4   LE FUNZIONI

CAPITOLO 8. LE FUNZIONI.

1. Generalità sulle funzioni.

2. Le rappresentazioni di una funzione. 3. Le funzioni reali di variabile reale.

4. L’espressione analitica e il grafico delle principali funzioni reali di variabile reale. 5. La classificazione delle funzioni.

6. Il dominio di una funzione. 7. Il codominio di una funzione.

8. Le intersezioni di una funzione con gli assi cartesiani. 9. Il segno di una funzione.

10. Funzioni iniettive, suriettive e biiettive. 11. La funzione inversa.

12. Le funzioni crescenti e decrescenti. 13. Le funzioni pari e dispari.

14. Le funzioni periodiche. 15. La funzione composta.

16. Le trasformazioni di una funzione. 17. La traslazione.

18. La simmetria assiale. 19. La simmetria centrale.

20. I grafici delle funzioni con valore assoluto. 21. La dilatazione delle funzioni.

22. Esercizi vari per determinare le principali caratteristiche di una funzione.

1. Generalità sulle funzioni.

Una funzione è una legge di corrispondenza che a qualche elemento a di un insieme A fa corrispondere un elemento b di un insieme B.

Si indica scrivendo:

f :AB

e si legge “ effe di A in B”. A si chiama insieme di partenza;

B si chiama insieme di arrivo.

L’insieme di tutti gli elementi di A che hanno un corrispondente nell’insieme B si chiama Dominio della funzione e si indica con D.

L’insieme di tutti gli elementi di B che hanno un corrispondente nell’insieme A si chiama Codominio della funzione e si indica con C.

Per indicare che all’elemento aAla funzione f fa corrispondere l’elemento bBsi scrive b f(a) e l’elemento b si chiama immagine di a.

1.

A B A

=insieme di partenza

B

=insieme di arrivo

𝑎

₁

.

. 𝑏

₁

D C D

= dominio

C

= codominio

𝑎

₂

.

. 𝑏

₂ 𝑓(𝑎₁) = 𝑏₁

𝑎

₃

.

𝑓(𝑎₂) = 𝑏₂

𝑎

₄

. . 𝑏

₃

. 𝑏

₄

𝑓(𝑎3) = 𝑏2

𝑎

₅

. . 𝑏

₅

2. Le rappresentazioni di una funzione.

Una generica funzione si può rappresentare in tre modi: con i diagrammi di Eulero-Venn, con una tabella o con un grafico cartesiano.

Per esempio, se consideriamo la funzione che col passare del tempo ad ogni ora della giornata associa il valore corrispondente della temperatura espresso in °C, questa funzione si può rappresentare con il seguente diagramma di Eulero-Venn:

tempo (h) temperatura (°C)

oppure con la seguente tabella: tempo (h) temperatura (°C) 1 8 2 9 3 9 4 10 5 12

oppure col seguente grafico cartesiano:

Bisogna osservare che mentre ad ogni ora della giornata corrisponde necessariamente un valore di temperatura, ci possono essere valori di temperatura che non corrispondono ad alcuna ora della giornata (per es. t=50 °C) e ci possono essere valori di temperatura che corrispondono a più ore della giornata (per es. t=9 °C).

0 2 4 6 8 10 12 14 0 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 8 9 9 10 12 ) ( C a temperatur   ) ( h tempo 

3. Le funzioni reali di variabile reale.

Se nella funzione f :AB l’insieme di partenza A e l’insieme di arrivo B sono entrambi insiemi di numeri reali, la funzione f si chiama funzione reale di variabile reale.

In tal caso, il generico elemento dell’insieme di partenza A si indica con x e il generico elemento dell’insieme di arrivo B si indica con y.

Per indicare che al numero reale xA corrisponde il numero reale yB si scrive y f(x).

La lettera x si chiama variabile indipendente; la lettera y si chiama variabile dipendente, poiché il suo valore dipende dal valore di x.

Le funzioni reali di variabile reale si possono anche rappresentare con una espressione analitica, cioè con una formula che indica le operazioni matematiche che bisogna eseguire sulla variabile x per ottenere il valore corrispondente della variabile y.

Per esempio le seguenti funzioni sono espresse in forma analitica:

𝑦 = 3𝑥 𝑦 = 2𝑥 + 4

𝑦 =

3𝑥−1

𝑥 𝑦 = √𝑥 − 4

𝑦 = √

𝑥 𝑥−3

Dall’espressione analitica, eseguendo i calcoli, si possono poi ottenere gli altri tipi di rappresentazione: la rappresentazione con i diagrammi di Eulero-Venn, con una tabella o con un grafico cartesiano.

In particolare il grafico cartesiano è il tipo di rappresentazione più utile per le funzioni reali di variabile reale, poiché fornisce un’idea immediata dell’andamento della funzione y f(x) al variare della variabile x.

4. L’espressione analitica e il grafico delle principali funzioni reali di variabile reale.

Le principali funzioni reali di variabile reale, con la loro espressione analitica e con il loro grafico cartesiano, sono le seguenti:

1. La funzione costante: yk

Nel grafico cartesiano si rappresenta con una retta orizzontale.

2. La funzione della proporzionalità diretta: ykx

Nel grafico cartesiano si rappresenta con una retta che passa per l’origine degli assi cartesiani.

3. La funzione della proporzionalità inversa:

x k

y Nel grafico cartesiano si rappresenta

con un’iperbole equilatera.

4. La funzione della proporzionalità quadratica diretta: ykx2 Nel grafico cartesiano si rappresenta mediante una parabola con il vertice nell’origine degli assi.

5. La funzione della proporzionalità quadratica inversa:

2

x k

y

Nel grafico cartesiano si rappresenta con un’iperbole non equilatera.

6. La funzione lineare: ymxq

Nel grafico cartesiano si rappresenta con una retta che non passa per l’origine degli assi cartesiani.

7. La funzione quadratica: 𝑦 = 𝑎𝑥2_{+ 𝑏𝑥 + 𝑐}

Nel grafico cartesiano si rappresenta con una parabola avente il vertice non nell’origine degli assi cartesiani.

8. La funzione potenza con esponente

intero positivo: yxn Nel grafico cartesiano si rappresenta

con una curva diversa secondo che sia n pari o n dispari.

9. La funzione radice n-esima: n

x

y Nel grafico cartesiano si rappresenta

con una curva diversa secondo che sia n pari o n dispari.

10. La funzione valore assoluto: y x Nel grafico cartesiano si rappresenta

con una retta spezzata nell’origine degli assi.

5. La classificazione delle funzioni.

Le funzioni reali di variabile reale espresse in forma analitica y f(x), a seconda di quali sono le operazioni matematiche che bisogna eseguire sulla variabile x per ottenere il valore corrispondente della funzione f(x)

, si possono classificare in questo modo:

1. Funzioni algebriche razionali intere, come:

y



2

x

2



x



2

y



2

x

3



4

x

2



5

x



3

2. Funzioni algebriche razionali fratte, come:

1 1    x x y 2 1 2    x x y

3. Funzioni algebriche irrazionali intere, come:

y



3

x



6

y x2 3x1

4. Funzioni algebriche irrazionali fratte, come:

1 1    x x y ₂4 x x y 

5. Funzioni algebriche con valore assoluto, come: y2x4 x1

x x y    1 3

6. Il dominio di una funzione.

Il Dominio D di una funzione reale di variabile reale è l’insieme di tutti i valori della variabile x per i quali si può calcolare il valore corrispondente della funzione y  f(x).

Per determinare il dominio di una funzione bisogna riconoscere il tipo di funzione e seguire questa procedura. Se la funzione è razionale intera y P(x), è sempre possibile effettuare le operazioni matematiche sulla variabile x per ottenere il valore corrispondente della funzione y  f(x), perciò non bisogna porre alcuna condizione sulla x e il Dominio è uguale all’insieme di tutti i numeri reali:

D



R

Se la funzione è razionale fratta

) ( ) ( x Q x P

y bisogna porre la condizione che il denominatore sia diverso da

zero Q(x)0 e quindi bisogna escludere tutti i valori di x che annullano il denominatore.

Se la funzione è irrazionale intera con la radice di indice pari: y P(x), bisogna porre la condizione che il radicando sia maggiore o uguale a zero: P(x)0 e il dominio è l’insieme dei numeri reali che verificano tale disequazione.

Se la funzione è irrazionale fratta con la radice di indice pari:

) ( ) ( x Q x P

y , bisogna porre la condizione che

il radicando sia maggiore o uguale a zero: 0

) ( ) ( _ x Q x P

. Per risolvere la disequazione si studierà il segno del numeratore, il segno del denominatore e poi il segno complessivo della frazione. Il dominio sarà l’insieme dei numeri reali che verificano tale disequazione.

Se la funzione contiene qualche valore assoluto e bisogna porre delle condizioni sulla funzione, si dovrà risolvere qualche equazione o disequazione con valore assoluto. In tal caso, se è possibile, conviene utilizzare qualche proprietà del valore assoluto per ottenere la soluzione più rapidamente. In caso contrario si dovrà utilizzare la definizione di valore assoluto e considerare il caso con argomento 0 e il caso con argomento < 0. Si dovranno quindi risolvere alcuni sistemi di equazioni o disequazioni.

Esempi.

7. Il codominio di una funzione.

Il Codominio C di una funzione reale di variabile reale 𝑦 = 𝑓(𝑥) è l’insieme di tutti i valori della variabile 𝑦 che si possono ottenere dai valori della variabile x. Per calcolare il Codominio di una funzione, si calcola la variabile 𝑥 in funzione della 𝑦 e si trova una nuova funzione detta funzione inversa 𝑥 = 𝑓−1(𝑦). Il dominio della funzione inversa 𝑓−1_{(𝑦).rappresenta il codominio della funzione 𝑓(𝑥).}

8. Le intersezioni di una funzione con gli assi cartesiani.

Sono i punti in cui la funzione interseca gli assi cartesiani.

È opportuno ricavarli per tracciare meglio il grafico della funzione.

I punti di intersezione con l’asse y si trovano risolvendo il sistema tra l’equazione dell’asse y, cioè x0e l’equazione della funzione y  f(x).

I punti di intersezione con l’asse x si trovano risolvendo il sistema tra l’equazione dell’asse x, cioè y0e l’equazione della funzione y  f(x).

Le ascisse dei punti di intersezione con l’asse x si chiamano zeri della funzione poiché in questi punti la funzione si annulla.

Esempi.

9. Il segno di una funzione.

Studiare il segno di una funzione vuol dire stabilire per quali valori di x la funzione è positiva (e quindi il suo grafico si trova sopra l’asse x) e per quali valori di x la funzione è negativa (e quindi il suo grafico si trova sotto l’asse x). Lo studio del segno di una funzione è di grande aiuto per disegnare il grafico della funzione. Esempi.

10. Funzioni iniettive, suriettive e biiettive.

Una funzione f :AB si dice iniettiva se ogni elemento di B è immagine di al più un elemento di A, quindi ci possono essere elementi di B che non sono immagini di alcun elemento di A.

Una funzione f :AB si dice suriettiva se ogni elemento di B è immagine di almeno un elemento di A,

quindi ci possono essere elementi di B che sono immagini di più elementi di A.

Una funzione f :AB si dice biiettiva (o biunivoca) se è contemporaneamente iniettiva e suriettiva, cioè se ogni elemento di B è immagine di un solo elemento di A.

11. La funzione inversa.

12. Le funzioni crescenti e decrescenti.

Sia y  f(x) una funzione reale di variabile reale definita in un dominio D. Si dice che la funzione è crescente in un certo intervallo I Dse:



x

₁

e

x

₂



I

:

x

₁



x

₂



f

(

x

₁

)



f

(

x

₂

)

Una funzione crescente ha il grafico che sale verso destra.

Si dice che la funzione è decrescente in un certo intervallo I Dse:

x1e x2I:x1x2 f(x1) f(x2)

Una funzione decrescente ha il grafico che scende verso destra.

13. Le funzioni pari e dispari.

Sia y f(x) una funzione reale di variabile reale, avente Dominio D. Si dice che la funzione f(x) è pari se:

xD:xD cioè il dominio è simmetrico rispetto all’asse 𝑦

e inoltre xD: f(x) f(x)

Cioè una funzione pari ha il grafico simmetrico rispetto all’asse y e quindi se un puntoP(x;y)appartiene al grafico anche il punto P'(x;y) deve appartenervi.

Si dice che la funzione f(x) è dispari se:

xD:xD cioè il dominio è simmetrico rispetto all’asse 𝑦

e inoltre xD: f(x)f(x)

Cioè una funzione dispari ha il grafico simmetrico rispetto all’origine degli assi e quindi se un punto

) ; (x y

P appartiene al grafico anche il punto P'(x;y) deve appartenervi.

Esempio 1. Stabilire la parità della funzione f(x)2x4 3x2 1 Bisogna calcolare f(x)2(x)43(x)212x43x21

Esempio 2. Stabilire la parità della funzione f(x)2x35x

Bisogna calcolare f(x)2(x)3 5(x)2x3 5x



2x3 5x



siccome f(x)f(x) la funzione è dispari.

Esempio 3. Stabilire la parità della funzione f(x)x35x23x2

Bisogna calcolare f(x)(x)35(x)2 3(x)2x35x23x2

siccome f(x) f(x) e f(x)f(x) la funzione non è pari né dispari.

14. Le funzioni periodiche.

Sia y f(x) una funzione reale di variabile reale, avente Dominio D. Si dice che la funzione f(x) è periodica di periodo T se:

xD:xTD einoltre f(xT) f(x)

Una funzione periodica di periodo T ha il grafico identico in ogni intervallo di ampiezza T.

Le funzioni goniometriche seno, coseno, tangente e le loro funzioni reciproche cosecante, secante, cotangente, sono le tipiche funzioni periodiche.

15. La funzione composta.

16. Le trasformazioni di una funzione. 17. La traslazione.

18. La simmetria assiale. 19. La simmetria centrale.

20. I grafici delle funzioni con valore assoluto. 21. La dilatazione delle funzioni.