FUNZIONE ESPONENZIALE E FUNZIONE LOGARITMICA CRESCITA DI UNA POPOLAZIONE BATTERICA
DISEQUAZIONI ESPONENZIALI E LOGARITMICHE GRAFICI DEDUCIBILI
FUNZIONI ESPONENZIALI
Crescita di una popolazione batterica
Se prendiamo in esame un microrganismo, che si riproduce per scissione binaria, e lo facciamo crescere in un sistema chiuso il numero della popolazione batterica che esso produrrà varierà nel tempo secondo cinque principali fasi:
Fase di latenza: in questa fase il numero di microrganismi rimane pressoché costante. Questo perché il microrganismo deve adattarsi al tipo di terreno in cui è stato inoculato e ciò può durare anche diverse ore.
Fase esponenziale: il microrganismo si divide in maniera esponenziale con velocità di crescita costante, raddoppiando la loro popolazione a intervalli regolari.
Fase di transizione: la velocità di crescita comincia a rallentare.
Fase stazionaria: non vi è un aumento netto della popolazione microbica perché vi è equilibrio tra divisione e morte cellulare. Ciò succede per un nutriente che scarseggia, per l'accumulo di sostanze tossiche, per il pH divenuto troppo basso, e per densità della popolazione.
Fase di morte: la popolazione microbica diminuisce con un andamento logaritmo come è avvenuto per la fase esponenziale.
Analizziamo la fase esponenziale:
Per semplicità assumiamo che tutte le duplicazioni avvengano nello stesso istante. Sia Nk la numerosità della generazione k – esima, allora
la numerosità della generazione (k -1) – esima sarà Nk-1.
Che relazione intercorre tra le numerosità di due generazioni successive?
Nk = 2 Nk-1
Se indico con N0 la numerosità della prima generazione (k = 0), allora si
avrà N1 = 2 N0 N2 = 2 N1 = 4 N0 = 22 N0 N3 = 2 N2 = 8 N0 = 23 N0 and so on … In genere: k 0 k
N
2
N
=
⋅
Tale relazione non va confusa con una funzione potenza, in quanto nelle funzioni potenza la variabile indipendente x è alla base e non all’esponente.
Una funzione del tipo
y
=
f
(
x
)
=
a
x con a > 0 ea
≠
1
si definisce funzione esponenziale. a > 1 Dominio: R Codominio:]
0
,
+∞
[
Funzione monotona crescente in senso stretto y > 0∀
x
∈
R
Andamento agliestremi del dominio:
+∞
=
+∞ → x xa
lim
0
a
lim
x=
x3
y
=
OSSERVAZIONE La funzione cresce tanto più rapidamente quanto maggiore è la base.
La funzione passa sempre per il punto (0,1)
x
2
y
=
x3
y
=
x4
y
=
0 < a < 1 Dominio: R Codominio:
]
0
,
+∞
[
Funzione monotona decrescente in senso stretto y > 0∀
x
∈
R
Andamento agli estremi del dominio:
0
a
lim
x x→+∞=
=
+∞
−∞ → x xa
lim
x3
1
y
=
OSSERVAZIONE
La funzione decrescente tanto più rapidamente quanto più piccola è la base
Passa sempre per il punto (0,1)
x
2
1
y
=
x3
1
y
=
x4
1
y
=
Base naturale: y = ex
e è un numero
trascendente definito come limite di una successione n n
n
1
1
lim
e
+
=
+∞ → e=2.718281828…Decadimento radioattivo Modello di Malthus
DEF. Si definisce logaritmo in base a di b l’esponente da dare alla base a per avere come risultato b.
y
a
x
x
a
log
y
=
⇔
=
Poiché a0 = 1 allora loga 1 = 0, quindi la funzione logaritmica interseca
FUNZIONE LOGARITMICA
Una funzione del tipo
y
=
f
(
x
)
=
log
ax
con a > 0 ea
≠
1
si definisce funzione logaritmica.a > 1
Dominio:
]
0
,
+∞
[
Codominio: RFunzione monotona crescente in senso stretto
y > 0 con x > 1
y < 0 con 0 < x <1
Andamento agli estremi del dominio:
x
log
y
=
2 −∞ = + → log x lim a 0 x+∞
=
+∞ →log
x
lim
a x0 < a < 1 Dominio:
]
0
,
+∞
[
Codominio: R Funzione monotona decrescente in senso stretto y > 0 con 0 < x < 1 y < 0 con x > 1Andamento agli estremi del dominio:
−∞
=
+∞ →log
x
lim
a x=
+∞
+ →log
x
lim
a 0 xx
log
y
2 1=
x
log
y
3 1=
x
log
y
=
2x
log
y
=
ex
log
y
=
3y = ax y = logax
Sono l’una l’inversa dell’altra Pertanto componendole si ottiene:
x
a
loga x=
x
a
log
a x=
PROPRIETA’ DEI LOGARITMI
0
a
e
0
y
,
x
>
>
∀
y
log
x
log
)
y
x
(
log
a⋅
=
a+
ay
log
x
log
y
x
log
a
=
a−
a
x
log
b
x
log
a b=
ax
log
x
log
x
1
log
a
=
a 1=
−
a
−logaritmo del reciproco
a
log
b
log
b
log
c ca
=
proprietà del cambiamento di baseEQUAZIONI E DISEQUAZIONI ESPONENZIALI
5
2
x 3x 2−
=
−5
x+
5
x+1+
3
⋅
5
x+2=
2025
3
3
81
3
x 1 1 x 2=
⋅
− +5
x⋅
(
5
x+1+
9
)
=
2
a > 1 la funzione è crescente in senso stretto
2 1 x x 2 1
x
a
a
x
<
⇔
<
Pertanto
a
x>
b
⇔
x
>
log
ab
ea
x<
b
⇔
x
<
log
ab
0 < a < 1 la funzione è decrescente in senso stretto2 1 x x 2 1
x
a
a
x
<
⇔
>
ESEMPI
0
6
x+3<
4
x−2<
−
3
2
x2>
−
7
5
3x+1>
0
0
7
7
3+x−2x2−
2−x<
≥
−
>
+
+ −9
3
1
8
9
1
6
3
3
x x x 1 x 1EQUAZIONI E DISEQUAZIONI LOGARITMICHE a > 1 la funzione è crescente in senso stretto
2 a 1 a 2 1
x
log
x
log
x
x
<
⇔
<
0 < a < 1 la funzione è decrescente in senso stretto
2 a 1 a 2 1
x
log
x
log
x
x
<
⇔
>
2
4
3
x
log
2 2
<
−
−
)
1
x
2
(
log
)
5
x
3
(
log
4 1 2 1−
<
−
1
)
x
x
4
(
log
2 2 1+
≤
)
x
5
ln(
)
1
x
2
ln(
)
1
x
4
ln(
+
>
−
+
−
DOMINI Funzioni razionali fratte
)
x
(
D
)
x
(
N
y
=
D
(
x
)
≠
0
Funzioni radice di indice pariy
=
A
(
x
)
A
(
x
)
≥
0
Funzioni logaritmichey
=
log
a[
A
(
x
)]
A
(
x
)
>
0
ESEMPI)
9
x
ln(
y
=
2−
0
x
0
x
4
x
1
)
2
x
(
log
y
2 2<
≥
−
+
=
x
log
x
4
1
y
1 2−
=
GRAFICI DEDUCIBILI
|
)
3
|
x
ln(|
|
y
=
−
GRAFICI IN SCALA LOGARITMICA
I riferimenti in scala logaritmica sono riferimenti in cui in ascissa pongo una scala lineare classica, mentre in ordinata, anziché la funzione y = f(x), verrà riportato il log(f(x)). Sono utili per realizzare grafici di andamenti esponenziali. Tali andamenti saranno
visualizzati tramite una retta.
Un fenomeno descritto da un andamento esponenziale
y
=
c
⋅
e
ax sarà rappresentato da una rettaax
c
ln
)
x
(
f
ln
y
=
=
+
Se un fenomeno è descritto da una funzione lineare y = ax+b in scala logaritmica, esso avrà andamento esponenziale
f
(
x
)
=
e
be
axEQUAZIONI E DISEQUAZIONI
RISOLUBILI CON CONFRONTO GRAFICO
0
x
e
x+
=
Non risolubile algebricamente
−
=
=
x
y
e
y
xVera per
x
>
x
0 dovex
0≅
−
0
.
56714329
....
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