gruppi e anelli

(1)

STRUTTURE ALGEBRICHE

Operazioni in un insieme

Sia A un insieme non vuoto; una funzione f : A × A −→ A si dice operazione binaria (o semplicemente operazione), oppure legge di composizione interna.

Per definizione di funzione, un’operazione associa a ogni coppia ordinata (a, b) ∈ A × A un elemento di A, se indichiamo con ∗ tale operazione, invece di ∗((a, b)) scriveremo a ∗ b, cio`e:

∗ : A × A −→ A (a, b) −→ a ∗ b Un’operazione ∗ si dice: associativa se (a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c) ∀ a, b, c ∈ A commutativa se a ∗ b = b ∗ a ∀ a, b ∈ A ESEMPI:

1. L’addizione + e la moltiplicazione · sono operazioni nell’insieme dei numeri interi associative e commutative.

2. La composizione di applicazioni ◦ , nell’insieme delle applicazioni da un insieme A in se stesso, `e associativa.

3. La composizione di applicazioni ◦ , nell’insieme delle applicazioni da N in se stesso, non `e commutativa. Per esempio siano f : N −→ N e g : N −→ N cos´i definite: f (n) = n2, g(n) = n + 1; allora (f ◦ g)(n) = (n + 1)2_{= n}2_{+ 2n + 1 6= (g ◦ f )(n) = n}2_{+ 1.}

4. La sottrazione − nell’insieme dei numeri interi non è né associativa né commutativa, infatti per esempio (5 − 3) − 1 = 1 6= 5 − (3 − 1) = 3 e 5 − 1 = 4 6= 1 − 5 = −4.

Un insieme A nel quale siano definite una o pi´u operazioni si dice struttura algebrica.

Gruppi

Un insieme G con una operazione ∗ : G × G −→ G si dice gruppo se: (1) ∗ `e associativa;

(2) c’`e un elemento neutro e per ∗, cio`e ∃ e ∈ G tale che g ∗ e = e ∗ g = g, ∀ g ∈ G;

(3) ogni elemento ha un inverso (opposto se l’operazione `e l’addizione), cio`e ∀ g ∈ G ∃ g0_{∈ G} _{tale che} _{g ∗ g}0_{= g}0_{∗ g = e}

(2)

Un insieme in cui valgono solo (1) e (2) e non (3) si dice semiruppo o monoide..

Sia i gruppi, sia i semigruppi vengono spesso denotati con la terna costituita da insieme, oper-azione e elemento neutro: (G, *, e).

PROPRIET `A:

1. Vale la legge di cancellazione (o regola di semplificazione), cio`e: a ∗ b = a ∗ c =⇒ b = c

Infatti poich´e ∃ a0 tale che a0∗ a = e, moltiplicando per a0 _{si ottiene a}0_{∗ (a ∗ b) = a}0_{∗ (a ∗ c) e}

per la propriet`a associativa si ha (a0∗ a) ∗ b = (a0_{∗ a) ∗ c, cio`}_{e b = e ∗ b = e ∗ c = c.}

2. L’elemento neutro `e unico.

Infatti se u e e sono due elementi neutri, ossia se per entrambi ∀a si haa ∗ e = e ∗ a = a, a ∗ u = u ∗ a = a, si ottiene e = e ∗ u = u (ponendo a = e e considerando u come elemento neutro nella prima uguaglianza e viceversa nella seconda).

3. L’inverso `e unico.

Infatti se a ∗ a0= a0∗ a = e e a ∗ b = b ∗ a = e, si ha

b = b ∗ e = b ∗ (a ∗ a0) = (b ∗ a) ∗ a0= e ∗ a0= a0. 4. L’inverso dell’inverso di a `e a.

Infatti a `e l’unico elemento tale che a0∗ a = a ∗ a0 _{= e, quindi (a}0₎0 _{= a.}

Queste regole ci dicono che in un gruppo ogni equazione di primo grado a∗x = b oppure x∗a = b ha soluzione Se il gruppo non `e commutativo a ∗ x = b e x ∗ a = b possono avere soluzioni diverse. Infatti moltiplicando per l’inverso a0 di a si ottiene nel primo caso x = a0∗ b, nel secondo x = b ∗ a0_.

Da tutto ci`o risulta che nella tabellina del gruppo su ogni riga e colonna devono comparire tutti gli elementi del gruppo e una volta sola. Si vede quindi facilmente che (a meno di scambiare il nome degli elementi) per i gruppi di 2 o 3 elementi c’e‘ una sola tabellina possibile, mentre per quelli di 4 elementi ce ne sono due.

ESEMPI:

1. L’insieme dei numeri naturali N con l’addizione + non è un gruppo, infatti + è associativa e commutativa, 0 è l’elemento neutro, ma ∀ n > 0 non c’è l’opposto. Analogamente N con la moltiplicazione non è un gruppo perchè · è associativa e commutativa, 1 è l’elemento neutro, ma ∀ n 6= 1 non c’è l’inverso.

2. L’insieme dei numeri interi Z con l’addizione + è un gruppo commutativo, infatti + è associativa e commutativa, 0 è l’elemento neutro e ∀ a ∈ Z ∃ − a tale che a + (−a) = (−a) + a = 0. Invece Z con la moltiplicazione · non è un gruppo perchè · è associativa e commutativa, 1 è l’elemento neutro, ma gli unici elementi che hanno inverso sono −1 e 1.

3. L’insieme {−1, 1} ⊆ Z con la moltiplicazione · è un gruppo commutativo, infatti · è associativa e commutativa, 1 è l’elemento neutro e ogni elemento è l’inverso di se stesso.

(3)

4. L’insieme Q∗= Q\{0} con la moltiplicazione · è un gruppo commutativo, infatti · è associativa e commutativa, 1 è l’elemento neutro e ∀ a_b ∈ Q∗ ∃ b

a tale che a b ·

b a = 1.

5. Sia A = {1, 2, 3}. L’insieme S3 delle applicazioni bigettive di A in A con la composizione di

applicazioni `e un gruppo con 6 elementi, detto gruppo delle permutazioni di 3 elementi:

i : A −→ A σ : A −→ A σ2_: _A _−→ _A 1 −→ 1 1 −→ 2 1 −→ 3 2 −→ 2 2 −→ 3 2 −→ 1 3 −→ 3 3 −→ 1 3 −→ 2 τ1: A −→ A τ2: A −→ A τ3: A −→ A 1 −→ 1 1 −→ 3 1 −→ 2 2 −→ 3 2 −→ 2 2 −→ 1 3 −→ 2 3 −→ 1 3 −→ 3

Infatti ◦ è associativa, l’elemento neutro è f1, l’inversa di f4è f6e f1, f2, f3, f5sono ognuna l’inversa

di se stessa. S3 non `e commutativo perch´e f2◦ f36= f3◦ f2, infatti f2(f3(1)) = f2(2) = 3, mentre

f3(f2(1)) = f3(1) = 2.

Una permutazione f pu`o anche essere denotata 1 2 3 f (1) f (2) f (3) , per esempio σ = 1 2 3 2 3 1 .

Se G con l’operazione ∗ , L con l’operazione • sono due gruppi, il prodotto cartesiano G × L con l’operazione definita da (a, b) (c, d) = (a ∗ c, b • d) `e un gruppo con elemento neutro (eG, eL).

Infatti si vede facilmente che `e associativa e che ogni elemento (a, b) ha inverso (a, b)0= (a0, b0) dove0 si denota l’inverso nel rispettivo gruppo. In particolare se L = G il gruppo G × G si denota G2. Analogamente si definiscono G3 e pi´u in generale Gn.

Un gruppo G si dice ciclico se esiste un suo elemento g tale che ∀ x ∈ G ∃ n ∈ Z tale che x = g∗n, dove con g∗n si intende g ∗ g ∗ . . . ∗ g n volte se n ≥ 0 oppure g0∗ g0_{∗ . . . ∗ g}0 _{−n volte se}

n < 0. Tale g si dice generatore di G. Per esempio Z `e ciclico generato da 1, infatti ogni numero intero n `e somma di |n| copie di 1 o di −1 a seconda del segno di n. Z2 _{non `}_{e ciclico, infatti}

comunque scegliamo un elemento (a, b) esso non pu`o generare tutti gli elementi di Z2 perch´e per esempio l’elemento (a, −b) 6= n(a, b) ∀n ∈ Z, a meno che a = 0 oppure b = 0, ma allora non si ottengono gli elementi con entrambe le componenti non nulle.

Se un gruppo G ha un numero finito di elementi, si dice che G `e un gruppo finito e il numero di elementi si dice ordine di G e si denota |G|.

Anelli

Un insieme A con due operazioni + e · si dice anello se: (1) A con la somma + `e un gruppo commutativo;

(4)

(3) vale la propriet`a distributiva della somma rispetto al prodotto, cio`e (a + b)c = ac + bc e a(b + c) = ab + ac

Inoltre A si dice anello commutativo se il prodotto · è commutativo; A si dice anello con identità (o con 1) se in A c’è un’identità moltiplicativa, che denoteremo appunto 1 (o 1A in caso

di ambiguit`a). PROPRIET `A: 1. a0 = 0b = 0.

Infatti a0 + a0 = a(0 + 0) = a0 = a0 + 0 e per la legge di cancellazione a0 = 0; il caso 0b=0 `e analogo.

2. (−a)b = −ab = a(−b)

Infatti (−a)b + ab = (−a + a)b = 0b = 0 e a(−b) + ab = a(b − b) = a0 = 0. 3. (−a)(−b) = ab

Infatti (−a)(−b) = −(a(−b)) = −(−ab) = ab.

Non `e detto che se ab = 0 allora a = 0 oppure b = 0. Un anello A si dice integro se ab = 0 ⇐⇒ a = 0 oppure b = 0.

ESEMPI:

1. L’insieme dei numeri interi Z con l’addizione e la moltiplicazione `e un anello commutativo con identit`a, integro.

2. Se A `e un anello, l’insieme FA= {{ : A −→ A} delle funzioni di A in A con le operazioni + e

· cosí definite : (f + g)(x) = f (x) + g(x) e (f g)(x) = f (x)g(x) è un anello commutativo con identità, non integro.

Verificare che FAcon la somma definita sopra e con la composizione di funzioni come

moltipli-cazione non è un anello perché non vale la proprietà distributiva.

3. Se A `e un anello, possiamo considerare l’insieme A[X] dei polinomi f (X) = a0+ a1X + a2X2+ . . . + anXn

dove a0, a1, . . . , an ∈ A sono detti coefficienti del polinomio e X indeterminata. Se an 6= 0

si dice che il polinomio f (X) ha grado n e si scrive δf (X) = n, in tal caso an si dice coefficiente

direttivo di f (X).

Dati due polinomi a coefficienti in un anello A, f (X) = a0+ a1X + a2X2+ . . . + anXn e

g(X) = b0+ b1X + b2X2+ . . . + bsXs, possiamo definire una somma e un prodotto nel modo

seguente: f (X) + g(X) = (a0+ b0) + (a1+ b1)X + (a2+ b2)X2+ . . . + (ai+ bi)Xi+ . . . f (X)g(X) =

a0b0+ (a0b1+ a1b0)X + (a0b2+ a1b1+ a2b0)X2+ . . . + (P i

j=0ajbi−j)X i_{+ . . .}

(5)

Osserviamo che il grado della somma di due polinomi `e minore o uguale al massimo tra i due gradi. Il grado pu`o diminuire se f e g hanno lo stesso grado e coefficienti direttivi opposti, per esempio f = 1 + 2X − 3X3_{, g = 2 + X}2_{+ 3X}3 _{hanno grado 3, mentre f + g = 3 + 2X + X}2 _ha

grado 2.

Se A `e integro il prodotto di due polinomi ha come grado la somma dei gradi, infatti se δf = n e δg = s il termine di grado massimo di f g `e anbsXn+s, quindi δ(f g) = n + s.

4. Se A, B sono due anelli, sul gruppo additivo A×B si pu`o definire oltre alla somma (a, b)+(c, d) = (a + c, b + d) anche un prodotto (a, b) · (c, d) = (ac, bd). Con queste due operazioni A × B `e un anello con 1A×B = (1, 1), commutativo se A e B lo sono, ma non integro anche se A e B lo sono,

perch´e per esempio (1, 0) · (0, 1) = (0, 0).

5. L’anello delle matrici con la somma e il prodotto righe per colonne`e un anello non commutativo con identit`a, non integro.

Campi (e corpi)

Un anello con identità K si dice corpo se ogni elemento diverso da zero è invertibile, si dice campo se K∗= K\{0} con l’operazione · è un gruppo commutativo.

Ogni corpo `e integro.

Infatti se ab = 0 e a = 0 si ha la tesi, altrimenti a 6= 0 `e invertibile e moltiplicando ab = 0 per a−1 si ha a−1(ab) = a−10 = 0; allora (a−1a)b = 0 e quindi 1b = b = 0

Un corpo K si dice totalmente ordinato se soddisfa i seguenti: Assiomi relativi all’ordinamento.

`

E definita una relazione di ≤ con le seguenti propriet`a

(1) Dicotomia: per ogni coppia di elementi a, b si ha a ≤ b oppure b ≤ a. (2) Propriet`a antisimmetrica.

(3) a ≤ b =⇒ a + c ≤ b + c ∀ c ∈ K. (4) 0 ≤ a, 0 ≤ b =⇒ 0 ≤ a + b, 0 ≤ ab.

PROPRIET `A DEI CORPI TOTALMENTE ORDINATI: 1. a ≤ b =⇒ a − b ≤ 0.

Segue dall’assioma (3). Infatti sommando −b ad ambo i membri della disuguaglianza a ≤ b si ha a − b ≤ b − b = 0. Viceversa se a − b ≤ 0 sommando b si ottiene a = a − b + b ≤ 0 + b = b.

2. Valgono la proprietà riflessiva a ≤ a (infatti a − a = 0) e la proprietà transitiva (infatti a ≤ b e b ≤ c equivalgono a a − b ≤ 0 e b − c ≤ 0, da cui a − c = a − b + b − c ≤ 0 + (b − c) = b − c ≤ 0). Perciò ≤ è una relazione d’ordine e la dicotomia dice che l’ordine è totale.

(6)

3. 0 ≤ a =⇒ −a ≤ 0.

Infatti −a = 0 + (−a) ≤ a + (−a) = a − a = 0 e viceversa 0 = a − a ≤ a + 0 = a. 4. Se a ≤ b si ha:

( i Se 0 ≤ c allora ac ≤ bc

( ii) Se c ≤ 0 allora bc ≤ ac Ricordando che a ≤ b =⇒ a − b ≤ 0, dalla propriet`a 3 segue che 0 ≤ b − a da cui per l’assioma (4) si ha 0 ≤ c(b − a) e quindi la tesi (i). Nel secondo caso, poich´e se c ≤ 0 allora 0 ≤ −c si ha per la prima parte della dimostrazione −ac + bc ≤ 0 da cui bc ≤ ac.

5. 0 ≤ a2 per ogni a ∈ K.

Infatti se 0 ≤ a risulta 0 = 0a ≤ aa = a2, se a ≤ 0 allora 0 = a0 ≤ aa = a2. 6. Se 0 ≤ a allora 0 ≤ _a1.