𝑇 sen 𝜃 = 𝑘𝑞 2
𝑥2 , 𝑇 cos 𝜃 = 𝑚𝑔 ,
nelle due incognite 𝜃 e 𝑇. Osservando che
𝑥 = 𝐿 sen 𝜃
e dividendo membro a membro le due equazioni del sistema, si ottiene la relazione tra la carica conferita allo strumento ed il semi-angolo di divaricazione
tan 𝜃 = 𝑘𝑞
2 𝑚𝑔 𝐿2sen2𝜃 .
Introdotta la costante strumentale dell’elettroscopio
𝑞0= 𝐿 𝑚𝑔 𝑘 ,
che, assumendo una lunghezza 𝐿 = 5.5 𝑐𝑚 ed una massa 𝑚 = 1 𝑔, vale circa
𝑞0= 0.055
10−3∙ 9.8
9 ∙ 109 𝐶 ≅ 0.0575 𝜇𝐶 ,
la relazione precedente si può esplicitare in funzione della carica come segue
𝑞 𝜃
𝑞0 = sen 𝜃 tan 𝜃 .
La Figura 8 rappresenta tre funzioni al variare in ascisse dell’angolo 𝜃 tra 0 e 𝜋/2. Precisamente, si è riportato in blu il rapporto
La relazione tra carica ed angolo
Si supponga di rappresentare le due lamine (una fissa e l’altra mobile) di un oscilloscopio con due fili inestensibili di lunghezza 𝐿, collegati al medesimo punto fisso 𝑃 e sorreggenti due piccole masse 𝑚, dotate entrambe di carica elettrica 𝑞.
Figura 7: rappresentazione schematica di un oscilloscopio.
In condizioni di equilibrio, la risultante 𝑅 tra la forza peso 𝑃 e quella elettrica 𝐹 𝐸
𝑅 = 𝑃 + 𝐹 𝐸
deve essere equilibrata dalla tensione nel filo 𝑇 , in modo che
𝑅 + 𝑇 = 0 .
Detto 𝜃 l’angolo di cui si divaricano i due fili e 𝑥 la distanza tra le due masse, scomponendo le grandezze in gioco lungo due direzioni ortogonali, la precedente relazione vettoriale si trasforma nel sistema di due equazioni scalari
𝐿
𝑦1 =
𝑞 𝜃 𝑞0
≥ 0 .
Sempre nella stessa figura si sono anche riportate le due approssimazioni, rispettivamente in rosso ed in verde,
𝑦2= 𝜃 𝜃 𝜃 → 0 , 𝑦3 = 1 𝜋 2− 𝜃 𝜃 →𝜋 2 − .
Figura 8: carica indotta in funzione della semi-divaricazione.
Si osservi che piccole deflessioni delle foglie significano piccole cariche indotte,
mentre quando 𝜃 → 𝜋/2− la carica indotta è grandissima. Graduando la lettura
dell’angolo 𝜃, l’elettroscopio si trasforma in una elettrometro. Infine, la tensione nel filo risulta pari a
𝑇 = 𝑚𝑔
cos 𝜃
e risulta elevatissima quando 𝜃 si approssima all’angolo retto.
