! " #$% &$$'' ( ) *+
, -./'#.,0'#12$$ ) + 3 4 '#. 0'# 1.02
CEFIN Working Papers
No 2
Default risk: Poisson mixture and the business cycle
by Chiara Pederzoli
! " # $ % $ " % ! $ & % $ ' % ( " " & " $ % ( % " $ % ) " *+,-! *,-! *+.- " / $ 0 ! $ 1 2 ! % ( $ 3 " % ' ! ' " " 3 ! 3 $ " % ' ! ' " " " " # ! 3 " " " 4 " " 4 ) *5-! 6+7/ ) 8 / " " " & % % $ " 3
$ $ " & ) " *9-/ $ 1 " ( ' $ 1 ! " : 0 ! $ % ' ! $ ' " ! " & % " ! *+5- *+5- 8 3 0 % $ % $ 2 $; ) : / : , 8 *+5- : 5 2 $; % $ 0 : : 6 ' & : 8 *+5- % 2 $; % $ ' : & ! *,- : ! ' 8 1 ' " & ( % ' & % % ( & 3 0 " 0 0 (
% ' & ' % ! % " & ( < " 0 : , 2 $; ) 2; % "/ % $! " ) / ' % % % 2; 0 " % $
!
"
2; ( " " " ' " % " ! 0 " : 0 ! 0 " 2; " % ! " ' ! 0 8 " " " " : 2; " "" " % " ! % " % % " " % % " & 8 ( % " " " ( % & ( "& % " " ! 2; 0 = ' & 0' % = > ? " ' & = $ " ' " " & " & % ! ' ( = ' ' " & " ( ! ! " ' " 5 + % % %
#
$
: % % % 0 & ' " 2; $ % $ " : ,! % ( < " " % 2; ' & = 0 % ( ) / @ % ( A) / @ @ @ & " 0 % ( ) @ / @ ; + )+ / % @% % ! " ' ' & ' % ! ' " ( > ? 9 2 ' 8! 2; < *7-0' 2 ' ) '/
%$
$
&
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
' *I- % " " " *+5- : " 2 " 0 " < : " ! ( % $ 0 ! " " 0 ) " *++-/ & " " ! % 2 :! # " # ! "
'
= $ $ " % $ " ! % $ ! % & ' % % ( ' & = ' 2 $; % $( # : 2 ' F 2 ! " " ! *I-! ' " ' % " % & % $ % % D ' " & ' % " 2 ' % 2 $; = ''( & " " '! " " ) " / 2 ' ! " ) *C-/! 0 C ∞ = − − ∞ = − ∞ = −
+
=
+
=
=
+
=
=
0 ) ( ) ( 0 ) ( 0 ) (!
)
(
)
(
!
)
(
)
(
!
)
(
)
(
!
)
(
)
(
)
(
)
|
(
)
(
)
|
(
)
(
)
|
(
)
(
n n R n E n n R n n n E xz
n
R
e
R
P
n
E
e
E
P
z
n
R
e
R
P
z
n
E
e
E
P
R
P
R
z
F
E
P
E
z
F
dx
x
f
x
z
F
z
F
µ
µ
µ
µ
µ µ µ µ ! 2 $; D ' ' ( ! " ' >! ' > " ' ' " & ( ' ' ) 8 " " " ! " 8 " " " " / & ' ' ( " ! ( % & " 0 +.( ∞ = + − = = = 0 ) ( ) ( exp ) | ( ) | ( n j j v j j n x x z j z x nL loss p x z Gµ
µ
& " ( + − + + − = j v j j j j v j j j E E z j P R R R z j E P z G( ) ( )exp µ ( ) µ ( ) ( )exp µ ( ) µ ( )" ! 0 ( ≤ − ≤ − = + = + = + = = = = n v j v n j j n v j v n j j n n n n n n z n n n j j j j n A R v R R P E A n v E E P R A R P E A E P dz R z G d n R P dz E z G d n E P dz z G d n nL loss p A : : 0 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) | ( ! 1 ) ( ) | ( ! 1 ) ( | ) ( ! 1 ) (
µ
µ
%( #
!"# $"
"%&# %$ !"' $ & $ ( ##"%& $%
" " " #
0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 Number of defaults P ro ba bi lit y
Negative Binomial Poisson
)"* $
% " %0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22
Poisson E-R mixture
)"* $
% 2 ' % )2/@.!+ 0 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1 0,12 0,14 0,16 0,18 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22Poisson E-R mixture
)"* $
% 2 'P(R)=0,1; =2% P(R)=0,1; =3% 0,00 0,02 0,04 0,06 0,08 0,10 0,12 0,14 0,16 0,18 0,20 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 Number of defaults P ro ba bi lit y
E-R mixture Negative Binomial
0,00 0,02 0,04 0,06 0,08 0,10 0,12 0,14 0,16 0,18 0,20 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 Number of defaults P ro ba bi lit y
E-R mixture Negative Binomial
)"* $
% 2 ' = ' # P(R)=0,8; =2.5% P(R)=0,1; =2.5% 0,00 0,02 0,04 0,06 0,08 0,10 0,12 0,14 0,16 0,18 0,20 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 Number of defaults P ro ba bi lit yE-R mixture Negative Binomial
0,00 0,02 0,04 0,06 0,08 0,10 0,12 0,14 0,16 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 Number of defaults P ro ba bi lit y
E-R mixture Negative Binomial
)"* $
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