ACCELERAZIONE DI GRAVITÀ:
È DAVVERO UNA COSTANTE?
Nicola Marasciuolo – Ingegneria Civile Politecnico di Bari
Abstract: In this short article I wanted to examine in depth the concept of
gravitational acceleration, especially I illustrated (with many hypotesis to facilite the treatise) that it isn’t a constant but it’s a function of latitude.
Riassunto: In questo articolo ho voluto esaminare a fondo il concetto
dell’accelerazione gravitazionale, in particolar modo ho illustrato (con di-verse ipotesi per facilitare la trattazione) che non è una costante ma è una funzione della latitudine.
È capitato a tutti di svolgere alcuni esercizi di fisica e di imbatterci in una forza peso che necessitava, quindi, della famosa g conosciuta come “acce-lerazione di gravità”, che viene definita sempre come una costante pari a
9,81 m/s2. Ma è davvero una costante?
Se consideriamo la formula di gravitazione universale tra due corpi, che numereremo 1 e 2, abbiamo:
con:
… forza esercitata sul corpo 1 a causa del corpo 2; … versore avente verso diretto dal corpo 2 al corpo 1;
… costante di gravitazione universale o di Cavendish ;
… massa dell’i-esimo corpo;
… distanza tra i due corpi (definita anche così: ).
Ora al posto dei corpi 1 e 2, studiamo il sistema Corpo-Terra (chiameremo con “m,, la massa del corpo generico, con “mT,, la massa della Terra e con
“RT,, il raggio terrestre):
(1)
ed essendo noti G, mT (pari circa a 5,9736 × 1024 kg) e RT (per quest’ultimo
si considera un raggio medio pari a 6,37101 × 106 m), possiamo
Quello appena ricavato è il modulo dell’accelerazione di gravità. Poiché è un’accelerazione è importante ricordare sempre il simbolo del vettore: Si noti come il versore è diretto lungo la verticale.
Unendo le diverse formule, si ottiene la ormai celeberrima equazione della
forza peso:
Questo approccio, sicuramente valido ed utilizzato, trascura però il moto relativo terrestre che, anch’esso, genera delle forze. Andiamo ora ad effet-tuare uno studio circa l’accelerazione gravitazionale che tenga conto del moto terrestre, in pratica dovremo imporre l’equilibrio di tutte le forze in un punto P generico e ricavarci la g.
Si ricordi che la Terra compie un moto di precessione, cioè da un punto fis-so passano due rette attorno a cui si svolgono rotazioni differenti: una ret-ta è solidale al corpo, e costituisce l’asse di roret-tazione propria (asse terre-stre), ed una fissa che va ad identificare l’asse di precessione. Il tutto viene riassunto e schematizzato nella figura sottostante:
Figura 1
La rotazione attorno all’asse di rotazione propria (a volte viene anche chia-mato asse di figura) avviene con una sua velocità angolare , che per semplicità considereremo costante e pari a 7,2722 × 10-5 rad/s; la forza di
trascinamento si identifica con la forza centrifuga e vale:
La figura 2 cerca di chiarire il concetto appena descritto:
Figura 2
Fonte immagine: http://www.inftub.com/generale/varie/LA-FORZA-DI-CORIO-LIS73613.php
L’immagine sottostante (figura 3) è la rappresentazione più dettagliata del-la figura 2, ottenuta sezionando il solido con un piano ortogonale all’equa-tore e passante per l’asse terrestre:
Per questo approccio, inoltre, assumeremo la Terra una sfera perfetta e di raggio RT pari a quello precedentemente utilizzato nell’equazione (1); per
la Terza Legge di Newton (Principio di Azione e Reazione), anche la Terra avrà una sua forza reattiva, che chiameremo .
Andiamo ora ad imporre l’equilibrio in un punto generico P (utilizzando an-che la forza peso definita nella (1)):
Da cui si ha:
(2)
Ora andiamo a definire in questa maniera:
(3) E andando a sostituire nella (2) si ha un problema di statica inerziale:
Dalla (3) dobbiamo ricavarci la g che non sarà più un valore fisso, bensì una funzione che dipenderà dalla variabile λ, cioè la latitudine.
Definito il versore radiale con i suoi coseni direttori, con riferimento alla terna canonica (per i versi della terna si veda la figura 3):
Per quanto riguarda il vettore , come si può notare dalla figura, possia-mo scriverlo in questa maniera:
Vado a sostituire nella (3) i termini vettoriali:
Ora ci calcoliamo il modulo del vettore, che sarà la nostra accelerazione di gravità:
Andando ad inserire i valori noti e a disegnare il grafico della funzione (che può essere un utile esercizio sullo studio di funzione), otteniamo il grafico 1 a pagina seguente.
Il grafico 1 è stato realizzato con l’ausilio del MatLab: a tal proposito si po-trebbe implementare l’argomento con nozioni basilari di informatica, nella fattispecie l’utilizzo del MatLab. Segue il codice del programma utilizzato per il disegno della funzione:
x=0:0.01:90; G=6.6742*10^(-11); M=5.9736*10^24; R=6.37101*10^6; W=7.2722*10^(-5); y=sqrt(G^2*M^2/R^4*(sind(x)).^2+(G*M/R^2-W^2*R)^2*(cosd(x)).^2); plot(x,y,'r'), xlabel('LATITUDINE (gradi)');
ylabel('ACCELERAZIONE DI GRAVITA'''); grid on
Grafico 1
Leggendo il grafico ci rendiamo conto come all’equatore la forza di centri-fuga è massima e va a “contrastare” l’accelerazione di gravità e quindi la g assume il suo valore minimo, al contrario i poli ai quali si può notare che la forza centrifuga è nulla e quindi g è massima.
Come precedentemente detto, questo approfondimento contiene diverse semplificazioni (ad uso didattico): infatti la Terra è stata assunta come una sfera perfetta, trascurando le grandezze altimetriche relative alla corogra-fia della superficie terrestre (pianure, colline, montagne, ecc.), assumendo un unico raggio terrestre e ipotizzando che l’asse terrestre sia perfetta-mente verticale. Queste riduzioni, però, non fanno perdere di credibilità l’approccio descritto, che resta comunque molto valido; serve infatti per farci meglio comprendere da dove deriva quel famoso 9,81 m/s2 che viene
Bibliografia
[1] Elementi di Fisica, Meccanica e Termodinamica, P. Mazzoldi, M. Nigro, C. Voci, EdiSES, 2001;
[2] Meccanica Razionale, 3° edizione, P. Biscari, T. Ruggeri, G. Saccomandi, M. Vianello, Springer, 2016.
