra delle variabili V che mandano la hamiltoniana in se stessa. Ad ogni trasformazione di questo tipo corrisponde un automorfismo dell’algebra delle osservabili O. Una simmetria α si dice realizzata alla Wigner quando esiste un operatore unitario Uα∈ V che soddisfa

α(V ) = UαV Uα∗ (1.31)

per ogni V ∈ V. Commutando con H, l’operatore Uα `e ben definito sullo spazio dinamico

D e la relativa simmetria α preserva l’insieme dei valori di aspettazione: per ogni stato dinamico Ψ esiste Ψ0 = UαΨ ∈ D tale che

hΨ|O|Ψi = hΨ0|UαOUα∗|Ψ

0_{i = hΨ}0_|α(O)|Ψ0_i

(1.32) per ogni O ∈ O. Una simmetria realizzata alla Wigner lascia dunque inalterato il conte-nuto fisico della teoria e si pu`o dimostrare che vale anche il viceversa. Una simmetria si dice invece nascosta o rotta spontaneamente quando non preserva i valori di aspettazione: in questo caso non esiste alcun operatore unitario su D che la realizza.

Ogni gruppo continuo a un parametro di simmetrie non rotte αt individua un

grup-po continuo a un parametro di operatori unitari Uα(t) e quindi anche un generatore

autoaggiunto Gα ∈ O tale che

Uα(t) = eiGαt. (1.33)

Se l’algebra delle osservabili parziali `e generata da 2n + 2 variabili canoniche Qi e πi e

la hamiltoniana `e della forma (1.30), la traslazione temporale τt : Qn+1 → Qn+1 − t,

generata da −πn+1, `e una simmetria del sistema e si recupera l’equazione del moto di

Heisenberg

(21)

La formulazione relazionale della meccanica quantistica descritta negli ultimi para-grafi permette di determinare l’insieme delle osservabili complete a partire dalle proprietà algebriche delle variabili dinamiche, che hanno tutte pari dignità. Come nella meccanica classica di Hamilton-Jacobi, non ci sono equazioni del moto da risolvere: piuttosto le osservabili si ottengono dall’imposizione di un vincolo hamiltoniano. Nel regime newto-niano la speciale forma di H produce la meccanica quantistica di Heisenberg, ma la teoria permette di trattare situazioni più generali. In particolare, come si dimostrerà nel terzo capitolo, consente di studiare la dinamica di una particella libera su uno spaziotempo non commutativo. Prima di affrontare questo problema, per illustrare la teoria in un caso semplice e acquisire familiarità con i suoi concetti, la formulazione relazionale della meccanica quantistica verrà applicata a una particella libera sull’ordinario spaziotempo commutativo.

(22)

(23)

Capitolo 2

Particella libera sullo spaziotempo di

Minkowski

2.1 Algebra delle variabili e simmetrie

In uno spaziotempo commutativo a n + 1 dimensioni, la posizione di una particella `e descritta da n + 1 coordinate Xν che si possono determinare simultaneamente. L’algebra

delle variabili V0 associata a questo sistema deve dunque contenere n + 1 osservabili

parziali Xν che soddisfano le relazioni

[Xν, Xσ] = 0. (2.1)

Le traslazioni spaziotemporali

τε(Xν) = Xν − εν (2.2)

lasciano inalterato il contenuto fisico della teoria, quindi devono essere simmetrie di Wi-gner del sistema. In quanto tali devono essere generate da n + 1 variabili autoaggiunte πµ e si deve avere

iεµ[πµ, Xν] = τε(Xν) − Xν = δεXν = −εν. (2.3)

Poich´e

[πµ, Xν] = igµν, (2.4)

i πµ non possono dipendere dalle coordinate e devono perci`o essere inclusi come ulteriori

variabili indipendenti nell’algebra V0. Data la commutativit`a delle traslazioni, le nuove

osservabili parziali πµ devono soddisfare le relazioni

[πµ, πλ] = 0. (2.5)

Anche le trasformazioni di Lorentz, definite dalle relazioni

βΛ(Xν) = ΛνρXρ (2.6)

(24)

lasciano inalterata la fisica del sistema. Le corrispondenti trasformazioni infinitesime sono

βω(Xν) = Xν − ωρσ(Xρgσν− Xσgρν) (2.8)

βω(πµ) = πµ− ωρσ(πρgσµ− πσgρµ) , (2.9)

quindi devono esistere variabili autoaggiunte ηρσ ∈ V0 tali che

iωρσ[ηρσ, Xν] = δωXν = −ωρσ(Xρgσν− Xσgρν) (2.10)

iωρσ[ηρσ, πµ] = δωπµ = −ωρσ(πρgσµ− πσgρµ) . (2.11)

Queste propriet`a sono effettivamente soddisfatte da

ηρσ = Xρπσ− Xσπρ (2.12)

a patto che le coordinate Xµ siano autoaggiunte.

In definitiva si pu`o concludere che l’algebra V0 delle osservabili parziali di una

parti-cella libera su uno spaziotempo commutativo a n + 1 dimensioni `e generata da 2n + 2 variabili autoaggiunte πµ e Xν che soddisfano le regole di commutazione canoniche

[πµ, πλ] = [Xν, Xσ] = 0 (2.13)

[πµ, Xν] = igµν. (2.14)

Le traslazioni e le trasformazioni di Lorentz formano un gruppo di automorfismi unitari di V0 generato dalle variabili πµ e ηρσ.

Trattandosi di un sistema con un analogo classico, le variabili di base e le relative proprietà algebriche si sarebbero potute determinare direttamente dalla quantizzazione canonica, senza passare per l’analisi delle traslazioni. Tuttavia argomenti euristici di questo tipo diventano imprescindibili se l’analogia classica non è disponibile, come quando le coordinate soddisfano relazioni di commutazione non banali: in questi casi le uniche indicazioni sono le proprietà di simmetria del sistema. Per acquisire familiarità con questo genere di considerazioni si è ritenuto opportuno procedere in questo modo anche nel caso commutativo.

2.2 Spazio di Hilbert cinematico e fuzzy points

L’algebra delle variabili V0 ammette un’unica rappresentazione irriducibile sullo spazio

K0 delle funzioni di n + 1 variabili πµ con prodotto scalare

hψ1|ψ2i =

Z

ψ₁(πρ)ψ2(πρ)dn+1π. (2.15)

Gli operatori πµ agiscono come la moltiplicazione per πµ, mentre gli operatori Xν come

le derivate −igνγ∂πγ.

Come si `e argomentato nel capitolo precedente, le funzioni ψ ∈ K0 rappresentano gli

stati cinematici del sistema. Nel caso classico tutte le osservabili parziali sono compatibili e ogni stato cinematico corrisponde a un possibile set di valori prodotto dalla loro misura

(25)

simultanea, ovvero a un punto nello spazio delle fasi. A livello quantistico, invece, esistono variabili incompatibili. È possibile ottenere stati approssimativamente localizzati intorno a determinati valori delle variabili di base, ma le relative incertezze non possono essere rese contemporaneamente piccole a piacere. Trattandosi degli analoghi quantistici più stretti dei punti dello spazio delle fasi, stati cinematici di questo tipo verranno chiamati fuzzy points. Nel resto di questo paragrafo si analizzeranno le proprietà di fuzzy points gaussiani della forma

ψ_X_α_,π β,σβ(πρ) = e iXαπα Y β s 1 √ 2πσβ e −(πβ −πβ ) 2 4σ2 β ! , (2.16)

particolarmente adatti a caratterizzare l’incompatibilit`a tra πµ e Xν.

Calcolando i valori medi su ψ_X

α,πβ,σβ delle variabili di base si trova hπµi = Z ψ_Xα ,πβ,σβ(πρ)πµψX α ,πβ,σβ(πρ)d n+1 π = = Z πµ Y β 1 √ 2πσβ e −(πβ −πβ ) 2 2σ2 β _dn+1_{π = π} µ (2.17) hXνi = Z ψ_Xα ,πβ,σβ(πρ) −igνγ ∂ ∂πγ ψ_Xα ,πβ,σβ(πρ)d n+1_{π =} = Z Xν + igνγ πγ− πγ 2σ2 γ Y β 1 √ 2πσβ e −(πβ −πβ ) 2 2σ2 β _dn+1_{π = X} ν. (2.18)

Il fuzzy point gaussiano ψ_X_α_,π

β,σβ `e dunque concentrato intorno al punto (πµ, Xν) dello spazio delle fasi classico. Poich´e

hπλπµi = Z ψ_X_α_,π β,σβ(πρ)πλπµψXα,πβ,σβ(πρ)d n+1_{π =} = πλπµ+ Z (πλ− πλ)(πµ− πµ) Y β 1 √ 2πσβ e −(πβ −πβ ) 2 2σ2 β _dn+1_{π =} = πλπµ+ σ2µδ µ λ (2.19) hXνXσi = Z ψ_X_α_,π β,σβ(πρ) −igνγ ∂ ∂πγ −igσδ ∂ ∂πδ ψ_X_α_,π β,σβ(πρ)d n+1_{π =} = Z 1 2σ2 ν gννgνσ+ Xν + igνγ πγ− πγ 2σ2 γ Xσ+ igσδ πδ− πδ 2σ2 δ · ·Y β 1 √ 2πσβ e −(πβ −πβ ) 2 2σ2 β _dn+1_{π =} 1 4σ2 ν gννgνσ+ XνXσ (2.20)

le incertezze sulle variabili πµ e Xν sono date da

∆Xν = q hX2 νi − hXνi2 = 1 2σν (2.21) ∆πµ = q π2 µ − hπµi 2 = σµ. (2.22)

(26)

Da queste espressioni segue il principio di indeterminazione di Heisenberg: non è possibile determinare con arbitraria precisione una coordinata e il relativo momento coniugato. Più precisamente la più piccola regione di spazio delle fasi in cui si può confinare una particella quantistica ha un diametro pari a 1/√2 (in unit`_{a di ~). Se si vuole individuare con} maggiore precisione la posizione spaziotemporale della particella è necessario rinunciare ad alcune informazioni sul quadrimpulso e viceversa.

Prima di procedere oltre `e opportuno soffermarsi sull’interpretazione dei risultati ot-tenuti. Come gi`a sottolineato in precedenza, i valori medi delle osservabili parziali sugli stati cinematici non ammettono alcuna interpretazione probabilistica e non vanno letti come previsioni della teoria. Uno stato cinematico non individua una condizione perma-nente del sistema che determina statisticamente l’esito di misure future, ma descrive il possibile esito di una misura completa del sistema: i valori medi delle varie osservabili parziali e le loro incertezze codificano le informazioni che si acquisiscono nel corso di tale processo. Dire che su uno stato gaussiano ψ_X

α,πβ,σβ il valore medio di Xν `e Xν e la sua incertezza `e ∆Xν significa dire che la misura completa che produce ψXα,πβ,σβ permette di localizzare la particella in un intorno di Xν di ampiezza ∆Xν. Allo stesso modo, la

misura fornisce pi`u o meno informazioni anche su tutte le altre osservabili parziali, dal set completo di variabili compatibili che la identifica, a cui assegna valori perfettamente definiti, ad altre variabili su cui non permette di dire assolutamente nulla. Valori medi e incertezze sugli stati cinematici devono sempre essere interpretati in queso senso. L’u-suale interpretazione probabilistica si applica unicamente ai valori di aspettazione delle osservabili sullo spazio di Hilbert dinamico.

2.3 Fuzzy points e simmetrie

Ad ogni gruppo di simmetria di una teoria classica corrisponde un gruppo di trasformazio-ni geometriche dello spazio delle fasi, che identifica un gruppo di osservatori fisicamente equivalenti. Osservatori diversi vedono lo stesso insieme di stati cinematici, ma asse-gnano ad ogni punto dello spazio delle fasi valori diversi delle coordinate e dei momenti coniugati. L’esistenza di osservatori equivalenti e le relazioni tra i risultati delle rispet-tive operazioni di misura sono le conseguenze fisiche, sperimentalmente verificabili delle simmetrie algebriche delle variabili, oggetti astratti inaccessibili all’osservazione diretta.

Analogamente, in una teoria quantistica, le simmetrie di Wigner dell’algebra delle variabili inducono trasformazioni geometriche sullo spazio di Hilbert cinematico. Osser-vatori diversi vedono lo stesso insieme di stati cinematici, ma assegnano ad ogni fuzzy point valori medi e incertezze differenti. Le traslazioni e le trasformazioni di Lorentz sono simmetrie di Wigner dell’algebra delle variabili V0 e si manifestano dunque come

trasformazioni geometriche di K0. Nel resto di questo paragrafo si studier`a l’effetto di

tali simmetrie sui fuzzy points gaussiani ψ_X_α_,π β,σβ. Sotto traslazione i valori medi su ψ_X

(27)

corrispon-denti variabili, mentre le relative incertezze rimangono inalterate. Si ha infatti hτε(πµ)i = hπµi = πµ (2.23) ∆τε(πµ) = q π2 µ − hπµi 2 = ∆πµ (2.24) hτε(Xν)i = hXνi − εν = Xν− εν (2.25) ∆τε(Xν) = q (Xν− εν)2 − (Xν − εν)2 = = q hX2 νi − hXνi2 = ∆Xν. (2.26)

Anche le simmetrie di Lorentz trasformano i valori medi come le relative variabili:

hβΛ(πµ)i = Λµρhπρi = Λµρπρ (2.27)

hβΛ(Xν)i = ΛνρhXρi = ΛνρXρ. (2.28)

Tuttavia, contrariamente alle traslazioni, agiscono in modo non banale sulle incertezze. Poich´e βΛ(πµ)2 = Λ_µρΛ_µσhπρπσi = (Λµρπρ)2+ (Λµρ) 2_σ2 ρ (2.29) βΛ(Xν)2 = Λ_νρΛ_νσhXρXσi = (Λνρ) 2 1 4σ2 ρ + (Λ_νρXρ)2, (2.30) si ottiene infatti ∆βΛ(πµ) = q hβΛ(πµ)2i − hβΛ(πµ)i 2 = q (Λµρ)2σ2ρ= = q (Λµρ)2(∆πρ)2 (2.31) ∆βΛ(Xν) = q hβΛ(Xν)2i − hβΛ(Xν)i2 = s (Λνρ)2 1 4σ2 ρ = = q (Λνρ)2(∆Xρ)2. (2.32)

Con l’analisi delle proprietà di trasformazione dei fuzzy points lo studio della cine-matica del sistema può considerarsi completo. Nei prossimi paragrafi l’imposizione del vincolo hamiltoniano permetterà di ricavarne la dinamica.

2.4 Algebra delle osservabili

Perch´e le traslazioni e le trasformazioni di Lorentz siano simmetrie del sistema `e necessario che H commuti con i relativi generatori πµ e ηρσ. Se la particella ha massa m, la scelta

ricade naturalmente sulla hamiltoniana classica

H0 = πρπρ− m2. (2.33)

Con la hamiltoniana H0commutano tutte e sole le funzioni di πµe ηρσ, quindi l’algebra

(28)

Non tutti i generatori del gruppo di Poincar´e sono algebricamente indipendenti: si verifica infatti che

ηij = π−10 {(Xiπ0− X0πi)πj − (Xjπ0− X0πj)πi} = π0−1(ηi0πj− ηj0πi). (2.34)

Inoltre, dopo aver imposto il vincolo H0 = 0, l’energia π0 diventa una funzione degli

impulsi πi. Di conseguenza l’algebra O0`e generata da 2n osservabili πi e ηi0che soddisfano

le regole di commutazione

[πi, πj] = 0 (2.35)

[πi, ηj0] = [πi, Xjπ0− X0πj] = igijπ0 (2.36)

[ηi0, ηj0] = [Xiπ0− X0πi, Xjπ0− X0πj] = − [Xiπ0, X0πj] − [X0πi, Xjπ0] =

= [π0, X0] (Xjπi− Xiπj) + X0([πj, Xi] − [πi, Xj])π0 = iηji. (2.37)

L’interpretazione fisica delle osservabili πµ `e immediata: rappresentano misure di

qua-drimpulso. In questo caso non è necessario specificare il valore assunto da altre variabili perché l’esito della misura di una costante del moto come l’energia o l’impulso non dipen-de dai risultati di eventuali misure compatibili effettuate simultaneamente. Il significato fisico di ηρσ, al contrario, non è affatto evidente. Per completare il quadro conviene

dun-que individuare opportune funzioni di πµe ηρσche si possano interpretare come osservabili

complete della forma Xν(Xα).

Le variabili Aν|α = 1 2(π −1 α ηνα+ ηναπ−1α ) = Xν − 1 2π −1 α πν, Xα (2.38) sono autoaggiunte, commutano con la hamiltoniana H0 e si riducono a Xν ponendo

Xα = 0. `E dunque naturale identificare Aν|α con le osservabili Xν(Xα = 0). Questa

interpretazione `e corroborata dalle propriet`a di commutazione di Aν|α. Se ν, λ 6= α si ha

πλ, Aν|α = πλ, Xν− 1 2π −1 α πν, Xα = igλν (2.39) πα, Aν|α = πα, Xν − 1 2π −1 α πν, Xα = −1 2π −1 α πν, [πα, Xα] = = −igααπα−1πν (2.40) Aν|α, Aλ|α = Xν − 1 2π −1 α πν, Xα , Xλ− 1 2π −1 α πλ, Xα = = −1 2π −1 α [πν, Xλ] , Xα − 1 2π −1 α [Xν, πλ] , Xα = 0. (2.41)

Le osservabili Aν|αcommutano dunque con le altre Aλ|αe con tutti i πµ ad eccezione di πν

e πα. Le osservabili complete Xν(Xα = 0) devono avere precisamente queste propriet`a:

insieme a Xν e Xα, infatti, `e possibile misurare tutte le altre coordinate Xλ e tutti i

momenti πµ ad eccezione di πν e πα. Per ottenere Xν(Xα) con Xα 6= 0 `e sufficiente

applicare a Aν|α la traslazione che manda Xα in Xα− Xα. Ricordando che πα genera le

traslazioni della coordinata Xα, si trova

Xν(Xα) = Xν − 1 2π −1 α πν, Xα− Xα = eiX α πα_A ν|αe−iX α πα_. _(2.42)

(29)

Fissata una coordinata Xα, le 2n osservabili πν e Aν|αcon ν 6= α generano l’algebra O0.

Il vincolo hamiltoniano, infatti, permette di esprimere πα in funzione degli altri momenti

e combinando πµ e Aν|α `e possibile ottenere tutti gli ηρσ. Prendendo come coordinata

di riferimento Xα = X0, si ha che O0 `e generata dalle osservabili πi e Ai|0 = Xi(0)

e coincide quindi con l’usuale algebra di Heisenberg. Per ottenere Xi(t) `e sufficiente

effettuare un’opportuna traslazione temporale generata da π0:

Xi(t) = eitπ0Ai|0e−itπ0. (2.43)

Questo semplice esempio conferma quanto sostenuto in generale nel primo capitolo. Nel contesto relazionale l’imposizione del vincolo hamiltoniano sull’insieme delle variabili produce la stessa algebra delle osservabili che viene postulata nella meccanica quanti-stica tradizionale. Le propriet`a di O0, invece di essere date a priori, vengono ricavate

dinamicamente dalla struttura algebrica dell’insieme delle variabili V0. Inoltre `e possibile

individuare e trattare simmetricamente tutte le osservabili complete Xν(Xα), senza dover

assegnare un ruolo speciale a quelle della forma Xi(t).

2.5 Spazio di Hilbert dinamico

Per ottenere gli stati dinamici del sistema `e necessario introdurre su K0 il prodotto scalare

modificato h·|·i_H

0. Sullo spazio cinematico la hamiltoniana H0 `e rappresentata dalla mol-tiplicazione per πρπρ− m2, quindi il nuovo prodotto, imponendo la positivit`a dell’energia

π0, `e dato da hψ1|ψ2i_H₀ = Z ψ₁(πρ)ψ2(πρ)δ(πρπρ− m2)Θ(π0)dπ0dnπ = = Z dnπ 2Π0 ψ₁(Π0, πj)ψ2(Π0, πj), (2.44) dove Π0(πj) = s m2₊X k π2 k. (2.45)

Lo spazio di Hilbert dinamico `e dunque isomorfo allo spazio D0 delle funzioni di n variabili

πj con prodotto scalare

hΨ1|Ψ2i =

Z _dn_π

2Π0

Ψ1(πj)Ψ2(πj). (2.46)

Se una misura completa trova il sistema nello stato cinematico ψ(π0, πj) ∈ K0, la sua

evoluzione dinamica `e codificata nello stato dinamico ψ(Π0(πj), πj) ∈ D0.

La rappresentazione su K0 delle variabili che commutano con H0 induce naturalmente

una rappresentazione delle corrispondenti osservabili complete sullo spazio di Hilbert dinamico D0. Gli impulsi πi agiscono sugli stati cinematici come la moltiplicazione per

(30)

generici stati cinematici e Ψ1 e Ψ2 i relativi stati dinamici si ha inoltre ψ1|Ai|0|ψ2 H0 = Z ψ₁(πρ) i ∂ ∂πi − 1 2 π_i π0 , −i ∂ ∂π0 ψ2(πρ)δ(H0)Θ(π0)dπ0dnπ = = Z ψ₁(πρ) i ∂ ∂πi + iπi π0 ∂ ∂π0 − i 2 πi π2 0 ψ2(πρ)δ(H0)Θ(π0)dπ0dnπ = = Z dnπ 2Π0 ψ₁(Π0, πj) i ∂ ∂πi + i∂Π0 ∂πi ∂ ∂π0 − i 2 πi Π2 0 ψ2(Π0, πj) = = Z dnπ 2Π0 Ψ1(πj) i d dπi − i 2 πi Π2 0 Ψ2(πj). (2.47)

Anche le osservabili Ai|0, dunque, sono rappresentate da ben definiti operatori sullo spazio

dinamico D0, nella fattispecie1

i d dπi − i 2 πi Π2 0 . (2.48)

Poich´e tutti gli elementi dell’algebra delle osservabili si possono esprimere in funzione di πi

e Ai|0, si pu`o concludere che ad ogni osservabile O ∈ O0corrisponde un operatore definito

sullo spazio D0 degli stati dinamici. La rappresentazione dell’algebra delle osservabili

ottenuta in questo modo è equivalente alla rappresentazione di Schrödinger dell’approccio tradizionale. La sua derivazione nel contesto relazionale, tuttavia, ne rivela il nesso con la soggiacente rappresentazione delle variabili e permette di associare naturalmente ad ogni misura completa del sistema, cioè ad ogni stato cinematico, la relativa evoluzione dinamica.

Noto lo stato dinamico Ψ del sistema, tutte le previsioni della teoria sono contenute nei valori di aspettazione hΨ|O|Ψi degli operatori autoaggiunti O ∈ O0. In particolare

misurando ripetutamente l’impulso πi sullo stesso stato Ψ ∈ D0ci si aspetta che i risultati

siano distribuiti intorno a hΨ|πi|Ψi con un’incertezza data da

∆πi = q hΨ|π2 i|Ψi − hΨ|πi|Ψi 2 . (2.49)

Analogamente, selezionando tra molte misure simultanee di X0e Xi quelle per cui X0 = 0,

ci si aspetta di trovare i valori di Xi distribuiti intorno a Ψ|Ai|0|Ψ con un’incertezza

pari a

∆Ai|0 =

r D

Ψ|A2_i|0|ΨE−Ψ|Ai|0|Ψ

2

. (2.50)

Nel prossimo paragrafo si determineranno esplicitamente valori medi e incertezze associati ad un particolare insieme di stati dinamici.

2.6 Fuzzy motions

A livello classico ogni punto dello spazio delle fasi, individua univocamente un moto del sistema, ovvero una curva nello spazio delle fasi che soddisfa le equazioni di Hamilton. A livello quantistico ogni stato cinematico localizzato intorno a un punto dello spazio delle

(31)

fasi, ovvero ogni fuzzy point, individua univocamente uno stato dinamico che per analogia verr`a chiamato fuzzy motion. Ai fuzzy points gaussiani

ψ_X_α_,π β,σβ(πρ) = e iXαπα Y β s 1 √ 2πσβ e −(πβ −πβ ) 2 4σ2 β ! (2.51)

analizzati in precedenza corrispondono fuzzy motions della forma

Ψ_X_α_,π β,σβ(πj) = N e iX0Π0_e− (Π0−π0)2 4σ2 0 Y k e−iXkπk_e− (πk−πk)2 4σ2 k . (2.52)

Nel seguito si calcoleranno valori di aspettazione e incertezze delle osservabili πie Ai|0sugli

stati dinamici Ψ_X_α_,π

β,σβ e si confronteranno i risultati con quelli ottenuti nel paragrafo 2.2 sullo spazio cinematico.

Prima di procedere conviene fare una semplificazione e assumere σk σ0, πi. In

questo modo il calcolo di integrali della forma Z _dn_π

2Π0

f (πj)ΨXα,πβ,σβ(πj)ΨXα,πβ,σβ(πj) (2.53) si pu`o ridurre a una semplice integrazione gaussiana. Ad esempio, per normalizzare gli stati Ψ_X_α_,π β,σβ `e necessario calcolare 1 N2 = Z _dn_π 2Π0 e− (Π0−π0)2 2σ2 0 Y k e− (πk−πk)2 2σ2 k . (2.54)

L’integrale sarebbe complicato dalla presenza del radicale Π0(πj), ma poich´e σj σ0

si pu`o sviluppare l’esponente al secondo ordine intorno al suo massimo ottenendo una buona approssimazione del risultato. Il gradiente dell’esponente `e

−Π0− π0 σ2 0 πi Π0 − πi− πi σ2 i (2.55) e al primo ordine in σ2 i/σ20 si annulla per πi = πi 1 −σ 2 i σ2 0 1 − π0 Π0(πj) = p_i. (2.56)

Sempre al primo ordine in σ2_i/σ₀2, la matrice delle derivate seconde in πi = pi vale

− 1 σ2 i + 1 σ2 0 1 − π0 Π0(πj) δij − 1 σ2 0 π0 Π3 0(πj) πiπj. (2.57)

Trascurando i termini non diagonali e ponendo 1 ξ2 i = 1 σ2 i + 1 σ2 0 1 − π0 Π0(πj) + π0 Π0(πj) π2 i Π2 0(πj) , (2.58)

(32)

si pu`o quindi approssimare l’integrale (2.54) con Z _dn_π 2Π0 e− (p0−π0)2 2σ2 0 Y k e− (pk−πk)2 2σ2 k e −(πk−pk)2 2ξ2 k , (2.59)

dove si è posto per comodità p₀ = Π0(pj). Poiché σk πisi ha ξk pi, quindi è possibile

valutare il fattore 1/2Π0 in πi = pi e portarlo fuori dall’integrale, ottenendo infine

1 N2 ≈ e −(p0−π0) 2σ2 0 Z _dn_π 2Π0 Y k e− (pk−πk)2 2σ2 k e −(πk−pk)2 2ξ2 k ≈ e− (p0−π0) 2σ2 0 2p₀ Y k e− (pk−πk)2 2σ2 k √ 2πξk. (2.60)

Calcolando in approssimazione gaussiana i valori di aspettazione di πi e Ai|0 su

Ψ_X_α_,π β,σβ si trova hπii = Z _dn_π 2Π0 πiΨXα,πβ,σβ(πj)ΨXα,πβ,σβ(πj) ≈ pi (2.61) Ai|0 = Z dnπ 2Π0 Ψ_X_α_,π β,σβ(πj) i d dπi − i 2 πi Π2 0 Ψ_X_α_,π β,σβ(πj) = = Z dnπ 2Π0 Xi− πi Π0 X0 − i 2 πi Π2 0 Ψ_X_α_,π β,σβ(πj)ΨXα,πβ,σβ(πj) + + i 2 Z _dn_π 2Π0 d dπi " N2e− (Π0−π0)2 2σ2 0 Y k e− (πk−πk)2 2σ2 k # = = Z _dn_π 2Π0 Xi− πi Π0 X0 Ψ_X α,πβ,σβ(πj)ΨXα,πβ,σβ(πj) + + i 2 Z dnπ d dπi   N 2e −(Π0−π0)2 2σ2 0 2Π0 Y k e− (πk−πk)2 2σ2 k   ≈ Xi− p_i p₀X0. (2.62) Poich´e hπiπli = Z dnπ 2Π0 πiπlΨXα,πβ,σβ(πj)ΨXα,πβ,σβ(πj) ≈ pipl+ ξ 2 lδil (2.63)

l’incertezza sugli impulsi πi `e data da

∆πi =

q hπ2

ii − hπii2 ≈ ξi. (2.64)

Per quanto riguarda Ai|0 si ha invece

A2 i|0 = A∗_i|0Ai|0 = Z _dn_π 2Π0 i d dπi − i 2 πi Π2₀ Ψ_X α,πβ,σβ (πj) 2 = = Z _dn_π 2Π0 Xi− πi Π0 X0− i Π0− π0 2σ2 0 πi Π0 − iπi− πi 2σ2 i − i 2 πi Π2 0 Ψ_X α,πβ,σβ(πj) 2 = = Z _dn_π 2Π0 Xi− πi Π0 X0 2 Ψ_X α,πβ,σβ(πj)ΨXα,πβ,σβ(πj) + + 1 4 Z _dn_π 2Π0 Π0− π0 σ2 0 πi Π0 + πi− πi σ2 i + πi Π2 0 2" N2e− (Π0−π0)2 2σ2 0 Y k e− (πk−πk)2 2σ2 k # .

(33)

Integrando per parti e ricordando la definizione (2.58) si trova 1 4 Z dnπ 2Π0 Π0− π0 σ2 0 πi Π0 + πi− πi σ2 i + πi Π2 0 2" N2e− (Π0−π0)2 2σ2₀ Y k e− (πk−πk)2 2σ2 k # = = −1 4 Z dnπ Π0− π0 σ2 0 πi Π0 +πi− πi σ2 i + πi Π2 0 d dπi   N 2e −(Π0−π0)2 2σ2₀ 2Π0 Y k e− (πk−πk)2 2σ2 k   = = 1 4 Z dn_π 2Π0 Ψ_X_α_,π β,σβ(πj)ΨXα,πβ,σβ(πj) d dπi π_i− πi σ2 i +Π0 − π0 σ2 0 πi Π0 + πi Π2 0 = = 1 4 Z _dn_π 2Π0 1 σ2 i + 1 σ2 0 1 − π0 Π0 + π0 Π0 π2 i Π2 0 + 1 Π2 0 1 − 2π 2 i Π2 0 ΨXα,πβ,σβ(πj) 2 ≈ ≈ 1 4σ2 i 1 + σ 2 i σ2 0 1 − π0 p₀ + π0 p₀ p2_i p2 0 +σ 2 i p2 0 1 − 2p 2 i p2 0 ≈ 1 4ξ2 i , da cui A2 i|0 = Z dn_π 2Π0 Xi− πi Π0 X0 2 Ψ_X α,πβ,σβ(πj)ΨXα,πβ,σβ(πj) + + 1 4 Z _dn_π 2Π0 Π0− π0 σ2 0 πi Π0 + πi− πi σ2 i + πi Π2 0 2" N2e− (Π0−π0)2 2σ2 0 Y k e− (πk−πk)2 2σ2 k # ≈ ≈ Xi− p_i p₀X0 2 + 1 4ξ2 i . (2.65)

L’incertezza su Ai|0 `e dunque data da

∆Ai|0 = r D A2 i|0 E −Ai|0 2 ≈ 1 2ξi . (2.66)

Le incertezze statistiche associate alle osservabili πi e Ai|0 sui fuzzy motions ΨXα,πβ,σβ soddisfano la condizione

∆πi∆Ai|0 ≈

1

2. (2.67)

Questa relazione è strettamente legata al principio di indeterminazione di Heisenberg, ma ha una diversa interpretazione fisica. Nel paragrafo 2.2 si è dimostrato che una misura completa del sistema non può determinarne simultaneamente posizione spaziotemporale e quadrimpulso con arbitraria precisione: al massimo può confinarlo in una regione piccola ma finita dello spazio delle fasi. La (2.67) è una proposizione di natura diversa, poiché si riferisce all’esito di due misure incompatibili effettuate sullo stesso stato dinamico. Sul fuzzy motion Ψ_X

α,πβ,σβ si pu`o decidere di misurare πi oppure le coordinate X0 e Xi, ma non si possono fare entrambe le cose insieme. Se si misura πi, la distribuzione dei

risultati ha una larghezza pari a ∆πi. Se invece si misurano X0 e Xi trovando X0 = 0,

i risultati per Xi si distribuiscono in un intervallo di ampiezza ∆Ai|0. Il principio di

indeterminazione non permette di dire nulla sulle due quantit`a ∆πi e ∆Ai|0. La (2.67),

(34)

possono essere entrambe arbitrariamente piccole. Nella formulazione tradizionale della meccanica quantistica le due asserzioni tendono a essere confuse: solitamente si d`a il nome di principio di indeterminazione di Heisenberg alla (2.67), anche se a parole si dice che `e impossibile determinare simultaneamente una coordinata spaziale e l’impulso coniugato con arbitraria precisione. L’approccio relazionale, distinguendo attentamente tra livello cinematico e dinamico, permette di enunciare e derivare rigorosamente entrambe.