Dipartimento di Ingegneria Civile ed Industriale Corso di Laurea Magistrale in Ingegneria dei Veicoli
TESI DI LAUREA
MODELLAZIONE E PIANIFICAZIONE DELLA
TRAIETTORIA OTTIMA DI UN VEICOLO DA
CORSA A GUIDA AUTONOMA
RELATORI
Prof. Massimo GUIGGIANI Prof. Antonio BICCHI Ing. Danilo CAPORALE
CANDIDATO Andrea CORTI
Il presente lavoro, svolto in collaborazione con il Centro di Ricerca “E. Piaggio” e l’azienda inglese Roborace, ha l’obiettivo di modellare e simulare il comportamento di un veicolo da corsa elettrico a guida autonoma e pianificare le traiettorie da seguire in pista.
Nella prima parte saranno analizzati alcuni modelli matematici di veicolo e, basandosi su telemetrie acquisite sia al simulatore che in pista, ne saranno identificati i parametri per il veicolo in esame.
Una volta completata la caratterizzazione del veicolo sarà condotta un’analisi del suo comportamento stazionario sia secondo le tecniche classiche della dinamica del veicolo che secondo il nuovo approccio globale delle Map of Achievable Performance.
Sarà a questo punto possibile pianificare delle traiettorie che, sfruttando appieno le potenzialità del veicolo, permettano di minimizzare il tempo di percorrenza sul giro di pista. A tal proposito sarà presentato un codice che, a partire dall’immagine della mappa del tracciato, genera una traiettoria a curvatura minima e un profilo di velocità ottimo.
Infine saranno presentati i risultati ottenuti durante le varie sessioni di test su pista in cui è stato possibile verificare la bontà sia del modello di veicolo creato che del codice di generazione di traiettoria e profilo di velocità.
Indice
Riassunto ... 2 Indice ... 3 1 Introduzione ... 7 1.1 Roborace ... 7 1.1.1 Il campionato ... 8 1.1.2 Le vetture ... 8 1.2 Roboteam Italia ... 10 2 Modelli di veicolo ... 11 2.1 Modelli cinematici... 11 2.1.1 Uniciclo ... 12 2.1.2 Biciclo ... 14 2.2 Modelli dinamici ... 16 2.2.1 Dinamica dell’uniciclo ... 17 2.2.2 Punto materiale ... 18 2.2.3 Modello monotraccia ... 18 2.2.4 Modello bitraccia ... 223 Implementazione del modello ... 25
3.2 Implementazione in ambiente Simulink ... 25
3.2.1 Slip angles ... 27
3.2.2 Caratteristiche degli assali ... 27
3.2.3 Comportamento transitorio ... 27
3.2.4 Comportamento combinato ... 28
3.2.5 Limiti dei motori ... 29
3.2.6 Ripartitore ... 30
3.2.7 Dinamica ... 30
3.2.8 Cambio del sistema di riferimento e tracciamento traiettoria... 31
4 Identificazione del modello ... 33
4.1 Filtraggio dati sperimentali ... 33
4.1.1 Scelta del filtro ... 33
4.1.2 Confronto tra filtraggio causale e acausale ... 35
4.2 Identificazione dei parametri ... 36
4.2.1 Raggi di rotolamento delle ruote ... 36
4.2.2 Rapporti di ripartizione forze longitudinali ... 37
4.3 Caratteristiche degli assali ... 38
4.3.1 Prove su piste Formula E ... 38
4.3.2 Prove al simulatore ... 40
4.3.3 Confronto tra i risultati ... 44
5 Analisi della dinamica del veicolo ... 45
5.1 Diagramma di maneggevolezza ... 45
5.1.1 Prove su tracciati Formula E ... 48
5.2 Map of Achievable Performance ... 49
5.2.1 Mappa 𝝆 - 𝜹 ... 50
5.2.2 Mappa 𝜷 - 𝝆 ... 52
5.2.3 Mappa 𝒂̃𝒀 - 𝒖 ... 53
6 Pianificazione traiettoria ... 56
6.1 Mappatura del tracciato ... 56
6.2 Identificazione limiti della pista ... 57
6.3 Ottimizzazione traiettoria ... 59
6.3.1 Importazione e campionamento della traiettoria base ... 59
6.3.2 Vincoli di ottimizzazione ... 61
6.3.3 Criterio di ottimizzazione ... 63
6.3.4 Tempo di calcolo ... 64
7 Pianificazione profilo di velocità ... 66
7.1 Impostazione del problema ... 66
7.2 Vincoli di ottimizzazione ... 67
7.2.1 Accelerazione longitudinale massima ... 68
7.2.2 Accelerazione laterale massima ... 68
7.2.3 Accelerazione combinata ... 68
7.2.4 Limiti dei motori ... 69
7.3 Risultati dell’ottimizzazione ... 69
8 Conclusioni ... 71
8.1 Analisi dei risultati... 71
8.1.1 Validazione del modello ... 71
8.2 Sviluppi futuri ... 75
8.2.1 Modello ... 75
8.2.2 Pianificazione ... 76
1 Introduzione
Negli ultimi anni lo sviluppo dei sistemi di trasporto si è orientato verso la riduzione degli incidenti, dei consumi, dell’inquinamento e dei costi di congestione del traffico. In quest’ottica l’introduzione di veicoli a guida autonoma rivestirà un ruolo fondamentale nella riduzione dei rischi connessi al fattore umano e, grazie alla possibile interconnessione tra veicoli e infrastrutture, nella ricerca di un ottimo globale in termini di consumi, inquinamento e tempi di percorrenza.
Spesso il mondo delle corse ha rappresentato un banco di prova per le nuove tecnologie, questo è dovuto sia alla capacità di attrarre investimenti offerta dalla visibilità di cui gode l’ambiente, che alla possibilità di testare nuove soluzioni in un ambiente, per certi aspetti, molto più impegnativo, ma al contempo sicuro, di uno scenario urbano.
Proprio in questo contesto si collocano alcuni eventi, per ora sporadici ma che si prefissano l’obiettivo di dare nascita a veri e propri campionati, come la categoria Driverless delle competizioni universitarie di Formula SAE/Student e le iniziative di Roborace.
1.1 Roborace
Roborace è un campionato per veicoli elettrici a guida autonoma organizzato dall’omonima azienda, sita a Banbury (UK), che si pone l’obiettivo di dimostrare che il futuro del settore automobilistico e informatico è rappresentato dai veicoli autonomi ed è già in grado di garantire ottime prestazioni anche in condizioni
estreme come quelle di una competizione in pista. Roborace fornisce una solida e competitiva piattaforma sulla quale le più grandi industrie automobilistiche e università del mondo possono sviluppare soluzioni per la guida autonoma.
1.1.1 Il campionato
L’idea originaria di Roborace è quella di creare un campionato che si svolgerà sugli stessi tracciati della Formula E con dieci team partecipanti ciascuno con due vetture, fornite dall’organizzazione e uguali per tutti. Data la complessità di queste vetture e il considerevole tempo necessario a sviluppare un software in grado di assicurare prestazioni paragonabili, se non addirittura superiori, a quelle di un pilota umano è stata presa la decisione di posticipare la partenza del campionato e di promuovere un programma, aperto ad aziende ed università di tutto il mondo, nel quale si sfida a creare un pilota di intelligenza artificiale in grado di battere il tempo sul giro di un essere umano. Proprio in quest’ottica è stato fondato presso l’Università di Pisa il “Roboteam Italia”, primo team italiano ad accettare la sfida.
1.1.2 Le vetture
La vettura progettata per partecipare al campionato, denominata Robocar, si presenta con una monoscocca di carbonio che integra profili alari ad elevata efficienza aerodinamica, quattro motori elettrici da 300 kW ciascuno, centralina Nvidia drive PX2 e non presenta un abitacolo. La sensoristica merita un discorso separato infatti tra i molti sensori presenti sulla macchina si possono distinguere quelli dedicati alla percezione: 15 sensori ad ultrasuoni, 6 telecamere, 5 lidar, 2 radar; e quelli dedicati alla dinamica del veicolo: sensore ottico di velocità veicolo, encoder velocità ruote, accelerometro, GPS.
Per assicurare che lo sviluppo della Robocar e del software potesse avvenire in sicurezza è stato costruito un veicolo di prova, chiamato Devbot, che ha la possibilità di essere guidato sia da un umano che in modalità autonoma dato che presenta un vero e proprio abitacolo. Questa vettura infatti è stata realizzata
riadattando una scocca Ginetta destinata alla serie LMP3 per poter alloggiare lo stesso hardware che equipaggia le Robocar. Le due macchine presentano quindi proprietà dinamiche quasi identiche con la principale differenza che Devbot può essere guidata anche da un pilota umano e questo la rende adatta al tipo di sfida, human vs machine, che Roborace ha lanciato.
Figura 1.1 Robocar [1]
1.2 Roboteam Italia
Il Roboteam Italia nasce nel 2017 presso l’Università di Pisa con l’intenzione di formare un’unica squadra nazionale per partecipare al campionato Roborace; ad oggi si conta già una collaborazione con l’Università degli studi di Palermo. Il reparto tecnico del team è suddiviso in tre principali settori: percezione, dinamica veicolo e controllo. Compito del settore percezione è quello di sfruttare i dati provenienti dagli appositi sensori per percepire l’ambiente che circonda il veicolo e localizzarvisi. Il settore dinamica veicolo si occupa di pianificare, sulla base del modello di veicolo, le traiettorie da seguire mentre il settore controllo fa in modo che il veicolo segua queste traiettorie.
2 Modelli di veicolo
Per studiare e comprendere oggettivamente il comportamento di un veicolo è necessario adottare un approccio scientifico basato quindi su modelli matematici sufficientemente complessi per cogliere l’essenza dei fenomeni in esame ma allo stesso tempo abbastanza semplici da poter essere compresi facilmente.
La caratteristica principale che contraddistingue un veicolo è quella di avere una chiara direzione di marcia, secondo questa definizione, per esempio, un carrello della spesa non può essere classificato come veicolo in quanto può muoversi liberamente in ogni direzione. Inoltre un veicolo deve avere la possibilità di effettuare curve ed eventualmente di modificare la propria velocità in base alle caratteristiche della strada sulla quale si troverà a marciare, per questo si rendono necessari dei dispositivi che permettano il controllo simultaneo della velocità di imbardata e della velocità traslazionale in modulo e direzione.
2.1 Modelli cinematici
Si classificano come cinematici tutti quei modelli in cui si considerano solo le relazioni cinematiche tra le velocità del sistema astraendo dalla dinamica dello stesso, in questa categoria rientrano i modelli di uniciclo e biciclo ampiamente utilizzati in ambito robotico [2]. Questi modelli semplificati sono sfruttati per attuare la tecnica di controllo per sistemi meccanici completamente attuati detta controllo cinematico che consiste nel progettare una legge da assegnare alle velocità del sistema in modo che le configurazioni dello stesso seguano un andamento
desiderato, queste velocità possono poi venire imposte come riferimenti cui far tendere la effettiva velocità del sistema.
2.1.1 Uniciclo
Si consideri un veicolo che si muove nel piano, cui sia fissata una sola ruota, di asse parallelo al piano, e libera di ruotare attorno al proprio asse e attorno ad un asse perpendicolare al piano e passante per il punto di contatto con esso. Si supponga inoltre che la ruota si opponga a qualsiasi traslazione nella direzione parallela al proprio asse.
Figura 2.1 Modello uniciclo [2]
Scegliendo come coordinate del veicolo 𝑞 = [𝑥, 𝑦, 𝜃]𝑇, dove la coppia (𝑥, 𝑦) indica la posizione proiettata sul piano del centro della ruota, e 𝜃 l’orientazione della ruota rispetto all’asse delle ascisse; il vincolo imposto dalla ruota alla traslazione del veicolo può essere espresso nella forma
𝑦̇
ovvero in forma Pfaffiana 𝑪𝒒∙ 𝒒̇ = [ sin 𝜃 − cos 𝜃 0 ] [ 𝑥̇ 𝑦̇ 𝜃̇ ] .
Analizzando la matrice dei vincoli cinematici risulta che essa ha rango uno ovunque quindi il suo spazio nullo avrà dimensione pari a due. Come base delle velocità compatibili con il vincolo può, ad esempio, essere scelta
𝒒̇ = 𝑆(𝑞) ∙ 𝝂 = [ cos 𝜃 0 sin 𝜃 0 0 1 ] [ 𝜈𝜈1 2 ] ,
nella quale appare evidente l’interpretazione fisica: la componente 𝜈1 , diretta
perpendicolarmente all’asse della ruota, rappresenta infatti la velocità di avanzamento ( 𝑣 ) del veicolo mentre 𝜈2 corrisponde alla velocità angolare ( 𝜔 )
attorno all’asse verticale passante per (𝑥, 𝑦). A questo punto è possibile riscrivere esplicitamente le equazioni che governano questo modello
[ 𝑥̇ 𝑦̇ 𝜃̇ ] = [ cos 𝜃 sin 𝜃 0 ] 𝑣 + [ 0 0 1 ] 𝜔 .
È da notare che il vincolo di puro rotolamento imposto alla ruota è di tipo anolonomo. Esso infatti non può essere ottenuto per derivazione di un vincolo geometrico e non limita l’accessibilità dello spazio di stato.
2.1.2 Biciclo
Figura 2.2 Modello biciclo [2]
Un biciclo è la schematizzazione di un veicolo planare con due ruote (o due coppie di ruote sullo stesso asse), di cui una, che considereremo come quella anteriore, può ruotare attorno ad un asse perpendicolare al piano e passante per il punto di contatto della ruota stessa sul piano, mentre l’asse della seconda ruota è fissato perpendicolarmente al segmento (di lunghezza 𝐿) che unisce i punti di contatto delle ruote1. Si considerino le coordinate (𝑥
𝑝, 𝑦𝑝) del centro dell’asse posteriore e
l’orientazione 𝜃𝑝 del segmento che unisce i due assi rispetto alle ascisse. Sia
inoltre (𝑥𝑎, 𝑦𝑎) il centro dell’asse anteriore, e 𝜃𝑎 la sua orientazione rispetto alle
ascisse. I vincoli di rotolamento senza strisciamento delle ruote dei due assi sono scritti da
{ Γ1(𝑞𝑎) = 𝑥̇𝑎sin 𝜃𝑎 − 𝑦̇𝑎cos 𝜃𝑎 = 0 Γ2(𝑞𝑝) = 𝑥̇𝑝sin 𝜃𝑝− 𝑦̇𝑝cos 𝜃𝑝 = 0
1 Si noti che in questa sede non si sta limitando il sistema a rappresentare un veicolo a sterzatura
Si noti che tra la posizione dell’uniciclo anteriore e di quello posteriore sussiste un vincolo geometrico dato da
{ 𝑥𝑎 = 𝑥𝑝+ 𝐿 cos 𝜃𝑝 𝑦𝑎 = 𝑦𝑝+ 𝐿 sin 𝜃𝑝
per cui per descrivere lo stato del sistema sono sufficienti quattro coordinate Lagrangiane. Per generalità scegliamo di descrivere il moto del biciclo attraverso le due già citate orientazioni e la posizione di un punto 𝑚 qualsiasi sull’asse del veicolo, a distanza 𝐿𝑚 ≠ 0 dal centro dell’asse posteriore ovvero
{ 𝑥𝑚 = 𝑥𝑝+ 𝐿𝑚cos 𝜃𝑝 = 𝑥𝑎+ (𝐿𝑚− 𝐿) cos 𝜃𝑝 𝑦𝑚 = 𝑦𝑝+ 𝐿𝑚sin 𝜃𝑝 = 𝑦𝑎+ (𝐿𝑚− 𝐿) sin 𝜃𝑝 quindi { 𝑥̇𝑚 = 𝑥̇𝑝− 𝐿𝑚𝜃̇𝑝sin 𝜃𝑝= 𝑥̇𝑎− (𝐿𝑚− 𝐿)𝜃̇𝑝sin 𝜃𝑝 𝑦̇𝑚 = 𝑦̇𝑝+ 𝐿𝑚𝜃̇𝑝cos 𝜃𝑝 = 𝑦̇𝑎+ (𝐿𝑚− 𝐿)𝜃̇𝑝cos 𝜃𝑝 Considerando le coordinate 𝒒𝒎 = [𝑥𝑚, 𝑦𝑚, 𝜃𝑎, 𝜃𝑝] 𝑇 , si ha 𝑪𝒒∙ 𝒒̇𝒎= [
sin 𝜃𝑎 − cos 𝜃𝑎 0 (𝐿𝑚− 𝐿) cos(𝜃𝑎− 𝜃𝑝)
sin 𝜃𝑝 − cos 𝜃𝑝 0 𝐿𝑚 ] [ 𝑥̇𝑚 𝑦̇𝑚 𝜃̇𝑎 𝜃̇𝑝 ]
La matrice dei vincoli ha rango due ovunque, ed il modello cinematico del veicolo può essere ottenuto da una base del suo kernel. La scelta di questa base, associata ad un conveniente cambio di coordinate, può essere tale da attribuire un senso fisico ai due parametri di controllo. In particolare si ottiene un modello cinematico di veicolo più simile a quello di un’autovettura se come coordinata si introduce l’angolo di sterzo 𝜙 = 𝜃𝑎 − 𝜃𝑝 e come punto 𝑚 si considera il centro dell’asse
posteriore (ovvero 𝐿𝑚 = 0). In questo caso si ottiene il modello spesso detto biciclo
a trazione anteriore2
2 La dicitura “trazione” risulta impropria dal momento che in questi modelli si prescinde dal tipo di
[ 𝑥̇𝑝 𝑦̇𝑝 𝜙̇ 𝜃̇𝑝] = [ cos 𝜙 cos 𝜃𝑝 0 cos 𝜙 sin 𝜃𝑝 0 0 1 1 𝐿sin 𝜙 0] [ 𝜇𝜇1 2 ]
in cui 𝜇1 rappresenta la velocità di avanzamento del centro dell’asse anteriore e 𝜇2
la velocità di sterzata. Si consideri infine una diversa base dello stesso kernel
[ 𝑥̇𝑝 𝑦̇𝑝 𝜙̇ 𝜃̇𝑝] = [ cos 𝜃𝑝 0 sin 𝜃𝑝 0 0 1 1 𝐿tan 𝜙 0] [ 𝜆1 𝜆2 ]
Con questa scelta il primo parametro di controllo corrisponde alla velocità di avanzamento dell’uniciclo posteriore, mentre il secondo è ancora la velocità angolare di sterzata. Questo modello cinematico è detto biciclo a trazione posteriore. Esso è valido solo quando l’asse anteriore non è perpendicolare all’asse posteriore, condizione che si verifica raramente nei veicoli stradali.
2.2 Modelli dinamici
Con modelli dinamici si intendono tutti quei modelli matematici utilizzati per descrivere la dinamica di un sistema ovvero di come forze e momenti influenzino il moto dello stesso. Generalmente in questi modelli possono essere individuate tre tipi di relazioni: di equilibrio, di congruenza e costitutive.
Le relazioni di equilibrio per i sistemi meccanici di cui ci occuperemo si individuano nelle equazioni di Eulero anche dette equazioni cardinali. Le relazioni di congruenza invece esprimono le dipendenze geometriche tra le variabili del sistema. Le relazioni costitutive infine rappresentano il rapporto tra quantità fisiche che sono specifiche del materiale o del sistema che si rappresenta.
2.2.1 Dinamica dell’uniciclo
Volendo descrivere la dinamica del modello cinematico precedente trattato denominato uniciclo si può procedere scrivendo l’equazione di Lagrange nella forma 𝑑 𝑑𝑡( 𝜕𝑇 𝜕𝒒̇) − 𝜕𝑇 𝜕𝒒− 𝑸 𝑻+ 𝑪 𝒒𝑇∙ 𝝀 = 0
in cui 𝑇 rappresenta l’energia cinetica del sistema, 𝒒 e 𝒒̇ lo stato del sistema e la sua derivata temporale, 𝑸 le forze esterne generalizzate associate alle coordinate 𝒒, 𝑪𝒒
la matrice dei vincoli in forma Pfaffiana e 𝝀 i moltiplicatori di Lagrange associati ai vincoli. Si può esprimere quindi l’energia cinetica come
𝑇 =1 2𝑚𝑥̇ 2+1 2𝑚𝑦̇ 2+1 2𝐽𝑧𝜃̇ 2
e le forze esterne generalizzate come
𝑸 = [ 𝐹𝑥 𝐹𝑦 𝑀 ] = [ cos 𝜃 0 sin 𝜃 0 0 1 ] [ 𝐹 𝑀 ]
in cui 𝑚 e 𝐽𝑧 rappresentano massa e momento d’inerzia dell’uniciclo e 𝐹 e 𝑀 la forza
di trazione e il momento imbardante applicati. A questo punto è possibile esplicitare l’equazione di Lagrange e scrivere le equazioni della dinamica dell’uniciclo
{
𝑚𝑥̈ − 𝐹 cos 𝜃 + 𝜆 sin 𝜃 = 0 𝑚𝑦̈ − 𝐹 sin 𝜃 − 𝜆 cos 𝜃 = 0 𝐽𝑧𝜃̈ − 𝑀 = 0 𝑦̇ = 𝑥̇ tan 𝜃
Come si può notare il moltiplicatore di Lagrange in questo caso assume il significato fisico della forza scambiata dal vincolo di rotolamento senza strisciamento. Il sistema si compone quindi di tre equazioni differenziali del secondo ordine che descrivono la dinamica traslazionale e rotazionale dell’uniciclo, in più devono essere aggiunte un numero di equazioni pari al numero di moltiplicatori di Lagrange introdotti, uno per il caso in esame. Queste in genere sono rappresentate
dalle equazioni algebriche di vincolo, in questo caso però, essendo il vincolo di tipo anolonomo, l’equazione sarà anch’essa di tipo differenziale.
2.2.2 Punto materiale
Il più semplice dei modelli dinamici che si possa formulare è quello di punto materiale o massa puntiforme. In questo modello il sistema è composto da un solo corpo di dimensioni trascurabili a cui è associato un valore di massa 𝑚. Per il punto materiale vale rigorosamente il secondo principio della dinamica 𝐹 = 𝑚 ∙ 𝑎 e perché un sistema esteso possa essere modellato come punto materiale deve essere possibile confondere l’accelerazione del suo centro di massa con quella del punto materiale che lo rappresenta. Analogamente deve essere possibile identificare la risultante delle forze agenti sul corpo con la forza agente sul punto materiale che lo rappresenta, ciò è possibile perché per i sistemi estesi vige la prima equazione cardinale per cui ∑ 𝐹𝑖 𝑖 = 𝑚 ∙ 𝑎𝐶𝑀.
Una variante a questo modello per renderlo più calzante nell’approssimare un veicolo può essere effettuata attribuendo al punto materiale, finora descritto nel piano dalle sole coordinate (𝑥, 𝑦), un’orientazione 𝜑 e la conseguente dinamica rotazionale 𝜑̈ =𝑀
𝐽𝑧 in cui 𝑀 rappresenta il momento totale applicato rispetto al
centro di massa e 𝐽𝑧 il momento d’inerzia del sistema rispetto ad un asse
perpendicolare al piano passante per il centro di massa. La dinamica di questo modello sarà la stessa dell’uniciclo in cui non si consideri il vincolo di rotolamento senza strisciamento.
2.2.3 Modello monotraccia
Questo modello permette di dare una descrizione approssimata ma comunque verosimile della dinamica laterale di un veicolo. Esso si basa principalmente sulle seguenti assunzioni:
Strada perfettamente piatta
Piccoli angoli di sterzo
Velocità longitudinale del veicolo costante Bassa resistenza aerodinamica
Le prime due assunzioni permettono di ridurre il modello ad un problema piano mentre le ultime due fanno sì che i pneumatici non debbano fornire una rilevante forza longitudinale e quindi siano sottoposti prevalentemente a slittamento laterale. Per descrivere il moto del veicolo nel piano è necessario fissare un sistema di riferimento solidale alla strada 𝑆̅ = (𝑋, 𝑌, 𝑍; 𝑂) di versori (𝒊𝟎, 𝒋𝟎, 𝒌𝟎) ed uno solidale
al veicolo 𝑆 = (𝑥, 𝑦, 𝑧; 𝐺) di versori (𝒊, 𝒋, 𝒌) in cui 𝒊 è in direzione dell’asse longitudinale del veicolo, positivo lungo la direzione convenzionale di marcia in avanti, 𝒋 in direzione laterale e 𝒌 perpendicolare al piano della strada con direzione positiva verso l’alto in modo da formare una terna destrorsa, mentre 𝐺 è il baricentro del veicolo.
Il moto piano del veicolo è completamente descritto dalla sua velocità rotazionale di imbardata 𝑟 e dalla velocità traslazionale del suo baricentro. La velocità traslazionale del veicolo potrà essere espressa, sia nel sistema di riferimento fisso che solidale, come
𝑽𝑮 = 𝑥̇0𝒊𝟎+ 𝑦̇0𝒋𝟎= 𝑢𝒊 + 𝑣𝒋 ,
in cui 𝑢 rappresenta la velocità longitudinale e 𝑣 la velocità laterale. Dalla precedente si può ricavare il legame che lega le velocità del sistema espresse nel sistema di riferimento fisso e solidale.
{ 𝑥̇0 = 𝑢 cos 𝜓 − 𝑣 sin 𝜓 𝑦̇0 = 𝑢 sin 𝜓 + 𝑣 cos 𝜓 𝜓̇ = 𝑟 { 𝑢 = 𝑥̇0cos 𝜓 + 𝑦̇0sin 𝜓 𝑣 = −𝑥̇0sin 𝜓 + 𝑦̇0cos 𝜓 𝑟 = 𝜓̇
Da queste, una volta noto lo stato iniziale, si può risalire alla traiettoria del veicolo nel piano tramite integrazione3. Una volta noto il moto del veicolo nel suo
complesso è però necessario investigare la velocità di ciascun punto di contatto tra ruota e strada. Queste risultano essere
𝑽𝟏𝟏 = (𝑢 − 𝑟𝑡1 2 ) 𝒊 + (𝑣 + 𝑟𝑎1)𝒋 𝑽𝟏𝟐 = (𝑢 +𝑟𝑡1 2 ) 𝒊 + (𝑣 + 𝑟𝑎1)𝒋 𝑽𝟐𝟏 = (𝑢 −𝑟𝑡2 2 ) 𝒊 + (𝑣 − 𝑟𝑎2)𝒋 𝑽𝟐𝟐 = (𝑢 +𝑟𝑡2 2 ) 𝒊 + (𝑣 − 𝑟𝑎2)𝒋
in cui 𝑎1, 𝑎2, 𝑡1, 𝑡2 rappresentano semipassi e carreggiate anteriori e posteriori. Si
definiscono angolo di assetto 𝛽 l’angolo formato tra il versore 𝒊 e il vettore velocità del punto in esame, angolo di sterzo 𝛿 l’angolo formato tra il versore 𝒊 e la direzione longitudinale della singola ruota, angolo di deriva 𝛼 l’angolo formato tra la direzione longitudinale della singola ruota e il vettore velocità del suo punto di contatto con la strada. Si possono così esprimere gli angoli di assetto delle quattro ruote 𝛽11= tan−1( 𝑣 + 𝑟𝑎1 𝑢 − 𝑟𝑡1⁄2 ) = 𝛿11− 𝛼11 𝛽12= tan−1( 𝑣 + 𝑟𝑎1 𝑢 + 𝑟𝑡1⁄2) = 𝛿12− 𝛼12 𝛽21= tan−1( 𝑣 − 𝑟𝑎2 𝑢 − 𝑟𝑡2⁄2) = 𝛿21− 𝛼21 𝛽22= tan−1( 𝑣 − 𝑟𝑎2 𝑢 + 𝑟𝑡2⁄2) = 𝛿22− 𝛼22
Sotto le ipotesi di piccoli angoli di sterzo e osservando che nella pratica 𝑢 ≫ 𝑟𝑡𝑖⁄ , 2
si può concludere che gli angoli di assetto e di deriva delle ruote appartenenti ad uno stesso assale possono essere considerati equivalenti. Da questa osservazione nasce l’idea alla base del modello monotraccia ovvero quella di unire le ruote
3 Si noti che 𝑢 e 𝑣 nonostante siano velocità non possono essere espresse come derivate di altre
appartenenti allo stesso assale per considerarne solo l’effetto globale sulla dinamica del veicolo.
Figura 2.3 Modello monotraccia [3]
Si definiscono così gli angoli di deriva apparenti 𝛼1 e 𝛼2 come
{ 𝛼1 = 𝛿1− 𝑣 + 𝑟𝑎1 𝑢 = 𝛼1(𝑣, 𝑟; 𝑢, 𝛿𝑣) 𝛼2 = 𝛿2− 𝑣 − 𝑟𝑎2 𝑢 = 𝛼2(𝑣, 𝑟; 𝑢, 𝛿𝑣)
dove 𝛿1 e 𝛿2 possono essere entrambi espressi attraverso una relazione del tipo 𝛿𝑖 =
𝑓(𝛿𝑣) in cui 𝛿𝑣 rappresenta l’angolo di sterzo al volante. Per quanto riguarda le
equazioni costitutive del modello queste saranno rappresentate dalle caratteristiche dei pneumatici che nel caso di solo slittamento laterale possono essere semplificate e raggruppate nelle così dette caratteristiche dell’assale. Sotto queste ipotesi infatti si può osservare che la forza laterale esercitata da ciascun assale può essere espressa in funzione del solo angolo di deriva apparente in una forma del tipo
{ 𝑌1 = 𝑌1(𝛼1) 𝑌2 = 𝑌2(𝛼2)
A questo punto per completare il modello mancano soltanto le equazioni di equilibrio alla traslazione laterale e alla rotazione che sotto l’ipotesi di piccoli angoli di sterzo possono essere scritte come
{ 𝑚𝑎𝑦 = 𝑚(𝑣̇ + 𝑢𝑟) = 𝑌1+ 𝑌2 𝐽𝑧𝑟̇ = 𝑌1𝑎1− 𝑌2𝑎2
Riassumendo si può notare che la struttura matematica del modello presenta solo due equazioni differenziali del primo ordine derivanti dalle equazioni di equilibrio e quattro equazioni algebriche da inserire nelle precedenti per ottenere le due equazioni dinamiche del modello monotraccia.
{ 𝑚(𝑣̇ + 𝑢𝑟) = 𝑌(𝑣, 𝑟; 𝑢, 𝛿𝑣) 𝐽𝑧𝑟̇ = 𝑁(𝑣, 𝑟; 𝑢, 𝛿𝑣)
Da queste si può desumere che il modello monotraccia rappresenta un sistema dinamico con due sole variabili di stato, in questa rappresentazione sono state usate 𝑣 e 𝑟 ma sono possibili altre combinazioni.
2.2.4 Modello bitraccia
Nel modello bitraccia, al contrario del monotraccia, vengono meno le ipotesi di velocità costante e slittamento dei pneumatici puramente laterale, di conseguenza non è più possibile formulare le caratteristiche degli assali nella precedente forma poiché si deve tenere conto anche del comportamento combinato di slittamento laterale e longitudinale. Questo modello permette di valutare quindi anche la dinamica longitudinale del veicolo ed ammette la possibilità che le forze longitudinali su uno stesso assale siano diverse, consentendo così di simulare il comportamento di un differenziale o di un sistema di ausilio alla guida come ABS o torque vectoring.
Figura 2.4 Modello bitraccia [3]
Ipotizzando di analizzare il caso di un veicolo a trazione posteriore equipaggiato con differenziale si possono scrivere le seguenti equazioni4:
Equilibrio { 𝑚𝑎𝑥= 𝑚(𝑢̇ − 𝑣𝑟) = 𝑋1+ 𝑋2− 𝑋𝑎 𝑚𝑎𝑦 = 𝑚(𝑣̇ + 𝑢𝑟) = 𝑌1+ 𝑌2 𝐽𝑧𝑟̇ = 𝑌1𝑎1 − 𝑌2𝑎2+ Δ𝑋1𝑡1+ Δ𝑋2𝑡2 dove 𝑋1= −𝐹𝑦11sin 𝛿11− 𝐹𝑦12sin 𝛿12 𝑌1 = 𝐹𝑦11cos 𝛿11+ 𝐹𝑦12cos 𝛿12 Δ𝑋1 = (𝐹𝑦12sin 𝛿12− 𝐹𝑦11sin 𝛿11) 2⁄ ≃ 0 𝑋2 = 𝐹𝑥21+ 𝐹𝑥22 𝑌2 = 𝐹𝑦21+ 𝐹𝑦22 Δ𝑋2 = (𝐹𝑥22− 𝐹𝑥21) 2⁄
4 Dato che l’esaustiva trattazione dell’argomento esula dagli scopi del testo, il significato di alcuni
simboli e la forma esplicita di alcune relazioni qui introdotti non sarà esplicato, per questi si rimanda a [3].
𝑋𝑎=
1
2𝜌𝑎𝐶𝑥𝑆𝑎𝑢
2
Costitutive del differenziale 𝜔22 = 𝜔21 (locked)
𝐹𝑥22 = ((𝜂ℎ𝜁)𝜑) 𝐹𝑥21 (limited slip) 𝐹𝑥22 = 𝐹𝑥21 (open)
dove 𝜔21 e 𝜔22 rappresentano le velocità angolari delle ruote posteriori,
𝜁 = 1 in accelerazione, 𝜁 = −1 in rilascio, e 𝜑 = 𝑠𝑖𝑔𝑛(𝜔22− 𝜔21)
Congruenza degli slittamenti dei pneumatici { 𝜎𝑥𝑖𝑗 = 𝜎𝑥𝑖𝑗(𝑣, 𝑟, 𝑢, 𝛿𝑣, 𝜙𝑖
𝑠, 𝜔 𝑖𝑗)
𝜎𝑦𝑖𝑗 = 𝜎𝑦𝑖𝑗(𝑣, 𝑟, 𝑢, 𝛿𝑣, 𝜙𝑖𝑠, 𝜔𝑖𝑗)
Costitutive dei pneumatici
{ 𝐹𝑥𝑖𝑗 = 𝐹𝑥𝑖𝑗(𝑍𝑖𝑗, 𝛾𝑖𝑗, 𝜎𝑥𝑖𝑗, 𝜎𝑦𝑖𝑗) = 𝐹𝑥𝑖𝑗(𝑣, 𝑟, 𝑢, 𝛿𝑣, Δ𝑋2, 𝜔𝑖𝑗) 𝐹𝑦𝑖𝑗= 𝐹𝑦𝑖𝑗(𝑍𝑖𝑗, 𝛾𝑖𝑗, 𝜎𝑥𝑖𝑗, 𝜎𝑦𝑖𝑗) = 𝐹𝑦𝑖𝑗(𝑣, 𝑟, 𝑢, 𝛿𝑣, Δ𝑋2, 𝜔𝑖𝑗)
Come si può notare dall’elevato numero di equazioni e variabili questo tipo di modello è molto più complesso del precedente sebbene anche in questo caso le equazioni differenziali siano in numero contenuto, tre equazioni differenziali del primo ordine, e quindi il sistema sia rappresentabile con sole tre variabili di stato, in questo caso 𝑢, 𝑣 ed 𝑟.
3 Implementazione del modello
Lo scopo di questa parte di lavoro è quello di implementare in un software di calcolo uno dei modelli precedente trattati in modo da poter simulare in breve tempo il comportamento del veicolo e poter valutare le prestazioni dei controllori progettati.
3.1 Scelta del modello
Dal momento che quello che caratterizza veramente un sistema sono le proprie relazioni costitutive si è rivelato necessario orientarsi verso un modello di tipo dinamico. Tra questi si è cercato un compromesso tra semplicità e fedeltà individuato nel modello monotraccia, riadattato per permettere il controllo della velocità longitudinale tramite una forza di trazione o frenata e raffinato in alcune sue parti.
3.2 Implementazione in ambiente Simulink
La struttura del modello è stata replicata tramite una serie di Matlab function ed inserita all’interno di un modello Simulink. Le variabili che descrivono lo stato del sistema sono la velocità longitudinale 𝑢 , la velocità laterale 𝑣 e la velocità rotazionale di imbardata 𝑟 mentre gli ingressi di controllo sono l’angolo di sterzo 𝛿 delle ruote anteriori e la forza longitudinale 𝑋 = 𝑋1+ 𝑋2 esercitata da motori
elettrici e freni meccanici. Di seguito si riporta la descrizione dei vari blocchi di cui è composto il modello.
F ig u ra 3 .1 S ch em a S imul in k del m od ello
3.2.1 Slip angles
Questo blocco rappresenta le equazioni di congruenza che, sulla base dello stato del sistema e dell’angolo di sterzo, individua gli angoli di deriva apparenti 𝛼1 e 𝛼2.
{ 𝛼1 = 𝛿 − tan−1( 𝑣 + 𝑟𝑎1 𝑢 ) 𝛼2 = − tan−1(𝑣 − 𝑟𝑎2 𝑢 )
Al fine di evitare errori numerici derivanti da forme indeterminate del tipo 0
0 si è
dovuto inserire un ciclo if che in questi casi restituisce un angolo di deriva apparente nullo.
3.2.2 Caratteristiche degli assali
In questo blocco sono racchiuse le relazioni costitutive del modello ovvero le caratteristiche degli assali. Come verrà descritto nel prossimo capitolo, oltre alla dipendenza dagli angoli di deriva apparenti, si è indagata anche l’influenza della velocità longitudinale del veicolo su quest’ultime in modo da simulare l’effetto dei carichi aerodinamici. Le equazioni che ne sono derivate sono quindi del tipo
{ 𝑌1 = 𝑌1(𝛼1, 𝑢) 𝑌2 = 𝑌2(𝛼2, 𝑢)
3.2.3 Comportamento transitorio
Come noto l’inerzia e la cedevolezza elastica dei pneumatici influisce notevolmente sul comportamento transitorio di essi, infatti nei casi di variazione rapida delle condizioni di slittamento si osserva che la risposta del pneumatico, intesa come forza laterale o longitudinale fornita, ha un andamento di tipo sovra-smorzato che tende al valore di regime. Questo andamento può essere descritto tramite una funzione del tempo nella forma
in cui 𝐹̃𝑖 rappresenta il valore di regime a cui tenderà la forza, 𝑉𝑟 la velocità di
rotolamento del pneumatico e 𝑑 la cosiddetta lunghezza di rilassamento5 .
Quest’ultima rappresenta il metro di valutazione della rapidità di risposta del pneumatico alle variazioni di slittamento. Una relazione del genere può essere ottenuta come risultato di un’equazione differenziale del primo ordine del tipo 𝑑𝐹𝑖(𝑡) 𝑑𝑡 = − 𝑉𝑟 𝑑 𝐹𝑖(𝑡) + 𝑉𝑟 𝑑 𝐹̃𝑖
in cui velocità di rotolamento e slittamento, quindi forza a regime, siano considerati costanti.
L’implementazione nel modello Simulink di questo fenomeno, per quanto riguarda le forze laterali, ha reso necessaria l’introduzione di un integratore con la conseguenza di aumentare il numero delle variabili di stato. Inoltre dato che il modello non prevede la dinamica di slittamento longitudinale delle ruote, come velocità di rotolamento è stata presa la velocità longitudinale del veicolo. I valori di regime delle forze laterali sono quelli forniti dalle caratteristiche degli assali, ottenute sotto l’ipotesi di stazionarietà.
Figura 3.2 Schema comportamento transitorio
3.2.4 Comportamento combinato
Nel caso di coesistenza di slittamento longitudinale e laterale il comportamento del pneumatico cambia notevolmente e sarebbero necessarie numerevoli prove
5 Nonostante l’utilizzo del termine “lunghezza” questa non si riferisce a nessuna caratteristica
geometrica del pneumatico in quanto rappresenta, rapportata alla velocità di rotolamento, la costante di tempo del sistema.
sperimentali per una completa caratterizzazione. Una buona approssimazione si può ottenere utilizzando il modello a spazzola [3], in questo caso si ottengono i cosiddetti cerchi di attrito che legano il valore di slittamento longitudinale e laterale alle forze che il pneumatico esercita.
Figura 3.3 Cerchio di attrito con linee ad angolo di deriva costante [3]
Dato che gli angoli di deriva apparenti sono imposti solamente dallo stato del sistema e dall’angolo di sterzo, al variare della richiesta di forza longitudinale è lecito pensare che ci si muova sulle curve rappresentate nella figura precedente. Esse sono state approssimate con degli ellissi con semiasse lungo x pari al valore massimo di forza ottenibile in condizioni puramente longitudinali, e semiasse lungo y pari al valore di forza laterale derivante dal comportamento transitorio ovvero in condizioni di slittamento puramente laterale.
3.2.5 Limiti dei motori
Essendo il veicolo a propulsione elettrica bisogna tenere in considerazione il comportamento dei motori, in particolare i limiti di coppia erogabile in funzione della loro velocità di rotazione. Sulla base della conoscenza di coppia massima, potenza massima, velocità massima di questi motori e del loro rapporto di trasmissione è stata creata una mappa di zone di funzionamento ammissibili ed
inserito un saturatore dinamico che in funzione della velocità del veicolo limita la massima forza longitudinale erogabile.
Figura 3.4 Limiti di funzionamento dei motori elettrici
3.2.6 Ripartitore
In questo blocco si ripartisce la forza longitudinale richiesta 𝑋, sia essa di trazione o frenante, tra assale anteriore e posteriore secondo due rapporti costanti definiti come { 𝑇𝑏 =𝑋1 𝑋2 𝑠𝑒 𝑋 > 0 𝐵𝑏 =𝑋1 𝑋2 𝑠𝑒 𝑋 < 0
Inoltre è stato aggiunto un saturatore che limita la massima forza longitudinale che ciascun assale può fornire ad un valore funzione del coefficiente di attrito tra pneumatici e asfalto.
3.2.7 Dinamica
In questo blocco sono implementate le equazioni della dinamica del veicolo. Volendo prescindere dall’ipotesi di piccoli angoli di sterzo sono stati considerati anche i contributi che le forze laterali e longitudinali hanno rispettivamente nei confronti di accelerazione longitudinale e laterale. Rispetto al modello monotraccia
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 0 10 20 30 40 50 60 70 Forza lon gi tu d ina le mas sim a [kN ] Velocità veicolo [m/s]
presentato precedentemente è stata aggiunta anche la dinamica longitudinale del veicolo trascurando però gli effetti dei trasferimenti di carico che ne conseguono la cui valutazione avrebbe necessitato di una conoscenza molto più approfondita di pneumatici e sospensioni. In questa equazione è stato aggiunto anche un termine di attrito di rotolamento ed uno di attrito aerodinamico. Le equazioni scritte sono le seguenti { 𝑚𝑎𝑥= 𝑋1cos 𝛿 − 𝑌1sin 𝛿 + 𝑋2− 𝑓𝑟𝑚𝑔 − 1 2⁄ 𝛾𝐶𝑥𝑆𝑢2 𝑚𝑎𝑦 = 𝑌1cos 𝛿 + 𝑋1sin 𝛿 + 𝑌2 𝐽𝑧𝑟̇ = 𝑎1𝑌1cos 𝛿 + 𝑎1𝑋1sin 𝛿 − 𝑎2𝑌2 .
in cui i simboli qui introdotti hanno i seguenti significati:
𝑋1 e 𝑋2 forza longitudinale (rispetto ai pneumatici) esercitata dall’assale
anteriore e posteriore,
𝑌1 e 𝑌2 forza laterale (rispetto ai pneumatici) esercitata dall’assale anteriore e
posteriore,
𝑓𝑟 coefficiente di attrito di rotolamento, 𝛾 densità dell’aria,
𝐶𝑥 coefficiente di attrito aerodinamico longitudinale, 𝑆 sezione di riferimento utilizzata per il calcolo del 𝐶𝑥,
Dato che gli output di questo blocco sono accelerazione longitudinale, laterale e angolare, per ottenere le variabili di stato che sono state scelte per descrivere il sistema (𝑢, 𝑣, 𝑟) si deve effettuare un’ulteriore operazione per ottenere la terna (𝑢̇, 𝑣̇, 𝑟̇) e quindi procedere con l’integrazione.
{
𝑢̇ = 𝑎𝑥+ 𝑣𝑟 𝑣̇ = 𝑎𝑦− 𝑢𝑟
𝑟̇ = 𝑟̇
3.2.8 Cambio del sistema di riferimento e tracciamento traiettoria
In questo blocco si effettua il cambio di coordinate tra sistema di riferimento solidale al veicolo e sistema fisso, inoltre si procede alle integrazioni che permettono di
ricavare la traiettoria seguita dal veicolo. Le equazioni implementate sono quelle della cinematica piana del veicolo descritte precedentemente6.
{ 𝑥̇0 = 𝑢 cos 𝜓 − 𝑣 sin 𝜓 𝑦̇0 = 𝑢 sin 𝜓 + 𝑣 cos 𝜓 𝜓̇ = 𝑟
6 Si noti che è necessario effettuare per prima l’integrazione della velocità di imbardata per poter
ottenere le velocità traslazionali espresse nel sistema di riferimento fisso, solo a questo punto sarà possibile integrare anche quest’ultime ed ottenere la traiettoria seguita dal veicolo.
4 Identificazione del modello
In questo capitolo verranno identificati tutti i parametri necessari per la caratterizzazione del modello precedente esposto. Questa identificazione verrà fatta basandosi su acquisizioni telemetriche sia di eventi svolti da Roborace su piste del campionato di Formula E, che di prove appositamente progettate e svolte sul simulatore già in possesso dell’azienda.
4.1 Filtraggio dati sperimentali
Il primo passo una volta ottenuti i dati registrati dai sensori del veicolo è stato quello di filtrarli dato che essi apparivano piuttosto rumorosi. Il filtraggio è stato effettuato tramite il comando Matlab filtfilt che esegue un filtraggio a fase nulla ovvero non introduce ritardi nel segnale. Questa tecnica di filtraggio necessita della conoscenza dell’intera evoluzione del segnale nel tempo per questo viene detta acausale e non può essere utilizzato in algoritmi che effettuano un filtraggio dei dati in tempo reale.
4.1.1 Scelta del filtro
Data la sua proprietà di minimizzare l’alterazione del segnale in banda passante la scelta del filtro da utilizzare è ricaduta su un filtro di Butterworth passabasso. Per la scelta della frequenza di taglio è stata fatta una valutazione preliminare della frequenza propria del moto di oscillazione della cassa del veicolo sulla base di una rigidezza complessiva delle sospensioni 𝑘 e una massa 𝑚 stimata.
𝑓 = 1 2𝜋√ 𝑘 𝑚 ≅ 1 2𝜋√ 500000 N/m 1300 kg ≅ 3 Hz
Come ci si poteva aspettare da un veicolo da corsa il cui scopo non è certo quello di garantire il confort del guidatore (che non ha), la frequenza risulta essere maggiore di quella che si utilizza in genere per il dimensionamento degli elementi elastici delle sospensioni di un veicolo comune pari a circa 1 Hz. Si è quindi deciso di porre la frequenza di taglio del filtro ad un valore leggermente inferiore rispetto a quello calcolato e un ordine del filtro pari a 4 in modo da eliminare dal segnale tutti i contributi a frequenza maggiore poiché ritenuti rumore. I risultati ottenuti possono essere apprezzati nel seguenti grafici in cui si riporta a titolo di esempio un segnale di accelerazione laterale e il suo spettro di frequenza prima e dopo il filtraggio.
4.1.2 Confronto tra filtraggio causale e acausale
Dati i buoni risultati ottenuti nel filtraggio off-line si è cercato di realizzare un filtro che potesse essere utilizzato on-line, ovvero implementato direttamente nel codice di controllo del veicolo. Si è così dapprima realizzato un filtraggio causale con il comando filter di Matlab utilizzando lo stesso filtro di Butterworth presentato in precedenza. Si è però evidenziata la nascita di un ritardo nel segnale così filtrato di circa 0,2 secondi rendendolo incompatibile con le esigenze di risposta immediata del controllore.
Figura 4.2 Confronto tra filtraggio causale e acausale con lo stesso filtro di Butterworth (dettaglio del ritardo introdotto) Un modo per ridurre il ritardo introdotto dal filtro è quello di abbassarne l’ordine ed aumentare la frequenza di taglio. Di seguito si riportano i risultati ottenuti con un filtro di Butterworth del primo ordine e frequenza di taglio pari a 10 Hz.
Come si può osservare il ritardo diminuisce ma allo stesso tempo diventa di difficile misurazione poiché il segnale filtrato causalmente risulta molto più rumoroso del precedente.
4.2 Identificazione dei parametri
La necessità di identificare i parametri del modello nasce da una iniziale indisposizione dell’azienda costruttrice a fornire questi dati. Inizialmente infatti sono stati forniti solo alcuni dati, che in parte si sono rivelati errati, riguardanti le dimensioni del veicolo e le sue proprietà di massa. Si è dovuto quindi ricavare i principali dati basandosi sulle acquisizioni di cui inizialmente si era in possesso, ovvero quattro sessioni di test nei tracciati di Formula E di Hongkong, New York, Montreal e Berlino. Per quanto riguarda invece le caratteristiche degli assali ed altri coefficienti, data la difficoltà riscontrata nell’identificazione basandosi solo su questi giri di pista, sono state progettate delle specifiche manovre che sono poi state provate sul simulatore dell’azienda.
4.2.1 Raggi di rotolamento delle ruote
L’identificazione dei raggi di rotolamento delle ruote è stata eseguita andando a isolare nelle telemetrie i tratti in cui la vettura fosse in movimento in condizione prevalentemente di rettilineo. Questo è stato fatto settando una soglia di velocità minima (5 m/s) e una soglia sulla differenza massima di velocità angolare tra le ruote di uno stesso assale (0,2 rad/s). Si è a questo punto calcolato per ogni tracciato il rapporto medio tra la velocità longitudinale e la velocità media delle ruote di uno stesso assale secondo la seguente formula.
𝑅𝑖 =
𝑢 𝜔𝑖1+ 𝜔2 𝑖2
Figura 4.4 Raggi di rotolamento calcolati e linee rappresentanti i valori medi
Come si può vedere il calcolo è risultato molto preciso poiché le differenze riscontrate tra le varie prove sono minime. I valori medi calcolati per i raggi di rotolamento sono risultati essere:
Anteriore 0,313 m Posteriore 0,349 m
4.2.2 Rapporti di ripartizione forze longitudinali
Per quanto riguarda la ripartizione delle forze longitudinali tra assale anteriore e posteriore è necessario distinguere i due casi di accelerazione, in cui i motori elettrici sono in funzione, e frenata in cui ad agire sono esclusivamente i freni meccanici7. In
fase di accelerazione si sono rapportate le coppie erogate dai motori elettrici, opportunamente moltiplicate per il rapporto tra i raggi di rotolamento precedentemente trovati. In fase di frenata si è supposto essere uguale l’impianto frenante anteriore e posteriore, si sono quindi rapportate le pressioni dei due circuiti anche in questo caso moltiplicate per il rapporto tra i raggi di rotolamento. I risultati
7 Su queste vetture non è prevista la frenata con recupero di energia.
0,3 0,31 0,32 0,33 0,34 0,35 0,36 0,37 0,38 0,39 0,4
HONGKONG NEW YORK MONTREAL BERLIN
Raggio d i ro to lame n to [ m ] Ruote anteriori Ruote posteriori
ottenuti sono riportati nella seguente figura insieme ai valori medi calcolati (linee tratteggiate).
Figura 4.5 Rapporti di ripartizione delle forze longitudinali e valori medi I valori medi calcolati sono:
Torque bias 0,62; corrispondente ad una ripartizione ant/post di circa 40/60% Brake bias 1,51; corrispondente ad una ripartizione ant/post di circa 60/40% I valori calcolati nei vari tracciati presentano una certa variabilità, questo però trova giustificazione nel fatto che questi rapporti, per sfruttare al massimo le potenzialità del veicolo, devono essere modificati a seconda delle condizioni di aderenza che l’asfalto offre, quindi non si esclude la possibilità che nelle prove analizzate questi valori effettivamente siano stati modificati.
4.3 Caratteristiche degli assali
4.3.1 Prove su piste Formula E
Inizialmente le uniche acquisizioni di cui si era in possesso erano quelle delle sessioni di test nelle piste di Formula E, si è dunque iniziata da queste
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 2
HONGKONG NEW YORK MONTREAL BERLIN
Rip ar tiz ion e forz e lon gitu d in ali X1/X 2 Torque bias Brake bias
l’identificazione del legame costitutivo tra forze laterali e angoli di deriva apparenti. Per prima cosa si è cercato di isolare i tratti in cui il veicolo si trovava in condizioni quasi stazionarie quindi velocità longitudinale e accelerazione laterale quasi costante. Si è calcolato quindi gli angoli di deriva apparenti dei due assali
{ 𝛼1 = 𝛿 − tan−1(𝑣 + 𝑟𝑎1 𝑢 ) 𝛼2 = − tan−1( 𝑣 − 𝑟𝑎2 𝑢 )
Basandosi sull’ipotesi di stazionarietà le equazioni del modello monotraccia si possono riscrivere come
{ 𝑚𝑎̃𝑦 = 𝑌1+ 𝑌2 0 = 𝑎1𝑌1− 𝑎2𝑌2
da cui risolvendo si possono ricavare le forze laterali
{ 𝑌1 = 𝑚𝑎̃𝑦𝑎2 𝑙 𝑌2 = 𝑚𝑎̃𝑦 𝑎1 𝑙
A questo punto è stato possibile plottare le forze dei singoli assali in funzione del proprio angolo di deriva apparente.
Figura 4.6 Caratteristiche degli assali grezze
Si è quindi approssimato questi dati per mezzo dell’app Curve fitting di Matlab con una funzione del tipo 𝑌(𝛼) = 𝐴 𝛼 − 𝐵(𝑒𝛼⁄𝐶− 1), ottenendo i seguenti risultati.
Figura 4.7 Caratteristiche degli assali approssimate con funzione esponenziale
Questo tipo di funzione è stata scelta per la facilità con cui si riesce ad effettuare l’approssimazione dei dati al contrario della più complessa formula di Pacejka [4] ma, come si può vedere, ha un andamento inaspettato ovvero fortemente decrescente per valori elevati degli angoli di deriva apparenti.
4.3.2 Prove al simulatore
Vista la scarsa affidabilità dei dati precedentemente ottenuti si è deciso di programmare delle manovre da effettuare sul simulatore in possesso di Roborace in modo da ricostruire le caratteristiche costitutive del modello da loro implementato. La manovra che si è scelto di fare si compone di una serie di tratti di accelerazione in rettilineo seguiti da chiocciole ad angolo di sterzo crescente in cui né si accelera né si frena in modo da far lavorare i pneumatici in condizioni più vicine possibili a quelle di puro slittamento laterale. Per una completa caratterizzazione del veicolo le chiocciole sono state percorse a velocità crescenti in un range da 5 a 40 m/s8. Ripetendo i calcoli di angoli di deriva apparenti e forze
laterali esercitate da ciascun assale precedentemente esposti si possono tracciare le caratteristiche degli assali grezze.
8 La velocità durante la chiocciola risulta leggermente decrescente a causa degli attriti e delle
Figura 4.8 Caratteristiche degli assali grezze ricavate dal simulatore
Data la migliore accuratezza dei dati rispetto a quelli precedentemente ricavati si è potuto effettuare un’approssimazione con funzioni più complesse di quella precedentemente esposta tra cui una doppia esponenziale a quattro parametri della forma 𝑌(𝛼) = 𝐴 𝑒−𝐵 𝛼− 𝐶 𝑒−𝐷 𝛼, e la classica magic formula di Pacejka
𝑌(𝛼) = 𝐴 sin{𝐵 tan−1[𝐶 𝛼 − 𝐷(𝐶 𝛼 − tan−1(𝐶 𝛼))]}
Figura 4.9 Caratteristiche degli assali ricavate dal simulatore approssimate con funzione doppia esponenziale e Pacejka Nonostante la migliore accuratezza di queste curve nell’approssimare gli andamenti ottenuti si possono notare alcuni problemi in particolare per alti valori di angolo di deriva apparente nella caratteristica dell’assale posteriore
approssimata con la formula di Pacejka. Inoltre guardando ai dati grezzi ottenuti dal simulatore si può notare come, specialmente nelle zone in cui si raggiungono i massimi valori di forza laterale, ci sia una notevole differenza tra i risultati ottenuti con chiocciole a velocità diverse. Si è indagato quindi l’effetto che ha la velocità del veicolo sulle sue caratteristiche degli assali. In particolare si è plottato le forze laterali dei due assali in funzione della velocità longitudinale del veicolo ottenendo il seguente risultato.
Figura 4.10 Forza laterale esercitata dagli assali in funzione della velocità longitudinale
Come si può notare si hanno due comportamenti distinti per velocità inferiori o superiori a circa 15 m/s. Fino a questa velocità infatti si hanno delle forze laterali relativamente basse, questo a causa della ridotta velocità che impedisce la creazione di angoli di deriva sufficientemente grandi. Al di sopra di questa velocità si può dire che si riesca a sfruttare appieno l’aderenza offerta dall’asfalto riuscendo a superare con gli angoli di deriva i valori per cui si ha la massima forza laterale. In questo tratto si può notare anche un notevole incremento di questi valori massimi di forza all’aumentare della velocità, questo è probabilmente dovuto agli effetti dei carichi aerodinamici che agiscono sul veicolo. Si è quindi evidenziata la necessità di caratterizzare la forza esercitabile da ogni assale non solo in funzione del proprio angolo di deriva apparente ma anche della velocità longitudinale del veicolo.
Questa caratterizzazione è stata fatta andando ad individuare per una chiocciola di riferimento il suo valore di forza massimo 𝑌𝑚𝑎𝑥, il valore dell’angolo di deriva al
quale si ottiene il massimo 𝛼̅ , il valore asintotico della forza 𝑌𝑎 e la pendenza
nell’origine 𝑌′(0), in questo modo si è potuto ricostruire la curva approssimandola con la funzione di Pacejka utilizzando le formule che, a partire da questi dati, permettono di individuarne i quattro parametri.
𝐴 = 𝑌𝑚𝑎𝑥 𝐵 = 2 −2 𝜋sin −1(𝑌𝑎 𝐴) 𝐶 =𝑌′(0) 𝐴𝐵 𝐷 =tan(𝜋 (2𝐵)⁄ ) − 𝐶𝛼̅ tan−1(𝐶𝛼̅) − 𝐶𝛼̅
L’effetto del valore asintotico è risultato essere del tutto trascurabile, tanto che, vista la sua difficile valutazione, è stato posto pari a zero nei successivi calcoli. Il calcolo dell’andamento con la velocità è stato fatto considerando i valori massimi di forza di tre chiocciole percorse a differenti velocità, ipotizzando un andamento parabolico si sono potuti ricavare i coefficienti 𝜆𝑖 del polinomio di secondo grado (la cui
variabile è la velocità) per cui moltiplicare la curva precedentemente approssimata con la formula di Pacejka. La caratteristica del singolo assale è risultata avere quindi la seguente formula
𝑌(𝛼, 𝑢) = 𝐴 sin{𝐵 tan−1[𝐶 𝛼 − 𝐷(𝐶 𝛼 − tan−1(𝐶 𝛼))]} ∙ (𝜆
1+ 𝜆2𝑢 + 𝜆3𝑢2)
Si riporta di seguito la visualizzazione delle caratteristiche dei due assali in funzione di angolo di deriva apparente e velocità longitudinale del veicolo.
Figura 4.11 Caratteristiche degli assali ricavate dal simulatore in funzione di angolo di deriva apparente e velocità
4.3.3 Confronto tra i risultati
Confrontando i risultati ottenuti al simulatore con quelli ottenuti dalle acquisizioni sui tracciati di Formula E si può ulteriormente verificare la bontà dei dati acquisiti e dei calcoli effettuati. Di seguito si riportano i dati grezzi della caratteristica di un assale ottenuti nei due modi.
Come si può vedere i risultati risultano allineati seppur con dispersioni notevolmente differenti validando di fatto il modello implementato nel simulatore.
5 Analisi della dinamica del veicolo
Nella prima parte di questo capitolo verrà condotta un’analisi classica della dinamica del veicolo di interesse, in particolare ne verrà analizzato il comportamento stazionario tramite l’ausilio del diagramma di maneggevolezza che verrà ricavato sia sulla base delle già citate prove sui circuiti di Formula E che dalle prove effettuate sul simulatore.
Nella seconda parte verrà analizzato sempre il comportamento stazionario ma con il nuovo metodo delle Map of Achievable Performance proposto in [3] che permette una più immediata e intuitiva valutazione del comportamento del veicolo.
5.1 Diagramma di maneggevolezza
Come discusso nella sezione riguardante l’identificazione delle caratteristiche degli assali, lo studio del comportamento stazionario del veicolo può essere ricondotto alla soluzione del sistema di equazioni algebriche che dà come risultato l’espressione delle caratteristiche degli assali in funzione dell’accelerazione laterale
{ 𝑌1 = 𝑚𝑎̃𝑦 𝑎2 𝑙 𝑌2 = 𝑚𝑎̃𝑦𝑎1 𝑙
È da notare che le precedenti possono essere riscritte in modo da far comparire il carico statico agente su ciascun assale 𝑍𝑖0 giungendo ai notevoli risultati che,
considerando solo la parte monotona delle caratteristiche degli assali9, esiste un
9 Permettendo così di invertirne la relazione e scrivere 𝛼
legame biunivoco tra l’accelerazione laterale 𝑎̃𝑦 ed entrambi gli angoli di deriva
apparenti 𝛼1 e 𝛼2; e che le forze laterali 𝑌𝑖 sono sempre proporzionali al carico
statico sul proprio assale 𝑍𝑖0.
{ 𝑌1 =𝑎̃𝑦 𝑔 𝑚𝑔 𝑎2 𝑙 = 𝑎̃𝑦 𝑔 𝑍10 𝑌2 =𝑎̃𝑦 𝑔 𝑚𝑔 𝑎1 𝑙 = 𝑎̃𝑦 𝑔 𝑍20 ; { 𝑌1 𝑍10= 𝑎̃𝑦 𝑔 𝑌2 𝑍20= 𝑎̃𝑦 𝑔 ; 𝑎̃𝑦 𝑔 = 𝑌1(𝛼1) 𝑍10 = 𝑌2(𝛼2) 𝑍20
Volendo ora caratterizzare il comportamento del veicolo in funzione dell’accelerazione laterale è possibile invertire le equazioni di congruenza ed esprimere la curvatura 𝜌 = 𝑟 𝑢⁄ . 𝜌(𝑎̃𝑦, 𝛿) =𝑎̃𝑦 𝑢2 = 𝛿 𝑙 − 𝛼1(𝑎̃𝑦) − 𝛼2(𝑎̃𝑦) 𝑙 = 𝛿 𝑙 − 𝑓𝜌(𝑎̃𝑦)
La precedente può essere convenientemente riscritta come sistema di due equazioni isolando il contributo dovuto agli angoli di deriva.
{ 𝑦 =𝛿 𝑙 − 𝑎̃𝑦 𝑢2 = 𝛿 𝑙 − 1 𝑅 𝑦 = 𝑓𝜌(𝑎̃𝑦) = 𝛼1(𝑎̃𝑦) − 𝛼2(𝑎̃𝑦) 𝑙
In questo modo si possono riportare su un grafico le due curve 𝑦 in funzione di 𝑎̃𝑦
la cui intersezione determinerà lo stato in cui si trova il veicolo
La curva 𝑦 = 𝑓𝜌(𝑎̃𝑦) dipende dalle caratteristiche degli assali e quindi è una
caratteristica peculiare di ciascun veicolo. La retta dipende dalle condizioni operative, in particolare il valore ad accelerazione nulla è determinato dall’angolo di sterzo mentre la pendenza è proporzionale al quadrato della velocità longitudinale.
Un’importante informazione sul comportamento del veicolo è data dalla tangente della curva 𝑦 = 𝑓𝜌(𝑎̃𝑦), esso infatti prende il nome di gradiente di sottosterzo. Un
veicolo con 𝑓𝜌(𝑎̃𝑦) monotona crescente (come nella figura precedente) si dice
sottosterzante ovvero dato un angolo di sterzo costante ed incrementando lentamente la velocità longitudinale si ha un aumento dell’accelerazione laterale e del raggio di curvatura. Al contrario un veicolo con 𝑓𝜌(𝑎̃𝑦) monotona decrescente è
detto sovrasterzante, in questo caso all’aumentare della velocità si ha un aumento di accelerazione laterale ma una riduzione del raggio di curvatura. Quando la linea delle condizioni operative diventa tangente alla curva 𝑓𝜌(𝑎̃𝑦) il veicolo diventa
instabile, come evidente questo può accadere solo nel caso di veicolo sovrasterzante ed è per questo che in fase di progettazione si cerca sempre di attribuire al veicolo un comportamento sottosterzante.
5.1.1 Prove su tracciati Formula E
Come nel caso dell’individuazione delle caratteristiche degli assali si sono isolati i tratti in cui il veicolo si trovava in condizioni quasi stazionarie, si è quindi valutata la funzione grezza 𝑓𝜌 =
𝛼1−𝛼2
𝑙 che è stata poi interpolata con una funzione lineare
esponenziale del tipo 𝑦(𝑎̃𝑦) = 𝐴 𝑎̃𝑦+ 𝐵 (𝑒 𝑎̃𝑦
𝐶 ⁄
− 1) I risultati ottenuti sono riportati nella seguente figura.
Figura 5.3 Curva di maneggevolezza grezza e interpolata
5.1.2 Prove al simulatore
Utilizzando i dati ricavati dalle manovre eseguite sul simulatore per identificare le caratteristiche degli assali si è potuto tracciare la curva di maneggevolezza che anche in questo caso ha evidenziato un comportamento fortemente dipendente dalla velocità longitudinale del veicolo. Come si può notare nella seguente figura, nelle chiocciole eseguite a velocità maggiore, distinguibili per il raggiungimento di accelerazioni laterali massime maggiori, si ha un comportamento del veicolo più sottosterzante che alle basse velocità. Questo può essere causato da uno sbilanciamento nei carichi aerodinamici che non si ripartiscono in maniera appropriata tra assale anteriore e posteriore.
Figura 5.4 Curva di maneggevolezza ricavata dal simulatore
5.2 Map of Achievable Performance
Basandosi sulla stessa teoria che porta al tracciamento del diagramma di maneggevolezza è possibile estendere l’analisi del comportamento stazionario di un veicolo tenendo in considerazione non solo la sua curvatura 𝜌 = 𝑟 𝑢⁄ ma anche l’angolo di assetto 𝛽 = 𝑣 𝑢⁄ e non in funzione di un solo parametro (𝑎̃𝑦) ma di
due (𝑢, 𝛿). Richiamando ancora una volta le equazioni del modello monotraccia in condizioni stazionarie { 𝑎̃𝑦 = 𝑢𝑟 = 1 𝑚[𝑌1(𝛼1(𝑣, 𝑟; 𝑢, 𝛿)) + 𝑌2(𝛼2(𝑣, 𝑟; 𝑢, 𝛿))] 0 = 1 𝐽𝑧 [𝑎1∙ 𝑌1(𝛼1(𝑣, 𝑟; 𝑢, 𝛿)) − 𝑎2∙ 𝑌2(𝛼2(𝑣, 𝑟; 𝑢, 𝛿))]
si può concludere che il comportamento stazionario del veicolo è completamente dalle relazioni 𝑣(𝑢, 𝛿) e 𝑟(𝑢, 𝛿) che si ottengono risolvendo il precedente sistema di due equazioni algebriche. A questo punto, ricordando che 𝑎̃𝑦 = 𝑢 ∙ 𝑟(𝑢, 𝛿) è
possibile invertire le equazioni di congruenza del modello per ottenere
{ 𝜌(𝑢, 𝛿) =𝛿 𝑙 − 𝛼1(𝑢, 𝛿) − 𝛼2(𝑢, 𝛿) 𝑙 𝛽(𝑢, 𝛿) =𝑎2∙ 𝛿 𝑙 − 𝑎2 𝛼1(𝑢, 𝛿) − 𝑎1 𝛼2(𝑢, 𝛿) 𝑙
Queste due funzioni, insieme a quella dell’accelerazione laterale, possono essere combinate e rappresentate su vari piani
5.2.1 Mappa 𝝆 - 𝜹
Di seguito si riporta la mappa nel piano 𝜌 – 𝛿 in cui sono tracciate le curve a velocità costante e i limiti della regione di accessibilità.
Figura 5.5 Mappa 𝜌 - 𝛿 di un veicolo sottosterzante [3]
Per comprendere il significato di queste mappe si riportano di seguito i due casi opposti di un veicolo molto sottosterzante e di uno sovrasterzante. Nel primo caso si ha una regione di accessibilità molto ampia con le linee corrispondenti alle velocità maggiori quasi orizzontali, questo si traduce in una bassa reattività del veicolo agli input provenienti dallo sterzo. Nel secondo caso invece essendo le curve a velocità costante quasi verticali si ha il comportamento opposto, ovvero una piccola variazione dell’angolo di sterzo provoca una repentina variazione di curvatura, inoltre oltre il punto in cui la tangente di queste curve diventa verticale si ha un comportamento instabile del veicolo.
Per quanto riguarda il tracciamento delle mappe del veicolo in esame sono state prese in considerazione le prove eseguite sul simulatore presentate in precedenza. Il risultato ottenuto è il seguente
Figura 5.8 Mappa ρ - δ ricavata dal simulatore
Confrontando la mappa ottenuta con quelle precedentemente presentate si può notare come il veicolo, in accordo con quanto osservato nel diagramma di maneggevolezza, abbia un comportamento leggermente sottosterzante. Il fatto di
avere una regione di accessibilità così stretta implica una notevole difficoltà nel guidare il veicolo, infatti volendo percorrere una traiettoria con una data curvatura esiste solo un ristretto range di valori di angolo di sterzo che lo permettono.
5.2.2 Mappa 𝜷 - 𝝆
Un’altra possibile rappresentazione è quella nel piano 𝛽 – 𝜌. In questa mappa si evidenzia come l’angolo di assetto del veicolo possa assumere valori sia positivi che negativi a seconda della velocità con cui si percorre la curva. Di seguito si riportano due esempi di mappa 𝛽 – 𝜌 per un veicolo sottosterzante e sovrasterzante. Nel primo caso sono tracciate le curve a velocità, accelerazione laterale e sterzo costante. Nel secondo sono riportate solo le curve a velocità e sterzo costante, in più è tracciato il limite di stabilità coincidente con i punti in cui le curve a velocità e sterzo costante diventano tangenti.
Di seguito si riporta la mappa 𝛽 – 𝜌 del veicolo in esame su cui sono state tracciate le curve a velocità costante (linea nera), sterzo costante (linea tratteggiata) e accelerazione laterale costante (linea grigia). Si noti come le curve ad accelerazione laterale costante non siano parallele come nelle mappe presentate, questo è un effetto dovuto ai carichi aerodinamici che permettono di raggiungere i valori massimi di accelerazione laterale solo alle velocità più alte.
Figura 5.11 Mappa β – ρ ricavata dal simulatore
5.2.3 Mappa 𝒂
̃
𝒚- 𝒖
Infine si presenta la mappa nel piano 𝑎̃𝑦 – 𝑢. In questa rappresentazione si può
apprezzare come l’accelerazione massima sia limitata alle basse velocità dall’angolo massimo di sterzo mentre alle alte velocità dall’aderenza effettiva del veicolo. Analizzando le prove effettuate sul simulatore si è individuata l’accelerazione laterale massima per ogni chiocciola. A questo punto ci si è posti il problema di individuare le due linee che delimitano la regione di accessibilità interpolando questi valori di accelerazione massima. Le curve scelte per l’interpolazione sono delle polinomiali di secondo grado, per quella approssimante il comportamento alle basse velocità si è imposto il passaggio dal punto (0, 0) del grafico. Non volendo scegliere a priori quali punti prendere in considerazione per interpolare una o l’altra linea si è proceduto analizzando i coefficienti dei polinomi interpolanti considerando un numero crescente di punti a partire dagli estremi. Per il limite delle alte velocità per esempio si sono presi in considerazione ed interpolati i punti di
accelerazione massima a partire da quelli a velocità maggiore e andando ad estendersi verso le velocità minori. Analizzando i coefficienti del polinomio ottenuti per ciascuna interpolazione si sono subito scartate le soluzioni a curvatura negativa che si ottengono prendendo in considerazione troppi punti (linee tratteggiate). Si è fatta quindi una media pesata tra gli altri coefficienti attribuendo un peso decrescente al diminuire della velocità. Il procedimento è stato ripetuto per l’altra linea che delimita la regione di accessibilità iniziando però ad interpolare dalle velocità più basse ed attribuendo un peso decrescente all’aumentare della velocità.
Figura 5.12 Linee interpolanti il limite della regione di accessibilità alle alte velocità
