Análisis Dinámico - Integración

An´

alisis Din´

amico: Integraci´

on

Facultat d’Economia i Empresa Universitat de Barcelona

Integraci´on indefinida Conceptos y propiedades M´etodos de integraci´on Integraci´on definida Conceptos y propiedades Funci´on integral

Aplicaci´on de las integrales

Aplicaci´on al c´alculo de ´areas

Podemos pensar que el origen de la integraci´on est´a en la

b´usqueda de soluci´on a dos problemas,

1) Dada una funci´on f (x ) definida en un dominio D

abierto, halla una funci´on F (x ) tal que

F0(x ) = f (x ) para todo x ∈ D. (Se puede ver como

operaci´on inversa de la derivaci´on).

2) Dada una funci´on f (x ) definida en un dominio D, tal

que f (x ) ≥ 0 para todo x ∈ D, dar una definici´on

del ´area entre la curva y = f (x ) y el eje OX que no

Por simplificar, en lo que sigue estudiaremos el caso de una sola

variable y limit´andonos al caso de que la funci´on f sea continua en

D. En algunos momentos estudiamos el caso de una funci´on que

Sea f (x ) una funci´on definida en un intervalo [a, b].

Definition

Llamaremos integral indefinida (brevemente integral) de la funci´on f (x ) definida en [a, b], a una funci´on F (x ) tal que

F0(x ) = f (x ) para todo x ∈ (a, b) .

La escribiremos _Z

f (x ) dx = F (x ) + C , donde C es una constante.

Vamos a explicar la presencia de la constante C . Antes, recordamos el siguiente Teorema

Theorem

Sea f (x ) una funcion derivable en un dominio abierto D. Si

f0(x ) = 0 para todo x ∈ D, entonces f (x ) = c para todo x ∈ D y

Suponemos que G (x ) es otra integral de f (x ) , entonces

G0(x ) = f (x ) para todo x ∈ (a, b) . Con estas hip´otesis podemos

enunciar

Theorem

Si F (x ) y G (x ) son dos integrales indefinidas de la misma funci´on

Dem: Dadas F (x ) y G (x ) definidas para todo x ∈ (a, b) ,

construimos la funci´on diferencia F (x ) − G (x ). Como ambas son

derivables en (a, b) , la diferencia tambi´en lo ser´a. Por tanto

(F (x ) − G (x ))0= F0(x ) − G0(x ) = f (x ) − f (x ) = 0, (1)

y, en vitud del Teorema anterior, tenemos que F (x ) − G (x ) = C , que reescrito nos da

Este resultado nos sugiere que la soluci´on de una integral indefinida

Propiedades: Dada la integral

Z

f (x ) dx ,

podemos enunciar algunas propiedades generales para simplificar el

Primera propiedad:

Z

kf (x ) dx = k Z

f (x ) dx .

Segunda propiedad: Z (f (x ) ± g (x )) dx = Z f (x ) dx ± Z g (x ) dx . Que se deduce del hecho de que

Tercera propiedad: Z (k1f1(x ) ± · · · ± knfn(x )) dx = k1 Z f1(x ) ± · · · ± kn Z fn(x ) .

C´alculo de integrales

El problema que resolvemos en esta Subsecci´on es el de encontrar

una funci´on integral F (x ) para la integral Z

f (x ) dx .

Con el objeto de calcularlas de una manera sencilla, podemos o

bien clasificarlas en tipos sencillos y f´acilmente reconocibles o bien

Integrales inmediatas

Como regla de clasificaci´on en tipos sencillos y f´acilmente

reconocibles, podemos enunciar

Definition

Sea dada la integral

Z

f (x ) dx .

Decimos que una integral es inmediata cuando, para solucionarla s´olo se requiere recordar las f´ormulas elementales de derivaci´on.

Veamos un ejemplo: Calcular _Z x dx . Soluci´on F (x ) = 1 2x 2_{+ C .}

Denotaremos por u = u (x ) una gen´erica funci´on real de variable real. R un_u0_{dx =} 1 n+1u n+1_{+ C .} R _u0 udx = ln (u) + C . R eu_u0_{dx = e}u_{+ C . R a}u_u0_{dx =} 1 ln aau+ C .

R sin (u) u0_{dx = − cos (u) + C .} R _u0

cos2_(u)dx = tan (u) + C .

R cos (u) u0_{dx = sin (u) + C .} R −u0

sin2(u)dx = ctan (u) + C .

R _u0

1+u2dx = arctan (u) + C .

R _−u0

1+u2dx = arcctan (u) + C .

R _u0

√

1−u2dx = arcsin (u) + C .

R _−u0

√

1−u2dx = arccos (u) + C .

Las integrales inmediatas, junto con la propiedad de linealidad de

la integral indefinida y la regla de la cadena del c´alculo de

derivadas nos permitir´a calcular de manera sencilla muchas

Integrales por cambio de variable Sea dada la integral

Z

f (x ) dx .

Con el fin de simplificar la integral, podemos definir una nueva

variable t = g (x ) de tal manera que podamos despejar f´acilmente

la variable original x , resultando x = h (t) que al derivar nos da

Al sustituir en la integral x y dx por los elementos respectivos,

resolver y por ´ultimo deshacer el cambio, obtenemos

Z

f (x ) dx = Z

Calcular

Z

La soluci´on es:

Hacemos el cambio t = x6_{, entonces dt = 6 x}5 _{dx de donde}

x5 dx = dt₆. Al sustituir en la integral Z 3x5ex6 dx = Z 3et dt 6 = 3 6 Z et dt = 1 2e x6 + C .

Integrales por partes

Sean dos funciones u = u (x ) y v = v (x ). Si derivamos su producto obtenemos

(uv )0 = (u (x ) v (x ))0 = u0(x ) v (x ) + u (x ) v0(x ) , al integrar la expresi´on se obtiene

Z (u (x ) v (x ))0dx = Z u0(x ) v (x ) dx + Z u (x ) v0(x ) dx .

Reordenando y simplificando da

Z

u (x ) v0(x ) dx = u (x ) v (x ) − Z

u0(x ) v (x ) dx ,

Calcular

Z

La soluci´on es: Z xex dx = xex− Z ex dx = xex − ex + C . u = x du = dx dv = ex dx v = ex

Integrales polin´omicas racionales Son integrales del tipo

Z _{P (x )}

Q (x ) dx ,

donde P (x ) y Q (x ) son polinomios con coeficientes reales y los grados de los polinomios son gradP (x ) y gradQ (x ).

Descomponemos el polinomio Q (x ) en factores primos (i.e. usando la regla de Ruffini)

Veamos primero el caso en que todas las ra´ıces son reales y simples, por ejemplo

Q (x ) = (x − a1) (x − a2) · · · (x − ak)

y transformamos el cociente en suma de fracciones simples de la siguiente forma

P (x )

Resultando la integral Z _{P (x )} Q (x ) dx = Z _A 1 x − a1 dx + Z _A 2 x − a2 dx + · · · + Z _A k x − ak dx , siendo todas inmediatas.

Ahora estudiamos el caso de que exista alguna ra´ız de multiplicidad l . Por ejemplo

Q (x ) = (x − a)l

y transformamos el cociente en suma de fracciones simples de la siguiente forma P (x ) Q (x ) = A1 (x − a)+ A2 (x − a)2 + · · · + Al (x − a)l, donde los coeficientes A1, A2, · · · , Al son a determinar.

Resultando la integral Z _{P (x )} Q (x ) dx = Z _A 1 x − a1 dx + Z _A 2 (x − a)2 dx +· · ·+ Z _A l (x − a)l dx , siendo todas inmediatas.

CASO 2. Si gradP (x ) ≥ gradQ (x ) .

Efectuamos la divisi´on de los polinomios, resultando

P (x ) = c (x ) Q (x ) + r (x ) donde c (x ) es el cociente y el r (x )

resto de la divisi´on. Finalmente, resolvemos la integral

Z _{P (x )} Q (x ) dx = Z  c (x ) + r (x ) Q (x )  dx = Z c (x ) dx + Z _{r (x )} Q (x )dx ,

donde la ´ultima integral, como gradr (x ) ≤ gradQ (x ) , se resuelve

Calcular

Z

5

La soluci´on es:

Primero miramos los grados de los polinomios y notamos que gradP (x ) = 0 < 2 = gradQ (x ) . Por tanto estamos en el Caso 1. Por Ruffini tenemos que

x2− 3x + 2 = (x − 1) (x − 2) ,

entonces la suma de fracciones simples ser´a de la forma

5 x2_{− 3x + 2} = A1 x − 1 + A2 x − 2,

Veamos un procedimiento de c´alculo de los coeficientes: 5 (x − 1) (x − 2) x2_{− 3x + 2} = A1(x − 1) (x − 2) x − 1 + A2(x − 1) (x − 2) x − 2 , al simplificar 5 = A1(x − 2) + A2(x − 1) ,

desarrollando 5 = A1x − 2A1+ A2x − A2,

reagrupando 5 = (A1+ A2) x − 2A1− A2,

Aplicando la regla que dice, dos polinomios son iguales si los

coeficientes de los t´erminos del mismo grado son iguales. Resulta

el sitema de ecuaciones

Por tanto, la integral queda como sigue: Z 5 x2_{− 3x + 2} dx = Z ₋₅ x − 1 dx + Z 5 x − 2 dx = −5 ln (x − 1) + 5 ln (x − 2) + C .

Calcular

Z

x2− 3x + 2

Primero miramos los grados de los polinomios y notamos que gradP (x ) = 2 ≥ 1 = gradQ (x ) . Por tanto estamos en el Caso 2.

Efectuando la divisi´on obtenemos que

x2− 3x + 2 x − 4 = x + 1 + 6 x − 4, luego la integral es Z _x2_{− 3x + 2} x − 4 dx = Z (x + 1) dx + Z ₆ x − 4 dx

Definition

Llamaremos integral definida de la funci´on f (x ) definida en

[a, b], a

Z b

a

f (x ) dx = [F (x )]b_a = F (b) − F (a).

donde F0(x ) = f (x ) para todo x ∈ (a, b) .

Dada la integral

Z b

a

f (x ) dx ,

podemos enunciar algunas propiedades generales para simplificar el c´alculo de las integrales definidas

Primera propiedad: Propiedad aditiva en el intervalo [a, b]. Si c ∈ (a, b) tenemos que

Z b a f (x ) dx = Z c a f (x ) dx + Z b c f (x ) dx .

Segunda propiedad: Sobre los l´ımites de integraci´on Z b a f (x ) dx = − Z a b f (x ) dx .

Tercera propiedad: Z b a kf (x ) dx = k Z b a f (x ) dx .

Cuarta propiedad: Z b a (f (x ) ± g (x )) dx = Z b a f (x ) dx ± Z b a g (x ) dx .

Quinta propiedad:

Sean f , g ∈ [a, b] tal que f (x ) ≤ g (x ) para todo x ∈ [a, b]. Entonces Z b a f (x ) dx ≤ Z b a g (x ) dx .

Sexta propiedad:     Z b a f (x ) dx     ≤ Z b a |f (x)| dx.

Ejemplo de funci´on definida a tramos: Dada la funci´on f (x ) =  x3 si x ∈ [0, 1) , 1 si x ∈ [1, 4] . Calcular la integral Z 4 0 f (x )dx . Soluci´on: Z 1 0 x3dx + Z 4 1 1dx = x 4 4 1 0 + [x ]4₁= 1 4 + 3 = 13 4 .

Sea f (x ) una funci´on definida en un intervalo [a, b] con la caracter´ıstica de que f (x ) ≥ 0 para todo x ∈ [a, b].

Definition

Llamaremos funci´on integral de la funci´on f (x ) definida en

[a, b], a una funci´on A (x ) definida por A (x ) =

Z x

a

f (t) dt = F (x ) − F (a) para todo x ∈ [a, b] . En general la escribiremos

A (x ) =

Z x

Entendemos como funci´on integral a la funci´on que se define

cuando uno de los extremos del intervalo de integraci´on para una

funci´on f (x ) es de car´acter variable, con tal de que f (x ) conserve

Aplicaci´on al c´alculo de ´areas

C´alculo del ´area de una funci´on positiva en un intervalo

Dada f (x ) = x + 4, calcular el ´area en el intervalo [1, 3]:

Z 3 1 (x + 4)dx = x 2 2 + 4x 3 1 = 12.

C´alculo del ´area de una funci´on negativa en un intervalo

Dada f (x ) = x2− 4x + 3, calcular el ´area en el intervalo [1, 3]:

Z 3 1 (x2− 4x + 3)dx = x 3 3 − 2x 2_{+ 3x} 3 1 = −4 3. El ´area es igual a 4₃.

C´alculo del ´area de funci´on que alterna signo en un intervalo

Dada f (x ) = x2− 4x + 3, calcular el ´area en el intervalo [0, 3]:

Z 1 0 (x2− 4x + 3)dx − Z 3 1 (x2− 4x + 3)dx = = x 3 3 − 2x 2_{+ 3x} 1 0 − x 3 3 − 2x 2_{+ 3x} 3 1 = 4 3− (− 4 3) = 8 3.

C´alculo del ´area entre dos funciones

Calcular el ´area comprendida entre la recta f (x ) = x + 3 y la

par´abola f (x ) = x2− 4x + 3.

Primero calculamos los puntos de intersecci´o de la recta y la

par´abola (x , y ) = (0, 3) y (x , y ) = (5, 8).

Podemos ver gr´aficamente que la recta est´a por encima de la

Z 5 0 ((x + 3) − (x2− 4x + 3))dx = Z 5 0 (−x2+ 5x )dx =  −x 3 3 + 5 2x 2 5 0 = 125 6 .

Generalizando todo lo anterior, tenemos la siguiente regla: Supongamos dos funciones f (x ) y g (x ), con puntos de corte de abcisas x1, x2, . . . , xn. El ´area comprendida entre ambas funciones se calcula como:     Z x2 x1 f (x ) − g (x ) dx     +     Z x3 x2 f (x ) − g (x ) dx     + · · · +      Z xn xn−1 f (x ) − g (x ) dx      .

Aplicaciones econ´omicas: Coste total con base al coste marginal.

Sea C0(x ) = x3+ 2x el coste marginal de generar la x-´esima

unidad de un cierto producto. Hallar el coste total suponiendo que los costes fijos son 45 u.m.

¿Cu´anto cuesta producir 100 unidades?

Nota: Tambi´en se puede hacer un ejemplo parecido con el ingreso

La soluci´on es:

La funci´on costes totales, CT (x ), ser´a la suma de los costes

variables, CV (x ), m´as los costes fijos, CF :

CT (x ) = CV (x ) + CF = Z x 0 (t3+ 2t) dt + 45 = x 4 4 + x 2_{+ 45.}

El coste total de producir 100 unidades ser´a:

CT (100) =R₀100 t3+ 2t
dt +45 = 100₄4+1002+45 = 25.010.045