Matrici Bidimensionali

(1)

Scilab

Corso di Informatica

CdL:

Chimica

_Chimica

Claudia d'Amato

claudia.damato@di.uniba.it claudia.damato@di.uniba.it

(2)

Matrici



Uno dei tipi di base di Scilab è costituito

dalla matrice



Uno dei modi più semplici per definire una

matrice in Scilab è quello di inserire una lista

di elementi seguendo le seguenti

convenzioni

 gli elementi di una riga sono separati da spazi

o virgole

 la lista di elementi è racchiusa tra [ ]  ogni riga termina con “;”

(3)

Esempio



Il comando

 --> A = [1 1 1; 2 4 8; 3 9 27]--> A = [1 1 1; 2 4 8; 3 9 27]



produce il risultato

 A = A = 1 1 .. 1 .1 . 1.1. 2. 2. 4.4. 8.8. 3. 3. 9.9. 27.27.



La matrice viene memorizzata in memoria nella

variabile A per usi futuri

(4)

Matrici



Inserire una matrice 3x3

 A = [-1. 0. 1. ; 4. 2. 3. ; 5. 6. 8. ] <return>A = [-1. 0. 1. ; 4. 2. 3. ; 5. 6. 8. ] <return>

 u = [1. 3. -5.] ; v = [2. 3. 4.] ; w = [-1. 0 1. ]<return> u = [1. 3. -5.] ; v = [2. 3. 4.] ; w = [-1. 0 1. ]<return>  C = [u ; v; w] //composizione di matrici, crea una C = [u ; v; w] //composizione di matrici, crea una

matrice 3x3

 r = [u, v, w] //composizione di matrici, crea un r = [u, v, w] //composizione di matrici, crea un

vettore 1x9

 D = [u' v' w'] //composizione di matrici, crea una D = [u' v' w'] //composizione di matrici, crea una

matrice 3x3

 S = [u'; v'; w'] //composizione di matrici, crea un S = [u'; v'; w'] //composizione di matrici, crea un

vettore colonna 9x1

(5)

Matrici /2

 A + BA + B <return> <return>  A – DA – D <return><return>

 A * BA * B <return> //prodotto matriciale<return> //prodotto matriciale

 A * uA * u <return> //err, incompatibilità dim<return> //err, incompatibilità dim  A * u'A * u' <return><return>

 A' <return> //matrice traspostaA' <return> //matrice trasposta

 inv(B)inv(B) <return> //solo per matr. Quadrate e con <return> //solo per matr. Quadrate e con

determinante diverso da zero

 det(B)det(B) <return> <return>

 trace(B) <return> //same as sum(diag(B))trace(B) <return> //same as sum(diag(B))  tril(B) <return> //estrae la matr triangolare tril(B) <return> //estrae la matr triangolare

superiore

(6)

Matrici/3



Matrice identità

eye(3,3)

 gli argomenti della funzione eye(n,m) sono il numero

di righe n e il numero di colonne m della matrice

ans =

 11 0 0 00  0 1 00 1 0  0 0 10 0 1

(7)

Matrici/4



Matrice unitaria

ones(2,3)

ans =

 11 1 1 11  1 1 11 1 1



Matrice nulla

zeros(2,4)

ans =

 00 0 0 0 00 0  0 0 0 00 0 0 0

(8)

Matrici/5



Gli argomenti di

ones

e

zeros

sono il numero

di righe e il numero di colonne della matrice

 possono essere estratte anche da una matrice già possono essere estratte anche da una matrice già

definita definita  --> O = zeros(C);--> O = zeros(C); O = O = 0. 0. 0.0. 0. 0. 0.0. 0. 0. 0.0.

 Dove C è una matrice di dimensione 3x2 definita in Dove C è una matrice di dimensione 3x2 definita in

precedenza

(9)

Funzioni su matrici



Matrice diagonale

 Per ottenere una matrice diagonale, in cui gli Per ottenere una matrice diagonale, in cui gli

elementi della diagonale sono costituiti dagli

elementi di un vettore elementi di un vettore  --> b = [1 2 5];--> b = [1 2 5]; --> B = diag(b) --> B = diag(b) B = B = 1. 1. 0.0. 0.0. 0. 0. 2.2. 0.0. 0. 0. 0.0. 5.5.

 questo esempio mostra che Scilab distingue questo esempio mostra che Scilab distingue

maiuscole e minuscole (b è diverso da B)

(10)

Funzioni su matrici



Estrarre la diagonale

 Se applichiamo la funzione diag su una matrice Se applichiamo la funzione diag su una matrice

otteniamo un vettore costituito dagli elementi della

diagonale diagonale  --> c = diag(B);--> c = diag(B); c = c = [1. [1. 2.2. 5.]5.]

(11)

Funzioni su matrici



Matrici triangolari

 Le funzioni triu (upper) e tril (lower) estraggono, Le funzioni triu (upper) e tril (lower) estraggono,

risp., la parte triangolare sup ed inf di una matrice

 --> C = [1 2 3 4; 5 6 7 8; 9 10 11 12] --> C = [1 2 3 4; 5 6 7 8; 9 10 11 12]  --> U = triu(C);--> U = triu(C); U = U = 1. 1. 2. 3 42. 3 4 0. 0. 6. 7 86. 7 8 0. 0. 0. 11 120. 11 12  --> L = tril(C);--> L = tril(C); L = L = 1. 1. 0 0 00 0 0 5. 5. 6. 0 06. 0 0 9. 9. 10. 11 010. 11 0

(12)

Funzioni su matrici



Matrice di numeri aleatori

 La funz. rand permette di creare matrici con valori

pseudo-casuali nell'intervallo [0,1[

 --> M = rand(2,3) //è specificata dim matrice 2x3--> M = rand(2,3) //è specificata dim matrice 2x3

M = M = 0.2113249 0.2113249 0.00022110.0002211 0.66538110.6653811 0.7560439 0.7560439 0.33032710.3303271 0.62839180.6283918

(13)

Operazioni

elemento per elemento



Per moltiplicare due matrici A e B

delle stesse

dimensioni

elemento per elemento si utilizza

_{elemento per elemento si utilizza}

l'operatore

.*

(./ per la divisione)

 A.*B è la matrice [aA.*B è la matrice [a_ij_ijbb_ij_ij]]



E' possibile anche elevare a potenza si può

utilizzare l'operatore postfisso .^

(14)

Composizione di Matrici...



Scilab unisce tra di loro matrici e vettori

→ → A = [1. 2. 3; 4. 5. 6; 7. 8. 9];_{A = [1. 2. 3; 4. 5. 6; 7. 8. 9];} → → r = [10. 11. 12.]_{r = [10. 11. 12.]} → → A = [A; r]_{A = [A; r]} A = A = 1 1 22 33 4 4 55 66 7 7 88 99 10 10 1111 1212

(15)

...Composizione di Matrici...



L'operazione di concatenazione permette di

assemblare più matrici in una



Supponiamo di voler costruire la seguente

matrice A suddivisa per blocchi

1

1 2 3 4

2 3 4

1

1 4 9 16

4 9 16

1

1 8 27 64

8 27 64

1

1 16 81 256

16 81 256

(16)

...Composizione di Matrici



Definiamo leseguenti matrici

 --> A11 = 1;--> A11 = 1;

 --> A12 = [ 2 3 4];--> A12 = [ 2 3 4];  --> A21 = [1; 1; 1];--> A21 = [1; 1; 1];

 --> A22 = [4 9 16; 8 27 64; 16 81 256];--> A22 = [4 9 16; 8 27 64; 16 81 256];



per ottenere A concateniamo i 4 blocchi

(17)

Riferimenti a elementi di

Matrice



Per far riferimento agli elementi di una matrice

si utilizzano gli indici fra parentesi tonde

 A33=A(3,3)A33=A(3,3)  x30=B(30,1)x30=B(30,1)

(18)

Estrazione di elementi...



--> A(:,2)

// estrae la seconda colonna



--> A(3,:)

// estrae la terza riga



--> A(1:3,1:2) // estrae la matrice principale

// di ordine 2



--> A([1 3], [2 3])

 estrae la matrice costituita dall'intersezione delle estrae la matrice costituita dall'intersezione delle

righe 1 e 3 e dalle colonne 2 e 3

(19)

...Estrazione di elementi



Le matrici sono dei blocchi memorizzati colonna

per colonna

 --> A(5) //restituisce il 1 el della 2 col.--> A(5) //restituisce il 1 el della 2 col.

 ans = 2ans = 2

 --> A(1:5) //restituisce gli el da 1 a 5 --> A(1:5) //restituisce gli el da 1 a 5

procedendo per colonna

 B = AB = A

 --> B(1:5) = -1--> B(1:5) = -1 //assegnamento -1 agli//assegnamento -1 agli

// elementi A(1:5)

(20)

Estrazione di Blocchi di Elementi

da Matrice



Estrazione delle

righe da 1 a 3

della matrice A

(lucido precedente) e

tutte le colonne

b =

A(1:3,:)

 b = b =  1 2 31 2 3  4 5 64 5 6  7 8 97 8 9



Estrazione delle

righe da 1 a 3

di A in

ordine

inverso

e delle

colonne 1 e 2

 C = A(3:-1:1, [1 2])C = A(3:-1:1, [1 2])

 C = C =

 7 8 7 8  4 5 4 5  1 2 1 2

(21)

Dimensioni di una Matrice



size(A,1) //numero righe di A (matr. Prec.)

 Ans = 4Ans = 4



size(A,2) //numero colonne di A

 Ans = 3Ans = 3



size(A)

 Ans = 4. 3.Ans = 4. 3.

 [numRow, numCol] = size(A)[numRow, numCol] = size(A)



length(a = [1 2 3 4 5 6]) //num el vettore

 Ans = 6Ans = 6

 length(A)length(A) //num el matrice //num el matrice

(22)

Rimodellare una matrice



ridimensionare

una matrice

 --> B = [1 2 3; 4 5 6]--> B = [1 2 3; 4 5 6]

 --> B_new = matrix(B, 3, 2)--> B_new = matrix(B, 3, 2)  B_New =B_New =

 11 55  44 33  22 66



matrix(A,m,n) ridimensiona la matrice A ad

mxn.

 A deve contenere mxn elementiA deve contenere mxn elementi



matrix(B,2,2) //

errore

, perchè B contiene più

di 4 elementi

(23)

Funzioni primitive



sum

 --> sum(1:6) //somma gli scalari 1+2+...+5+6--> sum(1:6) //somma gli scalari 1+2+...+5+6

ans = 21 ans = 21  --> B = [1 2 3; 4 5 6]--> B = [1 2 3; 4 5 6] B = B = 1 1 22 33 4 4 55 66

 -->sum(B, “r”)-->sum(B, “r”) // somma di colonne// somma di colonne

ans = 5

ans = 5 77 99

 ---> [col1 col2 col3] = sum(B,”r”)---> [col1 col2 col3] = sum(B,”r”)

 -->sum(B, “c”)-->sum(B, “c”) // somma di righe// somma di righe

ans = [6; 15]

(24)

Funzioni primitive



prod(1:5) //prod. primi 5 num 12...45

 ans = 120ans = 120

 -->prod(B, “r”)-->prod(B, “r”) // prodotto di colonne// prodotto di colonne

ans =

4

4 1010 1818

 -->prod(B, “c”)-->prod(B, “c”) // prodotto di righe// prodotto di righe

ans = ans = 6 6 120 120

 --> prod(B)--> prod(B) //prodotto tutti elem matrice //prodotto tutti elem matrice

ans = 720

(25)

Funzioni primitive



cumsum e cumprod

 --> x = 1:6; ==> x = [1 2 3 4 5 6]--> x = 1:6; ==> x = [1 2 3 4 5 6]  --> cumsum(x) //1 1+2 3+3 6+4 10+5 ....--> cumsum(x) //1 1+2 3+3 6+4 10+5 .... ans = [1 3 6 10 15 21] ans = [1 3 6 10 15 21]  --> cumprod(x) --> cumprod(x) //1 1*2 2*3 6*4 24*5 ... //1 1*2 2*3 6*4 24*5 ... ans = [1 2 6 24 120 720] ans = [1 2 6 24 120 720]

(26)

Funzioni primitive



Per le matrici l'accumulazione viene fatta

colonna per colonna

 --> x = [1 2 3; 4 5 6]--> x = [1 2 3; 4 5 6]



Provare:

 --> cumsum(x) //somma cumulativa elementi --> cumsum(x) //somma cumulativa elementi

procedendo per colonne

 --> cumsum(x, “r”) //somma cumulativa el di ogni --> cumsum(x, “r”) //somma cumulativa el di ogni

colonna

 --> cumsum(x, “c”) //somma cumulativa el di ogni --> cumsum(x, “c”) //somma cumulativa el di ogni

riga

(27)

Funzioni primitive



Minimo e massimo

 --> x = rand(1,5)--> x = rand(1,5)

 --> min(x) --> min(x) // restituisce il minimo// restituisce il minimo  --> [posMin, valMin] = min(x)--> [posMin, valMin] = min(x)

 restituisce valore e posizionerestituisce valore e posizione

 --> y = rand(2,3)--> y = rand(2,3)

 --> [ymin, imin] = min(y)--> [ymin, imin] = min(y)

 --> [ymin, imin] = min(y, “r”)--> [ymin, imin] = min(y, “r”)  --> [ymin, imin] = min(y, “c”)--> [ymin, imin] = min(y, “c”)

(28)

Funzioni primitive



Media

 --> x = 1:6--> x = 1:6

 --> mean(x) --> mean(x) // restituisce la media// restituisce la media  --> st_deviation(x)--> st_deviation(x)



 --> y = rand(2,3)--> y = rand(2,3)  --> mean(y, “r”)--> mean(y, “r”)  --> mean(y, “c”)--> mean(y, “c”)