RICHIAMI SU RETTA, PARABOLA
E DISEQUAZIONI
Una funzione del tipo f(x) = mx + q, con m e q numeri reali, è una
FUNZIONE LINEARE. Il numero q è detto INTERCETTA o ORDINATA ALL’ORIGINE, il termine m è detto COEFFICIENTE ANGOLARE.
Tale funzione è definita
∀
x ∈
R
e rappresenta una retta del pianocartesiano non parallela all’asse y.
Se q = 0, allora la retta passa per l’origine degli assi.
Esempio. y = 4 x
In tal caso le due grandezze x e y sono tra loro in una relazione di proporzionalità diretta.
Def. Due grandezze si definiscono direttamente proporzionali se il loro rapporto è costante.
A (x1,y1) B(x2,y2) m =
=
α
Δ
Δ
=
−
−
tg
x
y
x
x
y
y
1 2 1 2dove
α
è l’angolo che la retta forma con l’asse delle ascisse valutato in senso antiorario.RAPPORTO INCREMENTALE o TASSO DI VARIAZIONE
Ø Tasso di crescita del peso di un neonato tra la seconda e sesta settimana
Ø Tasso di dilatazione termica
y2-y1
m > 0 la retta è una funzione crescente (x1 < x2
⇒
y1 < y2) Per cui=
α
Δ
Δ
tg
x
y
>0α
⇒
acuto m < 0 la retta è una funzione decrescente (x1 < x2⇒
y1 > y2) Per cui=
α
Δ
Δ
tg
x
y
< 0α
⇒
ottusoCondizione di parallelismo tra rette:
r
//
'r
⇔
m
=
m
'
Condizione di perpendicolarità tra rette:'
m
1
m
'r
r
⊥
⇔
=
−
Equazione del fascio proprio di rette (retta passante per un punto assegnato P(x0,y0) ):
y
−
y
0
=
m
(
x
−
x
0
)
Equazione della retta passante per due punti: A (x1,y1) B(x2,y2)
1 2 1 2
x
x
y
y
m
−
−
=
ey
−
y
1
=
m
(
x
−
x
1
)
⇒
(
x
x
)
x
x
y
y
y
y
1 1 2 1 2 1−
−
−
+
=
⇒
1 2 1 1 2 1x
x
x
x
y
y
y
y
−
−
=
−
−
FUNZIONE QUADRATICA
Una funzione del tipo f(x) = ax2 + bx + c con a,b,c
∈
R ed a≠
0È detta funzione quadratica. Il suo grafico è una parabola generica. Ø Il grafico della parabola è simmetrico rispetto ad una retta
parallela all’asse y, detto asse di simmetria, di equazione
a
2
b
x −
=
Ø La parabola ha vertice nel punto di coordinate
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
−
Δ
a
4
;
a
2
b
V
conΔ
=
b
2
−
4
ac
Ø Se a > 0
⇒
la parabola volge la concavità verso l’alto Ø Se a < 0⇒
la parabola volge la concavità verso il bassoEQUAZIONI DI SECONDO GRADO
Risolvere un’equazione del tipo ax2 + bx + c = 0 significa risolvere il sistema
⎩
⎨
⎧
=
+
+
=
0
y
c
bx
ax
y
2ossia cercare le intersezioni tra la funzione quadratica e l’asse delle ascisse (asse x)
ac
4
b
2
−
=
Δ
Ø Se
Δ
>
0
⇒
l’equazione ammette due soluzioni reali e distintea
2
b
x
1=
−
−
Δ
ea
2
b
x
2=
−
+
Δ
(due intersezioni con l’asse x)
Ø Se
Δ
=
0
⇒
l’equazione ammette due soluzioni reali e coincidentia
2
b
x
x
1=
2=
−
(una sola intersezione con l’asse x)
Ø Se
Δ
<
0
⇒
l’equazione non ammette soluzioni reali, ciò vuol dire che la funzione quadratica non ha intersezioni con l’asse xDISEQUAZIONI DI SECONDO GRADO a > 0 ax2 + bx + c >0
Δ
=
0
Δ
<
0
0
>
Δ
2
1
x
x
x
x
<
∨
>
∀
x
∈
R
,
x
≠
x
1
∀
x ∈
R
a > 0 ax2 + bx + c
≥
0Δ > 0
Δ
=
0
Δ
<
0
2
1
x
x
x
x
≤
∨
≥
∀
x ∈
R
∀
x ∈
R
a > 0 ax2 + bx + c < 0
Δ
=
0
Δ
<
0
0
>
Δ
2
1
x
x
x
<
<
∃/
x ∈
R
∃/
x ∈
R
a > 0 ax2 + bx + c
≤
0Δ
=
0
Δ
<
0
0
>
Δ
2
1
x
x
x
≤
≤
x =
x
1
∃/
x ∈
R
RICAPITOLANDO
1) Nel caso di disequazione di secondo grado Pura, Spuria o
Completa con
Δ
>
0
, l’equazione associata avrà due soluzionireali e distinte e la disequazione sarà soddisfatta per intervalli esterni o interni, a seconda se sono concordi o discordi il coefficiente del termine di secondo grado e il verso della disequazione: 𝑥! − 25 > 0 ⇒ 𝑥 < −5 ∨ 𝑥 > 5 3𝑥! − 4𝑥 < 0 ⇒ 0 < 𝑥 < 4 3 −2𝑥! + 3𝑥 + 2 ≥ 0 ⇒ −1 2 ≤ 𝑥 ≤ 2
2) Nel caso di disequazione di secondo grado Completa con
0
<
Δ
, l’equazione associata non avrà soluzioni reali, per cui laparabola a cui il polinomio si riferisce non interseca l’asse x.
Pertanto, facendo in modo di avere il coefficiente del termine di secondo grado positivo, si avranno due casi:
𝑥! + 𝑥 + 1 > 0 ⇒ ∀𝑥 ∈ 𝑅
3) Nel caso di disequazione di secondo grado Completa con
0
=
Δ
il polinomio è necessariamente un quadrato di binomio, pertanto si presenteranno 4 casi possibili:𝑥! − 6𝑥 + 9 = (𝑥 − 3)! (𝑥 − 3)! > 0 ⇒ ∀𝑥 ≠ 3 (𝑥 − 3)! ≥ 0 ⇒ ∀𝑥 ∈ 𝑅
(𝑥 − 3)! < 0 ⇒ 𝑖𝑚𝑝𝑜𝑠𝑠𝑖𝑏𝑖𝑙𝑒 (𝑥 − 3)! ≤ 0 ⇒ 𝑥 = 3
DISEQUAZIONI RAZIONALI FRATTE
0
)
x
(
D
)
x
(
N
≥
o0
)
x
(
D
)
x
(
N
≤
Si studiano il segno del numeratore e il segno del denominatore, analizzandone la positività. Si costruisce poi un grafico dei segni su cui riportare gli intervalli di positività di numeratore e denominatore. Si determina, infine, con la regola dei segni, il segno del rapporto N/D.
Esempio.
0
4
x
5
x
2
x
2 2≤
−
+
−
Sol: (-2;2) Esempio.x
2
x
3
0
2 2≤
−
+
−
Sol:(
−∞
,
−
4
)
∪
(
−
2
;
+∞
)
SISTEMI DI DISEQUAZIONI
Si determinano le soluzioni della prima disequazione, si determinano le soluzioni della seconda disequazione e si rappresentano tali soluzioni su un grafico di sistema. (Le soluzioni di una singola disequazione vanno rappresentate con una linea continua su uno stesso livello, le disequazioni dell’altra disequazione su un secondo livello). Si ricercano infine le soluzioni comuni, ossia quelle che soddisfano entrambe le disequazioni.
Esempio:
