Prove Parziali del Corso di Analisi Matematica 2 a.a. 1991/2017

(1)

Analisi 2 Polo di Savona

Analisi Matematica 2

Prove Parziali

(2)

Analisi 2 Polo di Savona Prima Prova parziale 23/11/2011

Prima Prova parziale 23/11/2011

Si consideri la funzione

f (x, y) =

x − y3 |x| ≤ |y3_| 0 altrove

<A> Determinare il campo di definizione di f e l’insieme su cui f `e continua.

Determinare se f `e differenziabile in (1, 1) ed in caso affermativo scrivere l’equazione del piano tangente al suo grafico in (1, 1).

<C> Determinare se f `e differenziabile in (0, 1) ed in caso affermativo scrivere l’equazione del piano tangente al suo grafico in (0, 1).

<D> Calcolare le derivate direzionali di f in (0, 0).

<E> Determinare massimi e minimi assoluti di f su Q = [0, 1] × [0, 1]. <F> Calcolare R_Qf (x, y)dxdy

<G> Determinare la direzione di massima pendenza per f nel punto (0, 1).

(3)

Analisi 2 Polo di Savona Seconda Prova parziale 17/12/2011

Seconda Prova parziale 17/12/2011

Si consideri

V = {(x, y, z) ∈ R3 : z ≥ 1 − y , z ≤ 2 − y , x ≥ 1 , x ≤ 2 , y ≥ 0 , y ≤ 1}

<A> Calcolare il volume di V

Si considerino due variabili aleatorie indipendenti: ξ con distribuzione triangolare che restituisce numeri in [0, 2] ed ha moda 1/3 ed η uniforme su [1, 3]

Determinare la PDF di ξ , η e ξ + η <C> Calcolare media e varianza di ξ , η e ξ + η

(4)

Prima Prova parziale 04/11/2013

f (x, y) = |(y − sin(x))(y − cos(x))|

Determinare se f `e differenziabile in (1, 1) ed in caso affermativo scrivere l’equazione del piano tangente al suo grafico in (1, 1).

<C> Determinare se f `e differenziabile in (π/4,√2/2) ed in caso affermativo scrivere l’equazione del piano tangente al suo grafico in (π/4,√2/2).

<D> Calcolare le derivate direzionali di f in (π/4,√2/2).

<E> Determinare massimi e minimi assoluti di f su Q = {(x, y) : x ∈ [0, π], y ∈ [0, sin(x)]}. <F> Determinare la direzione di massima pendenza per f nel punto (1, 1).

(5)

Seconda Prova parziale 01/12/2013

<A> Determinare il punto dell’iperbole

x2− y2_{= 1} avente minima distanza dal punto (0, 1)

Calcolare il volume del solido definito da

V = {(x, y, z) ∈ R3 : z ≤ 1

2(x + 1) , z ≥ p

(6)

Seconda Prova parziale 01/12/2013

<A> Determinare il punto dell’iperbole

x2− y2_{= 1} avente minima distanza dal punto (0, 1)

Calcolare il volume del solido definito da

V = {(x, y, z) ∈ R3 : z ≤ 1

2(x + 1) , z ≥ p

x2_{+ y}2_}

(7)

Analisi 2 Polo di Savona Terza Prova parziale 07/01/2014

Terza Prova parziale 07/01/2014

Si consideri la funzione f (x) =    a x4 x > 1 bx + c x ∈ [0, 1] 0 altrove

<A> Determinare a, b, c in modo che f sia la PDF di una variabile aleatoria ξ Determinare a, b, c in modo che la media di ξ sia1

<C> Determinare a, b, c in modo che la varianza di ξ sia 1 <D> Calcolare P (4 ≤ ξ ≤ 5)

(8)

Prima Prova parziale 03/11/2014

f (x, y) =

x2+ y2 |x| + |y| ≤ 1 1 altrove

Determinare se f `e differenziabile in (1/2, 1/3) ed in caso affermativo scrivere l’equazione del piano tangente al suo grafico in (1/2, 1/3).

<C> Determinare se f `e differenziabile in (1, 0) ed in caso affermativo scrivere l’equazione del piano tangente al suo grafico in (1, 0).

<D> Calcolare le derivate direzionali di f in (1, 0).

<E> Determinare la direzione di massima pendenza per f nel punto (1, 0). <F> Determinare massimi e minimi assoluti di f su R2.

(9)

Seconda Prova parziale 12/12/2014

D = {(x, z) ∈ R2 : x2+ z2≤ 1 , x2_{+ z}2_{− 2x ≤ 0}}

<A> Disegnare D ed il trasformato di D mediante il cambio di variabili x = ρ cos θ z = ρ sin θ Calcolare l’aerea di D. <C> Calcolare Z D xdxdz

Si consideri il volume V generato dalla rotazione di D attorno all’asse z <D> Calcolare il volume di V .

(10)

Terza Prova parziale 08/01/2015

Sia ξ una variabiile aleatoria binomiale relativa a n ripetizioni di una prova bernoulliana con probabilit`a di successo p e sia η una variabiile aleatoria binomiale relativa a m ripetizioni di una prova bernoulliana con probabilit`a di successo q

<A> Impostare il calcolo per determinare la PDF di ξ e di η Tenendo conto dell’identit`a di Vandermonde, che afferma che

n + m k = k X j=0 n j _m k − j Determinare, per p = q = 1/2, la PDF di ξ + η ed interpretare il risultato.

Si considerino tre scatole in cui sono contenuti dadi di colore diverso nelle quantit`a che seguono: - I scatola : 8 dadi Neri, 5 dadi Bianchi, 7 dadi Gialli

- II scatola : 13 dadi Neri, 7 dadi Bianchi, - III scatola : 5 dadi Neri, 10 dadi Bianchi;

<C> Si sceglie una scatola e si estrae un dado Bianco; calcolare la probabilit`a che sia stata scelta la scatola I, II, III

<D> Si sceglie una scatola e si estrae un dado Nero; calcolare la probabilit`a che sia stata scelta la scatola I, II, III

<E> Si sceglie una scatola e si estrae un dado Giallo; calcolare la probabilit`a che sia stata scelta la scatola I, II, III

(11)

Prima Prova parziale 03/11/2015

f (x, y) = |1 − x2− y2_|

<A> -[3] Determinare il campo di definizione di f e l’insieme su cui f `e continua.

-[3] Determinare se f `e differenziabile in (0, 1/2) ed in caso affermativo scrivere l’equazione del piano tangente al suo grafico in (0, 1/2).

<C> - [4] Determinare se f `e differenziabile in (1, 0) ed in caso affermativo scrivere l’equazione del piano tangente al suo grafico in (1, 0).

<D> -[6]Calcolare le derivate direzionali di f in (1, 0).

<E> - [5]Determinare la direzione di massima pendenza per f nel punto (1, 0). <F> -[4] Determinare massimi e minimi assoluti di f su R2_.

(12)

Seconda Prova parziale 10/12/2015

Sia

A = {(x, y, z) ∈ R3 : 2 − 2x ≤ z ≤ 2 − x , z ≤ 2 − (x2+ y2)}

<A> -[15] Determinare il volume di A Sia B = {(x, y, z) ∈ R3 : x2+ y2≤ 1 , 2 − 2x ≤ z ≤ 2 − x} -[9] Determinare il volume di B Sia C = {(x, y) ∈ R2 : x2+ y2− x ≥ 0 , : x2_{+ y}2_{− 2x ≤ 0}} <C> -[6] Calcolare Z C 2x − x2− y2_dxdy 12- PrPzAmT.TEX— [PrPzAmT16.TEX]

(13)

Terza Prova parziale 08/01/2016

Sia ξ una variabile aleatoria esponenziale di media λ ed η una variabile aleatoria esponenziale di media µ

<A> -[10] Determinare la PDF della variabile aleatoria x = ξ + η -[8] Determinare la media e la varianza di x

Si supponga di dover raggiungere la localit`a B partendo da A e passando per la localit`a C utilizzando un mezzo di trasporto che collega A con C che prevede 6 partenze da A ogni ora ed un secondo mezzo che collega C con B e prevede 3 partenze ogni ora.

<C> -[2] Calcolare quanto tempo in media si dovr`a aspettare il primo mezzo. <D> -[2] Calcolare quanto tempo in media si dovr`a aspettare il secondo mezzo.

<E> -[4] Calcolare quanto tempo in media si dovr`a aspettare complessivamente. <F> -[4] Calcolare la probabilit`a che l’attesa superi complessivamente 30 minuti.

(14)

Prima Prova parziale 10/11/2016

Si consideri la funzione f (x, y) = 2y3+ 6x2y + 3x2− 3y2 e la figura seguente + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − + + + + + + + + + + +++ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + − − − − − + + − − − − − + + y = −1/2 y = 3/2 x = −1 x = 1 x2+ y2≤ y y =√3/2

2

in cui `e evidenziato il segno che f assume nei punti delle rette y = −1/2, y = 0, y = 3/2 , x = 1, x = −1 e sulla circonferenza di equazione x2+ y2− y = 0

La parte tratteggiata indica l’insieme in cui fx> 0 mentre la parte colorata indica l’insieme in cui fy < 0 <A> -[15] Disegnare l’insieme dei punti del piano tali che f (x, y) = 0

-[10] Verificare le affermazioni descritte nella figura che sono state usate per disegnare l’insieme dei punti del piano tali che f (x, y) = 0

<C> - [2] Determinare se f `e differenziabile in (1, 0) ed in caso affermativo scrivere l’equazione del piano tangente al suo grafico in (1, 0).

<D> -[1] Calcolare le derivate direzionali di f in (0, 0).

<E> - [7] Determinare la direzione di massima pendenza per f nel punto (0, 0).

<F> -[4] Determinare massimi e minimi assoluti di f sul cerchio di equazione x2+ y2− y ≤ 0 <G> -[3] Calcolare se esiste il limx,y)→+∞f (x, y)

<H> -[8] Calcolare le derivate direzionali di g(x, y) = max{f (x, y), 0} in (0, 0).

(15)

Seconda Prova parziale 19/11/2016

y(t) = 2 Z +∞

−∞

e−x2+xtdx

<A> -[4] Calcolare la derivata ˙y(t) di y

-[4] Integrare per parti ˙y ed esprimere ˙y in funzione di y <C> -[4] Determinare y

<D> - [10] Calcolare il volume di

V = {(x, y, z) ∈ R3 : z ≤ 2 − (x2+ y2) , z ≥ x , z ≥ y}

<E> - [12] Calcolare il volume di

V = {(x, y, z) ∈ R3 : z ≤ 2 − (x2+ y2) ≤ 1 , z ≥ x , z ≥ y} <F> - [8] Calcolare l’area di D = {(x, y) ∈ R2 : ρ ≤ θ , : ρ ≤ π − θ} <G> - [8] Calcolare l’area di D = {(x, y) ∈ R2 : ρ ≤ θ , : ρ ≤ π − θ , ρ ≤ 1} <H> - [8] CalcolareR D 1 (√x2_+y2₎αdxdy dove D = {(x, y) ∈ R2 : x2+ y2≤ 1}

(16)

Terza Prova parziale 10/01/2017

Partendo da A si pu`o arrivare in B utilizzando un mezzo di trasporto.

- la frequenza media delle partenze `e una variabile aleatoria con PDF di Poisson di media 6 partenze all’ora.

- il tempo di percorrenza `e dato da una variabile aleatoria triangolare con moda 30 minuti nulla fuori dell’intervallo [28, 32]

<A> -[4] Calcolare il tempo medio di attesa del mezzo -[4] Calcolare il tempo medio di percorrenza.

<C> -[4] Determinare la PDF della variabile aleatoria T che restituisce il tempo di attesa del mezzo. <D> -[4] Determinare la PDF della variabile aleatoria τ che restituisce il tempo di percorrenza.

<E> -[4] Determinare la media del tempo totale necessario per spostarsi da A a B.. <F> -[4] Determinare la varianza del tempo totale necessario per spostarsi da A a B.. <G> -[4] Determinare la PDF del tempo totale necessario per spostarsi da A a B.

(17)

Prima Prova parziale 10/11/2017

f (x, y) = (x2+ y2) arctan(y/x)

<A> -[4] Determinare dove f `e definita e dove `e continua

-[6] Determinare dove f `e differenziabile

<C> -[4] Stabilire se f è prolungabile per continuità in qualche punto in cui non è definita.

<D> - [6] Stabilire se f `e prolungabile in modo che sia differenziabile nell’origine.

<E> -[3] Calcolare le derivate direzionali di f in (0, 0).

(18)

Seconda Prova parziale 30/11/2017

f (x, y) = (x2+ y2)2− 4xy2 e l’insieme dei punti

G = {(x, y) : f (x, y) = 0}

<A> -[3] Determinare i punti di G aventi massima ascissa.

-[3] Determinare i punti di G aventi massima ordinata.

<C> -[3] Determinare i punti di G aventi massima distanza dall’origine.

<D> -[2] Verificare che G `e contenuto del semipiano delle ascisse positive ed `e simmetrico rispetto all’asse x.

<E> - [1] Verificare che f (x, 0) ≥ 0 per ogni x reale.

<F> - [1] Verificare che lim y → +∞f (x, 0) = +∞ per ogni x reale.

<G> - [1] Verificare che f (x,√2x) ≤ 0 0 < x < 1 reale.

<H> - [3] Riportare sul grafico i risultati dei precedenti tre punti

x y

1 16/9

- [3] Calcolare fxe fy e indicare sul grafico l’insieme in cui fxQ 0 e fyQ 0

(19)

Analisi 2 Polo di Savona Seconda Prova parziale 30/11/2017 x y 1 16/9 x y 1 16/9 <J> - [10] Disegnare G y

(20)

Terza Prova parziale 21/12/2017

<A> -[4] Calcolare il volume di

V = {(x, y, z ∈ R3 , 1 ≤ x2+ y2+ z2≤ 4 , z ≥ 0} -[6] Calcolare il volume di V = {(x, y, z ∈ R3 , 1 ≤ x2+ y2+ z2≤ 4 , 1 ≤ z ≤√3} <C> -[7] Calcolare il volume di V = {(x, y, z ∈ R3, 1 ≤ x2+ y2+ z2≤ 4 , 1/2 ≤ z ≤ √ 3 2 } <D> -[8] Calcolare il volume di V = {(x, y, z ∈ R3 , 1 ≤ x2+ y2+ z2≤ 4 , 1/2 ≤ z ≤√3}

<E> -[4] Calcolare il volume di

V = {(x, y, z ∈ R3 , 1 ≤ x2+ y2+ z2≤ 4 , √ 3 3 x ≤ y ≤ √ 3x , z ≥ 0} <F> -[6] Calcolare il volume di V = {(x, y, z ∈ R3 , 1 ≤ x2+ y2+ z2≤ 4 , √ 3 3 p x2_{+ y}2_{≤ z ≤}√₃p_x2_{+ y}2_{, z ≥ 0}} <G> -[8] Calcolare il volume di V = {(x, y, z ∈ R3 , 1 ≤ x2+ y2+ z2≤ 4 , √ 3 3 p x2_{+ y}2_{≤ z ≤}√₃p_x2_{+ y}2 _, √ 3 3 x ≤ y ≤ √ 3x} <H> -[12] Calcolare il volume di V = {(x, y, z ∈ R3 , 1 ≤ x2+ y2+ z2≤ 4 , √ 3 3 p x2_{+ y}2_{≤ z ≤}√₃p_x2_{+ y}2_{, 1 ≤ z ≤}√_3} 20- PrPzAmT.TEX— [PrPzAmT18.TEX]

(21)

Analisi 2 Polo di Savona Quarta Prova parziale 08/01/2018

Quarta Prova parziale 08/01/2018

La taratura di uno strumento richiede un numero n di prove aleatorio distribuito triangolarmente su [1, 5] con moda 4 . Ciascuna prova richiede un tempo di esecuzione t anch’esso aleatorio distribuito triangolarmente su [1, 10] con moda 7

<A> -[5] Determinare media e varianza di n

-[5] Determinare media e varianza di t

<C> -[15] Determinare la distribuzione di Probabilit`a del tempo totale di Taratura T

(22)

Prima Prova parziale 10/11/2018

f (x, y) =min{(y − 1 + x

2_{)(y − x}2_{+ 1), 0}} _, _{|x| < 1} 0 , |x| ≥ 1

<A> -[4] Determinare dove f `e definita e dove `e continua

x y

-[6] Determinare dove f `e differenziabile

x y

<C> -[6] Calcolare le derivate direzionali di f in (1, 0).

<D> -[4] Determinare la direzione di massima pendenza in (1, 0). vspace2cm

<E> - [4] Scrivere l’equazione del piano tangente al grafico di f nel punto (1/2, 0)

<F> -[ 4] Scrivere la forma quadratica Hessiana dif nel punto (1/2, 0).

<G> - [6] Stabilire se f ammette massimi o minimi assoluti.

<H> -[ 6] Stabilire se f ammette massimi o minimi assoluti sulla circonferenza definita da x2+ y2= 1

(23)

Seconda Prova parziale 06/12/2018

Si consideri

D = {(x, y) ∈ R2 : x2+ y2− 2|x| ≤ 0 , x2_{+ y}2_{− 2|y| ≤ 0}}

<A> -[4] Disegnare nel piano D.

-[6] Calcolare l’area di D

<C> -[4] Calcolare

Z

D xdxdy

(24)

<F> -[3] Disegnare la proiezione di V nel piano (z, y).

<G> -[3] Disegnare la proiezione di V nel piano (z, x).

(25)

Analisi 2 Polo di Savona Seconda Prova parziale 06/12/2018 <H> -[4] Calcolare il volume di V integrando per fili paralleli all’asse z

(26)

Terza Prova parziale 10/01/2019

Si consideri un treno che parte da una località A e giunge ad una località B passando per una località intermedia C e si indichino con testa, centro e coda la prima la seconda e la terza parte del treno ciascuna delle quali dispone di 60, 110 e 60 posti a sedere.

Nel percorso tra A e C salgono sul treno 200 passeggeri che scelgono, casualmente, di salire in una delle tre parti e li’ rimangono;

Ciascun passeggero sceglie di salire al Centro con probabilità 1/2 ,di salire in Coda con probabilità 1/4 e di salire in Testa con probabilità 1/4 .

<A> -[6] Qual’ è la probalilità che un passeggero che salga sul treno in località C trovi posto a sedere posto che abbia scelto di salire in Testa, in Centro o in Coda al treno?

-[7] Assumendo che il passeggero salito in C ha trovato posto a sedere , quale e’ la probabilit`a che sia salito in Testa , in Centro oppure in Coda al treno

Sia φ la P DF di una variabile aleatoria ξ che restituisce un valore compreso tra −1 e 1 soddisfacente le seguenti condizioni:

- il grafico di φ `e costituito di due archi di parabola che si annullano, rispettivamente in −1 ed in 1 . - il grafico di φ `e tangente all’asse dell ascisse in 0 ed in 2 .

- φ00(0) = 2a

- il grafico di φ `e una funzione continua. <C> -[4] Determinare φ

<D> -[1] Determinare la media di φ

<E> -[2] Determinare la moda di φ vspace2cm

Si dispone di due dadi a 6 facce uno bianco per il quale la probabilità di uscita di 1, 2, 3, 4, 5, 6 è equiprobabile ed uno nero per il quale l’uscita di un numero pari ha probabilità 1/9 e quella di un numero dispari 2/9

<F> -[3] Si sceglie un dado (con probabilità 1/3 per il bianco e 2/3 per il nero) e si lancia. Qual’è la probabilità di ottenere 5?

<G> -[4] Si sceglie un dado (con probabilità 1/3 per il bianco e 2/3 per il nero) , si lancia e si ottiene 3. Qual’è la probabilità che sia stato scelto il dado bianco?

Sia ξ la somma di due variabili aleatorie geometriche relative a prove bernoulliane con probabilit`a di successo p1 e p2, rispettivamente, e sia qi = 1 − pi per i = 1, 2

<H> -[9]Determinare la PDF di ξ

-[2]Determinare la media di ξ

<J> -[2]Determinare la varianza di ξ