INSIEME INSIEME STRUTTURATO RELAZIONI OPERAZIONI
Consideriamo l’insieme N dei numeri naturali. N ={0,1,2,3,4,…} E’ naturale definire in N una somma tra i suoi numeri.
Esiste una corrispondenza tra l’insieme delle coppie di numeri naturali e l’insieme dei numeri naturali che fa corrispondere alla coppia (3,6) il numero 9 e alla coppia (7,5) il numero 12.
Una tale operazione è detta OPERAZIONE INTERNA all’insieme N
N ( + ) è una STRUTTURA ALGEBRICA Proprietà:
Legge interna:
Proprietà associativa:
Esistenza dell’elemento neutro:
N
b
a
N
N
)
b
,
a
(
:
∈
×
→
+
∈
+
z
)
y
x
(
)
z
y
(
x
N
z
,
y
,
x
∈
⇒
+
+
=
+
+
∀
x x 0 0 x | N 0 , N x ∈ ∃ ∈ + = + = ∀N
y
x
N
y
,
x
∈
⇒
+
∈
∀
In N viene però a cadere una proprietà: Esistenza del simmetrico:
Tale proprietà viene a cadere in quanto in N nessun elemento è dotato di simmetrico, eccetto lo zero.
Risulta pertanto necessario ampliare l’insieme N con un nuovo insieme Z. L’insieme Z è l’insieme dei numeri interi relativi in cui è possibile definire una somma usuale tra numeri come in N.
Z(+) è una STRUTTURA ALGEBRICA Legge interna: Proprietà associativa:
Z
b
a
Z
Z
)
b
,
a
(
:
∈
×
→
+
∈
+
?
0
x
'
x
'
x
x
|
N
'
x
,
N
x
∈
∃
∈
+
=
+
=
∀
Z
y
x
Z
y
,
x
∈
⇒
+
∈
∀
z
)
y
x
(
)
z
y
(
x
Z
z
,
y
,
x
∈
⇒
+
+
=
+
+
∀
Esistenza dell’elemento neutro: Esistenza del simmetrico:
Inoltre:
Se considero due numeri interi relativi qualsiasi a e b, si sa che a + b = b + a e ciò equivale a dire che la somma tra numeri
gode della proprietà COMMUTATIVA
x
x
0
0
x
|
Z
0
,
Z
x
∈
∃
∈
+
=
+
=
∀
0
x
'
x
'
x
x
|
Z
'
x
,
Z
x
∈
∃
∈
+
=
+
=
∀
Osserviamo:
• il risultato della composizione di due elementi di Z è ancora un elemento di Z per cui + è una LEGGE INTERNA a Z
• vale la proprietà ASSOCIATIVA • esiste l’ELEMENTO NEUTRO
• Ogni elemento di Z ha il SIMMETRICO
Sia G un insieme di natura qualsiasi in cui sia presente una legge di composizione interna * di natura qualsiasi. Diremo che G( * ) è un GRUPPO se valgono le tre proprietà
evidenziate in precedenza:
• Associatività
• Esistenza dell’elemento neutro
Valutiamo Z
(
•
)
Legge interna:
Proprietà associativa:
Esistenza dell’elemento neutro: In Z viene a cadere una proprietà:
Esistenza del simmetrico:
E’ vero solo se sia x che x’ sono uguali a 1.
Z
y
x
Z
y
,
x
∈
⇒
•
∈
∀
z
)
y
x
(
)
z
y
(
x
Z
z
,
y
,
x
∈
⇒
•
•
=
•
•
∀
x
x
1
1
x
|
Z
1
,
Z
x
∈
∃
∈
•
=
•
=
∀
1
x
'
x
'
x
x
|
Z
'
x
,
Z
x
∈
∃/
∈
•
=
•
=
∀
A tale scopo risulta necessario definire
≠
∧
∈
=
|
m
,
n
Z
n
0
n
m
Q
)
(
Q
+
è un gruppo abeliano{ }
0
(
)
Q
−
•
è un gruppo abeliano e in più vale anche la proprietà distributiva del prodotto rispetto alla somma{ }
+
⋅
⋅
+
⇔
⋅
+
⋅
∃
⋅
+
⇔
⋅
+
⋅
⋅
+
⇔
⋅
+
+
⋅
⋅
+
⇔
⋅
+
a
rispetto
va
distributi
3)
abeliano
gruppo
1
-A
2)
abeliano
gruppo
)
A(
1)
campo
)
per
neutro
elemento
1
2)
anello
)
,
A(
1)
unitario
anello
)
,
A(
a
commutativ
2)
anello
è
)
,
A(
1)
o
commutativ
anello
a
rispetto
va
distributi
3)
a
associativ
2)
o
commutativ
gruppo
)
A(
1)
anello
)
(
,
(
A
)
,
(
A
)
,
(
A
Q è denso: tra due numeri razionali c’è ancora un numero
razionale, ciò nonostante presenta ancora dei “buchi”, ovvero non è possibile associare ad ogni punto della retta un numero razionale.
Ad esempio
2
è un numero non razionale, ossia non è possibile scriverlo sotto forma di frazione. (dimostrazione)Q
2
∉
Si considera un insieme R che rispetto alle operazioni di somma e prodotto è ancora un campo.
R
(
+
,
•
)
R è denso
R è continuo (la retta reale non presenta “buchi”, ossia è sempre possibile mettere in relazione biunivoca un punto della retta con un numero reale)
R
Q
Z
N
⊂
⊂
⊂
INTERVALLI DI R R Q N Z[ [
] ]
] [
a
,
b
{
x
R
|
a
x
b
}
}
b
x
a
|
R
x
{
b
,
a
}
b
x
a
|
R
x
{
b
,
a
}
b
x
a
|
R
x
{
]
b
,
a
[
<
<
∈
=
≤
<
∈
=
<
≤
∈
=
≤
≤
∈
=
[
[
]
[
]
]
]
,
b
[
{
x
R
|
x
b
}
}
b
x
|
R
x
{
b
,
}
a
x
|
R
x
{
,
a
}
a
x
|
R
x
{
,
a
<
∈
=
∞
−
≤
∈
=
∞
−
>
∈
=
+∞
≥
∈
=
+∞
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