Equazioni differenziali ordinarie del secondo ordine

Lezione 7 - Nozioni di base sulle equazioni

differenziali

Unit`

a 7.2 Equazioni differenziali ordinarie del

second’ordine

Luca Salasnich

Dipartimento di Fisica e Astronomia “Galileo Galilei”, Universit`a di Padova

EDO del 2do ordine

Una tipica equazione differenziale ordinaria (EDO) del second’ordine `e del tipo

a(x ) f00(x ) + b(x ) f0(x ) + c(x ) f (x ) = d [f (x ), x ] , (1) dove f (x ) `e la funzione incognita, mentre a(x ), b(x ), c(x ), e d [f (x ), x ] sono delle funzioni note.

Ad esempio, l’equazione potrebbe essere

x2f00(x ) + 3 f0(x ) = 2 sin(x )f (x )4,

dove chiaramente in questo caso abbiamo che a(x ) = x2_{, b(x ) = 3,} c(x ) = 0, e d [f (x ), x ] = 2 sin(x )f (x )4_.

La EDO `e del second’ordine perch`e compare la derivata seconda f00(x ) della funzione incognita f (x ).

EDO del 2do ordine a coefficienti constanti

La pi`u generale equazione differenziale ordinaria (EDO) del second’ordine a coefficienti costanti `e del tipo

a f00(x ) + b f0(x ) + c f (x ) = d , (2) dove f (x ) `e la funzione incognita, mentre a, b, c, e d sono coefficienti noti.

Ad esempio, l’equazione potrebbe essere

3 f00(x ) − f0(x ) + 2 f (x ) = −7 ,

dove chiaramente in questo caso abbiamo che a = 3, b = −1, c = 2, e d = −7.

E’ importante sottolineare che i coefficienti a, b, c, d potrebbero anche essere dei numeri complessi. In questo caso anche la funzione incognita f (x ) sar`a una funzione con codominio complesso.

EDO del 2do ordine con c.c. omogenea (I)

L’equazione differenziale ordinaria (EDO) omogenea del second’ordine con coefficienti costanti

a f00(x ) + b f0(x ) + c f (x ) = 0 , (3) ammette la soluzione generale

f (x ) = Aeλ1x_{+ Be}λ2x ₍₄₎

dove λ1e λ2sono le due soluzioni complesse dell’equazione algebrica

a λ2+ b λ + c = 0 , (5)

mentre le costanti arbitrarie A e B si determinano fissando due condizioni iniziali alla funzione incognita f (x ).

Questo risultato si dimostra verificando che una volta inserita l’Eq. (4) nella parte a sinistra dell’uguale della Eq. (3) si trova zero solo se λ soddisfa l’Eq. (5).

EDO del 2do ordine con c.c. omogenea (II)

Ad esempio, consideriamo la EDO omogenea del second’ordine con coefficienti costanti

f00(x ) + 4 f (x ) = 0 con le condizioni iniziali f (0) = 1 e f0(0) = 0. Questa equazione ammette la soluzione generale

f (x ) = Aeλ1x_{+ Be}λ2x

dove λ1e λ2sono le due soluzioni complesse dell’equazione algebrica λ2+ 4 = 0 ,

ovverosia λ1= −2i e λ2= 2i , e quindi

EDO del 2do ordine con c.c. oogenea (III)

f0(x ) = −i 2Ae−i 2x+ i 2Bei 2x . La condizione iniziale f0(0) = 0 implica

f0(0) = −i 2A + i 2B = 0 e quindi

A = B . Inoltre, la condizione iniziale f (0) = 1 implica

f (0) = A + B = 2A = 1 , e quindi

A = B = 1 2 . In definitiva, la soluzione della ODE risulta

f (x ) = 1 2 e

Legge di Newton come EDO del 2ndo ordine

F = m a (6)

`e a tutti gli effetti una EDO del second’ordine. Infatti essa pu`o essere scritta per esteso come

F(r(t),d r(t) dt ) = m

d2_r(t)

dt2 (7)

dove la funzione incognita `e il raggio vettore r(t) come funzione del tempo t.

Infatti, nella legge di Newton compare l’accelerazione a(t) at tempo t. Questa si pu`o scrivere come derivata seconda rispetto al tempo t del vettore posizione r(t), cio`e

a(t) =d 2_r(t)

dt2 . (8)

Inoltre, in certi casi, la forza F pu`o dipendere non solo dalla posizione r(t) ma anche dalla velocit`a v(t), e quindi dalla derivata prima del vettore posizione, dato che v(t) = d r(t)_dt .