Aplicacions didàctiques del diagrama de Voronoi i del problema invers

GRAU DE MATEM `

ATIQUES

Treball final de grau

APLICACIONS DID `

ACTIQUES

DEL DIAGRAMA DE VORONOI

I DEL PROBLEMA INVERS

ANNEX 2

Fitxes dels alumnes de la implementaci´

o de les aplicacions

did`

actiques al Col·legi Sant Josep

5=ee

Aplicaci6

didhctica

per

a alumnes de

5b

de

primhria.

FITXA

ALUMNE

PART 1:

LACASITOS

A

dins de cada casella,

pinteu

una

distribuci6

que hA,giu fet:

li

.{ffih.

ftiq )

w--'.,//

Qud us ha sorprbs d'aquestes

distribucions?

-

a

L.I

.^,

^-qrr.

W-lr^+,

t .^

gG

,9.a"

Quines conclusions en traieu?

5 o.r*. -t<..r'rr,n^t

,!Ja..ltq.

_{\ \}

PART

2:

MAPA

CIUTAT

Pinteu

en el mapa

la

zona que ha de

repartir

cada nen o nena:

e

,,r.-,

fn$tilut fststa Jidlnt vetda*$er

-

{i$re.-3,,?"*ry,,

g

***1"'u*#ful9

.,,

.s'--tE.-=a F:-'j;"l3

w

?,

::

Pla$a ..totsri

t:':'.:,.:

_***a*cg* ; ? ts ,ry 'i;r Carrs Tone-Blancah ' Llaqrrma d QIY J : rf 'Elrr,!? ,t" j '"'"'',,r:.,.

;,-*-{-.

\

Fi*qa del ler

1

Hcl*enntq{

.

a la Veliecr

fiTorre de le

Y

Fonl del Minqio

Xtcols?*rifr {!f,ri XiE+:rln SnBre

f 6il aiirri,JB ";r31:*::

I

Plaqs d*ls Til lprs , *.€ Pln{i A,ualSmenl ,_l lLt: fr-rclr A

.,..'....

v

,;tjritt lrar

Figura 67: Mapa de Sant Sadurnf

d'Anoia

amb les cases dels repartidors marcades.

Font:

Google maps.

Despr6s de veure Ia resposta correcta, creieu que

la

vostra proposta s'assembla?

Per qub?

\/..

^-*

^^^

Q oo, Pl*ei} d* lrla*$*l ftaven1*s

Us ha agradat

l'activitat?

Qud 6s el que mr5s us ha agradat o desagradat?

k+

Aplicaci6

didhctica

per

a alumnes de

5b

de

primiria. FITXA

ALUMNE

'

PART 1:

LACASITOS

A

dins de cada casella,

pinteu

una

distribuci6

que hA,giu fet:

Qub us ha sorprbs d'aquestes distribucions?

-t.

Quines conclusions en traieu?

PART

2:

MAPA

CIUTAT

Pinteu en el mapa

la

zona que ha de

repartir

cada nen o nena:

ComOirrcstortiu

$

ila

67:

Mapa de Sant

Sadlrni

d'Anoia

amb les cases dels repartidors

Font:

Google maps.

Despr6s de veure

la

resposta correcta, creieu que

la

vostra proposta s'assembla?

s

s

5a+

Aplicaci6

didictica

per

a alumnes de

5b

de

primhria.

FITXA

ALUMNE

PART

1:

LACASITOS

A

dins de cacla casella,

pinteu

una

distribuci6

que

higiu

fet:

Qub us ha sorprbs d'aquestes distribucions?

. .; ! -'

Pla4a Joan

**s*n*va:;

,l

a

iL:T:i.s

Figura 67: Mapa de Sant Sadurni

d'Anoia

amb les cases dels repartidors marcades.

Fbnt:

Google maps.

Despr6s de veure

la

resposta correcta, creieu que la vostra proposta s'assembla? Per qub?

t'. , /'1 ,,*

dr

,1

Us hq, agradat

_sue

mes

i *'I., ri ,

ha agradat o

F*-

_&

Aplicaci6

didictica

per

a alumnes de

56

de

primiria. FITXA

ALUMNE

PAHT

1:

LACASITOS

A

clins de cada casella,

pinteu

una

distribuci6

que

higiu

fet:

Qqb us ha sorprds d'aquestqs distribucions?

-G+

L

_--'-.

.,.

., ,

-t*'

t ,S

(=-

(..

_^

,.

_'

9

'

() -

I

,

; ,

l-VfR

_r.\6:r,l

)_l

:

_*]|-

,r

-*-* r

_.-;:-

_rie-ci

_Z

Ij+L

PART

2:

MAPA CIUTAT

Pinteu en el mapa la zc-rna que ha de

repartir

cada nen o nena:

$

Torre ds la Font de{ Mingo

ljiilr;

{*!,-lli1-1

&:rri!i.1,;*i

Go

gle

Figlra

67: Mapa de Sant Sadurni

d'Anoia

amb les cases dels repartidors marcadcs.

Font:

Google maps.

Despr6s de veure

la

resposta correcta, creieu que

la

vostra proposta s'assembla?

Us ha agradat

I'activitat?

Qub 6s el que mes us ha agradat o desagradat?

,-ii

f-le

fte

Aplicaci6

didictica

per

a alumnes

de

5b

de

prim}ria. FITXA

ALUMNE

PARjT

1:

LACASITOS

A

dins de cada casella, pinteu una

distribuci6

que hd,giu fet:

Qud us ha sorprds d'aquestes distribucions?

PATUT

2:

MAPA

CIUTAT

Pinteu en el mapa

la

z*ona que ha de

repartir

cada nen o nena:

\"

rdis6

_{0 \*"}

_*i#ffiiffiI

r;..

.

Ja*in! Verdagr.rer

o_""

-"e

i'JJf"*::

-.od q

o*ot

_?,

i"*?ffi*0

.-\--.r=

_---t''

qtffi

r*'*roc-

r4iesr4iot;

r:;lii$€"-'-

_****

:

ou*\ou.',

.d-

j

:::rum.B-:

**

_..--W'\--*sj

x"L '.\d*u' t

I

''i3:ff

'-.- t "'-"at-t'\

_'*u*sx'Es$

_$-a,

ry-

""T:=r$=.1..-:G

dele lcf-

plass AiunlitnEnl t#rs fe* l&{rrg a*iirra i **:irr*fri i q:t

"-,::'j::q

"*"af LT

**H:*

V;nrrrinc$

1

Googb

':i;fi;$:9

Figura 67: Mapa de Sant Sadurni

d'Anoia

amb les cases dels repartidors marcades.

Font:

Google maps.

Despr6s de veure

la

resposta correcta, creieu que Ia vostra proposta s'assembla? Per

us

ha agradat

l,activitat?

Qub 6s el que m6s us ha agradat o desagradat?

&t:r.g'g

_{C,aIClF ,A'',eCf}

&ue.,(a-tt-

_i

_**t

Lrc^-Iti

_t^

i'

Se+

Aplicaci6

didictica

pelq

alumnes de

56

de

primhria.

FITXA

ALUMNE

PART 1:

LACASITOS

dins de cada casella, pinteu una

distribuci6

que hd'giu fet:

Qud us ha sorprbs d'aquestes distribucions?

aue

q

€isb\.\

s.Arri

€*t tsl.n-

,e'q.fel

"1$Lr\

dl-\.-$ffi

Ple;r Joarr **t*n0va5 i $lr.{3 .! , ., ,i ,,, ]i] : -'ij i.;. i? _./ lFlasa.-del let. llcfilenstq.{ * la Vcllesa

Figgra

67:

Mapa de Sant Sadurni

d'Anoia

amb les cases dels repaftidors marcades.

Font:

Google maps.

Despr6s de veure la resposta correcta, creieu que la vostra proposta s'assembla?

::ql jj.t,, .

f

Fr 'i,i., ji.:s :l!i-;*J !*k *: . ::L" ":..#"s;: *,:-i- " - . .1i,i:,: .-:,L4:5: Per qub?

Sa

13

Aplicaci6

didhctica

per

a alumnes de

5b

de

primhria.

FITXA

ALUMNE

PART

1:

LACASITOS

A

dins de cada casella,

pinteu

una

distribuci6

que hhgiu fet:

Qub us ha sorprbs d'aquestes distribucions?

PATTT

2: MAPA

CIUTAT

Pinteu en el mapa

la

zona que ha de

repartir

cada nen o nena:

lririi!rl f.1,*la J$f i,lt v*rd*g{}er

s

P

Pl$t€ tra5an**'a$Jo$r1 .-t' *r !,:. Complex esporuu

_Q.

fffiEspo{liv. Y l

ffie

w#

€

I

!n

Despr6s de veure

la

resposta correcta, creieu que Ia vostra proposta s'assembla? Per qub?

=S

i *

*,.

u. a,. _=,

a. e\S, \*.,''.,

n\

,*\

t

".

'nt,.:',

_4'

'!:tal,

.

Se--6

FITXA

ALUMNE

Aplicaci6

didhctica

per

a alumnes de

5b

de

primhria'

PART

1:

LACASITOS

A

dins de cada casella,

pinteu

una

distribuci6

que hh'giu fet:

Quines conclusions en tlaieu?

PART

2:

MAPA

CIUTAT

Pinteu en el mapa

la

zona que ha de

repartir

cada nen o nena:

0

_,ryrut

'q E tA oa

i:9

q

lava Cansls a L,tunne _$ %:.

.",5:5i9

*::ki?

a

Googk

,,F

*

a"' slay vrntrcinc

_$

j,

.9

c. '4_

?""

\

q

't

Plaqa dsl let Homenstg€ a la Vellesa fsp.i cdll Tom&la Foot dd Mingo C&rw *&d *f,tr

{{? *,riin6 italisa!*_{R.::lir:.n! |:} ;3.:*.. ,ic gscda cipal 0e1... Flaqa de lrrlsnuel ftavent0S

Figura

67: Mapa de Sant Sadurnf

d'Anoia

amb les cases dels repartidors marcades.

Font:

Google maps.

Despr6s de veure Ia resposta correcta, creieu que la vostra proposta s'assembla?

Perqub?^L

_.

_I

_t,

_{\ _ ^5}

'.

({'br\

Us,ha agradat

I'activitat?

6s el que m6s us ha agradat o

SEA

Aplicaci6

didhctica

per

a alumnes de

56

de

primhria.

FITXA

ALUMNE

PAIUT

1:

LACASITOS

A

dins de cada casella,

pinteu

una

distribuci6

que h),giu fet:

,.,

,..* \. 1 -- - -. ;wr'lf.-' r " .'",.',,i'r,1-4-lJ

--

tr-,';i'*'

'@ ', '-- -

'.,,:ii' , t .'- )

,:-

s.

i*:;

'

i'.

.-:qailFFEqtrF-Qub us ha solprds d'aquestes distribucio

PARjT

2: MAPA

CIUTAT

Pinteu

en el mapa

la

zona que ha de

repartir

cada nen o nena:

. lnstit{ll f $t*la ' Jatl:rt Ve'daS$Bt

.

i.,.., ?

'.ii,::i

c'*r5:,?,ffi:,:9

PlaEa J0sn { *sirnr}ug*

3:q

i1,.,:r Ca*es Torrc.Elanca - LlErgrin'ta d 0r ;) ! Fla6s dels Til.Sprs

Flata dei let

Harnen;lqtr

E ie Vrllesa

X8c+l {iEJi x@ql{1{ 5i

c&i! . {iirf* il4

''\=-,

Plaga dr:

Font:

Google maps.

Despr6s de veure

la

resposta correcta, creieu que la vostra proposta s'assembla?

Us ha agradat

l'activitat?

_Qub 6s el que m6s us ha agradat o desagradat? Per

::ii d|. I !. iii: !..r:!r

fr,9

Apticaci6

didhctica per

a alumnes de

5b

de

primhria.

FITXA

ALUMNE

PATUT

1:

LACASITOS

A

dins dd cada casella,

pinteu

una

distribuci6

que hh,giu fet:

us ha sorprbs d'aquestes distribucions?

'c\s w

PAIUI

2: MAPA

CIUTAT

Pinteu en el mapa

la

zona que ha de

repartir

cada nen o nena:

*9

,+

-*-r

.( f"* *AFlilg.#.lt de eurs* rx*drir;r*ni* Fl:ls!r*'1 l 3 l!Yi:5rF aterIi

ry

d€

Figura

67:

Mapa de Sant Sadurnf

d'Anoia

amb les cases dels repartidors marcades.

Font:

Google maps.

Despr6s de veure Ia resposta correcta, creieu que la vostra proposta s'assembla?

I

c, d *1il

M

-:'i:,i Us ha agradat

l'activitat?

Xo,vrr fi,;f,flf6*-,

f;{rtr-".:i

_,

#

.d'*

ks

Aplicaci6

didhctica

per

a

.l,r*r.t d.

5E,

d. p.i*ht

PAIUT

].:

LACASITOS

A

dins de cada casella,

pinteu

una

distribuci6

que hi,giu fet:

@

Qub_us

*""(i"^i""'i-,in

ha sorprbs d'aquestes

distribucions?

^

I

r

4

oovorrot t,i'+' 9!d'(u> &sL

,

acastT}

_"

i.c^

a {orna-

va

r

PART

_{2: $.APA}

CIUTAT

Pinteu

en el mapa

la

zona que ha de

repartir

cada nen o nena:

,:"

3:T

ti.l:;r.lrr:il, tl.j alt::r.-l :ra:*".i!,1r:r:i.:;I i: i il;.'r t {'11 :,riir

"

lrrrslit$l tr$l:$la

,

Jari*t V€rdag$er

"tl''."-

_::.,.

?

iir;,, -c'*d,:I"u.t"mlxg

ffi

_w

!

Pla4a Joar e*s*R+eas .! a,...: :Sf'e 4r r,.-t: a de! let enalgr V*liesa rilfrq .v "'-i" {:i S

,.

Go,.,gle

Figura

67:

Mapa de Sant Sadurni

d'Anoia

amb les cases dels repartidors marcades.

Font:

Google maps.

L l'? 1 _Xoc*lal*rie Plaqa Arilfilarnenl "t:.'J"l# ,.::.'i'.:i'#

'ffi:iffr$

' Plaqe df ,eianuel *aycnt*s I

trpri x,}idtla Sirc!

'.

*'-*':?=l"t.}:;;'::#

Us ha agradat

l'activitat?

C! . r *.er0tr,r.

q\jP Qub 6s el que m6s us ha o desagradat? 6

O-t _{, ,} 11

9a

Aplicaci6

didhctica

per

a alumnes de

5b

de

primhria.

FITXA

ALUMNE

PATUT

L:

LACASITOS

A

dins de cada casella,

pinteu

una

distribuci6

que hd,giu fet:

Qub us ha sorprbs d'aquestes distribucions?

PART

2: MAPA

CIUTAT

Pinteu en el mapa

la

zona que ha de

repartir

cada nen o nena:

ir!stitilt f$*ele J;rtinl Verd;lg*er

I

3t9

**H-"-lffil:9

€..\.

f-d

i1

\gl'

j "..

..:

":i

:.l;;:fflTHs

.Flaca dcTs Til i*:s at€ris ,J? Vitildt

I

ii;:T:l'9

Flaqi+ de ,Mnfiuel

Go

glc *s

Figura 67: Mapa de Sant Sadurni

d'Anoia

amb les cases dels repartidors marcades.

Font:

Google maps.

Despr6s de veure la resposta correcta, creieu que la vostra proposta s'assembla? Per qub?

w

Us ha agradat

l'activitat?

_Qub 6s el que m6s us ha agradat o desagradat?

(fQit- _{^n<p,^-\:rc - 1i rr5} \c^.r.-H.-- .n q--cr, _{Pc{?\ ,- pxr:-rs,-r('fin s.^} r

E

\

\L,^FO- cx-Q;\tr...

y\o1g*{\{.i

_{\ -.}

_6.q

\.J

qL\

_\€

_t.e,,\

Sac

Aplicaci6

didhctica

per

a alumnes de

5b

de

primhria.

FITXA

ALUMNE

PART 1:

LACASITOS

A

dins de cada casella,

pinteu

una

distribuci6

que hA,giu fet:

ffi,,,

ffi

@

&

-. r*'i.. f .-,,r Y,;.i ' \{4u?t _. ' '.,.,1'"',. !'!r.'(, *{:-:

ffi,

Qud us ha sorprds d'aquestes distribucions?

PART

2:

MAPA CIUTAT

Pinteu en el. mapa

la

zona que ha de

repartir

cada nen o nena:

\o}* \

\\q

\\

l* \

f" .\

Fl.?{s Josn e**Bns!a5 .fo a-;,

"

Fiaqr de '

.

_' Ma**el . *sventds Coll . _{x*rrln 4l} &lufll { , :tr, _*ja .rY 5

t,',;,,,,,,,,

S

IjEST$"S

_.,

.

Go*gle I

Figura

67:

Mapa de Sant Sadurnf

d'Anoia

amb les cases dels repartidors marcades.

Font:

Google maps.

Despr6s de veure la resposta correcta, creieu que la vostra proposta s'assembla?

I

Per qub?

Us ha

a$adat l'activitat?

Qub 6s _9l

qr"

m6s us ha. agradat o desagradat?

SEc

Aolicaci6

didActica Per

a

alumnes de

56

de

primhria-

FITXA

ALql4I\E

PART

1:

LACASITOS

A

dins de cada casella,

pinteu

una

distribuci6

que

hi'giu

fet:

Qud us ha sorprbs d'aquestes distribucions?

t"

-

,

Itl

rts

t

Qu*

i',;

CP*n

J

_^J

si

fi,{*

:'qe

Jei,

e>

Loir

calor5

PARjI 2:

MAPA

CIUTAT

Pinteu en el mapa

la

zona que ha de

repartir

cada nen o nena:

tnslitu! [srol6 Jieia! Ve$a$$er

.s

Plaea dd ler. Homefldlg* a la V*llesa Glrorfftbla

Y

rq#aa uingo

0

f.*1r{4* **rri . /7' c€rsR&* : *nl $e {{riFa i:31!sr1* teet,t*.irli ii F:a#+lt **lisl *r.:f!le!i.ti

p

.

.-€' r+ j

.*'*:*

*[:J;$:9

Ca! B{s'y Vint,cinc _S

I

.{-tt

q

Google

P,8EE d*. MorNrel

ftsv€ntds

Figura 67: Mapa de Sant Sadurni

d'Anoia

amb les cases dels repartidors marcades.

Font:

Google maps.

Despr6s de veure

la

resposta correcta, creieu que la vostra proposta s'assembla?

Per oub?

N

_,

r_tftA

rnrca

)eL

Aplicaci6

didhctica

per

a alumnes

de

5b

de

primiria. FITXA

ALUMNE

PART

I.:

LACASITOS

A

dins de cada casella,

pinteu

una

distribuci6

que hi,giu fet:

Qub us ha sorprds d'aquestes distribucions?

*

I

,]'i,=+l$.,

.

f)'

d, ir (li.i1;,t- ,1.

i#,l{ii,ii:,

n,

G

€ri :d

i

i ihr

'l

if; t,"",i

.

' :.", ,"li r J.i]

PART

2:

MAPA

CIUTAT

Pinteu en el mapa

la

zona que ha de

repartir

cada nen o nena:

,

lrtslitul f,sr:r}l& Ja{ial iJ*rditq*er

"

tt"*.,.

,, ..,;+lr

e

c'*ol*"?#l:9

I

_{Fl*;a Jo;n} eaE*n*vas u.. , aY,m .'aa ..a:'. ' :.

Plrca del let H*r'tendtg{

---a.la Vt$e,$F

Despr6s de veure

la

resposta correcta) creieu que Ia vostra proposta s'assembla?

.)e

L

FITXA

ALUMNE

Aplicaci6

didhctica

per

a alumnes de

5b

d

PART

1: LACASITOS

A

dins de cada casella,

pinteu

una

distribuci6

que hhgiu fet:

Qub us ha sorprbs d'aquestes distribucions?

Ouines conclusions en traieu?

i

.Jtratl

l*935

PART

2:

MAPA

CIUTAT

Pinteu

en el mapa

la

zona que ha de

repartir

cada nen o nena:

;ir*i1 -jt 't i .:ri! '; i' 'ii ! ' ,;.''lttl o:art.,r.,., * | -:' !! 1r

1^"''','

/.f

i

,'

ot

,*" ,t

f

t

_"'ii

_ii

_{i

.$

I qiace

delb

_i ,

'

Xill€rs;l,

I ti

i

iI'

i

r

i:

;:iai.ii,

'

,

"i"

{,;;.

i

.

.,,ui#it\,(t

;

l:i'

i;i'\\'

*#rl\

ffi',",,

n.ffi,):ti,

4^.,' .i'; i , '; ,l

*,

:;l ;, _; F,I t'i'n _:l ;:, '. ,,,' .,: jl I .:dlililFr + l, 't " ';;' . ..i I .iu1ib,*.

.""

fu *; \. \-. ;.e.".. i lri-'.: s

ff,t

ffi

-.?fi.&

:idtu

:',r:Sryfl rra,it:i+&

W

.J tr.'.1* \."-

_;s

2

Figlra

67:

Mapa de Sant Sadurnf

d'Anoia

amb les cases dels repartidors marcades.

Font:

Google maps.

Ush

agradat

l'tctivitat?

ub 6s el que m6s us ha agradat o desagradat?

Per

Despr6s de veure la resposta correcta, creieu que la vostra

qoPosta

s'assembla?

k/

)eL

Aplicaci6

didhctica

per

a alumnes de

56

de

primhria.

FITXA

ALUMNE

PART

1: LACASITOS

A

dins de cada casella, pinteu una

distribuci6

que hd,giu fet:

.:.,;::P .. ,;'i 'i.. ,r'l' ' ,ft* ,l , i'.":'

.&\

s

,,,

Qud us ha sorprbs d'aquestes distribucions?

_yr

_o

i'h

_".

ft

ba...,

v7

12\

\

Quines conclusions en

traieu?

C;

,l

5- 5-,(eS €g

PART

2:

MAPA

CIUTAT

Pinteu en el mapa Ia zona que ha de

repartir

cada nen o nena:

I

.r' t' ,,?" -6-'.. s.,* ir1$til{.tl f $i:*l& Ja*int Uetde$*er Plaqa Joan e*San+{q$ i "1, Comp{ex esportru

(f

zma Eep6fllva Y ' '*? . i:irre:.-!i ija,rJ:: l ril . i-9 tu*- i' .p

j

,,.

*,

*:ffffffi

;mff

-9"*-**-Font:

Google maps.

Despr6s de veure

la

resposta correcta) creieu que la vostra proposta s'assembla?

Per

oud? .-

_'

-2i

1:+

, i ':.t-

i

I

\.r r.r ..j

r'"*

Ptaqa dels ', :'" tl \-. '' '"Pldqade

-,I .. I

', .

..OI"i':l?]i.__

Plaqa \. J* -\ _'"or''"' ''$ L.

f : : T Font dcl Mingo A;illt€menl

Us ha agradat

l'activitat?

Qud 6s el que m6s us ha agradat o desagradat?

SUc

FITXA

ALUMNE

Aplicaci6

didh"ti".

p., . .lrr*t.t

du

56

PART

f

:

I,RC,q.SITOS

A

dins de cada casella,

pinteu

una

distribuci6

que hh'giu fet:

Qud us ha sorprds d'aquestes distribucions?

fl*ne

_*e&dm

.{a;';#-*}"

Quines conclusions en traieu?

PART

2:

MAPA

CIUTAT

Pinteu en el mapa

la

zona que ha de

repartir

cada nen o nena:

\.dar:

'q-

*lll,T[115ffi:1

+ d-r--

,/

''

_:i.:.

.

c*,,*-

0

['"'T#::

.,/

.*o""

\

.

''''";

/'

r

i'*''

_{\q. *'*L'SHQ}

t.

-ilY

ll'l'.1.::,1;t*"'"'u

oo."

''.\; il

,;",,n

. ..,.r c^r.j+rlr - _{'t . ,_/} i

^I":':'j

r _{.1r.1 C} rr 'f,tir "t, . r'

I

"-r'',*

,,":t' ft*staur$rtcar;Quelu

j !:S i

..civBs ft*staunirntca,;Quelu

" j j-S_

,.-

.*":,fff*"Jf

₉

q.*?1

"

z^*'*JJ!;l;

'

_{q" ^4.}

_d

_r

etglalls

i

\ i):

Sr

_nt !.i.

r'

rauscan,:isai.*:n**$

*',

#ry*4

**

J;$i:f

l"

Gr-";, n-,' -+'t

61];::l[

'

_!ffielMingo

@ _- c*rwPry*1 _Rrstnula*l f,uina ilnh;na

'j[j,T$:s#'

:fiJ'Tf;:Fry

_{" i}

Goosb

Figura

67: Mapa de Sant Sadurnf

d'Anoia

amb les cases dels repartidors marcades.

Font:

Google maps.

Despr6s de veure

la

resposta correcta, creieu que la vostra proposta s'assembla?

Per

qub?-,

-

I

_^-vl.'

r"

..?

I

-)^t:

s

.i.

GRAU DE MATEM `

ATIQUES

Treball final de grau

APLICACIONS DID `

ACTIQUES

DEL DIAGRAMA DE VORONOI

I DEL PROBLEMA INVERS

ANNEX 2

Fitxes dels alumnes de la implementaci´

o de les aplicacions

did`

actiques al Col·legi Sant Josep

BATXILLERAT

PRIMER GRUP

PART 1:

DIAGRAMA

DE

VORONOI

USANT

MEIIIATRIUS

Obre el GcoGel-rra. en la scva vr:rsi6 clLssica. ql1c es

troba

al

link

https

: / /ul,l"ut.

geogebra.

arg/c}.assic

i

marca

tres punts

alr:atr-rris

tx

l'esllai

de

treball

usant la

r:rvmantrTa pu,nt"

q*e

6s

la

serg6onaicrtna de

la barra

rk: cornanrles:

la merliatriu

r:ntre cilda pareil rle puuts.

. a-;-t. , ".:-.' " i ':. :' 'i' . _{i ..".,,"..*} 1 '{ ud51' .r{ :1 rr:i.) ,1 1 ;""'; '1' "'" r''z''e ill,..:""-er''

al

diagrawru rle

{isart

la

e:ornanrft rnedla,tm,xt.

dibuixar

Qr:iaa clisthnci:l

hi

ha entre el

vlrtex

I

cada

purlt

generad*r"l D'aqrx:stes

firridiatrius,

sr:loccionar

la

serrrircc;ta

q*e

$)rrespt)ll

Voroucri- rlue 6s

la

que r,:stl rn6s pro\)t:ra als das punt$.

\li

\,lzi!

\ ,,r/

i

'r>"(

,/,'

_\r/\

Arir

mou cls punts usant 7a trtvtarxltt lulau,

i

otlscrv,,t qrri: _1;a'rsa.

T'l

.o

, '

.

.

:'

'._.'

,.':

-'

'.'

4,

[3 [1or

'f lna t e a ;aiz t.t _:tri; ar! _alr,ecieg ge.-et- * _l

1f '-,,,

PART

2:

DIAGRAMA

DE

VORONOI

Obrc

un

nou

cspai

de

treball

sclcr:cionant

la

icrona de

trr:s

barrcs rlet

l'r:xtrrtrt

superit-rr de la

drcta

i

dcsprds

+Nou

i

rnarca uns purtts aleatr-rris en l'espai de trel.lall, u-sant

la

comanda

punt.

seguidament usa

Ia

comanda

Voronoifilista

de

puntsl

per

tal

qrie

el

programa

et

doni

el

diagrama de

Vrronoi

riels

punts

rlue has

rlibuixat.

Obsenar:i6: r:al donar una

llista

cl'almenls tres punts difererrts.

o 0 O @ o o o 1..)

\

a\

.

1". ^!

r'

! Fc! . . **-**"-*J D\ o, a b a o E a

\

E= -.,! r!4 i = ,:; ,'ar t.= 1.1 li : rlr E-.1-+tall f=.ll:j,tii) ;,i1,Ll = !rri:i(),tir E a L f F Ll,

Figura

75:

Primer

es

dibrrixa

el

r:onjunt

dr:

punts

i

despr6s s'aplica,

la

contanda

Voronoi(A,B,C,D,E,l',G)

i

s'citt6la

partici6 taronja.

A

la

dreta, les entrades de les

cornanrdes p{:}r a{ru:st r:xernple.

Obre

un

espai

nou

de

treball, dibuixa una

circurnferbncia

usant

ia

comanda

r:'trr:umfe:rin r:io,

i

rnarca 5 punts a sotrre.

)

.A

,' I

_:.

_E',.:'

t'.

::

':'

+

*

O Crrcum{€r}ncu domts 61 cenlre r ur purlpe'on pffiH

''1?: l rcurte'ett.z iie'i'e . Ral!

'.:' c,. ro,

{) l,',ar"ttr'r.r-u,ie pessa lei ttes p;nts

Fes el diagrarna de Voronoi d'artruests

punts. Mou

els punts, qub passa?

Quina

reLacil

hi

ha entre r:Ls punts

i

la

ilflubncia

de les i,rees?

pAItI

_3:

_DIAGRALA

_{DE VOIIONOI}

SCIBRE

UN

MAPA

Prr^s

1:

Birscar

a

Gr:ogie

un

mapa d'unzr

r:iutat

amb rr:stilttrants, farmlcir:s

o

t-rertigues rnax:ats.

Pa,*

2:

Insertar

un

rnap&

d'una

q:itttat

_a

l'espai de

treball

dei

Ger:Gebra

usatt

ia

comacd

a

im,atlSe

dins

la

icona del

punt

liiscant

r1e

la

barra de

comandes

o

b6 arra.straat l*. irnxtge: a I'espai de trebali.

...

_{." ., : ..}

_,.r.:

_.':..[rl

_.i

I _{l:a €r.ti} t.r.,

...- t.

! "'s'

" t aa:z.tee a.:'t ra: rr!:i1 1:r2,1i 1 a lllaa:rj

r 1 at14 af! l'tazai:lla

Ilas

3:

Dibuixar

un

punt

en carl.a rnarca &el

xnpa trobat

usilnt La crsntan:,d.a punt

treballada anteriorrnent.

Pax

4:

Fer

cl

diagrama rle Vare;roi dr:ls plrrrtii rlarca,t"$, u,sant la" coruanda

Vrsra-noi$lista

de puntsl.

.rtrn,atu! @Fr

Figrrra

76:

A

}'esquerra,

el

rnapa

r:btingrit

aI r:ercador

i

a

la dreta

el re-sultat finai:

cl

diagrama rlc Voronoi rlels punts marcat$

A

on

p*sari*s

ett aqtrest exernple

rna

no1'a farunht:ia7

Ye;

qub'l

Qrina

fir"rtnhcia clirnirrarics? Per qui:'/

m

PAIIT 4: DIAGRAMA

DE

\rOIIONOI

II{VER,S

Resol

inturtivament

a

mh

cl

problema del diagrama do Voronoi invers aconsegtrint

els

punts

generadnrs que

facin

que

el

teu

diagrama de

Voronoi

et

quedin com e1s

segiients. (si vols, pots comprovar-ho amb el GeoGebra donant els punts generadors

i

veient si el d6na el resultat esperat).

A

m6s, indica quins d'aquests ca.sos la soluci6

es uolca:

w* d'w*

3 R,ectes paral.leles

wis

l'wx

l'^,^*

{a) (c) Crcu

AYtu*'

wrts

{d) Estrella

(e) estrella no degenerada

(f)

variat

t'rY'xCl-PART 1:

DIAGRAMA

DE

VORONOI

USANT MEDIATRIUS

Obrc el GeoGr:bra, cn la seva versi6 clilssica. que cs

troba al

link https

: /

/vuv.

geogebra-org/classic

i

rnarca

tres punts

alea,toris en l'espai de

treball

usant la

cornanrla

punt,

qtrc 6"s la segona icona de

la

barra de comandes;

D'arluestes nrcdiatrius,

Vr-rrr:ncri. qr,re 6s

la

quc cstir

seieccioner

la

semirecta que correspon

al

diagrama de rn6s propera als dos punts.

't'o

h

_{E /}

nr.'.,']

{:)

i: .:

"r

+

Llsant Ia c:omanda m,ediatriu. ditruixar

,l

'l'

i

.Ara nlou cls prrnts

,,\,

//\

usant

ia

r;cmandil, IVIou,

i

observa

r;ui

pru.;sa,

T'-.l a r /.\ .a

\ lrou

y' an1r.a a.sCa,'tir, cls c:je.!es,Jsa.-el ,ls

,/'-"r,

4Quina

_distirncia

_hi

_{ha entre el vbrtex}

_i

_cada

_punt

_generador'!

<{g\r\e\t -l;* s

-

G'O:

r,

{

Quina

relar:i6

hi

ha entre e}s punts

i

les arestes?

C\,(r (.)r<\trc:r \\L \d! _{-\C\ \\f;k} r'... ct -:3\;d.(-i..-

PAIUT

2:

DIAGRAMA

DE

VOILONOI

Ohre

un

nou

espai

de

treball

seleccionant

la

icona

de tres

barres

dc

l'extrem

superior de la dreta

i

desprds *Nou,

i

marca uns punts aleatoris en l'espai de

treball,

usant 1a cornanda

pttnt,

seguidament usa

la

comanda

Voronoifllista

de _Ttunts] per

tal

que

el

programa

et

doni

ei

rliagrama de

Voronoi

dels

punts

qtte ha-s

dibuixat.

Observac:i6: cal donar una

llista

d'almerry's tres punts diferents.

B t @ r=i,r*^,+r 'r' € r=r-::;rc, : ej a=,-rr l.l C o=r.rl;r' 13 E=.'r'.o, @ r=.rii:rr : @ c= -o: ral, i

a

ry" = _{":t:'":'L:: I}

I

i-l!-a a a D a E a a

Figura

75:

Primer

es

dibuixa el

eonjunt de punts

i

despr6s

s'aplica

la

conranda

Vorono'i(A,B,C,D,E,F,G)

i

Jobtd la

partici6

taronja.'A

la

dreta, les entrades de les comandes

per

aquest exemple.

Obre

un

espai

nou

de

treball, dibuixa

urra

circumferBncia

usant

ia

comanrf,a

circumferincia

i

marca 5 punts a $obre.

\

.^

.,/

_-!

l.

_@*

d:

\'.

'::

.tr

Cr+'o**k:,#r,c8ilu.sjj]ir!ql{g,paipt a^

L,i ur.aunietena a r,etlro Haf,r

G (:o.pas

{} Crcurre,itr-ta cip ,assa pz' Irs ,J1ls

4

Fes el diagrama de Voronoi d'aquests

punts.

Mou els punts, qub passa?

Quina

relarii hi

ha entre els punts

i

la

influbncia de les hrees?

Glsi-: :d _{<rr+rorf. .lJu-r f.trq\t- gr} t 'O:r-f:rl-, e{c} \r: q _t .r _s*: ,\.n{ip-cQrx tce---,

r=ta,Fr\ \,-r -,.LsrrC(.u

.(

_Quin

angle 6s el

rnlxim

qile es

pot

assolir entre duqg Arer;l[g;? Per qu}?

PAIIT 3: DIAGRAMA

DE VORONOI

SOBRE

UN

IVIAPA

Pa-s

1:

Brrscar

a

Coogie

tm

mapa

d'una ciutat

amb restatlrants, farmlcie;;

o

botigues marcats.

Pa;s

2:

Insertar

un

mapa

d'tma

ciutat

a

l'eryrai rtre

treball

del

Ger:Gebra r-lsa,:nt

la

r:oma:rd

z

imatge

dins

la

icona

del

punt

lliscant

de

la

barra rie

cr:mandes

o

b6 erra.$trant

la

imatge a l'espai de tret-rail.

l* trli:&.a(,

'.X..**.'q',,,,lji,:;;, tr:ltlilitl;:.i:::

l!-Br E.rl

s I caqe;'e a-" ct:.:l per r',a5',tat arai* e\ ttpaiea

Pas

3:

Dilruixar

ur

punt

en cada marca del mapa

trotrat

usant

la

ctsmand.a

punt

treballada anteriorment.

Pa-s

4:

Fer el diagrama de

Vor*noi

dels purrts fitarcats, usant

la

cornanda

Voro-noi,fiti.st* d,e puntsl.

^,r.,riavid _-o

'

o'-"""b"c9iffii'-*

Fs,",tr'Mv - S orra'rlr']e'G-4r vrm*",hft\ 9"""*'^,,**" Fs&'v's#.v Fa'mac,a Jorch Y Fare.aP&eH@ Go. sle

Figrrra

76: A.l'esquerra,

el

rnapa

obtirrgut al

cerca<lor

i

a la dreta

el re"sultat fina1:

cl

diagrama de Voronoi dels

pullts

marcats

o(

_A

_{on pr_rsaries en aquest exernple un& nol'a}

_farmllcia'l

_{Per tlub?}

AS

qeYykG

da

.LrsBrls{-{Y:

cle

\"t'rc\f,c\l

1*{-q.r$

-

qr-rec\cr,<*ar:

cc-<r$(cusijr-<e":F

*{- _{Quina f*r'mhcia elirninarics? Per} quir?

(Lr\rr cjp \e:'r dFt rac'n\g '5's c\\qp e\ rp(\rur c-JL

sr'C{..-${'\eS

Qx e-.JHe!

m i

**,.*p*"*

O Farm*io Ptanas rugg a

ry

rx*

PAIUT

4: DIAGRAMA

DE VORONOI

II\[/ERS

R.esol

intuitivarncnt

a

mh

el problema del diagrarna de Voronoi invers aconseguint

els

punts

generadors que

facin

que e1

teu

diagrama de Vc,ronoi

et

quedin com els

segiients. (si vols, pots comprovar-ho amb ei GeoGebra

dotant

els punts generadors

i

veient si el d6na el

resultat

esperat).

A

m6s, indica quins d'aque.sts ca,sos la soiuci6 6s rinica:

(a) 3 Rectes paral.leles

lS

(c) Creu

(b) Lambda

{d) Estrella

si

PAR]T

1:

DIAGRAMA

DE

VORONOI

USANT MEDIATRIUS

Obrc

cl

GcoGebra, cn

la

scvir vr:rsi6 clLssir:a.'qlre cs

troha

al

link https

: / /wl"l:';r.

geogebra.

atg/classic i

marca tres

punts

aleatoris en l'espai de

trehall

usant la

comanrla

punt,

gtte e-s

ia

segr"rna it:ona de

la

barra de comandes;

t';

_{E/ i ..}

i:'i-:,/".

.i

":'

₊

Usant

la

r.;nmanda med'iatriu,,

ditruixar

Ia mr,:diatriu errtre r:ada

parell

dr: pnnts.

A .f-rt. . ... .L ' .l * _{",--",,,", :} 'l leru:.xa aa .{ t]dsu .: \t.r1t l l1 >;... \i;iln'llrene '5 "'''"''"'

D'aquestr:s

rrediatrius,

seleccionar

la

sernirecta que correspolr

al

cliagrarna de

Voronoi. que (rs

_la

_que

_cstl

_rn6s

_propela

_{als dos punts.}

'r'"

Ara

rnorl r:ls trrrrnts ll$ant

la

cr:manda hfou,

i

otrserva r1u] pa.s,sa.

.o

_{\ .. t.-'i..: a'"...':'+}

\,n* -' ,,' ,,- . I \/ ir,a ra a:ala t;ur.: ys ctie,;ies gei.el' rs

i/:rt'

Qrrina rlisthnr:ia

hi

ha entre e-,1

vlrtex

i

cacla

punt

gcneradarl

c,pi.s,a

9)

=

5r4

Qrrina re,lac:i6

hi

ha entre els punts

i

les arestes? td. .fiiL)^mcL.r ;

,--^.i---i-PART

2: DIAGRAMA

DE

VORONOI

Ohre rrn nou

espai

dc

treball

sclcccionant

la

icona

de

trcs

barrr:s

dc

l'extrr,:nt

superir-rr de la dre;ta

i

despr6s

*liou

i

marca uns punts aleatoris en l'espai de

treball,

usant

la

comand

a punt.

sepridament u.sa

la

cornand

a

Voronoi{lli.sta de puntsJ per

tal

que

el

programa

et

doni

el

diagrama de

Voronoi

dels

pttnts

qtre hcus

dihuixat.

Observac;iir: cal dr-tnar una

llista

d'almenl'5 tres punts diferent"s'

a

\'./

e\."/

tot-_,t

aiF*:-\c FC!c/\. a _D.r O ""*=-_-_, ., o t t .t t-t" _,r/ f c\! )to," V' I I (, := - { .l S r = -.'i ',,0, ' O ,:= 1;,' -',,, ; @ o:.:r;r, (J E= ,:-.: \J F= :11 , O r=.r1,:r+ : li) ;,*',r=r',....,1r z. r, r o.l. +

Figura

7!::

Prirner

es

dibuixa r:l

coujunt de punts

i

rierspr6s

s'aplica

ln

cr:manda

Voronoi,(A,B,C,D,E,F,G)

i

s'aht6la

part,ici6

taronja.

A

la

dreta, Ies entrades cle les c0mal1des

per

aquest exemple.

Obre

un

espai

nou

de

treball, dibuixa una

circumferlncia usant

1a cornanda

cirr:umferirtcia

i

marca 5

pults

a

st*sre:.

I- A ./ \

'\ a - -? +

S S1cunrrelE',c,a Cosats.€l'c€Btr€ i ul purd _{@r on} pa:sa

-,-)\.1| '\:.a )-'P.e-tt. \rri€ 4ax.

f? _'i:rr'a:

{j r-rcur;er+tc,a r:e lassa re. i'er pJnts

Fes r:1 diagrarna de Voronoi d'aquests

pilnts.

Mou

els punts, qub passa?

Qrrina

rclacil hi

ha entre els punts

i

la

influbncia de les bre*s?

j,.

_E

_l;i

t:

)..1

':?

.r'

Quin

angle 6s el

mixin

que e$ pr:{, a,ssolir entre dues arestes? Per r1:rb?

PART

3:

DIAGRAMA

DE

VORONOI

SOBRE

UN

MAPA

Pa"s

1:

Brrscar

a

Gr:ogle u.n

mapa

rl'tina,

ciutat

amb

restaurants,

farmlcies

o

botigues marcats.

Pas

2:

Insertar

un

mapa

d'una

ciutat

a

l'e^spa.i de

treball

del

Ge*Gebra usant

ia

comanrl

a

intntge riins

Ia

icona del

punt

lliscant de

la harra

de

comandes

o

b6

arnu;trant la

irnatge a l'espai de trehall"

r/

11g rlr iir*rr

t*re+llrtr,rt,.-:l .till, :,1r,.',.:;i .i'

fcll ec:o

, t aaseta ce crr:trr pei rtgttzt ar1ia. a)a rt1l*

Pas

3:

Dit-rrrixar un

purt

en cada marca del mapa

trobat

txant

la

r:ornanda punt trehallada anieriorment.

Pa*

4:

Fbr e} diagrarna de Yoronoi

noifilista

d.e punts].

+*

6

,"*"-.*,...$"**"

,

I ,: "'!,1, 1 .,. _grmkE(,,e eiii:i:i::ilil,:fi", *!@

., . ,e

_,*",.*(r

Lvq?'str"* E Pr*tum s ovrbt,caddFmld* Qr-*r"r,r.,w"

dels pnnts

rlarcats,

usallt

la

eorcanda Vrsro'

Farmafia Joneh Y ? F6rsiaie Planas tl0gM ,Effi TK amrrruQu,'u Ftu6tud,rter uo oE

FiiSrrra

76:

A

l'esquerra,

el

mapa

obtingut

al

cercadx

i

a

la

dreta

el

resultat

finai:

cl

diagrama de Voronoi dels

pllnts

marcats

A

cirr pr-rsaries en aquest exemple

rna

nova tarmdcia'l

ller

qub?

n,l LF

cc''n---PPR'n

c,iq

.

Quina f'arrn;icia

*:iiuinarim'l

Pr:r qub'/

PARjT

4: DIAGRAMA

DE

VOR,ONOI

INVERS

R.rxol

inturtivament

a rnh

el

prohloma del diagrama de Voronoi invers aconsegrdnt

els

punts

generadors que f'acin que

ei

teu

diagrama de Voronoi

et

quedin com els

segiients. (si vols, pots comprovar-ho amb el GeoGebra donant eis punts generadors

i

veient si el d6na el resultat e.sperat).

A

m6s, indica quins d'aquests casos la soluci6 6s irnica:

3 R.ectes paral.leles

?ot

{-qd<LiAn-(r:) Creu

Pcn

vfJ<t-(Atz

{e) e^strella no degenerarla

-Ar; .lt.li

C

(b) Larnbda

if

1-r't

ica

(d) Estrella

ve-t ugit

ast

(")

PART 1:

DIAGRAMA

DE

VORONOI

USANT MEDIATRIUS

Obre

cl

GeoGcbra. cn

la

seva versiri clh.ssica. qlre es

troba

a1

link https

: / /uwu .

geogebra.org/classic

i

marca

tres

pnnt-< a,leatoris en

i'espai

de

treball

usant la

comanda

punt.

q:ue 6s la segr:na icona de

la

barra de comandes:

n

_{E, i}

_;.1)

{l

oi

.l

";, +

I-isarit

la

comanda rnedtatrmt,

dibuixar

D'aquestr:s

rnediatrius,

seleccir:nar

}a

semirecta que

corrrjspo[

al

rliagrama de

Voronoi. que 6s

la

que cstd rrt6s propera als dos punts.

t' I I

:l

i

,,'

..

,^

,/\

./\

,/'i\

/'\

Ara

_{rnorr cls lrrrnts}

lrant

la

r:omanrla lvfott

i

otrsr:rra rtrui: passa.

El

.^

_"

1

j

'

::

',-:' a'".

.

';'

₊

I t*ou

/ z.u -

" ) :):)'r"- :r 5 :'-.a.'.'.e5 )2a' :t'.i

I

-,,,,

Quina

distiincia hi

ha errtre el vErtex

i

cada

punt

generadorT

p-C.>

e'-f? un;aejs,

p- A:) e'4111 D-B:>

c'4-?,/<

Quina relaciri

hi

ha entre els punts

i

les arestes?

pq,ifs-PAITT

2: DIAGRAMA

DE VORONOI

Obre

un

nou

espai

de

treball

seleccionant

la

icona

de tres

harres

de l'extrem

superior de la dreta

i

despr6s

*Nou i

marca uns punts aleatoris en l'espai de

treball,

usant

la

comanda

punt,

seguidament usa

la

comanda Voronoi,fllista de

punts]

per

tal

que

el

programa

et

doni

el

diagrama de

Voronoi

dels

punts

que ha.s

dibuixat.

Obsen'aci6; cal

dotar

una

llista

d'almenl's tres punts difererrts.

B a o a aC D a E a a

Figura

75:

Prirner

es

dibuixa el conjunt

de punts

i

despr6s s'aplir:a

la

comanda

Voronoi(A,B,C,D,E,F,G)

i

s'obt6la partici6

taronja. A

la

dreta, les entrades de les

comandes

per

aquest exemple"

Obre

un

espai

nou

de

treball, dibuixa una

circumferEncia

usant

1a comanda

ci.rcumferincia

i

marca 5

purts

a sobre.

fr

.A

,,,'

I

j,

E

rJr

d:

.r.,

::r

.g

G) Clrost eno.ia OdlgE d carrt e r uE purd p€r otr pa$a

{) ,-r:p*.'"1'1,2 Certf€ RaJr

Q ccrpas

Q Circuriereac;a que pars? per 1.e5 punts

Fes el diagrama de Voronoi d'aquests

punts. Mou

els punts, qub passa?

Quina relaci6

hi

ha entre els punts

i

la

influbncia de les arees?

Quin

angle es el

mlxim

que es

pot

assolir entre dues arestes? Per

qui?

PART

3: DIAGRAMA

DE

VORONOI

SOBRE

UN

MAPA

Pas

1:

Buscar

a

Google

un

mapa

d'una ciutat

amh

restaurants,

farmicies

o

botigues marcats.

Pas

2:

Insertar

un

mapa

d'una

ciutat

a

l'espai de

treball

del

GeoGebra usant

la

comand

a

i.matge clins

la

icona del

punt

lliscant de

la barra

de

eomandes

o

b6

arrastrant la

imatge a i'espai de trebali.

tt .o .. : j. .. ii .2..'@1. ] - I' l: Frii 1'e'-r ,rf,-118, ,,,.. ,r r,:.::,. .,.,.,,,, loi errc

-, I ::az: z ce ct:::, pe.rnazt aFaa.t 3: ttn -i.

Pas

3:

Dibuixar

uil

punt

en cada marca del mapa

trobai

usant

la

*ama,nda

punt

trehal lada anteriormcnt.

Pa.s

4:

Fer el diagrama de Voronoi dels punts marcats, usant

la

coma,nda

Vrtro-noifilista

de puntsl.

o'''-"

!. "i Qr*"w^

,-*",*,€/-"'

o

--*

_b-c?;#'r"** r.rola.,6v E 9'-*"* s trv*ksderPo@s Qr*."r,*m. 'i , r*.rtu9

Figrrra

7$:

A

l'esquerra, el mapa

ohtingut

al

cercador

i

a

la

dreta

el

resultat

final:

cl

diagrama de Voronoi dcls punts marr:ats

.*,*e*"*

rJm4.Pr@5 @ o,r*s @ Go qle 1,4

(!r:-A

on posaries en aquest exemple urra nc]va farrni.cia'l

?

tO"&{

Per qub?

PART

4: DIAGRAMA

DE VORONOI INVERS

Resol

inturtivament

a

mh

el prohlema

Jel

diagrama r1e Voronoi invers

a'c.nseguint els

punts

g.o"rudo,,

q"" fu"i"

que

el

*"

aitst"'"a

de

Voronoi

et

quedin com els

segiients. (si vols,

pot,

"o*pr,,,,-r'o

u*r,

el GeoGebra clonant

els punts generadcrrs

i

veient si el d6na el resultat esperat).

A

m6s, indica quins d'aquests ca'sos

la solrtciti

6.s rinica:

(a) 3 Rectes Paral'leles

(d) Estrella

,4

dn{

le

(b) Larnbda

(c) Creu

PAITT

1:

DIAGRAMA

DE \/OR,ONOI

USANT MEDIATRIUS

Obrr: r:l GeoGet-rra, en la scva vc:rsi6 clA.ssica. qrre p.s

_troba

_al

_{link https}

_{: /}

_/vuv.

geogebra"

org/classic

i

marca

tres punts

alea,tc;ris r:n I'espai de

treball

usant la

comanda

prmt;

rque 6s ia segona icona de

la barra

de comandes:

h

_[r]

.' i

.'

.

,::

r.:.'

t. .'

"='

+

Lisant

la

rprnancla rrred:iatriu,

dibuixar la

rnr:diatriu

entle

cada

parell

de punts.

',

.^

,.f i.

.:1

;.

_{"'\ .'.} *-' +.

.,a a *:r )

\i.rlrre:,:

D'aquestes

nrediatrius,

sr:leccionar

la

sernirecta que correspon

al

diagrama V<.rronoi. quc 6s

la

que c.stl rn6s propera als dos puuts.

\l

i

\,1.:l

_{Vl ,/}

'l

* \'+"

t

,/ itt, ,^

./'

/\

,"

\.

Arzr mou els punts

llsant

1a c:omandzr lVlou,

i

obserra quri: passa.

' I .' i:;:'a"..'"-'*

\ t't+u

\9/ Erra ra al;aca Lrur; crls obreite5 gecret.is,

,f

.r,,

Quina

distlncia hi

ha entre el

vdrtex

i

cad,a

punt

generadot'!

Lr\- d.-a!tcir\c..r,- Ji- cJC

G _r

41

('ri'r

Quina relaci6

hi

ha entre el.s punts

i

les arestes?

Nl-E d<\ Cl/lrre dUi\cr Lir-c{"!rh{e_cefiqo. _{y\i |.€. \cA iyr<Lt<_ix(i} aiis.f<--(\L.J:_

(.rrr

lcris

c,(q,

pr-lfr t

s 1\Je

tc^

,toc rr\-

^

PART

2: DIAGRAMA

DE

VOR,ONOI

Obrc

un

nou

espai

de

trcball

scleccionant

la

icona

de

tres

barres

dt: l'tlxtrem

superior de la dreta

i

despres

+Nou

i

marca uns punts aleatoris en l'espai de

trebali,

usarrt

la

comanda

punt.

seguidament usa

la

cornanda

Voronoifilista

d.e ytuntsl

pet

tal

que

el

programa

et

dorri

el

diagrama de

Voronoi

dels

punts

rlue ha';

dibuixat.

Observaci6: cal donar una

llista

d'ahnenl's tres punts diferents.

B O a a a U I E a aG

Figura

75:

Primer

es clibuixa

el conjunt

de

punts

i

rlesprds

s'aplica

la

cornanda

Voronoi(A,B,Ct,D.E,F,G)

i

s'obt6la partici6 taronja.

A

la

dreta, le.s entrades de les ccmamdes

per

aquest exernple.

Obre

un

espai

nou de treball, dibuixa una

circumferbncia

usant

la

comanda

circumferincia

i

marca 5 punts a sobrr:.

G o O @ il + O=r.rli t:r1 F=.ill l!r) lA-\ fi a t _,:\' +

O Qirru$terincia dsrla6 d rersr?-i us pud r€r on passa

(?) _{,-n::r.'1e,e.:,a aelve} , qaJi

i! .;rrpas

{} l.rcurte,itx a ctre lassa re'T.s Frnt:

Fes el diagrama de Voronoi d'aquests

punts.

Mou els punts, qub passa?

Quina

relacil hi

ha eintre els punts

i

la

influbncia de les arers?

Lt Cst-lacL

^, wc.-f-uc\ . -t\.rJ'rai(* ti-q,=- CrlL ,{rg.J.rj € r8,J

t!!!(t\ J -k-- ait(t{,-(.t-r'-( \(iif(JL- (c.i\\{,-(..- (LL -!{.\ | (f,,f

i€r\\{y(:-(\6, c\I rrtiri c\j,-LS _{c\OS- errr\ES.}

Quin

angle es el

mixirn

que es

pot

assolir entre dues arestes? Per qubi'

1I(l'

t l1:ll r-.. , .. --1

PAFTI

3:

DIAGRAMA

DE VOILONOI

SOBHE

UN MAPA

Pas

1:

Buscar

a

Google

un

mapa

d'una ciutat

amb

restaurants,

farmicies

o

botigues marcats.

Pas

2r

Insertar

ur

il]apa d'una

cirtat

a

l'espai de

treball

del

Ge*Gebra u"sant

la

cornand

x

im,atgc

dins

la

icona rlel

punt

lliscant

de

la barra

de

eomandes

o

b6 arrastra"nt

ia

imatge a I'espai de tre.ball.

fr' .1 _r:rt ,rcarr

fi:,il#,r,,:;.1:i,',1,i''. . _{:.i :il":::. ;.,: rt:} foi ecr"

. l:r.: :.+:._'.',-- r'u;J :".;. ri

:Li.::i-Pa^s

3:

Dibuixar

un

puut

en cada rnarca del mapa

trobat

usant

la

camanda

punt

t rcba]iatla anteriormcnt.

Pas

4:

Fer el

diagrarra

de Varonoi dels

punts

marcats, usant

ia

comanda

Yoro-n oi,{lli.sta de punts}.

o-,*"

r**,,(,,1l@ouv ,n *E Qr"^*"co-o ir !,rrl ,*.",.*,0a

" ' o-"iiw'ffi"'*

F*EA.MV ^ I o! r- 'rraF t's vFM&iJd, o'**"^"-'* r**rtl"a"Q Fama.ie Csadras Farmacia Jonch _$ uuoo"Q*"* hrohtus@d Go ale

Figura 76:

A

l'esquerra,

el

raapa

obtingut

al

cercadnr

i

a

la

dreta

el

resultat

final:

el diagrama rle Voronoi dels punts rnarcats

A

an pi:saries en aquest exernple una nolra fa.rmA,cia? Per quts?

Fer u- .tor\c^ <agrjf\r.-ic-\(}-4G., 1ir Qsrn e-r1 _cctvl(:tcs cl"€,-rrc:-f. *u-, 41^

r*s:-Tcd-tt'<-s (-cfa(:g1\js(r-!etLL.1 e,n*-c.cr c.na1q6 mstl ds$-\c\.<'I:ls. <+ cr 1€- '.)lc\'''ccl Quirrar fa:'rnilcia eliurinaries? Per r4nbl

r\lCls:rOrr- Auf- <-efutfe, Cn n'\n-L Vq rvCA,te. cre. CcrrCS:r,*rCd.Cr,

f€rBjLj.i ,s V\d)- (xtcc>- (L,s\(tr\(;-c,- c,LEr'e. ej--&l

m

\

1

PAIIT 4: DIAGRAMA

DE

VOR"ONOI INVER,S

Resol

intultivament a mi, el

p:oblema

dcl

rliagrama de

Voronoi

invcrs acon-scguint'

els

punts

gereradors que

facin

que e1

teu

diagrama de Yororroi

et

quedin corn e1s

segiients. (si vols,

ptlts

comprovar*ho anrb el GeoGebra donant els pu:rts generadors

i

veient si el ddna el

resultai

esperai).

A

m6s, inclica quins rl'aquests easos la sohrci6 6s iinica:

{a) 3 Rectes paral'leies

(r)

Crr*r

{tr) Lambda

(d) Estrella

Usalt

la pareil de punts.

D'aqur:stes

nrerliatrius,

sr:1ecr:ir-rnar

la

sr:mirecta que come.spon

al

diagrarna de Vr-rronoi. que 6s

la

que e.st} rn6s propera als dos punts.

\l

t

Vl ./

'l

,/"1

/\

_,r'"'.

./

/\\

,'

' \

Ara

rnou els punts usant, 7a c:ot:nanda h'fou.

l.-1,

]

.o

,-

..

.'

. :'

L.l

i

i

otrsr:rva rlub pa,*sa.

{: . -.- 'f'

hu*

/ ."u-u t:rrr.---:-r :i.€::<: l)--:,.-: l -.1t

Qrrina

clistincia

hi

ha entre el vErtex

i

cada

punt

generadorT

PART

2: DIAGRAMA

DE

VO}LONOI

Obrer

un

nou

r:spai

de

trcball

scleccionant

la

icona dr:

tres

harrcs

de l'cxtrem

superior de la dreta

i

despr6s *Nau,

i

malca uns punts aleatoris en l'espai de

treball,

usant 1a c<rmanrla yturtt. seguidament usa

la

cr:manda

Voronoifilista

de

purfisl

yte.r

tal

que

el

programa

et

doni

el

diagrama de

Vbronoi

rle1s

punts

que has

dibuixai.

Obsen'aci6: cal douar una

llista

d'almenys tres punts diferents.

B a .F a D e E a

Figura

75:

Primer

es

dibuixa el

conjunt de

punts

Voronoi { A, B, C, D, E, l-, G

₎

i

s' obt6, la

partici6

taronj a.

comandes per aquest exemple.

i

despr6s

s'apiica

Ia

comanda

A

la

dreta, les entrades de les

Obre

un

espai

nou de trebail, dibuixa una

circumferbncia

usaut

la

comancla

circumfer|ncia

i

lnarca 5 punts a sobre.

k

.A

.,

\-

:.

₈

:-:

J". ..1

':'

*

*

O Crrcusrgr&ncB dsats €{ centro i uo pud per on passa

i|! {.r:u-Je,inc. a Ce.t€ Eadl

(.).._.rta,

{1 r-rcu:ieritc.e cle i,assa ie. ires prnis

Fes el diagrama de Yoronoi d'aquests

punts.

l{ou

eis punts, qub passa?

Quina

rclaciit

hi

ha entre els punt.s

i

la

influlncia

de les lrees?

\,

-*r#=*-.*

-

Oior=,.*-Quin

angle 6s el

mhxim

que erj

pot

a.ssolir entre dues arestes? Per qub?

PAITT

3:

DIAGRAIT{A

DE

VORONOI

SOBR.E

UN

MAPA

Pas

1:

Buscar

a

Google

un

mapa

d'una ciutat

amb

restaurants,

farmlcies

o

botigues marcats.

Pas

2:

kmertar

un

mirpa

d'rxra

ciutat

a

l'espai de

trebail

del

GecGe}:ra usant

Ia

comanda

imatge dins

Ia

icr:na

del

punt

lliscant

de

la

ba,rra

de

comande,s

c

hd

arrastrant la

imatge a l'espai de tretrall.

Pas

3:

Dibuixar

un pr:,rrt

el

cada rnarca del mapa troba,t usant La r:orma*da

punt

treballada anteriorrnent .

Pas

4:

Fer eI diagrama de Voronr:i dels

punts

marcats, usant

la

comanda

Voro-n oi,{l,lista d,e puntsl.

o.. -h,. ,..-rani@kabL,

,.,,,

o

""' ""fiQq:tr;r"* 'reA-#V' - E oq'rture'Fs vran&,s o'"'^*'ry m*vw"'Q ,ffi*..etssr *"*V Co qie

Figura 75:

A

l'esquerra, el mapa

obtingut

al

cercadnr

i

a

la

dreta

ei

resuitat

final:

el ctiagrama de

trbrcnoi

rlelr

punis

mar(:ats

A

on posaries en aquest e,xemple una

rova farmicia?

Per qub?

@

PAITT

4: DIAGRAMA

DE VOROI\IOI

INVEBS

Resol

intuitivament a

rnh el problema

rici

diagtama rle Voronoi invcrs aconseguint

els

punts

generadors qrr*

fu,"i'

que

ei

teu

diagrama de Vcrronoi

et

que4in com els

segiients. _{{si v6is,}

pot* *oorpror*-trro

arnb el GeoGelrra rlonant els

pult's

gene'radors

i

veient si el r16na el resriltat esperat).

A

m6s, inrlica quirm d'aquests c;asos la soluci6 ds iinica:

{a} 3 Rectes paral'leles {tr} Lambda

{f)

variat

,{a/v\r&

/-tt

)f

(c) Crcu {*1) Estrella

PAITT

1:

DIAGRAMA

DE

VOR,ONOI

USANT MEDIATRIUS

Ohrc

cl

GeoGebra, en Ia scva versiS cli^ssica, (lue es

troba

al

link https

: / /rtuv .

geogebra.

arg/classic

i

marca

tres punts

aieatoris en l'espai de

treball

usant la comanda

punt,

que 6s

la

segcna icr:na de

la

barra de comandes:

r. l-Tl _. . ' -r ri .' . r.r

Ll _{[']j '} ;'-." _{4'. ' ''- t'}

Usaut

lil

cnrnarrda medirrtriu.

dibuixar

La me:diatriu entre cada

parell

de punts.

rY lddEh, .d : r.rt r

l:--.: y',.

,l'i" .,,;r,"o.,,'

D'aquestrx mediatrills,

selr:c;cir:nar

Ia

.semirecta que correspon

al

diagrama rle

Voronoi. quc 6s

la

qrie estir

uiis

prolrera als dos punts.

,l I .t 'l I I I

-\

,/\

,/\

,/\

Ara

nrorr cls

pruts

usailt

1a romanda

Mou

i

obsrlrl'ii

rlui

p:xsa.

[-f] "o

,'

-!,

l. i:t

i..1r L.

ly ttcu

'y! _t,ta r a a :z:a lti: iFs alrq::?; ie:r -et' :s

;y' '-,:,

Quina distancia

hi

ha entre el

vbrtex

i

cada

punt

generador?

e-B+ zttl-

A 2lt2

\t

\i

\t./'

. \:,,

,,[

'...'

,/\

C-+

_zttZ

Qrrinir relar.i6

hi

ha entre els pr:.nts

i

les arestes?

QUa-

+t

t+rtJeh

u* t-t,+telxn

ot\tAvrt-u+

g.n-(A.F

PAIUT

2:

DIAGRAMA

DE

VORONOI

Obre

un

nou

espai de

treball

seleceionant

la

icona de

tres

barres

dc

l'extrem

superior de la dreta

i

despr6s

*Nou i

marca uns punts aleatoris en l'espai de

treball,

usant

la

comand

a punt,

segridament usa

la

comanda Voronoifili-sta de ytuntsJ per

tal

que

el

programa

et

doni

el

diagrama de

Voronoi

dels

punts

que ha.s

dibuixat.

Observaci6: cal donar una

llista

d'almenls

tres

punis

diferents.

B a @ s o 6 @ s 3 a F a Ic D a E a aG t'

Figura

75:

Primer

es

dibuixa el

conjunt de punts

i

despr6s

s'aplica

la

comanda

Vorono'i(A,B,C,D,E,F,G)

i

s'oht61a

partici5

taronja. A

ia

dreta, les entrades de les comandes

per

aquest exemple.

Obre

un

espai

nou

de

treball, dibuixa una

circumferEncia

usant

la

cornanda

circumferincia

i

rnarca 5 punts a sobre.

\

.A

,/.

,t

l,

_{E f}}

d:

).i

_=r

,1

O Crcffi&renc6 donEts el csotrB i un puru pBr on pas6a

$ Cr:unlerenr:a Cen:ire Ra,Ji

Q {:c.pirs

C Crrcurr{erenc,a que i6s9a pEr tre6 punts

Fes el diagrama de Voronoi d'aquests

punts.

Mou els punts, qub passa?

Quina relacid

hi

ha entre eis prints

i

la

influbncia de les hrees?

tftrr.sarR-e \2< r-IA rnAr-(elxA.

PAIIT s; DIAGRAI\{A

DE

VOR"ONOI

SOBR,E

UN

MAPA

Pa.s

1:

Brrscar

a

Google l.rn

nlapa

d'una ciutat

amtr restarlrants,

farrnlcies

o

botigues marcats.

Pas

2:

Insertar

u.n mepa

d'una

ciutat

a

l'aspai de

treball

dr.l GeoGebra usant

}a

r:omanda i,m.atge

dins

Ia

ieona

del

punt

lliscant

rle tra

barra de

cnrnandes

o

b'6

arrastratt

Ia imatgr: a l'e,spai de trebali.

tti .^

_{.,/ \ j.}

,,,

,;

*.

:..[!

*,

r' _{' : r;..r.e,:a"r}

.6;.rt'rB!'. .r, :''.il :1 _{. :. tr':i..1 1,,.,,} . t aaee a t:. ctt::r 2et rt3 rc, ar zlat e 3 1(taiga

Pas

3:

Ditrui-qar un

punt

en {:fid.:a Inarca de} rnapa

trohat

usant la r:awtanda ptmtt

treliallada

anteriorment.

Pa^s

4:

Fer

el

dia.grarna de

Vaxmoi

dels

punts

rrarcat.s, usant La r:rsmawd,a Yoro*

noiflli.sta d,e puntsJ.

o*,.*

n 9.*d.c,""* o ,' ,r: _,,.6 rftar "6iEvA

'

'o

-'-.o-Ea:#J"'*"" hffiAn*v _ \! 9!il'" I :o*' 'cF vr@.u.bd a'*"^"'-*. .*,,s6-."9 "m'^mS*'* Fan*6hds&q4r a","*fl ,E

Figura 7$:

A

I'esquerra,

el

mapa

cbtingut

al

cercador

i

a

la

dreta

el

resultat

final:

ei di;r,grarna ds Yoronoi rlels pnnts marc:ats

A

on pcrsaries en aquest exerrple ufla nova

farmilcia'l

Per qub?

'i.

AN

A

L-Ar

${s\fl\F.*< e\

€'''rcA

Quina farrsir.cia climiuaric;s'l

Pcr

qlx)?

,q1*

l{

C{. .

[.-\5t S€\

PAR]T

4: DIAGRAMA

DE

VOIIONOI

INVEILS

B.esol

intuitivamr:nt a

mir, el problema dei diagrama de

voronoi

invr:rs ar:or*cguint

els

puntr

gelerad"r-rrs

qo"

f*i1

que

el

teu

diagrarna de

Yoronoi

et

quedin

cor'

els segiients. (si vols, pots

co*prur'*-ho

amb ei GeoGebra donant els punts geaeradr:rs

i

veient si el ri6na el

resultai

esperat).

A

m6s, indica quins rl'aquests ca'sos la solrrr:id

6-s rinica:

(a) 3 B.ectes paral'leles (b) Lau*;rla

(c) Creu (d) Estrclia