Sezioni coniche

(1)

Sezioni coniche

Schemi riassuntivi, definizioni e cenni storici

Docente: Donatiello Angela

(2)

MAPPA DEL MODULO

SEZIONI CONICHE

CONO A DUE FALDE INTERSEZIONI CON PIANI

PARABOLA

(3)

SEZIONI CONICHE

La parabola, la circonferenza, l’ellisse e l’iperbole sono definite coniche, in quanto è possibile ottenerle tagliando una superficie conica a due falde con un piano avente diverse inclinazioni.

(4)

r a





piano

Se allora si avrà una parabola

Se allora si avrà un’ellisse

Se allora si avrà una circonferenza

















 90

r = retta generatrice del cono

a = asse intorno a cui ruota la retta r V = vertice del cono

= angolo di apertura della superficie conica

= angolo di inclinazione del piano





CONO A DUE FALDE E CONICHE

(5)

circonferenza ellisse

iperbole

(6)

Le due specie di coniche meglio visualizzabili sono la circonferenza e l'ellisse, entrambe sono curve chiuse. La circonferenza è un caso particolare di ellisse relativo alla intersezione di un cono circolare retto con un piano perpendicolare al suo asse.

Se si interseca il cono con un piano parallelo a una retta generatrice del cono si ottiene una conica chiamata parabola. Infine una

intersezione con un piano non parallelo ad alcuna retta generatrice che determina una curva aperta fornisce una cosiddetta iperbole; in questo caso il piano interseca entrambe le parti del cono, producendo due curve non connesse.

Vi sono poi casi degeneri ottenuti con un piano che passa per il vertice del cono: si distinguono tre casi:

la figura ottenuta si riduce a un punto;

la figura consiste in una linea retta (una generatice del cono); la figura si riduce a una coppia di rette (due generatrici del cono

(7)

UN PO’ DI STORIA …

http://web.unife.it/altro/tesi/A.Montanari/Apolloni.htm Per maggiori informazioni consulta anche:

Lo studio delle coniche ha origini antichissime. Esse risalgono a Menecmo (350 a.C.) discepolo di Eudosso di Cnido, che scoprì le sezioni coniche nel tentativo di risolvere il problema della duplicazione del cubo, o problema di Delo. Anche Euclide (360-300 a.C.) si interessò alle coniche sulle quali scrisse ben 4 libri andati poi perduti; la trattazione fu poi completata, dal punto di vista teorico da Apollonio di Perga nel famoso trattato 'Le

coniche' (200 a.C.). Si dice che sia stato lo stesso Apollonio ad aver

introdotto i nomi di "ellisse", "parabola", ed "iperbole“ per individuare tali curve. Tali nomi traggono origine dal confronto di due grandezze

caratteristiche di ciascuna curva. Ellisse vuol dire mancanza, iperbole significa "andare oltre", e parabola, "mettere accanto”, “confrontare”.

(8)

CURIOSITA’ … CONICHE ED OMBRE

Se illuminiamo un muro con una torcia elettrica

tenendola perpendicolare alla parete, la parte

illuminata è all'incirca

circolare. Cominciamo ora a inclinare la torcia verso l'alto; il cerchio si deforma e assume una forma

allungata, come un vassoio o uno stadio: è un'ellisse.

(9)

Se continuiamo a inclinare la

torcia, l'ellisse si allunga sempre di più. Mentre una delle

estremità resta davanti a noi, l'altra va via via allontanandosi; se la parete fosse infinita, l'area illuminata diventerebbe sempre più grande, finché per una certa inclinazione della torcia

diventerebbe infinita. La figura così ottenuta è una parabola. Se incliniamo la torcia ancora di più, l'area illuminata aumenta ancora, e assume la figura di un'iperbole.

(10)

Le tre figure che si

ottengono successivamente, o meglio le curve che le

delimitano, prendono il nome comune di sezioni coniche, dato che si ottengono

sezionando un cono (nel

nostro caso il cono della luce proiettata dalla torcia) con un piano (la parete).

Le sezioni coniche si trovano spesso nelle situazioni più comuni: un lume da tavolo disegna sulla parete due iperboli, l'ombra di una palla è un'ellisse, un sasso lanciato da una fionda descrive una parabola. In passato la teoria delle sezioni coniche era essenziale per la costruzione delle