Differenziali Ordinarie.
Sia I ⊂ R un aperto e sia A ⊂ R un aperto; sia Ω = I×A ⊂ R2,
x0∈ I, y0∈ A, cioè(x0, y0) ∈Ω.
Sia ancora f : Ω −→ R2una funzione e consideriamo il problema
di trovare una funzione
y :(x0−δ, x0+δ) −→A
derivabile e tale che y0(x) = f(x, y(x)) , x∈ Iδ y(x0) =y0 (1.1)
Il problema enunciato si chiama problema di Cauchy.
1.1
Il teorema di esistenza ed unicità di Picard
È importante dimostrare un teorema di esistenza ed unicità per questo problema.
Teorema 1.1 - Picard - Se f : I×A−→ Rn, I = [x
0−a, x0+a], A =
{y∈R : |y−y0| ≤b}e se sono verificate le seguenti condizioni:
• f è continua inΩ=I×A;
• |f(x, y1) −f(x, y2)| ≤L|y1−y2| ∀x∈ I,∀y1, y2∈ A
Allora, posto
M=max{|f(x, y)| : (x, y) ∈Ω} e δ=min{a, b M}
esiste una ed una sola funzione y : Iδ −→ A soddisfacente il problema di Cauchy
Dimostrazione. Osserviamo innanzi tutto che risolvere il problema di Cauchy è equivalente a dimostrare esistenza ed unicità di una funzione y definita su Iδcontinua e soddisfacente la
y(x) =y0+
Z x
x0
Per questo scopo definiamo una successione di funzioni yk: Iδ−→ A mediante le y0(x) =y0 yk+1(x) =y0+ Z x x0 f(t, yk(t))dt
Le yk sono note come approssimazioni di Picard della soluzione
del problema di Cauchy.
Procediamo nella dimostrazione mettendo in evidenza i passi prin-cipali
Passo 1
La definizione di yk è coerente in quanto possiamo verificare per
in-duzione che yk(x) ∈A, ∀x∈ Iδ , ∀k∈N Si ha infatti y0(x) =y0∈A ∀x∈ Iδ ed inoltre, supposto yk(x) ∈A ∀x ∈Iδ si ha |yk+1(x) −y0| ≤ Z x x0 |f(t, yk(t))|dt ≤M|x−x0| ≤Mδ≤b da cui yk+1(x) ∈A ∀x∈ Iδ
Passo 2
Proviamo ora che la successione yk è uniformemente convergente su
Iδ. Si ha |yk+1(x) −yk(x)| ≤ MLk |x−x0|k+1 (k+1)! infatti |y1(x) −y0(x)| ≤ Z x x0 |f(t, y0)|dt ≤M|x−x0|
e, per induzione, supponendo
|yk(x) −yk−1(x)| ≤ MLk−1
|x−x0|k
si ottiene subito che |yk+1(x) −yk(x)| ≤ Z x x0 |f(t, yk(t)) −f(t, yk−1(t))|dt ≤ ≤L Z x x0 |yk(t) −yk−1(t)|dt ≤ ≤ ML k k! Z x x0 |t−x0|kdt ≤ MLk|x−x0| k+1 (k+1)!
Possiamo pertanto affermare che
|yk+p(x) −yk(x)| ≤ p
∑
h=1 |yk+h(x) −yk+h−1(x)| ≤ ≤ p∑
h=1 MLk+h−1|x−x0| k+h (k+h)! = = M L p∑
h=1 Lk+h|x−x0| k+h (k+h)! ≤ ≤ M L k+p∑
i=k+1 (Lδ)i i! =Ek,pPasso 3
Ora, dal momento che
eLδ= +∞
∑
i=1 (Lδ)i i!per k sufficientemente grande si ha che |Ek,p| < εper ogni p ∈ N e
quindi ykconverge uniformemente su Iδad una funzione che denoter-emo con y.
Inoltre y è continua su Iδ in quanto è limite uniforme di funzioni continue.
Passo 4
Verifichiamo che y è soluzione del problema di Cauchy. Se passiamo al limite per p→ +∞ otteniamo
|y(x) −yk(x)| ≤ M L +∞
∑
i=k+1 (Lδ)i i! = M L e Lδ−∑
k i=0 (Lδ)i i! ! = = M Le ξ(Lδ) k+1 (k+1)! ≤ M L e Lδ(Lδ)k+1 (k+1)! =Ek essendo|ξ| ≤Lδ.Ovviamente limkEk=0 e, dal momento che yk+1(x) =y0+ Z x x0 f(t, yk(t))dt e che Z x x0 [f(t, yk(t)) −f(t, y(t))]dt ≤ Z x x0 L|yk(t) −y(t)|dt ≤LδEk si ha, per k→ +∞ y(x) =y0+ Z x x0 f(t, y(t))dt
ed y è soluzione di 1.2 e quindi del problema di Cauchy.
Passo 5
Per quanto riguarda l’unicità della soluzione osserviamo che, se y e z sono soluzioni del problema di Cauchy, allora
|y(x) −z(x)| ≤L Z x x0 |y(t) −z(t)|dt e per il lemma di Gronwall si può concludere.
2 Usando argomentazioni simili a quelle del teorema precedente si può provare per induzione che:
Con le notazioni e le ipotesi del teorema di esistenza ed unicità, si ha |yk(x) −y(x)| ≤ M L (Lδ)k+1 (k+1)!.
Definizione 1.1 Consideriamo il problema di Cauchy(30.1)e supponiamo che y :[a, b) −→A sia una soluzione.
Diciamo che y è una soluzione prolungabile a destra se esiste
z :[a, c) −→A
soluzione, con c>b e y(x) =z(x) ∀x∈ [a, b).
Una applicazione del lemma di Gronwall assicura che:
Teorema 1.2 Consideriamo il problema (30.1) e supponiamo che
1. f sia continua inΩ ;
Allora, se y e z sono due soluzioni definite sugli intervalli I1ed I2
rispet-tivamente, si ha
y(x) =z(x) ∀x∈ I1∩I2.
Dimostrazione. E’ sufficiente considerare la funzioneky(x) −z(x)k
ed osservare che, se x∈I1∩I2 ky(x) −z(x)k ≤ Z x x0 Lky(t) −z(t)kdt. 2
Definizione 1.2 Siano A, B⊂Rn, definiamo distanza tra i due insiemi
d(A, B) =in f{kx−yk : x∈A , y∈B}.
Si prova che
Lemma 1.1 Siano A, B⊂Rn, A compatto, B chiuso, A∩B= ∅; allora
d(A, B) >0.
Dimostrazione. Supponiamo per assurdo che
d(A, B) =in f{kx−yk : x∈A , y∈B} =0;
allora esistono xn∈ A e yn∈B tali chekxn−ynk →0.
Dal momento che A è compatto esiste xnk → x ∈ A e da ciò segue
che ynk →x∈B. Ciò è assurdo perché A∩B= ∅. 2
Teorema 1.3 Consideriamo il problema di Cauchy (30.1) e supponiamo che
siano verificate le seguenti condizioni
1. f è continua inΩ ;
2. kf(x, y1) −f(x, y2)k ≤Lky1−y2k ∀x∈ I ,∀y1, y2∈ A .
Allora, se y è una soluzione definita su[a, b)e se poniamo
Γ= {(x, y(x)) : x∈ [a, b) }
sono equivalenti le seguenti condizioni:
1. y è prolungabile a destra; 2. Γ è limitato e d(Γ, ∂Ω) >0.
Dimostrazione. 1) ⇒2). Dal momento che y è prolungabile a destra esiste z :[a, c) −→R, c>b soluzione del problema di Cauchy, tale che
e pertanto possiamo prolungare y per continuità su[a, b]. Definiamo
G= {(x, y(x)) : x∈ [a, b] };
si ha che G =clΓ e G è compatto. Pertanto Γ è limitato e d(Γ, ∂Ω) >
d(G, ∂Ω) > 0 per il precedente lemma, poiché G ⊂ Ω e ∂Ω ⊂ cl Ωc=Ωc.
2) ⇒1). Vediamo innanzi tutto che clΓ⊂Ω,
infatti 0<d(Γ, ∂Ω) =d(clΓ, ∂Ω)per cui clΓ∩∂Ω= ∅ed inoltre
clΓ⊂clΩ=∂Ω∪Ω.
Vediamo ora che esiste finito
lim
x→b− y(x);
è infatti possibile applicare il criterio di Cauchy ad y in quanto
ky(x1) −y(x2)k ≤M|x1−x2k. dove M=max{f(x, y) : (x, y) ∈clΓ}. Definiamo pertanto y(b) = lim x→b− y(x); si ha lim x→b− y 0(x) = lim x→b− f(x, y(x)) = f(b, y(b))
ed allora y0−(b) = f(b, y(b)) da cui y soddisfa il problema di Cauchy
in[a, b].
Ora, poiché (b, y(b)) ∈ clΓ ⊂ Ω e Ω è aperto, esiste r > 0, con
(b, y(b)) +S(0, r) ⊂ Ω e per il teorema di esistenza ed unicità esiste
z :(b−δ, b+δ) −→A tale che z0(x) = f(x, z(x)) z(b) =y(b) e quindi la funzione y(x) , x∈ [a, b) z(x) , x∈ [b, b+δ)
prolunga a destra la soluzione. 2
Teorema 1.4 Sia I= (x0−a, x0+a)e sia f : I×Rn −→Rn;
1) kf(x, y)k ≤ M ∀x ∈ I , ∀y ∈ Rn, ed inoltre f è lipschitziana sugli
insiemi limitati contenuti in I×Rn;
2)kf(x, y1) − f(x, y2)k ≤Lky1−y2k ∀x∈ I ,∀y∈Rn.
Allora esiste una ed una sola soluzione del problema di Cauchy (30.1) definita su I.
Dimostrazione. Se vale 1) e se y è una soluzione del problema di Cauchy definita in(x0−δ, x0+δ)con δ<a si ha
ky(x) −y0k ≤ M|x−x0|;
pertanto y è una soluzione limitata e, per il teorema 30.8 è prolunga-bile.
Se vale 2) e se y è una soluzione del problema di Cauchy definita su(x0−δ, x0+δ)con δ<a si ha ky(x) −y0k = Z x x0 f(t, y(t))dt ≤ ≤ Z x x0 kf(t, y(t)) −f(t, y0)kdt + Z x x0 kf(t, y0)kdt ≤ ≤ Z x x0 Lky(t) −y0kdt + Z x x0 kf(t, y0)kdt e per il lemma di Gronwall si ha
ky(x) −y0k ≤ Z x x0 kf(t, y0)kdt eL|x−x0|.
Pertanto y è limitata e quindi prolungabile per il teorema 30.8. 2 Passiamo ora a considerare la dipendenza delle soluzioni di un problema di Cauchy dai dati: vediamo, in altre parole, quali alter-azioni subiscono le soluzioni in presenza di cambiamenti dei dati del problema.
La questione è evidentemente importante in quanto i problemi di Cauchy sono di grande utilità nella modellistica matematica e non si può sperare che le funzioni ed i dati che entrano a definire un modello matematico descrivano il fenomeno da studiare senza alcun margine di errore.
Lo scopo dello studio della dipendenza dai dati è perciò di fornire una valutazione delle modificazioni introdotte dall’approssimazione dei dati nelle soluzioni.
Teorema 1.5 Con le notazioni e le ipotesi del teorema 30.2, sia y una soluzione
del problema di Cauchy
y0(x) = f(x, y(x)) , x∈ Iδ = [x0−δ, x0+δ] y(x0) =y0
Allora se z0∈A e se z è la soluzione del problema di Cauchy z0(x) = f(x, z(x)) , x∈Iδ1 z(x0) =z0 si ha ky(x) −z(x)k ≤ ky0−z0keL|x−x0| ∀x∈ Iδ1∩Iδ. Inoltre
se g : I×A−→Rne se w è la soluzione del problema di Cauchy
w0(x) =g(x, w(x)) , x∈Iδ2 w(x0) =y0 si ha ky(x) −w(x)k ≤ Rx x0kf(t, w(t)) −g(t, w(t))kdt e L|x−x0| , ∀x∈ Iδ2∩Iδ. Infine
se ξ0∈I, e se u è la soluzione del problema di Cauchy
u0(x) = f(x, u(x)) , x∈ Iδ3 u(ξ0) =y0 si ha ky(x) −u(x)k ≤M|ξ0−x0|eL|x−x0| , ∀x∈ Iδ3∩Iδ.
Dimostrazione. Nel primo caso si ha
ky(x) −z(x)k ≤ ky0−z0k + Z x x0 kf(t, y(t)) −f(t, z(t))kdt ≤ ≤ ky0−z0k + Z x x0 Lky(t) −z(t)kdt e si conclude per il lemma di Gronwall.
Nel secondo caso si ha
ky(x) −w(x)k ≤ Z x x0 kf(t, y(t)) −g(t, w(t))kdt ≤ ≤ Z x x0 kf(t, y(t)) −f(t, w(t))kdt + + Z x x0 kf(t, w(t)) −g(t, w(t))kdt ≤ ≤ Z x x0 kf(t, w(t)) −g(t, w(t))kdt + + Z x x0 Lky(t) −w(t)kdt ed ancora si conclude per il lemma di Gronwall.
Nell’ultimo caso si ha ky(x) −u(x)k = Z x x0 f(t, y(t))dt− Z x ξ0 f(t, u(t))dt ≤ ≤ Z ξ0 x0 f(t, u(t))dt + Z x x0 [f(t, y(t)) −f(t, u(t))]dt ≤ ≤ M|ξ0−x0| + Z x x0 Lky(t) −u(t)kdt ed anche qui si conclude per il lemma di Gronwall. 2
Osserviamo a completamento del teorema 30.10 che se f e g soddis-fano le condizioni del teorema 30.2, y è la soluzione del problema di Cauchy y0(x) = f(x, y(x)) , x∈ Iδ y(x0) =y0
e v è la soluzione del problema di Cauchy v0(x) =g(x, v(x)) , x∈ Iδ0 v(ξ0) =v0 essendo ξ0∈I, v0∈A si ha ky(x) −v(x)k ≤ ky(x) −z(x)k + kz(x) −w(x)k + kw(x) −v(x)k
dove z e w sono le soluzioni dei problemi di Cauchy z0(x) = f(x, z(x)) w0(x) =g(x, w(x)) z(x0) =v0 w(x0) =v0
E’ facile ricavare dalle precedenti disuguaglianze una valutazione complessiva dell’errore commesso sostituendo v ad y.
Possiamo altresì ottenere il seguente corollario.
Corollario 1.1 Con riferimento al teorema 30.10 si ha che ∀ε>0∃δε >0 tale che seky0−z0k <δε si ha ky(x) −z(x)k <ε ∀x∈Iδ∩Iδ1; ∀ε>0∃δε >0 tale che se sup{kf(x, y) −g(x, y)k : (x, y) ∈I×A} <δε si haky(x) −w(x)k <ε∀x∈Iδ∩Iδ2; ∀ε>0∃δε >0 tale che se|ξ0−x0| <δεsi ha ky(x) −u(x)k <ε ∀x∈ Iδ∩Iδ3.
I precedenti risultati sulla dipendenza delle soluzioni dai dati in-iziali perdono significato qualora si considerino valori grandi dell’ampiezza a dell’intervallo I. In tal caso infatti, anche supponendo che le soluzioni del problema di Cauchy siano definite sulla semiretta x≥x0, le
mag-giorazioni ottenute tendono all’infinito.
Lo studio del comportamento delle soluzioni di una equazione dif-ferenziale sulla semiretta x≥x0si definisce studio della stabilità.
Nell’affrontare questo studio premettiamo alcune considerazioni: innanzi tutto studieremo soltanto la stabilità di soluzioni definite per x ≥x0; inoltre, a meno di considerare una equazione ottenuta con un
semplice cambio di variabili, ci si può sempre ricondurre allo studio della stabilità della soluzione identicamente nulla. Infatti z è soluzione di
(30.4)
y0(x) = f(x, y(x)) , x ≥x0
se e solo se la funzione identicamente nulla risolve
y0(x) = f(x, z(x) +y(x)) −z0(x) , x≥x0 .
Onde evitare noiose ed inutili ripetizioni stabiliamo una volta per tutte le generalità della situazione che considereremo nell’ambito dello studio della stabilità.
Sia f :[x0,+∞) ×A−→ A, A= {y∈Rn : kyk <a} e supponiamo che: f sia continua in[x0,+∞) ×A, (30.5) kf(x, y1) − f(x, y2)k ≤LBky1−y2k ∀(x, y1),(x, y2) ∈B ∀B⊂ [x0,+∞) ×A limitato, f(x, 0) =0 , se x≥x0.
Osserviamo che le condizioni (30.5) assicurano che la soluzione del prob-lema di Cauchy y0(x) = f(x, y(x)) y(x0) =y0
esiste per x∈ [x0, x0+δ], con δ opportuno ed è ivi unicamente determinata.
In accordo con il teorema di prolungabilità considereremo sempre soluzioni definite su un intervallo massimale a destra che indicheremo con[x0, b).
Osserviamo anche che le condizioni (30.5) assicurano che la funzione iden-ticamente nulla, y(x) ≡ 0 , x ≥ x0 , è soluzione del problema di Cauchy
(30.6) con dato iniziale nullo , y0=0.
Definizione 1.3 Supponiamo verificate le condizioni (30.5); diciamo che la
∀ε>0∃δε >0 tale che seky0k <δε, detta y(x, y0)la soluzione del
problema (30.6), y(x, y0)è definita per x ≥ x0e si haky(x, y0)k < ε
∀x ≥x0.
Definizione 1.4 Supponiamo verificate le condizioni (30.5); diciamo che la
soluzione nulla è asintoticamente stabile per l’equazione (30.4) se è stabile e se esiste δ>0 tale che perky0k <δ ,
lim
x→+∞ y(x, y0) =0.
E’ facile provare il seguente criterio di stabilità per i sistemi lineari.
Teorema 1.6 Sia M :[x0,+∞) −→ Mncontinua e consideriamo il sistema
lineare
y0(x) =M(x)y(x).
Sia G una matrice fondamentale del sistema; allora la soluzione identicamente nulla è stabile se e solo se
kG(x)k ≤K , ∀x≥x0;
inoltre la soluzione nulla è asintoticamente stabile se e solo se
lim
x→+∞ kG(x)k =0.
Dimostrazione. Il teorema 18.11 e le seguenti considerazioni mostrano che la soluzione y(x, y0)del problema di Cauchy
y0(x) =M(x)y(x) , x≥x0
y(x0) =y0
si può esprimere nella forma
y(x) =G(x)C , ove C=G−1(x0)y0.
Pertanto si ha
y(x, y0) =G(x)G−1(x0)y0
e
ky(x, y0)k ≤ kG(x)k kG−1(x0)k ky0k.
Ciò permette di concludere sulla sufficienza delle condizioni proposte per la stabilità e l’asintotica stabilità della soluzione nulla.
Per ottenere anche la necessità osserviamo che se la soluzione nulla è stabile e se ky0k < δ si ha ky(x, y0)k < 1 e, per la linearità del sistema, ogni
Analogamente, se la soluzione nulla è asintoticamente stabile e seky0k <
δ, si ha
lim
x→+∞ ky(x, y0)k =0.
Per la linearità, tutte le soluzioni, e la matrice G, saranno allora
infinites-ime per x→ +∞. 2
Nello studio della stabilità dei sistemi non lineari è di grande utilità un risultato di confronto per soluzioni di disequazioni differenziali.
Stabiliamo innanzi tutto le condizioni in cui opereremo Sia ω : I×R−→R , I, R⊂R intervalli e supponiamo che
(30.7) ω sia continua in I×R,
|ω(x, y1) −ω(x, y2)| ≤ LB|y1−y2|
∀(x, y1),(x, y2) ∈B ,∀B⊂ I×R limitato.
Consideriamo la disequazione differenziale
y0(x) ≤ω(x, y(x)) , x∈Iδ
y(x0) ≤y0
L’esistenza di soluzioni della (30.8) è ovvia conseguenza del teorema di esistenza ed unicità; non così si può dire dell’unicità della soluzione.
Si può tuttavia provare il seguente notevole risultato
Teorema 1.7 Siano soddisfatte le condizioni (30.7) e sia z una soluzione della
(30.8) definita su un intervallo J; se y è la soluzione del problema
y0(x) =ω(x, y(x)) , x∈J1 y(x0) =y0 allora si ha z(x) ≤y(x) ∀x∈ J∩J1.
Dimostrazione. Sia u(x) = z(x) −y(x), si ha u(x0) ≤ 0; supponiamo
che esista x1>x0tale che u(x1) >0 e consideriamo l’insieme
N= {x∈ [x0, x1] : u(x) =0}.
Dal momento che u è continua N 6= ∅(Teorema degli zeri) ed inoltre N è chiuso. Sia pertanto
ξ=max N;
si ha
ed inoltre, dal momento che{(x, u(x)) : x∈ [ξ, x1]}è compatto, possiamo affermare che u0(x) =z0(x) −y0(x) ≤ω(x, z(x)) −ω(x, y(x)) ≤ ≤ |ω(x, z(x)) −ω(x, y(x))| ≤L|z(x) −y(x)| = L|u(x)| e u(x) ≤u(ξ) + Z x ξ L|u(t)|dt , ∀x∈ [ξ, x1].
Ma per il lemma di Gronwall
0<u(x1) ≤u(ξ)eL(x1−ξ) =0
il che è assurdo. 2
Un immediato corollario del precedente risultato è dato dal seguente teo-rema di esistenza globale per un sistema differenziale:
Teorema 1.8 Supponiamo che f : [x0,+∞) ×Rn −→ Rn sia continua e
lipschitziana in y, uniformemente rispetto ad x, sugli insiemi limitati. Supponiamo inoltre che esista V :[x0,+∞) ×Rn −→ R differenziabile,
tale che
∂V
∂x(x, y) + h∇yV(x, y), f(x, y)i ≤ω(x, V(x, y))
per ogni(x, y) ∈ [x0,+∞) ×Rn, essendo ω una funzione soddisfacente le
condizioni (30.7) con I= [x0,+∞)e R=R.
Allora, se
lim
kyk→+∞ V(x, y) = +∞
uniformemente su ogni compatto K ⊂ [x0,+∞), si ha che, qualora il
prob-lema di Cauchy (30.9), con dato iniziale V(x0, y0), ammetta soluzioni definite
per x≥x0, anche il problema (30.1) ammette soluzioni definite per x≥x0.
Dimostrazione. Sia y(x, y0)la soluzione del problema di Cauchy
y0(x) = f(x, y(x))
y(x0) =y0
e supponiamo che[x0, b)sia l’intervallo massimale di definizione per y(x, y0).
Posto v(x) =V(x, y(x, y0)) si ha v0(x) = ∂V ∂x(x, y(x, y0)) + h∇yV(x, y(x, y0)), y 0(x, y 0)i = = ∂V ∂x(x, y(x, y0)) + h∇yV(x, y(x, y0)), f(x, y(x, y0))i ≤ ≤ω(x, V(x, y(x, y0))) =ω(x, v(x)) , x∈ [x0, b)
e
v(x0) =V(x0, y0).
Pertanto ne viene che, detta z una soluzione definita su x≥x0del problema
di Cauchy z0(x) =ω(x, z(x)) z(x0) =V(x0, y0) si ha v(x) ≤z(x) , x∈ [x0, b) e V(x, y(x, y0)) ≤z(x) , x∈ [x0, b).
Per quanto visto sulla prolungabilità delle soluzioni (Teorema 30.8), se fosse b< +∞ dovrebbe esistere xn →b− tale che
lim ky(xn, y0)k = +∞
da cui
lim V(xn, y(xn, y0)) = +∞
e ciò è assurdo perché
lim z(xn) =z(b) ∈R .
2
Corollario 1.2 Supponiamo che f :[x0,+∞) ×Rn −→Rnsia continua e
lipschitziana in y, uniformemente rispetto ad x, sugli insiemi limitati. Supponiamo inoltre che esistano α : [x0,+∞) −→ R continua, β :
¯
R+−→R+continua e crescente, con
Z +∞ 0 1 β(s)ds= +∞ tali che kf(x, y)k ≤α(x)β(kyk).
Allora il problema (30.1) ammette soluzioni definite per x≥x0
Dimostrazione. Posto
V(x, y) =
Z (1+kyk2)
0 1/β
(s)ds , ω(x, y) =α(x)
si può concludere dal teorema 30.16, tenendo conto che
h∇yV(x, y), f(x, y)i ≤ hy, f(x, y)i (1+ kyk2)β((1+ kyk2)) ≤ ≤ kf(x, y)k β(kyk) ≤α(x) 2 Consideriamo ora condizioni che siano atte a garantire la stabilità della soluzione identicamente nulla per l’equazione (30.4).
Definizione 1.5 Siano verificate le condizioni (30.5) e (30.7) con I= [x0,+∞),
e sia
V :[x0,+∞) ×A−→R
un funzione differenziabile. Supponiamo che ω(x, 0) =0 e che
λ:[0, a) −→R
sia una funzione strettamente crescente, continua, con λ(0) =0.
Diremo che V è una funzione di Liapunov per l’equazione differenziale (30.4) con funzione di confronto ω se si ha che
V(x, 0) =0 , V(x, y) ≥λ(kyk) ∂V ∂x(x, y) + h∇yV(x, y), f(x, y)i ≤ω(x, V(x, y)) L’equazione differenziale y0(x) =ω(x, y(x))
verrà indicata col nome di equazione di confronto.
Passiamo ora a provare il seguente risultato
Teorema 1.9 Supponiamo che V sia una funzione di Liapunov per l’equazione
differenziale (30.4) con funzione di confronto ω.
Allora la soluzione nulla è stabile, o asintoticamente stabile, per l’equazione (30.4) se la soluzione nulla è, rispettivamente stabile, o asintoticamente sta-bile, per l’equazione di confronto.
Dimostrazione. Sia y0 ∈ A e consideriamo la soluzione y(x, y0)del
sis-tema (30.6) che supporremo definita in un intervallo massimale (a destra)
[x0, b), b≤ +∞; se poniamo v(x) =V(x, y(x, y0))si ha
v0(x) = ∂V
∂x(x, y(x, y0)) + h∇yV(x, y(x, y0)), f(x, y(x, y0))i ≤
≤ω(x, V(x, y(x, y0)) =ω(x, v(x)), x∈ [x0, b)
e, detta z(x, v0)la soluzione del problema di Cauchy
z0(x) =ω(x, z(x)) z(x0) =v0 , v0=v(x0) =V(x0, y0) >0 si ha V(x, y(x, y0)) =v(x) ≤z(x, v0)
per tutti gli x per cui sono definiti entrambi i membri.
Osservando che la soluzione nulla è stabile per l’equazione di confronto, si può affermare che, fissato ε, 0<ε<a, esiste δ tale che se
la soluzione z(x, v0)dell’equazione di confronto è definita per x≥x0e
z(x, v0) ≤λ(ε).
Pertanto
λ(ky(x, y0)k) ≤V(x, y(x, y0)) ≤z(x, v0) ≤λ(ε) , per x∈ [x0, b).
Usando la continuità di V ed il fatto che V(x, 0) =0 si può poi affermare che seky0k <δεsi ha
v0= |V(x0, y0)| <δ
e quindi, da λ(ky(x, y0)k) ≤λ(ε), si ha
ky(x, y0)k ≤ε , ∀x∈ [x0, b).
Il teorema di prolungabilità della soluzione ed il fatto che ky(x, y0)k ≤
ε<a implicano ora che b= +∞ e si può concludere che seky0k <δε si ha
ky(x, y0)k <ε∀x≥x0
e la stabilità della soluzione nulla.
Per quel che riguarda la stabilità asintotica è sufficiente ricordare che fin qui si è visto che, seky0k <δε
λ(ky(x, y0)k) ≤z(x, v0) , x≥x0 per cui lim x→+∞ λ(ky(x, y0)k) =0 e lim x→+∞ ky(x, y0)k =0 . 2
Corollario 1.3 Supponiamo che V sia una funzione di Liapunov per l’equazione
(30.4) con funzione di confronto ω(x, y) =0, allora la soluzione nulla è sta-bile.
Se invece si può scegliere
ω(x, y) =α(x)β(y)
con α :[x0,+∞) −→R¯+ continua, con integrale divergente, β : ¯R+ −→
¯
R−localmente lipschitziana, β(0) =0, β(y) <0∀y>0, allora la soluzione
nulla è asintoticamente stabile.
Dimostrazione. Evidentemente la soluzione nulla è stabile per l’equazione y0(x) =0.
Per quanto riguarda la seconda affermazione osserviamo che, se
y0(x) =α(x)β(y(x))
allora y è decrescente; inoltre si ha y(x) > 0 ∀x ≥ x0, infatti, se esistesse
x1> x0tale che y(x1) ≤0 allora esisterebbe x2 >x0con y(x2) =0. Ciò è
assurdo per l’unicità della soluzione.
Per il teorema di prolungabilità, essendo 0 < y(x) ≤ y0, la soluzione
y è definita su [x0,+∞); inoltre è possibile verificare la stabilità scegliendo
δε=ε.
Proviamo infine che
lim x→+∞ y(x) =0. Se infatti fosse lim x→+∞ y(x) = ` >0 si avrebbe lim x→+∞ β(y(x)) =β(`) <0 e per x>c opportuno y(x) =y0+ Z x x0 α(t)β(y(t))dt ≤ ≤y0+ Z c x0 α(t)β(y(t))dt+ Z x c α (x)β(`)/2dt e lim x→+∞ y(x) = −∞ il che è assurdo.
Pertanto la soluzione nulla è asintoticamente stabile. 2
Corollario 1.4 Supponiamo che V sia una funzione di Liapunov per l’equazione
(30.4) e supponiamo che
ω(x, V(x, y)) ≤ −ν(kyk)
con ν :[0, a) −→R crescente non negativa e tale che ν(s) =0 se e solo se s=0. Supponiamo inoltre che esista una funzione µ : [0, a) −→R
stretta-mente crescente e tale che µ(0) =0, con ν(µ−1())˙ localmente lipschitziana,
per la quale
V(x, y) ≤µ(kyk).
Allora la soluzione nulla è asintoticamente stabile per l’equazione (30.4).
Dimostrazione. Si ha
ω(x, V(x, y)) ≤ −ν(µ−1(V(x, y)))
ed il precedente corollario permette di concludere se si sceglie α(x) ≡ 1 e
β(s) = −ν(µ−1(s)). 2
Passiamo infine a provare un risultato di instabilità.
Definizione 1.6 Nelle condizioni (30.5) diciamo che la soluzione nulla è
Teorema 1.10 Supponiamo verificate le condizioni (30.5) e supponiamo che
esista un aperto G⊂ [x0,+∞) ×A ed una funzione
V : G−→R
differenziabile e tale che
∂V
∂x(x, y) + h∇yV(x, y), f(x, y)i ≥ω(x, V(x, y)) , ∀(x, y) ∈G
essendo ω una funzione soddisfacente le (30.7) , tale che ω(x, 0) =0. Supponiamo inoltre verificate le seguenti condizioni:
i) 0<V(x, y) ≤M ,∀(x, y) ∈G ii) V(x, y) =0 se(x, y) ∈∂G∩ [x0,+∞) ×A iii)(x0, 0) ∈∂G iv) ω(x, V(x, y)) ≥0 ∀(x, y) ∈G v)∃δ>0 tale che se|ˆx−x0| <δ,|ˆv| <δ si ha lim x→+∞v(x, ˆv) = +∞
essendo v(x, v)la soluzione del problema di Cauchy
v0(x) =ω(x, v(x))
v(ˆx) = ˆv
Allora la soluzione nulla è instabile per l’equazione (30.4).
Dimostrazione. Cominciamo con l’osservare che, grazie al teorema 30.10, di dipendenza continua dai dati iniziali, la definizione 30.12 (di stabilità) non dipende dalla scelta di x0In altre parole la 30.12 è verificata se e solo se essa
è verificata con ˆx in luogo di x0essendo ˆx≥x0.
Ora, per la continuità di V e per la (iii)∀δ>0 ∃(ˆx, ˆy) ∈G , x0< ˆx<
x0+δ ,kˆyk <δ tale che0<V(ˆx, ˆy) <δ ; sia ˆv=V(ˆx, ˆy).
Se la soluzione nulla fosse stabile per l’equazione (30.4) la soluzione y(x, ˆy)
dell’equazione (30.4) con la condizione iniziale y(ˆx) = ˆy sarebbe definita per ogni x≥ ˆx.
Consideriamo v(x, ˆv) e sia ξ = sup{x : (x, y(x, ˆy)) ∈ G}; evidente-mente, se ξ< +∞ , si avrebbe(ξ, y(ξ, ˆy)) ∈∂G e V(ξ, y(ξ, ˆy)) =0.
D’altro canto V(x, y(x, ˆy)) ≥ V(x0, ˆy) > 0 per ˆx ≤ x < ξ poiché
d
dxV(x, y(x, ˆy)) ≥0 se(x, y(x, ˆy)) ∈G e ciò è assurdo.
Pertanto deve essere ξ= +∞ e si ha(x, y(x, ˆy)) ∈G∀x ≥ ˆx; ma allora V(x, y(x, ˆy)) ≥v(x, ˆv)
e
M> lim
e ciò è assurdo. 2 Nel caso dei sistemi autonomi i risultati sulla stabilità possono essere facil-mente provati con ragionamenti diretti, che riportiamo per completezza e per il fatto che le dimostrazioni degli stessi sono estremamente significative.
Allo scopo useremo le seguenti notazioni. Sia f : A−→ A , A= {y∈Rn: kyk <a}
e supponiamo che
(30.10) kf(y1) − f(y2)k ≤LBky1−y2k
∀y1, y2∈ B ,B⊂A, limitato,
f(0) =0.
Le condizioni (30.10) sono sufficienti a garantire l’esistenza e l’unicità lo-cale di una soluzione del problema di Cauchy
y0(x) = f(y(x))
y(x0) =y0
consideriamo inoltre l’equazione
(30.12). y0(x) = f(y(x))
Teorema 1.11 Supponiamo verificate le (30.10) e supponiamo che esista una
funzione differenziabile V : A −→ R tale che V(0) = 0, V(y) > 0 se y∈ A\ {0}. Se accade che
h∇V(y), f(y)i ≤0 ∀y∈ A
allora la soluzione nulla è stabile per l’equazione (30.12). Se di più
h∇V(y), f(y)i <0 ∀y∈ A\ {0}
la soluzione nulla è asintoticamente stabile.
Dimostrazione. Si ha
min{V(y) : kyk =ε} =m>0
e, dal momento che V(0) =0, esiste δ<ε tale che
V(y) <m se kyk <δ .
Sia ora y0 ∈ A , ky0k < δ, sia y(x) la soluzione massimale del problema
(30.11) definita in[x0, b), e sia v(x) =V(y(x)); si ha
ed inoltre
v0(x) = h∇V(y(x)), f(y(x))i ≤0 per x∈ [x0, b).
Pertanto
v(x) ≤v(x0) <m per x∈ [x0, b)
e se esistesse ˆx∈ [x0, b), conky(ˆx)k ≥ε , per il teorema dei valori intermedi
sarebbe possibile trovare x0∈ [x0, ˆx conky(x0)k =ε e si avrebbe
v(x0) =V(y(x0)) ≥m
il che è assurdo.
Ne viene che y(x) è limitato per x ∈ [x0, b) e pertanto b = +∞ per il
teorema di prolungabilità.
Per quel che riguarda il secondo enunciato osserviamo che, essendo ovvia-mente provata la stabilità della soluzione nulla, si ha
∀ε>0∃δε>0 tale che seky0k <δε
ky(x)k <ε per x≥x0,
inoltre come precedentemente visto
v(x) =V(y(x))è decrescente per x≥x0.
Pertanto
lim
x→+∞ v(x) =λ≥0 e v(x) ≥λ se x≥x0;
se fosse λ>0 si potrebbe scegliere η>0 tale che, sekyk <η, V(y) <λ.
Allora, dal momento che V(y(x)) ≥λ si avrebbeky(x)k ≥η; sia
m=max{h∇V(y), f(y)i : η ≤ kyk ≤ε} <0,
si ha
v0(x) ≤m<0 se x ≥x0
e
v(x) ≤v(x0) +m(x−x0).
Facendo x→ +∞ si ottiene v(x) → −∞, il che è assurdo.
Pertanto lim x→+∞ V(y(x)) =x→+∞lim v(x) =0. Se lim x→+∞ y(x) 6=0
esisterebbe xn→ +∞ tale cheky(xn)k ≥ε0>0 e
V(y(xn)) ≥min{V(y) : ε0≤ kyk ≤ε} =ξ0>0
e ciò è assurdo. 2
Teorema 1.12 Supponiamo che le condizioni (30.11) siano soddisfatte e che
esistano un aperto G ⊂ A e due funzioni V : G −→ R differenziabile,
k :R−→R¯+continua, tali che
h∇V(y), f(y)i ≥k(V(y)) >0 ∀y∈G\ {0}.
Supponiamo inoltre che i) 0<V(y) ≤M∀y∈G ii) V(y) =0 se y∈∂G∩A
iii) 0∈∂G.
Allora la soluzione nulla è instabile per l’equazione (30.12).
Dimostrazione. Per la continuità di V e per la (iii),∀δ>0∃y0∈G tale
cheky0k <δ e0<V(y0) <δ .
Sia ˆv = V(y0); se la soluzione nulla fosse stabile per l’equazione (30.12)
potremmo affermare che la soluzione y(x) di (30.11) è definita per x≥x0.
Sia ora
ξ=sup{x : y(x) ∈G},
come nel teorema 30.23 si può vedere che ξ = +∞; pertanto se v(x) =
V(y(x)si ha 0≤v(x) ≤M e v0(x) ≥k(v(x)). Ne deduciamo che Z v(x) ˆv ds k(s) ≥x−x0
e, detta K una primitiva di 1/k si ha
K(v(x)) −K(ˆv) ≥x−x0.
Dal momento che K è crescente
K(M) ≥K(v(x)) ≥K(ˆv) −x0+x per x≥x0
il che è assurdo. 2
Diamo infine un cenno ad un concetto di stabilità spesso noto con il nome di stabilità di Lagrange.
Definizione 1.7 Supponiamo verificate le (30.5) con a = +∞; diciamo che
l’equazione (30.4) è stabile secondo Lagrange se y(x, y0)è una funzione
lim-itata per ogni y0∈ A .
Si può provare facilmente il seguente risultato.
Teorema 1.13 Supponiamo verificate le (30.5) con a = +∞, le (30.7) con
I= [x0,+∞)e R=R. Supponiamo inoltre che esista una funzione
ed una funzione
λ: ¯R+−→R
tali che
V è differenziabile, λ è continua e crescente e si ha lim
r→+∞ λ(r) = +∞;
V(x, y) ≥λ(kyk) ∂V
∂x(x, y) + h∇yV(x, y), f(x, y)i ≤ω(x, V(x, y))
le soluzioni v(x, v0)dell’equazione di confronto
v0(x) =ω(x, v(x))
v(x0) =v0
sono limitate per ogni v0∈R.
Allora il sistema (30.6) è stabile secondo Lagrange.
Dimostrazione. Per il teorema 30.16 y(x, y0)è definita per x≥x0e si ha,
per i risultati di confronto e per la terza ipotesi
λ(ky(x, y0)k) ≤V(x, y(x, y0)) ≤v(x, V(x0, y0)) , x ≥x0.
La limitatezza di v(x, V(x0, y0))e la prima ipotesi permettono di concludere.
2
Molto spesso, per studiare la stabilità di un sistema non lineare si procede allo studio della stabilità del sistema lineare ottenuto usando lo sviluppo di Taylor del primo ordine della funzione che compare a secondo membro. Tale sistema si chiama sistema linearizzato ed è interessante conoscere sotto quali condizioni la stabilità del sistema linearizzato è sufficiente per la stabilità del sistema originario.
Questo tipo di studio si chiama studio della stabilità in prima approssi-mazione; per semplicità ci limiteremo a considerare in questo caso solo sistemi autonomi, cioè sistemi indipendenti dalla variabile x.
Prima di affrontare il successivo teorema ricordiamo che se P ∈ Mn e
consideriamo il sistema differenziale lineare y0(x) =Py(x)
allora esiste una matrice fondamentale del sistema, che indicheremo col nome di matrice fondamentale principale, per la quale risulta G(0) = I (infatti basta scegliere come elementi colonna per la matrice G le soluzioni corrispon-denti ai problemi di Cauchy aventi dati iniziali y(0) =ei; tali soluzioni sono
linearmente indipendenti in quanti W(0) =1).
Ricordiamo inoltre che se P ha tutti gli autovalori con parte reale negativa, con semplici calcoli, si può provare che esistono K, α>0 tali che
Teorema 1.14 Sia P ∈ Mn e siano A = {y ∈ Rn : kyk < a } ed
f : A−→R, tali che f(0) =0, f è continua e
lim x→0 f(x) kxk =0. Consideriamo il sistema y0(x) =Py(x) + f(y(x)) y(x0) =y0
Allora, se P ha tutti gli autovalori con parte reale negativa, la soluzione nulla è stabile per l’equazione del sistema (30.13).
Dimostrazione. Sekyk <σ si ha
kf(y)k ≤ α
2Kkyk; e per il seguito è lecito supporre che a<σ.
Sia G la matrice fondamentale principale del sistema linearizzato y0=Py e sia y la soluzione di (30.13) definita in un intervallo massimale[x0, b); posto
z(x) =G(x−x0)y0+ Z x x0 G(x−t)f(y(t))dt si ha z0(x) =G0(x−x0)y0+ Z x x0 G0(x−t)f(y(t))dt+G(0)f(y(x)) = =P G(x−x0)y0+ Z x x0 G(x−t)f(y(t))dt +f(y(x)) = =Pz(x) +f(y(x)) e z(x0) =y0.
Tenuto conto del fatto che
y0(x) =Py(x) + f(y(x)) , y(x0) =y0 si ha (z−y)0(x) =P(z−y)(x) , (z−y)(x0) =0 da cui z(x) ≡y(x). Pertanto y(x) =G(x−x0)y0+ Z x x0 G(x−t)f(y(t))dt
ed inoltre, poiché gli autovalori di P hanno parte reale negativa
Allora ky(x)k ≤Ke−α(x−x0)ky0k + Z x x0 α 2e −α(x−t)ky(t)kdt da cui eα(x−x0)ky(x)k ≤Kky 0k + Z x x0 α 2e α(t−x0)ky(t)kdt
e per il lemma di Gronwall
eα(x−x0)ky(x)k ≤Kky 0keα(x−x0)/2 e (30.14) ky(x)k ≤Kky0ke−α(x−x0)≤Kky0k , ∀x≥x0 Pertanto si ha, se 0<ε<σ eky0k <ε/K, ky(x)k <ε , ∀x∈ [x0, b)
e con le solite argomentazioni circa la prolungabilità delle soluzioni si vede che deve essere b= +∞.
Passando al limite per x→ +∞ nella (30.14) si conclude anche l’asintotica
stabilità. 2
Un argomento strettamente collegato alla stabilità dei sistemi differenziali è quello dei sistemi perturbati.
Definizione 1.8 Siano f ed R due funzioni soddisfacenti le (30.5);
chiami-amo sistema differenziale perturbato relativo al sistema (30.6) il sistema definito
da
y0(x) = f(x, y(x)) +R(x, y(x))
y(x0) =y0
Osserviamo, ancora una volta, che nelle ipotesi (30.5) la soluzione identica-mente nulla soddisfa il problema (30.6) con y0=0.
Nel seguito studieremo l’effetto della perturbazione R sulla soluzione iden-ticamente nulla.
Definizione 1.9 Diciamo che l’equazione (30.4) è stabile rispetto a piccole
perturbazioni se, detta y(x, y0)la soluzione del sistema perturbato,
∀ε>0∃δε>0 tale che, seky0k <δε ,kR(x, y)k <δε per x≥x0, y∈ A , si haky(x, y0)k <ε per x≥x0.
A questo proposito possiamo provare il seguente
Teorema 1.15 Consideriamo il sistema perturbato della definizione 30.29 e
supponiamo che esistano
V :[x0,+∞) ×A−→R differenziabile; u, λ, µ :[0,+∞) −→ [0,+∞),
λ, u crescenti, continue e nulle solo nell’origine; µ strettamente crescente, µ(0) =0 .
Supponiamo inoltre che si verifichino le seguenti condizioni.
λ(kyk) ≤V(x, y) ≤µ(kyk)
k∇yV(x, y)k ≤k(y) , k continua
∂V
∂x(x, y) + h∇yV(x, y), f(x, y)i ≤ −u(kyk).
Allora l’equazione (30.4) è stabile rispetto a piccole perturbazioni.
Dimostrazione. Osserviamo innanzi tutto che possiamo supporre, senza perdere di generalità, che A sia limitato; sia y(x, y0) la soluzione, che
sup-poniamo definita in un intervallo massimale[x0, b), del problema perturbato
e consideriamo v(x) =V(x, y(x, y0)). Si ha v0(x) = ∂V ∂x(x, y(x, y0)) + h∇yV(x, y(x, y0)), f(x, y(x, y0))i+ + h∇yV(x, y(x, y0)), R(x, y(x, y0))i e sekR(x, y)k ≤δ per x≥x0, y∈ A, si ha v0(x) ≤ −u(ky(x, y0)k) +Kδ≤ −u(µ−1(V(x, y(x, y0))) +Kδ= =φ(V(x, y(x, y0))) +Kδ
Sia ora ε>0 e sia δ scelto in modo che Kδ≤ −φ(λ(ε)), allora
v0(x) ≤φ(v(x)) −φ(λ(ε)) v(x0) =V(x0, y0) =v0 e se v(x) >λ(ε)si ha v0(x) ≤0.
Si può allora affermare che se v0 < λ(ε) si ha v(x) ≤ λ(ε), per x ∈
[x0, b).
Infatti, se esiste x1∈ [x0, b)tale che v(x1) >λ(ε), possiamo considerare
ξ=max{x∈ [x0, x1] : v(x) =λ(ε)}
e si ha
v(ξ) =λ(ε), v(x) >λ(ε) per x∈ (ξ, x1]
ed anche
0<v(x1) −λ(ε) =v(x1) −v(ξ) =v0(η)(x1−ξ) ≤0
in quanto η∈ (ξ, x1)e ciò è assurdo.
Ora, poiché V è continua e V(x0, 0) = 0, si ha che, se ky0k < δε , V(x0, y0) =v0<λ(ε)e quindi
λ(ky(x, y0)k ≤V(x, y(x, y0)) =v(x) ≤λ(ε)
e
ky(x, y0)k ≤ε
1.2
Il teorema di esistenza di Peano
Passiamo ora a considerare il teorema di esistenza di una soluzione per il prob-lema di Cauchy dovuto a Peano. Esso si distingue dal precedente teorema di Picard-Lindeloff in quanto non fa alcun uso della condizione di lipschitzianità della funzione f rispetto alla variabile y. Ciò consente una generalità molto maggiore che non è in grado di assicurare l’unicità della soluzione.
Per illustrare quanto affermiamo consideriamo il problema di Cauchy
y0(x) =py3 2(x)
y(x0) =y0
Si verifica facilmente che le funzioni
y(x) = (x−x0)3 y(x) ≡0
sono soluzioni dell’equazione
y0(x) = 3
q y2(x)
ed è pertanto evidente che non vi è unicità della soluzione in corrispondenza del dato iniziale
y(x0) =0.
E’ inoltre evidente che le soluzioni del problema di Cauchy con dato in-iziale y(x0) = 0 hanno una curiosa proprietà che enunciamo qui in parole
povere riservandoci di stabilirla e provarla con precisione nel seguito: esistono una soluzione massima ed una soluzione minima e la parte di piano tra esse compresa è completamente ’riempita’ da soluzioni uscenti da(x0, 0).
Il teorema di Peano è, infine, di notevole interesse ed utilità in quanto prova, tra le altre cose, la convergenza delle approssimazioni di Eulero della soluzione di un problema di Cauchy.
Allo scopo di dimostrare quanto abbiamo fin qui detto premettiamo qualche risultato di carattere generale, già di per sé estremamente importante.
Definizione 1.10 Sia fk :[a, b] −→Rn una successione di funzioni su un
intervallo chiuso e limitato.
Diciamo che la successione fkè equilimitata se esiste M∈R tale che
kfk(x)k ≤M ∀x∈ [a, b], ∀k∈N;
diciamo che la successione fk è equicontinua se∀ε > 0∃δε > 0 tale che se
|x−y| <δε, x, y∈ [a, b]si hakfk(x) − fk(y)k <ε∀k∈N.
Teorema 1.16 - Ascoli-Arzelà - Supponiamo che fk :[a, b] −→Rn sia una
successione di funzioni su un intervallo chiuso e limitato.
Se fk è equilimitata ed equicontinua, allora esiste una successione fk0
es-tratta da fk ed esiste una funzione f : [a, b] −→ Rn tale che fk0 converge
Dimostrazione. Sia D un sottoinsieme numerabile denso in[a, b], (sia ad esempio D= {x∈Q : a≤x ≤b}).
Sia
D= {xi : i∈N}.
Dal momento che fk è una successione equilimitata è possibile scegliere una
successione kh1estratta da k in modo che
fkh1(x1) →α1,
e, successivamente, una successione kh2estratta da kh1tale che
fkh2(x2) →α2.
Ovviamente si avrà anche
fkh2(x1) →α1
e, se procedendo per ricorrenza chiamiamo khi una successione estratta da
kh(i−1) tale che
fkhi(xi) →αi
avremo che
fkhi(xj) →αj per j=1, 2, ...., i .
Pertanto se consideriamo la successione, che indicheremo semplicemente con fk0, ottenuta prendendo il k−esimo termine della k−esima estratta avremo
che
(30.14) fk0(xi) =→αi ∀i∈N.
(Si osservi che per k→ +∞ si ha k0≥i , definitivamente,∀i∈N)
Proviamo ora che fk0 soddisfa il criterio di Cauchy per la convergenza
uni-forme su[a, b].
Sia ε>0 e consideriamo in[a, b]un insieme di punti
a=y0<y1<...<yi<yi+1<...<ym=b
scelti in modo che
|yi−yi−1| <δε/3
(essendo δε il valore che compare nella definizione 30.32 in corrispondenza della proprietà di equicontinuità), e scegliamo dei punti
ξi ∈ [yi−1, yi] ∩D
(ciò è possibile poiché D è un sottoinsieme denso in[a, b]). Sia ora k0∈N scelto in modo che
(ciò è possibile perché i punti ξi sono in numero finito e per la (30.14)).
Consideriamo x ∈ [a, b] , k > k0 , p ∈ N ; si ha x ∈ [yi−1, yi] (per i
opportuno) e pertanto
kf(k+p)0(x) − fk0(x)k ≤ kf(k+p)0(x) − f(k+p)0(ξi)k+
+ kf(k+p)0(ξi) − fk0(ξi)k + kfk0(ξi) − fk0(x)k ≤
≤ε/3+ε/3+ε/3
le maggiorazioni essendo giustificate dalla (30.15) per il secondo addendo, dalla equicontinuità e dalla scelta dei punti ξiper il primo ed il terzo addendo.
2
Definizione 1.11 Sia I= [x0−a, x0+a], A= {y∈Rn : ky−y0k ≤b}
e sia f : I×A−→A continua; poniamo
M=max{kf(x, y)k : (x, y) ∈I×A}
δ=min{a, b
M}.
Chiamiamo approssimazioni di Eulero del problema di Cauchy (30.1), a destra di x0, la successione di funzioni
yk:[x0, x0+δ] −→A
definita nel seguente modo in modo che:
δk >0 , δk→0 siano xi=x0+iδk , x0≤xi ≤x0+δ definiamo yk(x0) =y0 yk(x) =yk(xi) + f(xi, yk(xi))(x−xi), xi≤x≤xi+1
Osserviamo che la definizione 30.33 è consistente in quanto yk(x) ∈ A se
x∈ [x0, x0+δ]e quindi è possibile calcolare f(xi, yk(xi)).
Infatti si ha yk(x0) =y0∈ A e supposto yk(xj) ∈ A, j=1, ..., i si ha
kyk(xi+1) −y0k ≤ M|xi+1−x0| ≤Mδ≤b.
Notiamo inoltre che evidentemente si ha, se ξ, η∈ [x0, x0+δ],
Osserviamo infine che è banale definire le approssimazioni di Eulero del prob-lema di Cauchy anche a sinistra del punto x0 e di conseguenza in tutto
l’intervallo[x0−δ, x0+δ].
Nel seguito ci limiteremo soltanto a considerare approssimazioni a destra essendo esse le più usuali nei fenomeni di evoluzione ed essendo l’estensione a sinistra banale.
Siamo ora in grado di provare facilmente il teorema di esistenza di Peano.
Teorema 1.17 - Peano - Siano I = [x0−a, x0+a], A = {y ∈ Rn :
ky−y0k ≤b}, f : I×A−→A continua.
Sia
M=max{kf(x, y)k:(x, y) ∈I×A}
δ=min{a, b
M}.
Allora esiste y :[x0−δ, x0+δ] −→A, derivabile e tale che
y0(x) = f(x, y(x)), x∈ [x0−δ, x0+δ]
y(x0) =y0
Dimostrazione. Ci limiteremo a considerare l’esistenza di y a destra di x0, e
cioè in[x0, x0+δ], essendo ovvia l’estensione a sinistra di x0ed all’intervallo
[x0−δ, x0+δ].
Sia ykla successione di approssimanti di Eulero del problema di Cauchy, a
destra di x0. Quanto abbiamo visto a seguito della definizione 30.34 assicura
che le yk costituiscono una successione di funzioni equilimitate ed
equicon-tinue per cui, per il teorema di Ascoli-Arzelà, esiste una successione estratta da ykuniformemente convergente ad una funzione y :[x0, x0+δ] −→A.
Di conseguenza si avrà che y è continua; proviamo che inoltre y è soluzione del problema di Cauchy.
Sia εk→0, dal momento che f è uniformemente continua su I×A esiste
γk tale che, se (30.17) |x0−x”| <γk , ky0−y”k <γk si ha kf(x0, y0) − f(x”, y”)k <εk. Sia pertanto δk =min{γk, γk/M}; se x∈ [xi, xi+1]si ha|x−xi| <δke per la (30.16) kyk(x) −yk(xi)k ≤Mδk
per cui, per la (30.17)
Ma allora, nelle condizioni citate, in[xi, xi+1]si ha
y0k(x) = f(x, yk(x)) +∆k(x)
con
k∆k(x)k = kf(x, yk(x)) −f(xi, yk(xi))k <εk
la maggiorazione ottenuta essendo indipendente da i. Ora yk(x) =y0+ Z x x0 y0k(t)dt = =y0+ Z x x0 f(t, yk(t))dt + Z x x0 ∆k(t)dt
Come conseguenza della convergenza uniforme di ykad y si ha poi che
Z x x0 f(t, yk(t)dt −→ Z x x0 f(t, y(t))dt
uniformemente in[x0, x0+δ]e perciò si ottiene, dalla (30.18)
y(x) =y0+
Z x
x0
f(t, y(t))dt .
2 Osserviamo che, dalla dimostrazione data, segue facilmente che, da ogni sottossuccessione di ykè possibile estrarre una successione convergente ad una
funzione y che, in ipotesi di unicità della soluzione del problema di Cauchy, è la soluzione del problema di Cauchy stesso.
Pertanto, qualora la soluzione sia unica, la successione di approssimanti di Eulero converge alla soluzione stessa.
Passiamo ora a valutare l’errore che si commette usando le approssimanti di Eulero in luogo della soluzione effettiva.
Teorema 1.18 Supponiamo verificate le condizioni del teorema 30.35 e
sup-poniamo che f ∈ C1(IxA); denotiamo con L
xed Lydue valori tali che
∂ f ∂x(x, y) ≤Lx , k∇yf(x, y)k ≤Ly. Allora si ha kyk(x) −y(x)k ≤δk(Lx+LyM)(x−x0)eLy(x−x0)/2. Dimostrazione. Dalla (30.18) si ha kyk(x) −yh(x)k ≤ Z x x0 [f(t, yk(t)) −f(t, yh(t))]dt + + Z x x0 ∆k(t)dt + Z x x0 ∆h(t)dt
Inoltre dalle ipotesi introdotte si ottiene k∆k(x)k ≤Lx|x−xi| +Lykyk(x) −yk(xi)k ≤ ≤Lx|x−xi| +LyM|x−xi| = = (Lx+LyM)|x−xi| e pertanto kyk(x) −yh(x)k ≤ (Lx+LyM)(δk+δh)(x−x0)/2+ + Z x x0 Lykyk(t) −yh(t)kdt e, per il lemma di Gronwall,
kyk(x) −yh(x)k ≤ (δk+δh)(Lx+LyM)x
−x0
2 e
Ly(x−x0).
Pertanto yk è convergente uniformemente ad y che, come nel teorema
prece-dente, è soluzione del problema di Cauchy. Facendo h → +∞ si ottiene la
tesi. 2
Rendiamo a questo punto conto brevemente di quello che è noto come fenomeno di Peano. Per semplicità consideriamo il caso di una sola equazione differenziale; in parole povere il fenomeno di cui sopra può essere descritto come segue.
In presenza di condizioni che garantiscono l’esistenza, ma non l’unicità della soluzione del problema di Cauchy accade che, se esistono due soluzioni uscenti dal punto(x0, y0), comunque si scelga un punto(x1, y1)nella zona
di piano delimitata dalle due soluzioni e dalle rette x0±δ, esiste una soluzione
uscente da(x0, y0)che passa per il punto(x1, y1).
Si può inoltre provare l’esistenza di una soluzione massima e di una soluzione minima per il problema di Cauchy.
Precisiamo ora le condizioni in cui si lavora ed i fatti che possono essere provati.
SiaΩ= (x0−a, x0+a) × (y0−b, y0+b), f :Ω−→R una funzione
continua e limitata e consideriamo il problema di Cauchy
y0(x) = f(x, y(x)) y(x0) =y0 Definiamo M=sup{|f(x, y)| : (x, y) ∈Ω} e δ=min{a, b M}. Siano u, v due soluzioni definite in[x0−δ, x0+δ]del problema di Cauchy.
Possiamo sempre supporre che v(x) ≤ u(x) per x ∈ [x0−δ, x0+δ] in
meno di una ridefinizione del nome, si potrebbe ricondurre v ed u a soddisfare le condizioni richieste.
A questo proposito ricordiamo che se due soluzioni di un problema di Cauchy si intersecano esse devono avere la stessa pendenza nel punto di in-tersezione.
Possiamo provare il seguente risultato:
Teorema 1.19 Nelle condizioni sopra precisate, se x1 ∈ [x0−δ, x0+δ] ,
y1 ∈ [v(x1), u(x1)], esiste una soluzione y del problema di Cauchy definita
in[x0−δ, x0+δ]tale che y(x1) =y1.
Dimostrazione. Per semplicità supporremo x1 > x0. Per il teorema di
Peano esiste una soluzione del problema di Cauchy
y0(x) = f(x, y(x))
y(x1) =y1
Ricordiamo che per il teorema 30.8, comunque si scelga un compatto K, K ⊂ Ω ,per ogni (ˆx, ˆy) ∈ K , la soluzione del problema di Cauchy pas-sante per(ˆx, ˆy), deve intersecare ∂K; infatti se così non fosse il grafico della soluzione sarebbe limitato ed avrebbe distanza positiva daΩc.
Scegliendo
K= {(x, y) ∈Ω : x0≤x≤x0+δ, v(x) ≤y≤u(x)}
possiamo affermare che esiste ξ∈ [x0, x1]tale che
(ξ, y(ξ)) ∈∂K.
Evidentemente una delle due seguenti condizioni
y(ξ) =v(ξ) , y(ξ) =u(ξ)
è verificata.
Sia ad esempio vera la seconda; la funzione definita da
z(x) = y(x), ξ<x≤x0+δ u(x), x0≤x≤ξ
è soluzione del problema di Cauchy ed inoltre si ha z(x1) =y1. 2
Teorema 1.20 Nelle condizioni del teorema precedente esistono due funzioni
s, σ :[x0−δ, x0+δ] −→R soluzioni del problema di Cauchy e tali che, se
y è una soluzione del problema di Cauchy, si ha
Dimostrazione. Proviamo l’enunciato solo a destra del punto x0 essendo
ciò banalmente estensibile a sinistra di x0.
Sia δk=δ/k e consideriamo i punti
xi =x0+iδk , yj=y0+jMδk , i, j=1, 2, ..., k.
Consideriamo ancora i rettangoli
Ri,j= [xi−1, xi] × [yj−1, yj] , i, j=1, 2, ..., k
e definiamo
Mi,j =max{f(x, y) : (x, y) ∈Ri,j}
mi,j=min{f(x, y) : (x, y) ∈Ri,j}.
Osserviamo che, per l’uniforme continuità di f su[x0−δ, x0+δ] × [y0−
Mδ, y0+Mδ], se k è scelto sufficientemente grande si ha
|Mi,j−mi,j| <ε.
Definiamo
g(x, y) =mi,j , h(x, y) =Mi,j , (x, y) ∈Ri,j
e siano
sk, σk :[x0−δ, x0+δ] −→R
due funzioni continue e derivabili a tratti soddisfacenti le condizioni
σ(x0) =s(x0) =y0
σk0(x) =g(x, σk(x))
s0k(x) =h(x, sk(x)).
Si provano, come per il teorema di esistenza di Peano, i seguenti fatti: ske σksono successioni di funzioni equicontinue ed equilimitate;
esistono due estratte sk0e σk0tali che sk0 →s e σk0→σ uniformemente su
[x0−δ, x0+δ].
Come nel teorema di esistenza si vede che s e σ sono soluzioni del problema di Cauchy.
Sia ora y una qualunque soluzione del problema di Cauchy; si ha
y(x) =y0+ Z x x0 f(t, y(t))dt e σk(x) ≤y(x) ≤sk(x) per cui σ(x) ≤y(x) ≤s(x). 2
1.3
Metodi numerici per la soluzione di un problema di Cauchy.
Accenniamo infine ai metodi di approssimazione della soluzione di un prob-lema di Cauchy.
Abbiamo già visto come le approssimazioni di Picard danno la possibilità di approssimare la soluzione ed abbiamo dato una maggiorazione dell’errore.
Questo modo di procedere genera tuttavia numerose difficoltà di tipo cal-colistico, in quanto gli integrali da svolgere spesso non ammettono primitive elementari.
Un secondo tentativo può essere fatto usando la formula di Taylor. In tal caso si sostituisce alla soluzione y(x) il suo sviluppo di Taylor di ordine m, Pm(x, h), relativo al punto x ed all’incremento h. Si ha così
Pm(x, h) = m
∑
i=0 y(i)(x)h i i! e la soluzione è approssimata mediante le
xn+1=xn+h
yn+1=Pm(xn, h)
Osserviamo che y(i)(x) si può ricavare dai dati del problema, ricordando che y0= f y00= fx+fyy0= fx+f fy y000= fxx+fxyf +fxfy+ fy2f+f fyx+ f2fyy . . . .
Osserviamo che nel caso in cui m = 1, la formula appena descritta si riduce al classico metodo di Eulero, mentre per valori di m più grandi i calcoli si fanno troppo complicati e, per evitare questo inconveniente, è necessario considerare quelli che si chiamano metodi di integrazione ad un passo.
Essi si basano sull’idea di cercare una soluzione definita da xn+1 =xn+h yn+1 =yn+α0k0+α1k1+...+αmkm dove k0 =h f(xn, yn) k1 =h f(xn+a1h, yn+b10k0) k2 =h f(xn+a2h, yn+b20k0+b21k1) . . . . km =h f(xn+amh, yn+bm0k0+...+bm,m−1km−1)
Ora, sviluppando secondo Taylor le espressioni dei ki, sostituendo nelle
Taylor della soluzione, si ha un sistema di equazioni algebriche sottodetermi-nato, che consente di trovare più di una scelta dei coefficienti αi, aie bij.
A seconda dell’ordine di sviluppo di Taylor e delle scelte effettuate nel risol-vere il sistema, questo procedimento genera diverse formule di integrazione.
Qui di seguito elenchiamo quelle più diffuse.
- Metodo di Eulero (ordine 1)
xn+1=xn+h
yn+1=yn+h f(xn, yn)
- Metodo di Eulero modificato (ordine 2)
xn+1=xn+h
k1=h f(xn, yn)
k2=h f(xn+h, yn+k1)
yn+1=yn+ (k1+k2)/2
- Metodo di Heun (ordine 3)
xn+1=xn+h
k1=h f(xn, yn)
k2=h f(xn+h/3, yn+k1/3)
k3=h f(xn+2h/3, yn+2k2/3)
yn+1=yn+ (k1+3k3)/4
- Metodo di Kutta (ordine 3)
xn+1=xn+h
k1=h f(xn, yn)
k2=h f(xn+h/2, yn+k1/2)
k3=h f(xn+h, yn+2k2−k1)
- Metodo di Runge-Kutta (ordine 4) xn+1=xn+h k1=h f(xn, yn) k2=h f(xn+h/2, yn+k1/2) k3=h f(xn+h/2, yn+k2/2) k4=h f(xn+h, yn+k3) yn+1=yn+ (k1+2k2+2k3+k4)/6
- Metodo di Runge-Kutta II (ordine 4)
xn+1=xn+h k1=h f(xn, yn) k2=h f(xn+h/3, yn+k1/3) k3=h f(xn+2h/3, yn+k2−k1/3) k4=h f(xn+h, yn+k1−k2+k3) yn+1=yn+ (k1+3k2+3k3+k4)/8
Infine esistono metodi di integrazione per equazioni differenziali che sono basati sulle formule di quadratura aperte e chiuse per intervalli equispaziati.
Tali metodi sono basati sull’uso di una formula di quadratura aperta che usa i punti yn−p, .., ynper predire il punto yn+1e di una formula di quadratura
chiusa che fa uso dei punti yn−q, .., yn+1per correggere la previsione fatta.
Per il loro modo di operare tali metodi si dicono metodi predictor-corrector: riportiamo qui di seguito i più diffusi tra di essi.
- Metodo di Eulero modificato (ordine 2)
xn+1=xn+h
y∗n+1=yn+h f(xn, yn)
- Metodo di Milne a tre punti (ordine 4)
xn+1=xn+h
y∗n+1=yn−3+h[8 f(xn, yn) −4 f(xn−1, yn−1) +8 f(xn−2, yn−2)]/3
yn+1=yn−1+h[f(xn+1, y∗n+1) +4 f(xn, yn) + f(xn−1, yn−1)]/3
- Metodo di Adams-Moulton (ordine 4)
xn+1=xn+h
y∗n+1=yn+h[55 f(xn, yn) −59 f(xn−1, yn−1)+
+37 f(xn−2, yn−2) −9 f(xn−3, yn−3)]/24
yn+1=yn+h[9 f(xn+1, y∗n+1) +19 f(xn, yn)−
−5 f(xn−1, yn−1) + f(xn−2, yn−2)]/24
- Metodo di Milne a cinque punti (ordine 6)
xn+1=xn+h
y∗n+1=yn−5+h[33 f(xn, yn) −42 f(xn−1, yn−1) +78 f(xn−2, yn−2)−
−42 f(xn−3, yn−3) +33 f(xn−4, yn−4)]/10
yn+1=yn−3+h[14 f(xn+1, y∗n+1) +64 f(xn, yn) +24 f(xn−1, yn−1)+
+64 f(xn−2, yn−2) +14 f(xn−3, yn−3)]/45
1.4
Stima dell’errore del metodo di Eulero.
Sia f :Ω→Rnuna funzione , f ∈ C2(Ω), conΩ⊂R×Rne sia(x 0, y0) ∈
Ω e consideriamo il problema di Cauchy
y0(x) = f(x, y(x))
y(x0) =y0
Possiamo ottenere una approssimazione della soluzione locale del problema di Cauchy dato, mediante il metodo di Eulero ponendo, per h>0 opportuno
xn+1=xn+h
yn+1=yn+h f(xn, yn)
È utile stimare l’errore che si commette sostituendo alla soluzione del problema di Cauchy la sua approssimazione di Eulero.
Cominciamo con l’osservare che, nelle condizioni ammesse, la soluzione y del problema di Cauchy è di classeC2in quanto risulta
y00(x) = fx(x, y(x)) +fy(x, y(x))y0(x) =
= fx(x, y(x)) +fy(x, y(x))f(x, y(x))
Osserviamo inoltre che se,
kf(x, y)k ≤M kfx(x, y)k ≤Lx kfy(x, y)k ≤Ly inΩ
Possiamo dedurre che
ky00k ≤Lx+MLy in(x0, x0+δ)
dove δ è definito dal teorema di esistenza ed unicità per la soluzione del prob-lema di Cauchy. x0 yn y0 yn+1 y(xn+1) y(xn) y(x) xn xn+1 εn+1 εn
Ora, se y è la soluzione dl problema di Cauchy, utilizzando la formula di Taylor avremo y(xn+1) =y(xn) +h f(xn, y(xn)) +1 2h 2y00( ξ) =y(xn) +h f(xn, y(xn)) +E1 dove ξ∈ (xn, xn+1). Poniamo E= kE1k = 1 2h 2ky00( ξ)k ≤ 1 2h 2(L x+MLy) e definiamo εn = ky(xn) −ynk per cui ε0=0 Si ha y(xn+1) −yn+1=y(xn) −yn+h f(xn, y(xn)) −h f(xn, yn) +E1
da cui ky(xn+1) −yn+1k = ky(xn) −ynk +hkf(xn, y(xn)) −f(xn, yn)k +E≤ ≤ ky(xn) −ynk +hkfy(xn, ηn)kky(xn) −ynk +E e εn+1≤εn+hLyεn+E Pertanto εn+1≤ (1+hLy)εn+E ε0=0
e si calcola facilmente che
ε1≤E
ε2≤ (1+hLy)ε1+E≤E((1+hLy) +1)
ε3≤ (1+hLy)ε2+E≤E((1+hLy)2+ (1+hLy) +1)
da cui si deduce che
εn≤E(1+ (1+hLy) + (1+hLy)2+ · · · + (1+hLy)n−1) =E1− (1+hLy) n 1− (1+hLy) =E(1+hLy) n−1 hLy ≤ ≤ 1 2h(Lx+MLy) (1+hLy)n−1 Ly (1.3)
Poichè ex≥1+x avremo che
enhLy =ehlyn≥ (1+hL y)n e quindi εn ≤ 1 2(Lx+MLy) enhLy −1 Ly = 1 2h(Lx+MLy) e(x−x0)Ly−1 Ly
ove si sia anche tenuto conto che xn =x0+nh. Abbiamo con ciò ottenuto che
sostituendo la soluzione vera del problema di Cauchy y con le sue approssi-mazioni di Eulero yncommettiamo un errore che può essere stimato mediante
la
εn= ky(xn) −ynk ≤ 1
2h(Lx+MLy)
e(x−x0)Ly−1
Ly (1.4)
Fin qui abbiamo tenuto conto dell’errore intrinseco nel metodo di Eulero, tuttavia va osservato che eseguendo i calcoli si introduce un ulteriore errore dovuto al troncamento cui siamo costretti dovendo necessariamente usare nu-meri decimali finiti.
Sia τ tale errore, avremo allora che εn+1≤ (1+hLy)εn+ (E+τ) ε0=0
da cui deduciamo, come prima,
εn ≤ (E+τ)(1+ (1+hLy) + (1+hLy)2+ · · · + (1+hLy)n−1) = (E+τ)1− (1 +hLy)n 1− (1+hLy) = (E+τ) (1+hLy)n−1 hLy ≤ ≤ 1 2h(Lx+MLy) + τ h (1+hL y)n−1 Ly ≤ 1 2(Lx+MLy) + τ h enhLy −1 Ly = = 1 2h(Lx+MLy) + τ h e(x−x0)Ly −1 Ly
È interessante notare che il coefficiente
1
2h(Lx+MLy) +
τ
h
che compare nella stima dell’errore sia funzione di h e risulti minimo per il valore
h=
s 2τ Lx+MLy
in corrispondenza del quale si ha
1 2h(Lx+MLy) + τ h =√2τqLx+MLy √ 2τpLx+ M Ly √ 2τ /pLx+ M Ly E =1 2h(Lx+ M Ly) h E
Più in generale, supponiamo di disporre di un metodo di approssimazione che definisca una successione di punti(xn, yn)che approssimano i valori della
soluzione del problema di Cauchy y(xn); sia z la soluzione esatta del problema
di Cauchy relativo al dato iniziale z(xn) =yn e supponiamo inoltre di essere
in grado di stimare la differenza
kz(xn+1) −yn+1k ≤E x0 yn y0 yn+1 y(xn+1) y(xn) z(xn+1) z(x) y(x) xn xn+1 εn+1 E εn Posto εn= ky(xn) −ynk avremo ky(xn+1) −yn+1k = ky(xn+1) −z(xn+1) +z(xn+1) −yn+1k ≤ ≤ ky(xn+1) −z(xn+1)k + kz(xn+1) −yn+1k ≤ ≤ ky(xn+1) −z(xn+1)k +E
D’altro canto possiamo stimare, usando il lemma di Gronwall,
ky(xn+1) −z(xn+1)k ≤ ky(xn) −z(xn)kehLy (1.5)
Si ottiene quindi che
εn+1≤ehLyεn+E ε0=0 e quindi εn≤E(1+ehLy+ (ehLy)2+ · · · + (ehLy)n−1= =E(e hLy)n−1 ehLy−1 =E enhLy−1 ehLy−1 =E eLy(x−x0)−1 ehLy−1
Che, come prima, fornisce una stima dell’errore intrinseco del metodo cui, come prima, si deve aggiungere l’errore di troncamento.
Nel caso in cui il metodo a un passo usato sia il metodo di Eulero, possiamo stimare l’errore a un passo E mediante la
E=≤1
2h
2(L
x+MLy)
per cui troviamo che
εn ≤ 1 2h 2(L x+MLy)e Ly(x−x0)−1 ehLy−1 = = 1 2h(Lx+MLy) h ehLy−1(e Ly(x−x0)−1) (1.6) Poichè ehLy−1≥hL y
si vede allora che la 1.6 fornisce una stima più accurata della 1.4, tuttavia se consideriamo la 1.3, notiamo che la stima data da 1.3 è migliore di quella data da 1.6 se 1 2h(Lx+MLy) (1+hLy)n−1 Ly ≤ 1 2h(Lx+MLy) h ehLy −1(e Ly(x−x0)−1) cioè se n−1
∑
k=0 (1+hLy)k = (1+hLy)n−1 (1+hLy) −1 = (1+hLy) n−1 hLy ≤ ≤ e Ly(x−x0)−1 ehLy−1 = n−1∑
k=0 (ehLy)kil che è sempre vero essendo
1+hLy≤ehLy
Possiamo infine raffinare il risultato ottenuto mediante alcune consider-azioni che permettono di sostituire la stima, ottenuta mediante il lemma di Gronwall, usata in 1.5 per ottenere la maggiorazione dell’errore per i metodi a un passo.
Siano infatti y e z soluzioni del sistema di equazioni differenziali
y0(x) = f(x, y(x)) z0(x) = f(x, z(x)) ed u(x) = 1 2ky(x) −z(x)| 2= 1 2hy(x) −z(x), y(x) −z(x)i Si ha u0(x) = hy(x) −z(x), y0(x) −z0(x)i = hy(x) −z(x), f(x, y(x)) −f(x, z(x))i
Consideriamo ora la funzione
avremo
ϕ0(t) = hy−z, fy(x, y+t(z−y))(y−z)i
dove fyindica, come prima, la matrice Jacobiana di f rispetto alla variabile
vettoriale y.
Per il teorema di Lagrange esiste c∈ (0, 1)tale che
ϕ(1) −ϕ(0) =ϕ0(c)
per cui
hy−z, f(x, y) −f(t, z)i = hy−z, f(x, y)i − hy−z, f(x, z)i = hy−z, fy(x, y+c(z−y))(y−z)i
Ora se supponiamo che
µkw|2≤ hw, fy(x, y)wi ≤λkw|2 ∀w∈Rn
avremo
u0(x) = hy−z, f(x, y) −f(t, z)i = hy−z, fy(x, y+c(z−y))(y−z)i ≤λky−zk2=2λu(x)
Ne deduciamo, separando le variabili ed integrando, che
u(xn+1) ≤u(xn)e2λ(xn+1−xn)=u(xn)e2λh
e
ky(xn+1) −z(xn+1k2≤ ky(xn) −z(xn)k2e2λ(xn+1−xn)= ky(xn) −z(xn)ke2λh
cioè
ky(xn+1) −z(xn+1k ≤ ky(xn) −z(xn)keλh
Possiamo a questo punto procedere esattamente come prima, ma la mag-giorazione ottenuta è molto più significativa.
Infatti può accadere che si possa scegliere λ <0 ed in questo caso, la 1.6 fornisce εn≤ 1 2h(Lx+MLy) h ehλ−1(e λ(x−x0)−1) ≤ ≤ 1 2h(Lx+MLy) h 1−ehλ(1−e λ(x−x0)) ≤1 2h(Lx+MLy) h 1−ehλ (1.7)
Tenendo conto che λ(x−x0) <0, per x≥x0.
Ne viene infine che εn →0 per h→0 uniformemente per x≥x0.
1.5
Prolungabilità della soluzione di un problema di Cauchy.
Abbiamo dimostrato un teorema di esistenza ed unicità di una soluzione locale del problema di Cauchy, abbiamo cioè provato che la soluzione esiste ed è unica in un intorno del punto iniziale.
Se esiste un’altra soluzione del problema di Cauchy assegnato, definita su un intervallo più grande di quello precedentemente trovato e coincidente con la prima nella parte comune diciamo che tale soluzione è prolungabile e che la nuova soluzione è un suo prolungamento.
Più precisamente diciamo che y è una soluzione prolungabile a destra se esiste
z :[a, c) −→A soluzione, con c>b e y(x) =z(x) ∀x∈ [a, b).
Una applicazione del lemma di Gronwall assicura che:
Se f è continua inΩ e se
|f(x, y1) −f(x, y2)| ≤ L|y1−y2| , ∀x ∈I , ∀y1, y2∈ A
Allora, se y e z sono due soluzioni definite sugli intervalli I1 ed I2
rispettivamente, si ha
y(x) =z(x) ∀x∈I1∩I2
Sotto opportune condizioni una soluzione locale può essere prolungata; più precisamente:
Se f è continua inΩ e se
|f(x, y1) − f(x, y2)| ≤L|y1−y2| ∀x∈ I , ∀y1, y2∈ A
Allora, se y è una soluzione definita su[a, b)e se poniamo
Γ= {(x, y(x)) : x∈ [a, b)}
sono equivalenti le seguenti condizioni:
• y è prolungabile a destra;
• Γ è limitato e d(Γ, ∂Ω) >0. dove
d(A, B) =inf{|x−y| : x∈ A , y∈B}
È anche possibile stabilire una semplice condizione sufficiente per la pro-lungabilità di una soluzione e quindi per l’esistenza di quella che si chiama una soluzione globale: una soluzione cioè che sia definita per tutti i valori di I= (x0−a, x0+a).
Infatti se
