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Geometria piana e calcolo vettoriale
Lorenzo Meneghini
Introduzione
Mantenere concentrata una classe di ventisette alunni piuttosto vivaci nell'ora successiva ad una verifica non è sempre uno scherzo. Per questo, nel mese di maggio 2017, mentre i ragazzi svolgevano la prova di Fisica ho ideato l'attività che sto per presentare. L'attività si è svolta in circa un'ora di lezione, in una classe prima di Liceo Scientifico delle Scienze Applicate. In questo momento dell'anno, gli studenti sanno risolvere equazioni lineari e conoscono i parallelo-grammi e le coordinate cartesiane dei punti del piano; hanno raggiunto, inoltre, una certa familiarità con i primi elementi di calcolo vettoriale (somma, differen-za, multiplo e componenti di un vettore), introdotti durante le ore di Fisica. Le Indicazioni Nazionali ci invitano, infatti, ad introdurre i primi elementi di calcolo vettoriale anche in Matematica nel corso del biennio; questo può aiutare a ge-stire meglio i problemi di geometria analitica dello spazio, recentemente intro-dotti nei temi d'esame. La lezione si è sviluppata in modalità brain storming e vi ha partecipato, in modo entusiastico, l'intera classe. Durante la discussione i ragazzi sono stati invitati a recarsi alla LIM per presentare le loro idee; il mio ruolo è stato quello di mantenere il filo logico del discorso, stimolandolo con domande opportune, e riscrivere, poi, in modo ordinato quanto emerso dalla discussione. Per motivi di privacy, trattandosi di studenti minorenni, in questo lavoro non compaiono foto dei ragazzi ed i nomi che compaiono sono "di fanta-sia".
1. Traslazione di un punto con un vettore
Partendo dal concetto di spostamento, già introdotto in Fisica, abbiamo osser-vato che i vettori possono essere utilizzati per realizzare traslazioni nel piano. Enrico ha osservato che per traslare il punto A con il vettore v basta considera-re il vettoconsidera-re OA e calcolare la somma tra i vettori con il metodo del parallelo-gramma. Il quarto vertice del parallelogramma (fig. 1a) è il punto A' ottenuto dalla traslazione di A. Ritengo utile osservare che gli studenti sono stati abitua-ti, durante le ore di Fisica, ad utilizzare la notazione "in colonna" per indicare le
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componenti dei vettori perché risulta più comoda per calcolare somme e diffe-renze.
(a) (b)
Fig. 1 – (a) Traslazione di un punto mediante un vettore. (b) Scrittura vettoriale di una retta
A questo punto ho chiesto di costruire uno slider (fig. 1b) per vedere cosa ac-cade se si effettua una traslazione del punto A con un multiplo del vettore v; ho chiesto di lasciar visibile la traccia del punto e di attivare l'animazione.
Gioele, uscito per aiutarmi, ha notato che i punti ottenuti erano tutti allineati ed ha osservato che il vettore v è quello che "dà la direzione alla retta".
È stato facile convincersi che si può costruire una scrittura vettoriale di una cer-ta retcer-ta pensando di traslare uno qualsiasi dei suoi punti con un multiplo qual-siasi del vettore v, direzione della retta:
P Akv
È utile sottolineare come sia uscita in modo del tutto naturale la rappresenta-zione vettoriale della retta, utilizzabile anche nello spazio tridimensionale. Di questo passo gli studenti saranno già abituati ad utilizzarla quando la ritrove-ranno nel corso del triennio per la risoluzione di geometria analitica dello spa-zio.
2. Simmetria centrale
Dopo aver introdotto velocemente la definizione di simmetria centrale abbia-mo cercato di capire come calcolare le coordinate del simmetrico del punto P rispetto a C (fig. 2a).
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(a) (b)
Fig. 2 – Simmetria centrale di centro C, procedure diverse a confronto
Francesca ha proposto di considerare l'opposto del vettore 1
3 vCP e di utilizzarlo per traslare il punto C
2, 1
. In tal modo otteniamo il punto
' 1,4
P , simmetrico di P
3, 2
rispetto a C.Durante la discussione, Nicola ha proposto un'idea alternativa (fig. 2b): utilizza-re il vettoutilizza-re 2 2
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CP
per traslare il punto P, ottenendo ancora una volta il punto P'.
Le due procedure sono entrambe interessanti e consentono di trovare corret-tamente la soluzione del problema proposto. Nei minuti successivi, ho provato a far riflettere i ragazzi sulla domanda: Una simmetria centrale sposta tutti i
punti del piano o c'è qualche punto che non si muove?
Patrik ha osservato che il centro di simmetria non si muove né con l'uno né con l'altro metodo, poiché il vettore CC' è il vettore nullo. È stato possibile, così, introdurre informalmente il concetto di punto unito di una trasformazione. Daniela ha notato anche che la retta CP e la retta CP' coincidono poiché C è il punto medio del segmento PP', "scoprendo" l'esistenza delle rette unite. Ab-biamo osservato anche che, se una retta r non passa per C allora non coincide con la sua trasformata r' dal momento che, fissati due punti A e B su r, i loro simmetrici A' e B' rispetto a C formano con A e B un parallelogramma non de-genere.
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3. Suddivisione di un segmento in un dato rapporto
Utilizzando il calcolo vettoriale si riesce anche a determinare il punto P che suddivide il segmento AB in due parti che stiano tra loro come m sta a n, senza ricorrere alla formula
2 1 2 1 mx nx x m n my ny y m n (1)
che, personalmente, ho sempre trovato difficile da memorizzare. Consideriamo i punti A
2, 1
e 3,32 B
e cerchiamo le coordinate del punto
P tale che AP PB : 3 : 2.
Fig. 3 – Suddivisione di un segmento in un dato rapporto
Giovanni ha notato che dalla proporzione precedente si ricava 3PB=2AP, e che la stessa relazione deve valere per i vettori PB e AP. Dall'equazione vettoriale
3PB2AP
ricaviamo la coppia di equazioni 9 3 x2x4 e 9 3 2 2
2 y y , tra loro
indi-pendenti, che consentono di ricavare le coordinate del punto 1,1 2 P
.
Come si vede, la procedura si applica in modo abbastanza semplice senza far ri-ferimento alcuno né alla (1) né alla risoluzione di sistemi lineari, che i ragazzi non avevano ancora affrontato.
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Si può notare, inoltre, come sia possibile ottenere facilmente le coordinate del punto medio di un segmento applicando questa procedura; basta infatti che
1 mn .
4. Quarto vertice di un parallelogramma
Come trovare il quarto vertice di un parallelogramma quando se ne conoscano i primi tre? Chiaramente si può utilizzare il fatto che le diagonali di un parallelo-gramma hanno lo stesso punto medio, ma se vogliamo utilizzare il calcolo vet-toriale possiamo procedere anche in modo diverso.
Se A
3, 2
, B
2, 1
e C
1, 1
, supponiamo di voler trovare il punto D ta-le che ABDC sia un paralta-lelogramma.(a) (b)
Fig. 4 – Determinazione del quarto vertice di un parallelogramma, procedure diverse a confronto
Ricordando il metodo del parallelogramma per la somma di due vettori, Nicola
ha proposto di calcolare il vettore somma 5
6
s AB AC
e di traslare, poi, il punto A con il vettore s (fig. 4a).
Lisa, invece, ha osservato (fig. 4b) che può essere sufficiente traslare il punto B
mediante il vettore 1
4
AC
ottenendo ancora una volta il punto D
3,3
.5. Le motivazioni di una scelta
L'entrata in vigore delle Indicazioni Nazionali ed i quesiti di geometria analitica dello spazio somministrati nelle prove d'esame ci hanno posto di fronte all'esi-genza di introdurre alcuni elementi di calcolo vettoriale per rendere agevole la
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risoluzione di quesiti che, in Italia, non hanno una tradizione consolidata come ad esempio in Francia o in Svizzera1.
In questi anni ho notato che l'uso dei vettori per risolvere problemi geometrici è tanto meglio assimilabile dagli studenti quanto prima viene proposto. Per questo ho deciso di iniziare – anche solo estemporaneamente – a lavorarci fin dal primo anno del percorso liceale, per poi consolidarne l'uso poco alla volta negli anni successivi finchè – come accade in altri Paesi europei – gli studenti non giungano a trovarlo "naturale".
Già nel corso del secondo anno, l'introduzione del prodotto scalare potrà con-sentirci di calcolare il lavoro di una forza, ma anche l'angolo tra due vettori, op-pure di stabilire se due dati vettori siano ortogonali tra loro, aprendo la strada ad una nuova serie di problemi geometrici che integrino la geometria sintetica e quella analitica.
6. Il coinvolgimento degli studenti nell'attività proposta
Gli studenti cui ho proposto questa attività sono, come ho già affermato, piut-tosto vivaci, ma a questa vivacità corrisponde anche un certo entusiasmo nell'accogliere proposte che – come in questo caso – hanno il sapore della spe-rimentazione didattica, che non si trovano già scritte nel libro di testo.
Anche in questa occasione i ragazzi hanno partecipato costruttivamente al dia-logo, proponendo ipotesi di strategie risolutive alle questioni che ho sottoposto loro e costringendomi a riorganizzare le idee in fretta, perché ciascuno aveva un contributo da dare al discorso, ed il tempo non sembrava sufficiente.
L'attività, come si può immaginare da quanto ho cercato di esporre, è stata molto frenetica. Una volta che lo studente aveva esposto le sue idee, cercava-mo assieme di riorganizzarle e di scrivere sulla LIM qualche appunto che ci con-sentisse di sintetizzare la procedura per ricordarla meglio.
In questa fase ho chiesto ai ragazzi di fotografare il contenuto della LIM con lo smartphone prima di tornare al posto e di mandarmi la foto via mail, in modo da conservarne la testimonianza. Le immagini che ho inserito in queste note sono state rielaborate partendo dalle foto scattate quel giorno.
7. I risultati in termini di apprendimento
Nei giorni successivi, ho provato a spezzare il ritmo della lezione – quando no-tavo segnali di calo d'attenzione – lanciando qualche quesito che si potesse
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solvere utilizzando i vettori, per vedere cos'era rimasto di quella lezione e-stemporanea.
Negli ultimi giorni di scuola ho anche somministrato un piccolo test, composto da tre domande più o meno articolate, per analizzare in modo più dettagliato la "sedimentazione" dei concetti sviluppati assieme durante quella discussione collettiva. Il test è durato una ventina di minuti ed ha avuto risultati decisamen-te positivi, se si pensa che è stato somministrato "a cavallo" tra un'ora di Ma-tematica ed una di Fisica, senza esser stato preannunciato.
Oltre la metà degli studenti presenti quel giorno ha fornito la risposta corretta a tutte le domande del test, anche se in alcuni casi la formalizzazione non è sta-ta proprio ineccepibile. Alla prima domanda (fig. 5), ad esempio, hanno risposto in maniera sostanzialmente corretta sedici studenti sui ventiquattro presenti.
Fig. 5 – Domanda 1; esempio di risposta corretta.
Le risposte corrette al secondo quesito sono state addirittura venti su venti-quattro. In fig. 6 è riportato un esempio di risposta corretta, nella quale è svi-luppata un'idea interessante, anche se non formalizzata in modo del tutto sod-disfacente:
Fig. 6 – Domanda 2 con esempio di risposta.
Il terzo quesito, di cui presentiamo testo e risposta (fig. 7), è più complesso ed articolato ed è stato risolto in modo accettabile da solo tredici allievi su venti-quattro.
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Fig. 7 – Domanda 3 con esempio di risposta corretta.
È interessante sottolineare, a questo proposito, che quest'ultimo quesito è sta-to ottenusta-to rielaborando (e scrivendo in un linguaggio più abituale ai ragazzi del primo anno del liceo) una domanda assegnata nel 2013 agli esami BAC in Romania2. Proprio per questo ritengo che i risultati ottenuti dagli alunni in ter-mini di apprendimento possano dirsi soddisfacenti, se si considera che oltre la metà di loro sono riusciti a rispondere correttamente ad un quesito assegnato in un esame conclusivo di un percorso di studi scientifici in un paese comunita-rio.
Conclusioni e rilanci
Come emerge da queste note, il bilancio dell'attività svolta può certamente dir-si podir-sitivo dir-sia in termini di coinvolgimento degli alunni che in termini di ap-prendimento. L'intenzione è quella di consolidare – come già affermato – l'uso dei vettori sia in Fisica, dove sembra trovare una sua collocazione naturale, che in Matematica, dove può costituire un pretesto per costruire semplici problemi sui sistemi lineari oltre a consentire di risolvere particolari problemi geometrici. L'obiettivo a lungo termine, come dicevo, è quello di far ricorso al calcolo vetto-riale ove questo possa semplificare le procedure risolutive dei problemi di ge-ometria analitica piana, in modo che gli studenti lo facciano proprio e lo utiliz-zino con disinvoltura anche nella soluzione dei quesiti di geometria analitica dello spazio tridimensionale che potrebbero incontrare negli Esami di Stato.
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