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I NUMERI DI FIBONACCI,
UN PONTE TRA LA SCIENZA ARABA E L’OCCIDENTE "
Alunni: Valentina Giovinco, Valentina Polverazzi, Ilenia Prezioso, Pamela
Ritacco, Jacqueline Spera (studenti della classe IVB del Liceo Scientifico
“E. Siciliano” di Bisignano (CS) .
Referente: Prof.ssa Franca Tortorella
“O Leonardo da Pisa, tu fosti un grande scienziato, tu che hai istruito l’Italia nelle pratiche dell’aritmetica” Antonio de’ Mazzinghi, XIV secolo
2 1. Analisi storica
Gli scambi commerciali fra le repubbliche marinare e l’Oriente alle soglie dell’anno mille e la penetrazione in terre di cultura araba nel corso dell’XI secolo a opera dei Normanni di Sicilia, degli uomini della reconquista spagnola e dei Crociati, ebbero come conseguenza, nel XII secolo, la rinascita del pensiero europeo. Il nuovo pensiero fu caratterizzato dall’impronta filosofica e scientifica greco-araba e il primo fattore di questa rinascita fu l’entusiasmo con il quale gli intellettuali di tutta Europa riunirono i documenti dell’antichità greca tradotti in arabo e i testi arabi originali. Alcune traduzioni rilanciarono gli studi matematici: gli Elementi di Euclide (a cura di Adelardo di Bath) le opere di aritmetica e algebra del persiano Al Khwarizmi ( a cura di Roberto di Chester), il De mensura circuli di Archimede e il Liber trium fratum de geometria, trattato di geometria greco-arabo del IX secolo (a cura di Gerardo da Cremona). L’orientamento era nuovo, nel senso che la matematica non era studiata per se stessa, né per il solo piacere filosofico, ma per le applicazioni utili a soddisfare le esigenze di un’epoca nuova. Fu in questa atmosfera di concreto fervore intellettuale che Leonardo da Pisa , figlio di Bonaccio, nato intorno al 1170, si dedicò alla matematica. Quando ancora era un giovane ragazzo, suo padre, che dirigeva l’ufficio doganale di Bejaia, in Algeria, per conto della corporazione dei pisani, lo volle con sé e gli fece seguire i corsi più prestigiosi sul metodo di calcolo indo-arabo. Fu dunque fra un contratto e un recoconto contabile, che Leonardo compose il Liber Abaci, prima opera a raccogliere tutto lo scibile della matematica medioevale. Con questo testo l’autore si proponeva di mettere a disposizione dei popoli latini ogni sua conoscenza in materia di aritmetica e di algebra. In quest’opera vengono presentati la nuova numerazione indiana e il segno 0, le operazioni sui numeri interi e le frazioni, le prove del 7, del 9, dell’11, del 13 e il criterio di divisibilità per 9, i metodi per calcolare il massimo comune divisore e il minimo comune multiplo; seguono numerosi problemi come le regole dell’acquisto e della vendita, le leggi societarie, i cambi fra le più diverse monete dell’epoca. Gli ultimi capitoli si occupano della regol elchataym per risolvere i sistemi di equazioni di primo grado e trattano le questioni di aliebre et almucabale, espressione italo-arabo che si può tradurre come “posizione e riduzione”.
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Per tre secoli, fino a Pacioli, i professori e gli allievi della Scuola Toscana impararono la matematica sul Liber Abaci. Non era e non è un’opera semplice e Leonardo da Pisa incoraggiava il lettore a esercitarsi continuamente sulle applicazioni fino a quando la memoria e il ragionamento, le mani e i numeri “in uno stesso slancio, in un solo respiro, nello stesso istante, risuonino naturalmente, quasi tutti all’unisono”. Questo desiderio di perfezione fece di Leonardo un matematico d’eccezione. Di seguito è riportato l’Incipit del Liber Abaci figura1, risalente al XIII secolo. Leonardo vi descrive il suo approccio alla matematica e introduce le cifre indiane.
Figura 1 - Incipit del Liber Abaci
Leonardo divulgò le cifre indiane e il loro utilizzo. Prima del X secolo, i maestri eseguivano i loro calcoli su tavolette munite di dischetti dove erano incisi segni analoghi alle cifre indiane, figura2. Anche se i nomi dati a questi segni probabilmente derivavano dall’arabo, si sosteneva che la loro origine risalisse a Pitagora.
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Figura 2 – Caratteri utilizzati dai maestri di calcolo
Gli storici della matematica si riferiscono al nostro autore chiamandolo Leonardo da Pisa, così come avveniva nella totalità degli scritti medioevali e rinascimentali. Invece, i matematici moderni lo chiamano Fibonacci e associano questo nome alla celebre successione ricorrente 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34,… in cui ogni termine è la somma dei due termini immediatamente precedenti. Leonardo la introduce nel Liber Abaci a proposito del famoso “problema dei conigli”: un gioco, più che un problema, dal quale i matematici moderni hanno dedotto proprietà importanti. La successione è stata chiamata “successione di Fibonacci” e i suoi termini “numeri di Fibonacci”, eppure il matematico pisano non ha mai portato questo nome quand’era in vita. Il primo a dargli questo appellativo fu il francese Guillaume Libri nella sua Storia delle scienze matematiche in Italia(1838) . Secondo Libri furono i concittadini di Leonardo da Pisa a dargli questo soprannome. Il cognome Fibonacci ci ha risparmiato il soprannome Bigollo (pigro) ancor meno rispettoso del primo, anche se più legittimo dato che il Flos si apre con le seguenti parole: Incipit flos Leonardo Bigolli Pisani…”, figura3. Il manoscritto del Flos giaceva a quell’epoca sopra qualche ripiano della biblioteca Ambrosiana ma Libri, facendo riferimento all’Elogio a Leonardo da Pisa del Guglielmini, del 1813, e a un manoscritto della Pratica geometrie da lui rinvenuto presso la Biblioteca Reale di Parigi, sul quale era scritto
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“composizione di Leonardo Bigollo, figlio di Bonaccio” e in seguito ”il padre dell’algebra moderna fu trattato dai Pisani alla stregua di un pigrone…”.
Figura 3 – Particolare dell’Incipit del Flos , Milano Biblioteca Ambrosiana Nel 1228, quando Federico II si apprestava a partire per la sesta Crociata, Leonardo stese una nuova versione del Liber Abaci, incoraggiato dal filosofo di corte Michele Scoto, traduttore di Aristotele, nonché astrologo e mago, che Dante collocherà all’inferno insieme al suo imperatore. Le ultime notizie su Leonardo, risalenti al 1241, riferiscono che il “pigro matematico”che si aggirava ormai sulla settantina, lavorava ancora come consulente tecnico del Comune. Dopo di che, il silenzio calò su di lui.
2. La successione di Fibonacci
Immaginiamo di chiudere una coppia di conigli con un mese di età in un recinto. Sappiamo che ogni coppia di conigli:
• inizia a generare dal secondo mese di età;
• genera una nuova coppia ogni mese;
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Quanti conigli ci saranno nel recinto dopo un anno?
N.B.: la prima coppia inizia a generare un mese dopo essere stata rinchiusa nel recinto.
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Illustriamolo ora in maniera ancora più pratica, considerando come una coppia
di conigli adulti in grado di riprodursi e come una coppia di conigli ancora troppo
giovani. Inizio 1 coppia 1° mese 2 coppie 2° mese 3 coppie 3° mese 5 coppie 4° mese 8 coppie 5° mese 13 coppie
Il numero di coppie adulte forma la successione: 1,1,2,3,5,8, …
Inoltre le coppie giovani formano esattamente la stessa successioni, con un mese di ritardo:
0,1,1,2,3,5,8, …
Il numero totale di coppie è dunque uguale alla somma dei numeri corrispondenti delle due successioni, e forma così la successione
(1) 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233,...
Questa è appunto la successione di Fibonacci; la sua formulazione ricorsiva è dunque la seguente:
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Per calcolare rapidamente l’ elemento nmo termine Fn si può fare uso della seguente
formula (vedi [1])
Dove:
e = 1.618…
φ è misura della la sezione aurea di un segmento unitario u e ф è il rapporto aureo di u stesso (o numero aureo). Vale la pena di ricordare che la sezione aurea ф di un segmento di misura 1 è quella parte u che è media proporzionale tra 1 e la parte rimanente 1- φ
cioè φ soddisfa l’ equazione:
ossia è la radice positiva dell’ equazione di secondo grado:
(3) .
Meno dimestichezza hanno gli studenti col numero ф, ma senza accrescimento di difficoltà perchè il rapporto aureo ф non è altro che la misura di quel segmento che ha per parte aurea 1. Quindi ф soddisfa l’ equazione:
ф:1=1: (ф -1)
ossia è la radice positiva dell’ equazione di secondo grado:
(4) .
Osserviamo che sia la (3) che la (4) hanno una permanenza e una variazione e quindi ognuna di esse ha una radice positiva e una negativa e φ e ф sono appunto le radici positive della (3) e della (4) rispettivamente.
3. Armonia e bellezza nei numeri aurei
Le proprietà dei due numeri φ e ф , in svariati contesti naturali, apparentemente slegati tra loro, hanno impressionato nei secoli la mente dell'uomo, che è arrivato a cogliervi col tempo un ideale di bellezza e armonia, spingendosi a ricercarlo e, in alcuni casi, a ricrearlo nell'ambiente antropico quale canone di bellezza; testimonianza ne è forse la storia del nome che in epoche più recenti ha assunto gli appellativi di "aureo" ( sezione aurea ) o "divino" ( divina proporzione ), proprio a dimostrazione del fascino esercitato. Un largo contributo alla conoscenza ed alla divulgazione di questo metodo di aurea suddivisione armonica è stato dato dal
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matematico Luca Pacioli con la pubblicazione del libro De divina Proportione, testo illustrato con disegni di Leonardo Da Vinci, pubblicato a Venezia nel 1509.
La spirale logaritmica o equiangolare, studiata nel 1638 da Cartesio, si sviluppa allargandosi costantemente un giro dopo l'altro, come il guscio di una chiocciola, del Nautilus o le corna dell'ariete.
Quando i tre raggi MA, MB e MC formano degli angoli uguali tra di loro, il raggio centrale MB è medio proporzionale tra il più piccolo MA ed il più grande MC:
MA:MB=MB:MC
quindi la proporzione tra i tre raggi è analoga a quella tra le parti di un segmento diviso in media ed estrema ragione ed il segmento stesso. Una particolare spirale logaritmica è quella attribuita all'architetto e scultore greco Fidia, spirale che è legata ad un determinato valore della costante b, scelta in modo tale che ogni raggio conduttore venga diviso da tre volute che si susseguono in due parti che stanno tra loro come 0,618:1, per cui la più grande delle due parti è media proporzionale tra la più piccola e la somma delle due. Lo sviluppo di una spirale logaritmica è una nuova spirale logaritmica, così essa si ripete mediante l'evoluzione, come scoprì Bernoulli, professore di matematica a Basilea.
r=a*emq
con a ed m costanti, q= angolo
Interessante è la relazione tra i numeri di Fibonacci e la spirale logaritmica che si rivela se si costruisce una serie di quadrati in cui il lato di ognuno di questi è dato dalla somma delle misure dei lati dei due precedenti. Se li disponiamo come in figura e tracciamo un arco di cerchio avente per
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raggio il lato del quadrato, la figura che si ottiene è una spirale logaritmica.
La spirale logaritmica della lumaca (chiocciola) risponde principalmente ad esigenze di crescita all’interno della stessa.. Infatti la lumaca esce dall’uovo con già la chiocciola e questa è una parte non separabile del gasteropode senza provocarne lesioni e probabilmente la morte. Crescendo la lumaca costruisce strati superiori sul bordo della chiocciola che va ad occupare con la nuova massa corporea. La spirale logaritmica ha la proprietà di allargarsi man mano che ci si allontana dal centro e di conseguenza il volume aumenta, mentre quella archimedea non consentirebbe un allargamento dell’area in uscita, ma solo l’allungamento costante all’interno di un braccio di spirale. Probabilmente per la lumaca la spirale logaritmica costituisce il giusto compromesso fra lunghezza ed area di accrescimento, cioè il volume più congeniale.
Per quanto riguarda la coclea che se svolta riproduce un cono, i fisiologi hanno concluso che questa forma serve ad regolare ed incanalare l’intensità degli stimoli che arrivano come un megafono, e l’avvolgimento a spirale serve a contenere la notevole lunghezza del cono in uno spazio inferiore. Infatti anche negli strumenti musicali come il corno, l’avvolgimento a spirale non influenza l’intonazione (anche se può talvolta alterare il timbro), ma solo la lunghezza del tubo determina la frequenza di emissione di un suono. Avvolto a spirale un cono riproduce una spirale logaritmica. Tuttavia il sistema è altamente complesso ed il controllo dello stimolo uditivo è la somma di contributi dovuti al sistema di ossicini, al padiglione auricolare, ai muscoli auricolari ed al sistema labirintico e quindi risulta molto approssimativo ridurre la coclea ad un semplice megafono anche se l’analogia può indicare almeno una delle funzioni.
Una curiosità: la lumaca nasce in genere con una chiocciola che gira in senso orario guardandola dall’alto (con la punta in alto e l’apertura in basso), ma una su 20.000 circa nasce con una chiocciola antioraria.
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4. Algoritmo per la costruzione di una spirale generata coi numeri della successione di Fibonacci.
L’algoritmo per la spirale generata in senso orario è il seguente:
1)È dato il numero reale e positivo a;
2)si prende un punto O e il segmento orientato OP, di secondo estremo P
e lunghezza a;
3)si prende sull’asse di OP il punto C1, alla distanza a/2 da OP, in modo
che l’arco di circonferenza di centro C1, passante per O e corrispondente a un angolo retto, venga descritto in modo orario;
4)Si considera la semiretta s1= PO di origine P e passante per O;
5) Si fa ruotare s1 attorno a P di 90° in senso antiorario, sia s2 la posizione
di s1 nella rotazione di cui al punto 4) ;
6)si prende su s2 un punto Q e il segmento (di estremi P e Q) di misura a;
7)(come al punto 3)) si traccia l’arco di circonferenza di centro C2, di estremo iniziale P, angolo 90° e senso orario;
8)Si considera la semiretta QP di origine Q e passante per P;
9)Si fa ruotare QP attorno a Q di 90° in senso antiorario, ottenendo per risultato la semiretta s3 ;
10) si prende su s3 un punto R tale che il segmento QR di estremi Q
ed R abbia misura uguale alla somma delle misure dei due segmenti precedenti (cioè QR=OP+PQ) ;
11) si scambia P con O, Q con P, R con Q ;
12) ripetere le 3), 8), 9), 10), 11) quante volte si vuole.
13) Tale algoritmo si può facilmente implementare nel linguaggio
Matcos, il cui codice MC1 è di seguito riportato e il cui output è dato dalla figura seguente:
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Output da codice MC1
Codice MC1 Stampa("Una spirale fibonacea pseudologaritmica"); O=punto; ColorePenna(255,255,255); rifcart(O,0.25,0.25); /*N=legginum("N");*/ N=10; X=Vettore(N+1); x(1)=0; Y=Vettore(N+1); Y(1)=0; fi=(1+radiceq(5))/2; fi1=(1-radiceq(5))/2;
13 l=1/radiceq(5); f=Vettore(N); f(1)=1; PER (k DA 2 A N) ESEGUI; f(k)=l*(fi^k-fi1^k); /**/ r=k RDIV 4; q=r div 2;
SE ((r=1)O(r=3)) ALLORA ESEGUI;
ColorePenna(123+(-1)^q*123,0,0); x(k)=x(k-1); y(k)=y(k-1)+(-1)^q*f(k); xC=x(k)+(-1)^q*f(k)/2; yC=(y(k-1)+y(k))/2; FINE; ALTRIMENTI ESEGUI; SpessorePenna(5); ColorePenna(0,123+(-1)^q*123,255); x(k)=x(k-1)-(-1)^q*f(k); y(k)=y(k-1); xC=(x(k-1)+x(k))/2; yC=y(k)+(-1)^q*f(k)/2; FINE; SpessorePenna(3); segmento(punto(x(k-1),y(k-1)),Punto(x(k),y(k)));
14 SpessorePenna(1); xM=(x(k-1)+x(k))/2; yM=(y(k-1)+y(k))/2; punto(xM,yM,""||f(k)); SpessorePenna(3); arco(punto(xC,yC),punto(x(k-1),y(k-1)),90,orario); pausa(200); FINE;
Carattere("MS Sans Serif",18,VERO,FALSO,FALSO,FALSO,0);
scrivi("F3=",f(3)); scrivi("F4=3"); scrivi("F5=5"); scrivi("F6=",f(6)); scrivi("F7=13"); scrivi("F8=21"); scrivi("F9=34"); scrivi("F10=55");
Osservazione 1 Avendosi [1]:
con si può dire che più n è grande e più la spirale
ottenuta da MC1 aderisce alla spirale logaritmica, per cui si può dire che la spirale circoscritta alla poligonale Г dell’output relativo allo figura 1 è definitivamente logaritmica (cioè per n grande) . E in questo caso viene detta anche aurea perché due segmenti consecutivi stanno in un rapporto aureo).
Osservazione 2
L’output di fig. 1 appartiene alla spirale oraria. Per ottenere la spirale antioraria basta scambiare, nell’algoritmo precedente, orario in antiorario e viceversa e anche la relativa implementazione subisce una lieve modifica.
15 5. Conclusioni
L’argomento di cui ci siamo occupati offre vari spunti didattici interdisciplinari ,
Infatti riesce a collegare la Fisica, la Matematica, l’Informatica le Scienze Naturali e l’Astronomia.
Di particolare rilievo è la funzione della Matematica come elemento fondamentale per l’interpretazione, in chiave razionale, della Natura; il richiamo a Galileo Galilei è d’obbligo , in questo contesto.
La tradizione scolastica italiana, fa si che specialmente nella scuola superiore, il collegamento tra la Matematica e il mondo che ci circonda sia trascurato; ciò sempre più spesso genera la famosa questione: “A che serve la Matematica?”
Domanda alla quale non sempre si da risposta adeguata. Al contrario oggi-giorno grazie agli strumenti elettronici e ai linguaggi di programmazione è possibile dare una risposta esauriente anche se non esaustiva.
La scelta dell’ambiente di programmazione MatCos è stata necessaria, oltre che per la facilità del linguaggio, per la possibilità di programmare algoritmi sia di natura squisitamente geometrica (MC1) che anche analitici.
16 BIBLIOGRAFIA
[1] COSTABILE F.A. (2004) “Il Calcolatore , motore dell’azione didattica e scientifica in matematica”, Quaderni di Matematica N°2, Dipartimento di Matematica Università di Lecce. Edizioni Grifo Le (2004), pp. 141-160.
[2] CATASTINI L. – GHIONE F. (2011) “Matematica e Arte” , Springer-Verlag Italia (Milano), pp. 30-60.
[3] G.E.MARTIN, Geometric Constructions, Springer,1998. New York.
[4] Emma Castelnuovo. Insegnare matematica. Lectio magistralis (Roma, 15 marzo 2007) , curato da: Peres E., Serafini S.,2008.
[5] Farin G., Curves and Surfaces for computer Aided Geometric Design, Academic Press, San Diego, 1990.
[6] Ben-Ari, M. (2001), Constructivism in Computer Science Education, Journal of Computers in Mathematics and Science Teaching, 20(1), 45-73. Norfolk, VA: AACE. [7] Costabile F.A., Tortorella F. “Le spirali: un esempio di attività didattica interdisciplinare” DIDATTICA E DIDATTICHE DISCIPLINARI Quaderni per la nuova secondaria – Pellegrini (CS),n°5, (2007) pp. 155-183.
[8] Costabile F.A., Tortorella F. “Le superfici di rotazione”, DIDATTICA e Didattiche DISCIPLINARI Quaderni per la nuova secondaria – Pellegrini (CS), dicembre 2011, n°11 pp. 175-199.
