View of Econometric profiles of testing of statistical hypotheses: model specification tests

PROFILI ECONOMETRICI DEI TEST DI IPOTESI:

LA VERIFICA DELLA SPECIFICAZIONE DEL MODELLO

M. Faliva, M.G. Zoia

1.

INTRODUZIONE

Le procedure di convalida – preliminari ad ogni eventuale utilizzo dei modelli

econometrici – hanno lo scopo di verificare, alla luce dell’evidenza empirica, l’atti-

tudine del modello in esame a fornire una rappresentazione soddisfacente della

realtà economica oggetto di indagine.

La convalida del modello si articola in diversi aspetti, fra cui la verifica della

specificazione che è espressamente finalizzata all’esame dell’attendibilità delle

ipo-tesi in cui si articola il modello. L’obiettivo è quello di pervenire ad individuare un

modello correttamente specificato che rifletta gli aspetti qualificanti del processo

generatore dei dati.

Nell’ambito dell’analisi della specificazione è consuetudine distinguere fra test

di specificazione e test di cattiva specificazione. Qui di seguito focalizzeremo

l’attenzione sui primi.

I test di specificazione poggiano sull’assunto che il modello sia correttamente

specificato. Ed è questa presunzione che spiana la strada al ricorso alla teoria della

verosimiglianza ai fini inferenziali.

Nel sistema di ipotesi sottostante la costruzione di un test di specificazione

l’ipotesi nulla (H

0

) consiste tipicamente in una asserzione di validità della

specifi-cazione assunta per il modello, laddove l’ipotesi alternativa (H

1

) rispecchia un

modello più generale.

L’oggetto dell’inferenza verte sulla bontà del modello parsimonioso

corrispon-dente all’ipotesi nulla, che risulta “annidato” nel modello più articolato

contem-plato dall’ipotesi alternativa, e di riflesso risulta desumibile da quest’ultimo a

se-guito dell’imposizione di vincoli parametrici ad hoc. Di riflesso i test di

specifica-zione risultano in concreto investire la significatività o meno di restrizioni

para-metriche che rappresentano, in senso figurato, una sorta di ponte mobile – che

scorre sulle guide dell’evidenza empirica – fra ipotesi alternativa e nulla.

2.

LA MASSIMA VEROSIMIGLIANZA E I TEST CONNESSI

I test suggeriti per la verifica della specificazione sono essenzialmente

ricondu-cibili nell’alveo dei principi noti come criterio di Wald (W), dei Moltiplicatori di

Lagrange (LM) e del Rapporto di Verosimiglianza (LR) e si basano sulla teoria

della verosimiglianza.

Al fine di illustrare la “ratio” sottostante le tre procedure all’oggetto, si

consi-deri un modello così specificato:

( ,1)

( , )

N Ƣ ƥ

y = f X

+

(2.1)

( , ( ))

ƙ Ʋ

ƥ

 

o

,

r( )

ƙ

N

(2.2)

( ,1) ( ,1)

,

K _{K H} H

R



K

H

N

4

ª

º

«

»

_{ Ž}

_



«

»

«

»

¬

¼

Ƣ Ʋ -

(2.3)

dove y rappresenta il vettore di N osservazioni sulla variabile che si intende

spie-gare (endogena), X rappresenta la matrice delle osservazioni relative alle variabili

esplicative,

ƥ

è un vettore di componenti stocastiche di disturbo non

sistemati-che, con matrice di dispersione

ƙ Ʋ

( ),



è una distribuzione data, che di norma

si identifica con la gaussiana,

-

è il vettore dei parametri del modello e

4

sta ad

indicare un sottospazio di

R

K H

: il sottospazio è proprio o improprio a seconda

che nel modello operino o meno delle restrizioni parametriche.

Ai fini della successiva analisi faremo riferimento ad un sistema di ipotesi, nulla

(H

0

) ed alternativa (H

1

), da sottoporre a verifica alla luce dell’evidenza empirica,

così articolato:

0 M 1 M

: ( )

: ( )

K H K H

H

R

H

R

  4

­

Ÿ  

°

®

z

Ÿ 

°¯

o

o

U - -U - -

(2.4)

dove

U

sta ad indicare un opportuno vettore di M (M < K + H) operatori

fun-zionali indipendenti.

Le stime, vincolata

-

– sotto

H

₀

– e libera

ˆ-

– sotto

H

₁

– dei parametri

-

,

ai sensi del criterio della massima verosimiglianza sono definite, rispettivamente,

come segue:

arg max ( )

l

4   -- -

(2.5)

ˆ

_{arg max ( )}

_l

-- -

(2.6)

dove

l

( )

-

sta ad indicare il logaritmo della funzione di verosimiglianza

1

_.

Lo stimatore

-

è propriamente la soluzione del problema di programmazione

classica:

M

max ( )

condizionato da

( )

l

­

°°

®

°

°¯

o

- U

-(2.7)

Introducendo il vettore

O

dei moltiplicatori di Lagrange e costruendo quindi il

la-grangiano:

(

( )

( )

L

- O

 

l

-



O U -c

(2.8)

le condizioni di primo ordine per un punto stazionario di

L

(

- O





e nella

fatti-specie per un massimo vincolato di

l

( )

-

rispetto a

-

sono date da:

M

(

)

( )

( )

(

)

( )

K H K H M

L

L

  w w

w



­

°

_­

°

_Ÿ

®

_w

_

®

¯

°

°¯

o

s

J

o

o

o

- O - - O -- O U -O





(2.9)

avendo indicato con

s

( )

-

e con

J

( )

-

rispettivamente il gradiente del logaritmo

della verosimiglianza

2

_{e la matrice jacobiana dei vincoli, i.e}

3

_:

1 _{Per il modello in esame la funzione l(}-_{) assume la forma (cfr. Faliva, 1987, p. 203 ss.):} l(-) = l (E,9) = – 2 N _{˜ lg2} S + lg ~det J ~ –1 2 ˜ lg(det :) – 1 2 ˜Hc: –1H₌ = – 2 N _{˜ lg 2} S+ lg ~det J ~ – 1 2 ˜ lg (det :) – 1 2 (y – f)c˜: –1˜ (y – f) _(o)

dove: sta per :(9) e f per f (X,E), per comodità notazionale, e J sta ad indicare la matrice jaco-biana: ( - ( , )) ( , ) N I w w w w c w c  w c Ƣ Ƣ y X X J y y y  H f f (oo)

2 _{Per il modello in esame il gradiente all’oggetto è esprimibile come: cfr. Faliva, op. cit.:}

s(-)= 2 1 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) 1 ( ( ) ( ) ) ( ) 2{ }      w w w w c c c c w w w w w w w … c c w w ­ _c c  c  ° ° ® ° _{  ˜  c c˜ ˜} °¯ Ʋ ƙ ƙ Ʋ ƙ ƙ ƙ ƙ Ʋ Ʋ y y y y E E E E E E    vec J vec vec l l f f f f f f

,1

( )

( )

K H

l

l

 w

s

- --

(2.10)

,

( )

( )

K H M c w

w

J

- U --

, r (J (

-

)) = M

(2.11)

La (2.9) è identicamente vera per

-

=

-

mentre per

-

=

ˆ-

sussiste l’ugua-

glianza

ˆ

( )

s

-

Ư

(2.12)

Sussiste la relazione:

ˆ

( )

(

l

-

t

l

-

(2.13)

che risulta verificata col segno di uguaglianza qualora

O

=

o

, ovvero se

ˆ-

soddisfa

i vincoli.

Alla luce di queste premesse, possibili misure di discrepanza fra enunciato del-

l’ipotesi nulla ed evidenza empirica sono rappresentate da:

i) m

1

: l (

ˆ-

) – l (

ˆ-

)

(2.14)

ii) m

2

: s (

ˆ-

) – s (

ˆ-

)

(2.15)

iii) m

3

:

U

(

ˆ-

) –

U

(

ˆ-

)

(2.16)

Quanto più le suddette misure risultano prossime a zero, e quindi non

significati-ve, tanto più plausibile sarà da ritenersi

H

₀

.

Dalle i), ii) e iii) sopra discendono i criteri

i) l

(

ˆ-

) | l (

ˆ-

) Ÿ H

0

plausibile

(2.17)

ii) s

(

ˆ-

) | o

K+H

Ÿ H

0

plausibile,

(2.18)

iii)

U

(

ˆ-

) | o

M

Ÿ H

0

plausibile

(2.19)

1 1 s(ˆ-) N of  & _{, p lim} 1 _{( )}ˆ Nof N § ­ ½· ® ¾ ¨ _{¯ ¿}¸ ©o H - ¹

doveH(ˆ-) sta ad indicare la matrice (definita positiva): H (ˆ-) = – ˆ 2 ( ) l w c w w º » ¼

-Per quanto concerne la misura m

2

– con l’annesso criterio ii) –, da ispezione

della prima delle equazioni di verosimiglianza vincolata, di cui alla (2.9) sopra,

ov-vero

s

(

-

) = – J (

-

)

O

(2.20)

si evince che l’esame della significatività o meno di s (

-

) va di pari passo con

l’esame della significatività o meno di

O

. Ne consegue che il criterio ii) sopra può

essere sostituito dal criterio alternativo equivalente:

ii’)

O

| o

M

Ÿ H

0

plausibile

(2.21)

Le misure suddette, ed i relativi criteri, stanno alla base dei test noti come test del

rapporto di verosimiglianza, LR (acronimo dell’inglese Likelihood Ratio), test dei

moltiplicatori di Lagrange, LM (acronimo dell’inglese Lagrange Multipliers), e test

di Wald, W, le cui statistiche sono asintoticamente distribuite come una

F2

_–

cen-trale sotto l’ipotesi nulla – con un numero di gradi di libertà pari al numero (M) di

vincoli postulati da

H

₀

(cfr. Engle, 1984).

Il test LR rifiuta

H

₀

per valori elevati della statistica:

LR

'

2 ˜ {l (

ˆ-

) – l (

ˆ-

)}

2 N M F of



(2.22)

Il test LM rifiuta

H

₀

per valori elevati della statistica:

LM

'

sc

(

-

) ˜ H

–1

₍

-

_{) ˜ s (}

-

₎

2 N M F of



(2.23)

dove H (

-

) sta ad indicare la matrice hessiana della log-verosimiglianza cambiata

di segno, i.e.:

H

(

-

) = –

2

( )

l

w c w w -- --

(2.24)

valutata in corrispondenza di

-

=

-

(cfr. nota 3). Il test all’oggetto, ai sensi

della (2.20), può essere alternativamente formulato in termini del vettore dei

mol-tiplicatori di Lagrange

O

(valutato in corrispondenza della soluzione delle

equa-zioni di verosimiglianza vincolata (2.9)), come qui di seguito indicato:

LM

' Oc

˜ J (

-

) ˜ H

–1

₍

-

_{) ˜ Jc(}

-

_{) ˜}

O 2 N M F of



(2.25)

Il test W rifiuta

H

₀

per valori elevati della statistica:

W

' U

c(

ˆ-

) ˜ [J (

ˆ-

) ˜ H

–1

₍

ˆ-

_{) ˜ Jc(}

ˆ-

_)]

–1

˜

U

(

ˆ-

₎

2 N M F of



(2.26)

La scelta del test ottimale – data l’equivalenza asintotica delle statistiche test in

esame – va condotta o in base alle proprietà nei piccoli campioni, qualora queste

siano note, o in base a considerazioni di carattere pragmatico, quali l’onere

com-putazionale. Al riguardo si possono fare le seguenti considerazioni: di norma il

test LM e il test W sono preferibili al test LR, in quanto quest’ultimo richiede per

il suo computo sia le stime vincolate che quelle non vincolate. Il test LM si

dimo-stra particolarmente vantaggioso in tanto in quanto richiede unicamente il calcolo

delle stime del modello vincolato.

3.

VERIFICHE DI IPOTESI DI RILEVANTE INTERESSE IN ECONOMETRIA

In questo paragrafo tratteremo di una coppia di test – speculari l’uno rispetto

all’altro, alla stregua di un Giano bifronte – che sono emblematici delle questioni

che si pongono nel corso di un processo, ancorché teoricamente ben fondato, di

specificazione e che solo l’evidenza empirica – per il tramite di un ricorso oculato

al metodo statistico – può consentire di dirimere.

Più specificamente ci occuperemo, da un lato, della verifica della validità

globa-le della regressione, in presenza di intercetta, nel contesto del modello lineare

classico, e, dall’altro, della verifica della sfericità degli errori nel contesto del

mo-dello lineare media-dispersione (Pukelsheim, 1976; Zoia, 1993).

Configurandosi il modello classico come un caso particolare del modello

me-dia-dispersione, procederemo – ai fini della successiva analisi – alla specificazione

di quest’ultimo.

Il modello all’oggetto, caratterizzato da linearità nei coefficienti delle variabili

esplicative e da una specificazione parametrica lineare dei secondi momenti degli

errori, si articola nelle seguenti ipotesi

4

_:

( ,1) ( ,1) ( , ) (N,1) N K K N Ƣ ƥ

=

+

y

K

(3.1)

vec

:

(

9

) =

2 _{( ,1)} (N ,H) H Ʋ

A

(3.2)

4 _{Il modello all’oggetto discende dalla specificazione più generale di cui alle ipotesi (2.1), (2.2) e}

(2.3) del paragrafo 2, ai sensi delle posizioni:

f(X,E) = XE (o)

vec:(9) = A9 (oo)

come corollario si ha che (cfr. nota 1): w c w f E = X (+) y w c w ƥ _ J =IN (++)

H

~ (

o

,

:

(

9

)),

r

(

:

) = N

(3.3)

A

,

X

matrici non stocastiche

(3.4)

r

(

X

) = K

(3.5)

r

(

A

) = H

(3.6)

(K+H, 1)

ª º

« »

_{¬ ¼}

E_Ʋ -



4

Ž R

K+H

_{, K +H < N}

_(3.7)

La log-verosimiglianza è data da

5

_:

l

(

-

) = l (

E

,

9

) = –

2

N

lg 2

S

–

1

2

lg(det

:

) –

1

2

(

y

–

X

E

)c

: –1

₍

_y

_–

_X

E

_)c

_(3.8)

dove

:

sta per

:

(

9

) per comodità notazionale.

Per il gradiente e la matrice hessiana si dimostrano le eleganti espressioni in

forma compatta

6

_:

( ,1)

( )

K H

s

-

=

(

)

(

)

w w w w

ª

º

«

»

«

»

«

»

«

»

¬

¼

Ʋ Ʋ Ʋ

l

l

E E E





(3.9)

(

)

w w Ʋ

l

E E



=

X

c

:–1

˜ (

_y

_–

_X

E

₎

_(3.10)

(

)

w w Ʋ Ʋ

l

E



= –

1

2

A

cvec

: –1

₊

1

2

A

cvec [

: –1

˜(

_y

_–

_X

E

_)˜(

_y

_–

_X

E

_)c˜

:–1

_]

_(3.11)

2

( )

l

w c w w -- --

= –

H

(

-

) =

2 2 2 2

(

)

(

)

(

)

(

)

w w c c w w w w w w c c w w w w

ª

º

«

»

«

»

«

»

«

»

¬

¼

Ʋ Ʋ Ʋ Ʋ Ʋ Ʋ Ʋ Ʋ

l

l

l

l

E E E E E E E E









(3.12)

2

(

)

w c w w Ʋ

l

E E E



= –

X

c

:–1

_X

_(3.13)

5 _{L’espressione all’oggetto discende dalla (o) di Nota 1 come caso particolare corrispondente alle}

posizioni di Nota 4.

6 _{La dimostrazione delle formule all’oggetto richiede il ricorso ad un’algebra piuttosto sofisticata}

per la derivazione in forma compatta. Le dimostrazioni sono reperibili in Faliva, 2004 (cfr. anche Faliva, 1975).

2

(

)

c w w

w

Ʋ Ʋ

l

E E



=

2

(

)

w c w w

c

ª

º

«

»

¬

¼

Ʋ Ʋ

l

E E



= – [(

y

–

X

E

)c …

X

c] ˜ (

:–1

…

:–1

_{) ˜}

_A

_(3.14)

2

(

)

w c w w Ʋ Ʋ Ʋ

l

E



= –

1

2

A

c ˜ {[

: –1

₍

_y

_–

_X

E

_{) ˜ (}

_y

_–

_X

E

_{)c ˜}

:–1

_]

:–1

₊

+

:–1

… [

:–1

₍

_y

_–

_X

E

_{) ˜ (}

_y

_–

_X

E

_{)c ˜}

:–1

_{] –}

:–1

…

:–1

_{} ˜}

_A

_(3.15)

Stante che i test di ipotesi di cui ci occuperemo investiranno la significatività o

meno di restrizioni parametriche lineari, le ipotesi nulla e alternativa, da

sottopor-re a verifica alla luce dell’evidenza empirica, assumeranno la forma

7

_:

0 1

:

:

M M

H

H

­

®

_z

¯

o

o

R

R

--

(3.16)

Nel quadro di questa specificazione e dei risultati sopra esposti procediamo

quin-di ad operare le verifiche quin-di interesse.

i) Verifica della validità globale della regressione nel modello classico con intercetta

Il modello di riferimento è il seguente:

y

= [

u

,

X

1

] ˜

0 E

ª º

« »

¬ ¼

E1

+

H

(3.17)

H

~ & (o,

V2

_I

N

)

(3.18)

X

1

matrice non stocastica

(3.19)

r

([

u

,

X

1

]) = K < N

(3.20)

che discende dal modello di cui alle ipotesi (3.1) y (3.7) sopra ai sensi delle

posi-zioni:

:

(

9

) =

V2

_I

N

œ

2 N 2 N

1,

,

vec

vec ( )

vec

H

V : V

­

°

®



°¯

Ʋ 9

A

I

I

(3.21)

7 La (3.16) si configura come un caso particolare della (2.4) del § 2 corrispondente alla

posizio-ne: U (-) =

(M K H,R ) (K H ,1)

- , r (R) = M < K + H

col corollario che la matrice jacobiana dei vincoli J(-) – di cui alla (2.11) del § 2 – è semplicemente Rc ed ha pieno rango di colonna.

E

=

0 (1,1) (K 1,1) E

ª

º

«

»

«

»

«

»

¬

E1

¼

(3.22)

X

=

( , 1) ( ,1)

,

N K N 

ª

º

«

»

¬

u

X

1

¼

(3.23)

avendo indicato con

u

il vettore i cui elementi sono tutti pari ad uno.

Ai fini della verifica della validità globale della regressione le ipotesi nulla ed

al-ternativa da porre a raffronto si formulano come segue:

0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

:

:

K K K K K K

H

H

     

œ

œ

­

®

_z

_œ

_z

_œ

_z

¯

E E -E E

-o

R

o

R

o

o

R

o

R

o

(3.24)

dove

R

1

ed

R

sono le matrici di selezione:

1 (K1, )K

R

= [

o

K– 1

,

I

K – 1

],

R

₁

c

=

1

(

)

w w

c

R

E E

(3.25)

1 1 (K

R

1,K1)

[

R o

,

K

]

,

R

c = (

)

w w

c

R

--

(3.26)

Le equazioni di verosimiglianza vincolata, sotto

H

₀

, risultano essere

8

_:

1 2 2 4 1

1

(

)

1

(

) (

) 0

2

2

K K

N

    E V E E V V

­

_c

_˜

_

_

_c

°

°

°

_

_

_

_c

_˜

_

®

°

°

°¯

ƫ

X

y

u

R

o

y

u

y

u

o

 E

(3.27)

da cui è agevole pervenire alle stime:

8 _{Le equazioni all’oggetto (cfr. la (2.9) del paragrafo 2) si giustificano alla luce delle premesse e}

del fatto che le derivate parziali prime della log-verosimiglianza di cui alle formule (3.10) ed (3.11) si specializzano in questo contesto come segue:

2 2 2 4 1 ( ) 1 ( ) ( ) 2 2 l l N w w V w wV V V ­ _{c˜ } °° ® ° _{  c˜  c˜ } °¯ X X X X X y y y E E E E

ˆ  E

=

1

N

u

c

y

,

ˆ  E

=

o

K– 1

(3.28)

2 ˆ V

=

1

N

y

c

My

,

M

=

M

c =

M

2

₌

_I

N

–

1

N

uu

c

(3.29)

ˆO

= –

₂ ˆ

1

V

X

1

c

My

(3.30)

dei parametri e dei moltiplicatori.

Con qualche computo si dimostra che la matrice

H

(

-

) – ai sensi delle formule

(3.12), (3.13), (3.14) e (3.15) sopra – valutata in corrispondenza alle soluzioni del

sistema (3.27), sotto

H

₀

, assume la forma:

H

2 ˆ ˆ ˆ  E V

§

ª º

·

¨

_{« »}

¸

¨

_{« »}

¸

¨

« »

¸

¨

_{« »}

_{¬ ¼}

¸

©

¹

 E

=

1 2 2 1 1 1 2 2 4 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

1

1

1

2

N

o

N

o

V V V V V

ª

_c

º

«

»

«

»

«

_c

_c

»

«

»

«

»

«

c

»

«

»

¬

¼

u X

X u

X X

o

o

(3.31)

Il test dei moltiplicatori di Lagrange per la verifica della validità globale della

regres-sione può essere formulato, alla luce di quanto esposto nel paragrafo 2, come segue:

LM

' ˆ cO

˜

R

c ˜

H

–1 2 ˆ ˆ ˆ  E V

§

ª º

·

¨

_{« »}

¸

¨

_{« »}

¸

¨

« »

¸

¨

_{« »}

_{¬ ¼}

¸

©

¹

 E

˜

R

˜

ˆO 2 1 N K F of 



(3.32)

ed agevolmente valutato grazie ai risultati precedenti.

ii) Verifica della sfericità degli errori nel modello lineare media-dispersione

Il modello di riferimento è quello specificato dalle ipotesi (3.1) y (3.7) sopra con

le posizioni:

2 (N ,H)

A

= [ vec

2 (N ,1) N

I

,

₁ 2 (N ,H 1)

A

]

(3.33)

(1,1) ( ,1) ₁ ( 1,1) H H  V

ª

º

«

»

«

»

«

»

¬

¼

2 Ʋ Ʋ

(3.34)

Ai fini della verifica della sfericità degli errori le ipotesi nulla e alternativa da

porre a rapporto si formulano come segue:

0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

:

:

H H H H H H

H

H

     

œ

œ

­

®

_z

_œ

_z

_œ

_z

¯

9 9 -9 9

-o

R

o

R

o

o

R

o

R

o

(3.35)

dove

R

₁

ed

R

sono le matrici di selezione:

1 (H1,H)

R

= [

o

H–1

,

I

H–1

],

R

₁

c

=

(

1

)

w w

c

Ʋ Ʋ

R

(3.36)

(H1,

R

K H )

= [

o

H–1, K

,

R

1

],

c

R

=

w

(

)

w

c

R

--

(3.37)

Da ispezione delle terne (3.35) y (3.37) e (3.24) y (3.26) si evince come i due

pro-blemi della verifica della validità globale della regressione di cui al punto i) e della

veri-fica della sfericità

degli errori si presentino come speculari.

La procedura per pervenire alla statistica del test segue pertanto la falsariga di

quella precedentemente illustrata.

Le equazioni di verosimiglianza vincolata, sotto H

0

, risultano essere

9

:

2 2 4 1 1 1 2 4 1 1 1 '( ) N 1 ( )'( ) 2 2 1 1 ' vec ' vec{( )( )'} 2 2 K H N H  V V V V V ­ _ ° ° ª º ° _{   } « » °° _{ c} « » ® « » ° _«    _» °¬ ¼ ° ° °¯ E E E O E E 9

X y

X

o

y

X

y

X

R

o

A

I

A

y

X

y

X

o

(3.38)

da cui, con qualche computo, si ottengono le stime:

ˆE

= (

X

c

X

)

–1

˜

_X

c

_y

_(3.39)

2 ˆ V

=

1

N

yc

M

y

,

M

=

M

c

=

2

M

=

I

N

–

X

˜ (

X

c

X

)

–1

˜

X

c

(3.40)

91

=

o

H–1

(3.41)

ˆO

= –

_{2 1} ˆ

1

2

V

A

c

vec

I

N

+

ˆ4 1

1

2

V

A

c

˜ {(

My

) … (

My

)}

(3.42)

Con qualche ulteriore computo si dimostra che la matrice

H

(

-

) – ai sensi delle

formule (3.12), (3.13), (3.14) e (3.15) sopra – valutata in corrispondenza alle

solu-zioni del sistema (3.38), sotto H

0

, assume la forma:

2 1 ˆ ˆ ˆ V

§

ª º

·

¨

« »

¸

¨

_{« »}

¸

¨

_{« »}

¸

¨

_{« »}

_{¬ ¼}

¸

©

¹

E 9

H

=

11 12 21 22

ª

º

«

»

¬

¼

H

H

H

H

(3.43)

dove:

H

11

=

₂

1

V

X

c

X

(3.44)

H

12

=

H

₂₁

c

= [0,

₄

1

V

{(

y

–

X

ˆE

)c …

X

c}

A

1

]

(3.45)

2 22 1 1 6 4 ˆ Ƴ ˆ ˆ Ƴ Ƴ

2

1

1

' [(

)

(

)]

' vec

2

N

N

ª

«

«

«



_

«¬

H

A

My

My

A

I

1 6 4 1 1 1 1 6 4 ˆ ˆ Ƴ Ƴ ˆ ˆ Ƴ Ƴ

1

1

[(

)

(

)]'

(vec

)'

2

1

1

' [(

)]

[(

)]

'

2

2

N N N

º

…



_»

»

»

†



†



»¼

My

My A

I

A

A

Myy'M

I

I

Myy'M A

A A

(3.46)

Il test dei moltiplicatori di Lagrange per la verifica della sfericità degli errori può

essere formulato alla luce di quanto sopra, sulla falsariga di quanto esposto nel §

2, come segue:

LM

' Oˆ

˜ c

R

˜

H

–1 2 1 ˆ ˆ ˆ V

§

ª º

·

¨

« »

¸

¨

_{« »}

¸

¨

« »

¸

¨

_{« »}

_{¬ ¼}

¸

©

¹

E 9

˜

R

ˆO N



ofF_H2_1

(3.47)

e valutato grazie ai risultati precedenti.

Istituto di Econometria e Matematica per le applicazioni MARIO FALIVA

economiche, finanziarie ed attuariali MARIA GRAZIA ZOIA

RIFERIMENTI BIBLIOGRAFICI

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Soc.”, B, pp. 45-53.

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73-85.

RIASSUNTO

Profili econometrici dei test di ipotesi: la verifica della specificazione del modello

Il saggio, nel quadro della verifica della specificazione del modello – previo un excur-sus sui criteri che poggiano sulla teoria della verosimiglianza – , tratta specificatamente di due aspetti emblematici e virtualmente speculari del processo di specificazione e convalida del modello. L’articolo, nel contesto del modello lineare media-dispersione, affronta, da un lato, il problema della verifica della validità globale della regressione e, dall’altro, il pro-blema della verifica della sfericità degli errori e perviene, avvalendosi di un elegante stru-mentazione algebrica, ai pertinenti test dei moltiplicatori di Lagrange.

SUMMARY

Econometric profiles of testing of statistical hypotheses: model specification tests

The paper, within the frame of econometric specification testing – after an excursus on criteria based on likelihood theory –, focuses on a pair of emblematic and virtually specu-lar facets of the model specification and validation process. Indeed, within a mean-dispersion linear specification framework, the paper faces the issues of testing on the one hand, the overall significance of the regression and on the other, the sphericalness of dis-turbances and, making use of an elegant algebraic toolkit, derives the ad hoc Lagrange multiplier test statistics.