La previsione delle vendite dei lm
L'industria cinematogra ca è un business con un alto pro lo e un'elevata variabilità nei ricavi. Nel 2005, gli americani hanno speso 8.8 miliardi di dollari di biglietti del cinema. Un singolo lm può fare la dierenza tra milioni di dollari di pro tti o di perdite per uno studio in un dato anno. Non sorprende quindi che le case cinematogra che siano particolarmente interessate a prevedere i ricavi dai lm; la natura popolare del prodotto inoltre rende particolarmente interessante la conoscenza dei diversi ricavi anche per il singolo cittadino.
Il primo ne-settimana in cui il lm esce tipicamente porta il 25% delle vendite; ci aspettiamo quindi che i ricavi del primo weekend siano molto predittivi dei ricavi complessivi. Questo ragionamento, ovviamente, ignora le diverse modalità di uscita dei vari lm (alcuni lm escono contemporaneamente in migliaia di sale nel primo ne settimana, mentre altri lentamente si diondono partendo da poche sale, e altri ancora vengono proiettati solo in poche sale contemporaneamente). È ben noto in questo contesto che i venerdì sera nei week end di uscita dei lm il clima nelle divisioni marketing delle case cinematogra che è piuttosto teso. Sulla scorta, infatti, di ciò che succede nel primo week end di proiezione spesso si decide anche sul futuro nanziario del lm stesso. Considerando la forte competizione presente nel settore, le sale cinematogra che non vorranno matenere in cartellone i lm che non sfondano più del minimo contrattuale. E questa eventuale assenza dal cartellone del grande schermo in patria renderebbe assai inverosimile un'ampia diusione del lm all'estero o il passaggio ai circuiti di pay per view o alle reti televisive. Ma è davvero vero che le vendite del primo week end sono predittive per il totale delle vendite nali di un lm?
Le analisi presentate qui si basano sui nuovi lm presentati negli Stati Uniti durante il 2004 per i quali nell Internet Movie Database (www.imdb.com) erano disponibili informazioni commerciali rilevanti. Si sono analizzati così un totale di 297 lm.
La variabile risposta che interessa è dunque il totale dei ricavi ottenuti dalla vendita di ciascun lm, mentre come variabile esplicativa si considera le vendite nel primo week end di uscita. Gli istogrammi delle variabili considerate mostrano che sono asimmetriche a destra (i ricavi totali variano da un minimo di $14811 per Easy ai circa 436.5 milioni di dollari per Shrek 2).
Ricavi primo week−end
Frequenze 0 10 20 30 40 50 60 0 50 100 150 200 Ricavi totali Frequenze 0 50 100 150 200 0 50 100 150 200
Per questa ragione si decide di utilizzare le trasformazioni logaritmiche dei dati osservati. Di seguito mostriamo i diagrammi di dispersione in scala originale e logaritmica.
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Log Primo week−end
Log Vendite totali
È evidente una chiara relazione tra le due variabili, sebbene non sia esattamente quello che ci piacerebbe trovare, visto che si osserva una varianza non costante. Per il momento ignoriamo questa osservazione e stimiamo un modello di regressione semplice.
Call:
lm(formula = Log.domestic ~ Log.1st.weekend) Residuals:
Min 1Q Median 3Q Max
-1.30411 -0.24921 -0.01233 0.16613 1.77045 Coefficients:
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept) 2.47608 0.13735 18.03 <2e-16 ***
Log.1st.weekend 0.71899 0.02274 31.62 <2e-16 ***
---Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1 Residual standard error: 0.4815 on 295 degrees of freedom
Multiple R-Squared: 0.7721, Adjusted R-squared: 0.7714
F-statistic: 999.7 on 1 and 295 DF, p-value: < 2.2e-16
Come prima approssimazione il modello sembra essere piuttosto buono. La relazione è molto signi cativa con più del 77% di variabilità dei logaritmi dei ricavi totali nell'anno spiegata dai ricavi del primo ne settimana. L'errore standard dei residui di ˆσ = 0.48 ci porta ad un ulteriore commento. Un intervallo di previsione approssimato per i logaritmi dei ricavi totali è circa ±2ˆσ ≈ 1. Cioè nel 95% dei casi il logaritmo dei ricavi è prevedibile con un errore di ±1. Poiché abbiamo usato i logaritmi in base 10 l'aermazione appena fatta
può essere riformulata dicendo che riusciamo a prevedere i ricavi totali a meno di un fattore moltiplicativo di 10; che signi ca che non saremmo sorpresi se il vero ricavo totale fosse un decimo di quanto noi prevediamo o dieci volte più grande. Tale aermazione ri ette il fatto che una relazione anche forte in scala logaritmica può trasformarsi in una grande variabilità nella scala originale.
Sfortunatamente, come il diagramma di dispersione suggerisce, gli assunti per la regres-sione sono violati da questi dati. C'è un'apparente non normalità dei residui, e una varianza chiaramente non costante (i lm meno redditizi sono più variabili). C'è anche una certa struttura nel gra co dei residui rispetto ai valori interpolati (la nuvola è un po' inclinata), il che suggerisce ad esempio di stimare due diverse rette di regressione per le due parti dei dati. ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● 5.0 5.5 6.0 6.5 7.0 7.5 8.0 −1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 Valori adattati Residui ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● −3 −2 −1 0 1 2 3 −2 −1 0 1 2 3 Normal Q−Q Plot Quantili teorici Quantili osservati
Ci chiedamo ora, quindi, come suddividere i dati per rispondere al problema della va-rianza non costante. Un approccio basato solo sui dati a disposizione potrebbe basarsi sui ricavi del primo week end. Un diagramma di dispersione dei residui rispetto ai ricavi del primo weekend mostra un interessante risultato: i dati con varianza non costante sono i lm con ricavi nel primo ne settimana molto piccoli (meno di 2 milioni di dollari).
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0.0e+00 2.0e+07 4.0e+07 6.0e+07 8.0e+07 1.0e+08 1.2e+08
−1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0 1.5
Ricavi primo week−end
Residui ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● 4 5 6 7 8 −1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0 1.5
Log Ricavi primo week−end
Perché questi lm con bassi ricavi iniziali sono così diversi dagli altri? C'è un'enorme variabilità in come i lm minori vengono venduti e distribuiti. Nella maggior parte dei casi, il tipo di lm che hanno una versione iniziale e/o completa in meno di dieci sale sono prodotti di nicchia, come documentari o piccole produzioni indipendenti, e spesso vengono proiettati in piccoli cinema tematici solo nelle grandi città. Inoltre, il periodo in cui un lm rimane nelle sale può essere molto variabile. Questo periodo dipende da molti e diversi fattori come la competizione tra lm, i premi ricevuti nei vari festival del cinema, passaparola o recensioni. In alcuni casi, a seconda della clientela a cui è diretto, le case cinematogra che sfruttano questa caratteristica con una strategia di marketing detta platforming. In tal caso un lm è volutamente fatto uscire lentamente, partendo da poche città. Tale approccio viene applicato in genere quando il target primario è costituito da un pubblico adulto e intellettuale.
Per queste ragioni può aver senso suddividere i dati in base alla dimensione della prima oerta al pubblico. Come approssimazione per questo, useremo la variabile che già abbiamo a disposizione, cioè i ricavi di apertura, e divideremo i lm a seconda che tale ricavi siano maggiori o minori di due milioni di dollari (è molto improbabile che un lm distribuito in centinaia di cinema, anche se non fosse apprezzato dal pubblico, possa ricavare meno di due milioni di dollari; peraltro nei nostri dati tutti i lm con ricavi inferiori a due milioni di dollari in apertura sono stati proiettati in meno di 410 sale). È interessante osservare che questo stesso schema appariva anche nei dati relativi ai lm usciti nel 1998 (con l'unica dierenza che in quel caso i lm venivano suddivisi in ricavi minori o maggiori di un milione di dollari). Ecco i gra ci di dispersione per i due gruppi di lm:
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È ovvio che le relazioni nei due gra ci siano diverse. La predicibilità delle vendite totali a partire dalle vendite del primo week end è chiaramente minore per i lm che presentano un'apertura ridotta rispetto ai lm con un apertura ad ampia diusione. Ecco i risultati per la retta di regressione per il primo gruppo
Call:
lm(formula = Log.domestic ~ Log.1st.weekend) Residuals:
Min 1Q Median 3Q Max -1.35957 -0.43628 -0.01547 0.38580 1.76105 Coefficients:
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept) 2.79753 0.42961 6.512 9.67e-10 ***
Log.1st.weekend 0.65521 0.08781 7.462 5.59e-12 ***
---Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1 Residual standard error: 0.6364 on 156 degrees of freedom
Multiple R-Squared: 0.263, Adjusted R-squared: 0.2583
F-statistic: 55.68 on 1 and 156 DF, p-value: 5.591e-12
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La relazione è statisticamente signi cativa, ma l'R2 è calato al 26%, e l'errore standard delle
stime è salito a 0.64, che corrisponde a una capacità di prevedere il totale dei ricavi con un errore legato a un fattore moltiplicativo del 20%. Sembra inoltre che sia rimasta una leggera violazione degli assunti legati alla varianza costante e alla normalità dei residui, ma i risultati non sono male.
I risultati invece per il gruppo di lm a più ampia diusione sono Call:
lm(formula = Log.domestic ~ Log.1st.weekend) Residuals:
Min 1Q Median 3Q Max
-0.19901 -0.07881 -0.01655 0.05665 0.68804 Coefficients:
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
Log.1st.weekend 1.08829 0.02821 38.576 <2e-16 ***
---Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1 Residual standard error: 0.1269 on 137 degrees of freedom
Multiple R-Squared: 0.9157, Adjusted R-squared: 0.9151
F-statistic: 1488 on 1 and 137 DF, p-value: < 2.2e-16
● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● 7.0 7.5 8.0 8.5 −0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 Valori adattati Residui ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ●●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● −2 −1 0 1 2 −1 0 1 2 3 4 5 Normal Q−Q Plot Quantili teorici Quantili osservati
I risultati della regressione sembrano buoni, ma c'è un evidentissimo valore anomalo nel campione: Il fantasma dell'Opera. Questo lm ha aperto con solo 4 milioni di dollari di ricavi ma ha ottenuto alla ne più di 50 milioni di ricavi: è stato cioè un chiaro esempio di platforming, avendo aperto in solo 622 sale il 24 dicembre 2004 per crescere a un picco di 1500 sale un mese dopo. Per questo, le sue vendite nel primo week end non potevano essere un previsore per i ricavi totali nello stesso modo in cui lo è stato per gli altri lm. Ecco il riassunto dei risultati della regressione senza tale lm
Call:
lm(formula = Log.domestic ~ Log.1st.weekend) Residuals:
Min 1Q Median 3Q Max
-0.208498 -0.075492 -0.004735 0.057104 0.357494 Coefficients:
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept) -0.29475 0.17950 -1.642 0.103
Log.1st.weekend 1.10600 0.02519 43.911 <2e-16 ***
---Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1 Residual standard error: 0.1126 on 136 degrees of freedom
Multiple R-Squared: 0.9341, Adjusted R-squared: 0.9336 F-statistic: 1928 on 1 and 136 DF, p-value: < 2.2e-16
● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● 7.0 7.5 8.0 8.5 −0.2 −0.1 0.0 0.1 0.2 0.3 Valori adattati Residui ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●●● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● −2 −1 0 1 2 −2 −1 0 1 2 3 Normal Q−Q Plot Quantili teorici Quantili osservati
L'R2 è ora maggiore del 93%, e l'errore standard dei residui è ˆσ = 0.11 che implica che circa
il 95% delle volte possiamo aspettarci che il nostro modello preveda i ricavi totali con un
errore legato a un fattore moltiplicativo di 1.65 (100.22 ≈ 1.65), un enorme miglioramento
rispetto ai modelli precedenti. I gra ci dei residui identi cano una lunga coda a destra anche considerando i logaritmi, indicando lm che hanno venduto meglio del previsto. Non è certo una sorpresa, visto che abbiamo omesso molte informazioni che possono in uenzare le vendite dopo il primo weekend, tra cui ovviamente i premi tipo gli Oscar. È chiaro che i lm che ricevono nomination o che vincono un Oscar, possono avere un chiaro aumento nelle loro vendite. Anche le recensioni, le critiche e il passaparola avranno un eetto sulle vendite totali, che non possono essere colte dalle informazioni disponibili al primo ne settimana.
I modelli di regressione per i due gruppi di lm ci possono portare ad altri commenti. I coe cienti angolari sono piuttosto diversi, ri ettendo una minore elasticità per i lm a minore impatto iniziale rispetto agli altri. Infatti, per un lm del primo gruppo, il modello prevede che un lm che nel primo week end ricava diciamo l'1% in più di un altro lm avrà solo lo 0.64% in più di ricavi nali, mentre per un lm del secondo gruppo che apre con l'1% di ricavi in più rispetto a un altro lm, si prevede che nirà con l'1.1% di ricavi totali in più. È chiaro che il primo week end è molto più importante per i lm ad ampio impatto iniziale. Un modo per usare il modello consiste nel prevedere future vendite totali. Ad esempio applichiamo il modello per il secondo gruppo a 18 lm che sono usciti con ampio impatto nei primi due mesi del 2005, e costruiamo gli intervalli di previsione dei logaritmi dei ricavi totali per ogni lm. Attraverso poi la trasformazione inversa del logaritmo (l'esponenziale) si torna alla scala originale dei ricavi in dollari. Di seguito sono riportati il limite inferiore e superiore di previsione assieme ai ricavi totali eettivamente osservati per quei lm.
Film Limite inferiore Ricavi totali Limite superiore
di previsione osservati di previsione
1 Alone in the Dark 4129127 5132655 11681614
2 Are We There Yet? 33203101 82301521 92942677
4 Because of Winn-Dixie 22798303 32645546 63779404
5 Boogeyman 34083422 46363118 95414807
6 Coach Carter 54623963 67253092 153288293
7 Constantine 63887259 75500759 179497630
8 Cursed 16062530 19294901 44955880
9 Diary of a Mad Black Woman 39831894 50382128 111575036
10 Elektra 25817352 24407944 72230645
11 Hide and Seek 39940553 51097664 111880785
12 Hitch 84058378 177575142 236775299
13 Man of the House 14745833 19118247 41281262
14 Pooh's Heffalump Movie 9161984 18081626 25712500
15 Racing Stripes 33770489 49186871 94535942
16 Son of the Mask 15081186 17010646 42217017
17 The Wedding Date 18847140 31585300 52732357
18 White Noise 44284928 55865715 124113450
Per 17 su 18 intervalli il valore osservato è compreso nell'intervallo di previsione, con-fermando la qualità del modello. Il lm che esce dalle previsioni è Elektra (e non è che esca di molto). In eetti Elektra, che è la continuazione di Daredevil, aveva cominciato un po' in sordina (una media di $4618 per sala su un totale di 3203 sale nel suo primo weekend, quando il tipico ricavo per grandi partenze è di circa $6000 per sala), ma il passaparola è stato terribile, e i ricavi sono scesi a $1238 per sala nella seconda settimana. Il lm è arrivato a malapena a 4 milioni di dollari nché non è stato ritirato dalle sale. Così, mentre diversi fattori sono coinvolti nel successo globale di un lm, è chiaro che i ricavi del primo week end, specialmente per lm con un ampio impatto sono un ottimo strumento per prevedere i ricavi nali. Gli esperti del settore hanno ragione a considerare questi numeri molto attentamente!
